数字信号处理第2章Z变换

s=jΩ X(S)
z=esT
X(z) z=ejω
模拟：x(t)
X(j) =T
X(ejω)
t=nT
s
数字：x(n)
§2.6 离散系统的系统函数和 系统的频率响应
一、离散系统的系统函数
1、差分方程和系统函数的关系
系统的差分方程为：
对方程两边做z变换，得：
整理得系统函数为：
2、 H(z)和单位抽样响应h(n) 的关系
(2)与的关系（=T）
的取值范围是从-→（负频端无意义，只是
用于数学分析），而在圆周上变化，具有明显 的周期性，以2为周期，这样的对应关系非单值
关系，所以要把限制在一个周期内。
= T,从–→， 所以在一个周期内：为–/T→/T
=0，S平面的实轴，
=0，z平面正实轴；
=0(常数)， S：平行实轴的直线，
意义：z-1：单位延迟器
z变换性质2
三、时域卷积：
系统函数：
§2.4 z反变换
部分分式法：
X(z)一般是z的有理分式，可写成X(z)=N(z)/D(z)，而N(z)、
D(z)一般是实系数多项式，则X(z)可以写成部分分式之和的形 式
再利用已知的z变换：
结合收敛域写出反变换：
需要注意的问题：
①极点zk，为D(z)=0的根 ②计算系数Ak时，要写成：
③利用已知z变换时，注意收敛域
配分法： 例2-4-1：
（在滤波器的设计中，分子、分母通常写成负幂的形式）
求系数Ak
例2-4-2：
利用z变换的时移性质： 令： 则：
长除法-原理
即D(z)除以N(z)的商为z的多项式，多项式的系数即为序列x(n) 左边序列对应z的正次幂的系数，右边序列对应z的负次幂的系数
§2.2 收敛域
1、定义： 使序列x(n)的z变换X(z)收敛的所有z值的 集合称作X(z)的收敛域。 2、收敛条件：（级数的收敛条件） X(z)收敛的充要条件是绝对可和。
一、有限长序列
例1：求序列
的Z变换及收敛域。
收敛域为：
例2：求序列
解：
的Z变换及收敛域。
其收敛域应包括
即
充满整个Z平面。
数字信号处理第2章Z变换
讨论z变换的目的：
离散系统可以用差分方程表示：
在数字信号处理中，离散系统就是数字滤波器 ，要分析数字滤波器就要解差分方程，但直接 解起来很麻烦，所以利用z变换把差分方程转化 为代数方程，使求解过程简化。
LT~微分方程
§2.1 Z变换
Z变换的表示：
双边z变换：
单边z变换： Z为复数，以z的实部为横坐标，z的虚部 为纵坐标，可以构成一个z平面
Z- —1 ) Z 4 Z- —14
—14 —14
-
—116
Z-1
为了得到z的正次幂的 多项式，将除数和被 除数按z的升幂排列
—116 Z-1 —116 Z-1- —614 Z-2
—614 Z -2 —614 Z-2 - —215—6 Z-3
—215—6 Z-3
...
极点分为：实极点、复极点 若为复极点必然是共轭极点，必然是成对出现
，
横坐标为实轴，纵坐标为虚轴；
•两平面都是复平面。
(1)r与的关系
→
=0,即S平面的虚轴→r=1,即z平面单位圆； <0,即S的左半平面→r<1,即z的单位圆内； >0,即S的右半平面→r>1,即z的单位圆外 。
j
0
0
→
r＝0，＝0时， ＝–，＝0，即z平面的原点映射
到s平面的实轴上负无穷远处。
，|a|<1
|a|<|z|<1/|a|
双边序列的收敛域是左边序列和右边序列z变换的 公共收敛区间。
课本P27表2.1
作业2.1(2)(6)
§2.3 z变换性质1
一、线性:
Z[a1x1(n)+a2x2(n)]=a1Z[x1(n)]+a2Z[x2(n)]
二、时移：
Z[x(n)]=X(z) Z[x(n-m)]=z-m·X(z)
长除法-例子
为了得到z的正次幂的多项式，将除数和被除数按z的升幂排列
4-Z)
4Z+Z2+ —41 Z 3+ —116Z 4+ —614Z 5+ ...
16 Z 16 Z - 4 Z2
4 Z2
4 Z2 - Z3
Z3
Z 3 - —14 Z 4
—14 —14
Z Z
4
4-
—116
Z
5
—116 Z 5
…
1+ —14 Z-1+11—6 Z-2 + 6—14 Z -3...
LT主要问题：收敛域、极点、反变换
常用的LT：
S平面与Z平面的映射关系
连续信号xa(nT)抽样后为 抽样信号的拉氏变换为
抽样序列x(n)=xa(nT) 的z变换为 比较两式得s平面到z平面的映射关系为：
（主要应用于AF到DF转换）
•将s平面用直角坐标表示：
，
横坐标为，纵坐标为模拟角频率；
•将z平面用极坐标表示：
例：
因为D(z)的系数是实数，所以复极点必然成对出现
作业2.3
§2.5 Z变换与Laplace变换、序列的 傅里叶变换的关系
一、 Z变换与Laplace变换的关系
利用LT可以得到连续系统的一些性质，利用z变换 可以得到离散系统的系统函数，而在设计数字滤 波器时可以先设计AF，再通过代换得到DF,所以 AF和DF的关系就可从LT与z变换的关系得到。
例3：求序列
二、右边序列
的Z变换及收敛域。
Z[u(n)]的极点为1，零点为0 收敛域为|z|>1
零极相消
例：
零、极点均为z=1,称为零极点相消。收敛域为整个z平面。
另：
例4：求序列 解：
的Z变换及收敛域。
当
时，这是无穷递缩等比级数。
三、左边序列
例5：求序列
的Z变换及收敛域。
例6：
四、双边序列
= 0T,
z：始于原点的射线；
jIm[Z]
Re[Z]
0
Re[Z]
二、Z变换与FT的关系
傅里叶变换是拉氏变换在s平面的虚轴上的 特例，由于s平面的虚轴映射到z平面的单位 圆上，因此抽样序列在单位圆上的z变换就 是它的傅里叶变换。
连续： L[h(t)]离散： Βιβλιοθήκη [h(t)]频率响应 系统函数
各个变换的关系：
零极点
为有理分式，
D(z)=0的根称为z变换的极点， N(z)=0的根称为z变换的零点。
极点与收敛域的关系： 收敛域不包含极点，收敛域总是以极点为收敛 边界，收敛圆必然通过极点。零、极点分为单 根和重根，单根又分为实根和共轭复根（若为 复根，必然是共轭的，因为系数是实数），滤 波器设计只考虑单根的情况。
当输入x(n)=(n)时，输出y(n)称为单位抽样
响应h(n)。
3、注意的问题：系统的稳定性和因果性