(完整word版)数字信号处理第二章习题解答
数字信号处理第2章答案 史林 赵树杰编著
第二章作业题 答案%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%2.1将序列1,01,1()0,22,30,n n x n n n =⎧⎪-=⎪⎪==⎨⎪=⎪⎪⎩其他表示为()u n 及()u n 延迟的和。
解：首先将表示为单位脉冲序列的形式：()x n ()()()()=123x n n n n δδδ--+-对于单位脉冲函数，用单位阶跃序列表示，可得：()n δ()u n ()()()1n u n u n δ=--将上式带入到的单位脉冲序列表达式中，可得：()x n ()()()()()()()()()()()()()()()1231122342122324x n n n n u n u n u n u n u n u n u n u n u n u n u n δδδ=--+-=------+---⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=--+-+---%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%2.5判断下列序列中，哪一个是周期序列，如果是周期序列，求出它的周期。
(1)()sin1.2x n n =(2)()sin 9.7x n n π=(5)()sin()cos()47nnx n ππ=-解：理论分析详见P18性质7）周期序列题中设计到的是正弦信号，对于正弦信号，分析其周期性，则()0()sin x n A n ωϕ=+需判断：2πω1）为整数，则周期；2）为有理数，则周期；3）为无理数则非周期。
观察（1）、（2）、（5），依次为：、、，从而可知0ω0 1.2ω=09.7ωπ=12,47ππωω==（1）为非周期，（2）、（5）为周期序列。
（2）中，，因此周期。
022209.797ππωπ==20N =（5）中，第一部分周期为，第二部分周期为，因此序列1028N πω==20214N πω==周期为。
数字信号处理第2章习题解答
e
n 0
e
j ( 0 )
n
1 1 e e j (0 )
当 e 1 0
2-9 求 x(n) R5 (n) 的傅里叶变换 解：X (e j )
5 j 2
n
j
x ( n )e j n e j n
1 1 1 z 2
1 1 1 2 1 z z 2 4 1
1 1 1 2 X ( z) 1 z z 2 4 n 1 n z 2 n 0
1 x(n ) u(n ) 2
n
1 1 1 z 2 1 1 z 2 1 1 1 2 z z 2 4 1 2 z 4
解：
1 由x1 ( n ) u( n ) 2
1 z 2
n
1 得 X 1 ( z ) ZT [ x1 ( n )] 1 1 1 z 2 n 1 由x2 ( n ) u( n ) 3 1 得 X 2 ( z ) ZT [ x2 ( n )] 1 1 1 z 3
1 z 3
z3 z 3z 5 1 1 1 1 1 z 1 z z 3 z 2 3 2
1 z 3 2
j x ( n ) X ( e ): 2-7 求以下序列 的频谱
（1） (n n0 )
X ( e j )
n j n ( n n ) e 0
0
1/ 4 Re[ z ]
当 n 1 时， F ( z )在围线c内有一 (n 1)阶极点 z 0 在围线c外有单阶极点 z 1/ 4， 且分母阶次高于分子阶次二阶以上
信号处理-习题(答案)
数字信号处理习题解答 第二章 数据采集技术基础2。
1 有一个理想采样系统，其采样角频率Ωs =6π，采样后经理想低通滤波器H a （j Ω)还原,其中⎪⎩⎪⎨⎧≥Ω<Ω=Ωππ30321)(，，j H a 现有两个输入，x 1（t ）=cos2πt ，x 2(t )=cos5πt 。
试问输出信号y 1(t )，y 2(t ）有无失真？为什么？分析:要想时域采样后能不失真地还原出原信号,则采样角频率Ωs 必须大于等于信号谱最高角频率Ωh 的2倍，即满足Ωs ≥2Ωh 。
解:已知采样角频率Ωs =6π，则由香农采样定理，可得 因为x 1(t ）=cos2πt ，而频谱中最高角频率πππ32621=<=Ωh ,所以y 1(t ）无失真；因为x 2（t )=cos5πt ,而频谱中最高角频率πππ32652=>=Ωh ，所以y 2(t )失真。
2.2 设模拟信号x (t )=3cos2000πt +5sin6000πt +10cos12000πt ,求：（1） 该信号的最小采样频率；（2） 若采样频率f s =5000Hz ，其采样后的输出信号； 分析:利用信号的采样定理及采样公式来求解.错误!采样定理采样后信号不失真的条件为：信号的采样频率f s 不小于其最高频率f m 的两倍，即f s ≥2f m○，2采样公式)()()(s nT t nT x t x n x s===解：（1）在模拟信号中含有的频率成分是f 1=1000Hz ，f 2=3000Hz,f 3=6000Hz∴信号的最高频率f m =6000Hz由采样定理f s ≥2f m ，得信号的最小采样频率f s =2f m =12kHz (2）由于采样频率f s =5kHz,则采样后的输出信号⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛====n n n n n n n n n n n f n x nT x t x n x s s nT t s522sin 5512cos 13512cos 10522sin 5512cos 35112cos 105212sin 5512cos 3562cos 10532sin 5512cos 3)()()(πππππππππππ 说明：由上式可见,采样后的信号中只出现1kHz 和2kHz 的频率成分，即kHzf f f kHzf f f ss 25000200052150001000512211======，，若由理想内插函数将此采样信号恢复成模拟信号,则恢复后的模拟信号()()t t t f t f t y ππππ4000sin 52000cos 132sin 52cos 13)(21-=-=可见，恢复后的模拟信号y (t ) 不同于原模拟信号x (t )，存在失真，这是由于采样频率不满足采样定理的要求，而产生混叠的结果.第三章 傅里叶分析I. 傅里叶变换概述3。
数字信号处理答案2和3章(DOC)
合工大《数字信号处理》习题答案第2章习 题2.1)1()()1()2(2)4()(-+++-+++=n n n n n n x δδδδδ)6(2)4(5.0)3(4)2(2-+-+-+-+n n n n δδδδ2.3 （1）31420=ωπ，所以周期为14。
（2）πωπ1620=，是无理数，所以)(n x 是非周期的。
2.4 设系统分别用下面的差分方程描述，)(n x 与)(n y 分别表示系统输入和输出，判断系统是否是线性非时变的。
（1）)()(0n n x n y -=（2）)()(2n x n y =（3）)sin()()(n n x n y ω=（4）)()(n x e n y =2.4 （1）由于)()]([0n n x n x T -=)()()]([0m n y n m n x m n x T -=--=-所以是时不变系统。
)()()()()]()([21020121n by n ay n n bx n n ax n bx n ax T +=-+-=+所以是线性系统。
（2）)()()]([2m n y m n x m n x T -=-=-，所以是时不变系统。
)()()]()([)]()([2122121n by n ay n bx n ax n bx n ax T +≠+=+，所以是非线性系统。
（3）)()sin()()]([m n y n m n x m n x T -≠-=-ω，所以不是时不变系统。
)()()sin()]()([)]()([212121n by n ay n n bx n ax n bx n ax T +=+=+ω，所以是线性系统。
（4）)()()]()([21)()()]()([212121n by n ay e e en bx n ax T n bx n ax n bx n ax +≠==++，所以是非线性系统。
)()]([)(m n y e m n x T m n x -==--，所以是时不变系统。
数字信号处理第二章习题答案
2－1 试求如下序列的傅里叶变换： （1）)()(01n n n x -=δ （2）)1(21)()1(21)(2--++=n n n n x δδδ （3）),2()(3+=n u a n x n10<<a（4）)4()3()(4--+=n u n u n x（5）∑∞=-⎪⎭⎫⎝⎛=05)3(41)(k nk n n x δ（6）()6cos ,14()0,n n x n π⎧-≤≤=⎨⎩其他解： （1） 010()()j n j j nn X e n n ee ωωωδ∞--=-∞=-=∑（2） 2211()()122j j nj j n X e x n e e e ωωωω∞--=-∞==+-∑ωsin 1j +=（3） 2232()(2)1j j nj nn j nj n n a e X e a u n ea eaeωωωωω-∞∞---=-∞=-=+==-∑∑， 10<<a（4） []4()(3)(4)j j nn X e u n u n eωω∞-=-∞=+--∑∑-=-=33n nj e ω∑∑==-+=313n n j n nj e eωω（等比数列求解）ωωωωωj j j j j e e e e e --+--=--111134=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛=----ωωωωω21sin 27sin 1137j j j e ee ((1-e^a)提出e^(0.5a))（5） 3350011()(3)44nkj jn j k n k k X e n k e e ωωωδ∞∞+∞--=-∞==⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑∞+=--⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛=033411141k j kj e e ωω（6） 44336441()cos 32j j j jn jn n n X e nee e e ππωωωπ---=-=-⎛⎫==+ ⎪⎝⎭∑∑994()()4()()3333001122j j n j j n n n e e e e ππππωωωω--++===+∑∑ ()9()9334()4()33()()3311112211j j j j j j e e e e e e ππωωππωωππωω-+-+-+⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦2－2 设信号}1,2,3,2,1{)(---=n x ，它的傅里叶变换为)(ωj e X ，试计算(1)0()j X e （２）()j X ed πωπω-⎰（３）2()j X e d πωπω-⎰。
数字信号处理 第二章习题
1 为因果序列，故收敛域为： z 2
8
（2） (n n0 ) n0 0
解：
X ( z)
n
x(n) z n
n
(n n0 ) z n
X ( z) z
n0
1 n n0 (n n0 ) 0 other
1 n0 z
z 0.5 左边序列 0.5 z 2 双边序列 右边序列 z 2
16
采用围线积分法求解：
3 2 X ( z) 1 1 0.5 z 1 2 z 1 3(1 2 z 1 ) 2(1 0.5 z 1 ) 5 7 z 1 1 1 (1 0.5 z )(1 2 z ) (1 0.5 z 1 )(1 2 z 1 )
z1 1, z2 2
X(z)的收敛域为
左边序列 z 1 1 z 2 双边序列 z 2 右边序列
24
F ( z) X ( z) z
n 1
z ( z 3) ( z 3) n 1 z zn ( z 1)( z 2) ( z 1)( z 2)
z 2
21
当收敛域为： z 2 0.5
1 n n 1 x(n) 3( ) u (n) 2 u (n 1) 2
22
收敛域为： z 2
右边序列
n 0 ，围线c内有2个1阶极点
x(n) Re s[( z 0.5) F ( z), 0.5] Re s[( z 2) F ( z), 2] ( z 0.5) 5z 7 zn ( z 0.5)( z 2) ( z 2)
双边序列
n 0 ，围线c内有1个1阶极点
数字信号处理 答案 第二章(精编文档).doc
【最新整理，下载后即可编辑】第二章2.1 判断下列序列是否是周期序列。
若是，请确定它的最小周期。
（1）x(n)=Acos(685ππ+n )（2）x(n)=)8(π-ne j （3）x(n)=Asin(343ππ+n )解 (1)对照正弦型序列的一般公式x(n)=Acos(ϕω+n )，得出=ω85π。
因此5162=ωπ是有理数，所以是周期序列。
最小周期等于N=)5(16516取k k =。
（2）对照复指数序列的一般公式x(n)=exp[ωσj +]n,得出81=ω。
因此πωπ162=是无理数，所以不是周期序列。
（3）对照正弦型序列的一般公式x(n)=Acos(ϕω+n )，又x(n)=Asin(343ππ+n )＝Acos(-2π343ππ-n )＝Acos(6143-n π)，得出=ω43π。
因此382=ωπ是有理数，所以是周期序列。
最小周期等于N=)3(838取k k =2.2在图2.2中，x(n)和h(n)分别是线性非移变系统的输入和单位取样响应。
计算并列的x(n)和h(n)的线性卷积以得到系统的输出y(n)，并画出y(n)的图形。
(a)1111(b)(c)111110 0-1-1-1-1-1-1-1222222 3333444………nnn nnnx(n)x(n)x(n)h(n)h(n)h(n)21u(n)u(n)u(n)a n ===22解 利用线性卷积公式y(n)=∑∞-∞=-k k n h k x )()(按照折叠、移位、相乘、相加、的作图方法，计算y(n)的每一个取样值。
(a) y(0)=x(O)h(0)=1y(l)=x(O)h(1)+x(1)h(O)=3y(n)=x(O)h(n)+x(1)h(n-1)+x(2)h(n-2)=4,n ≥2 (b) x(n)=2δ(n)-δ(n-1)h(n)=-δ(n)+2δ(n-1)+ δ(n-2) y(n)=-2δ(n)+5δ(n-1)= δ(n-3) (c) y(n)= ∑∞-∞=--k kn k n u k u a)()(=∑∞-∞=-k kn a=aa n --+111u(n)2.3 计算线性线性卷积 (1) y(n)=u(n)*u(n) (2) y(n)=λn u(n)*u(n)解：(1) y(n)=∑∞-∞=-k k n u k u )()( =∑∞=-0)()(k k n u k u =(n+1),n ≥0 即y(n)=(n+1)u(n)(2) y(n)=∑∞-∞=-k k k n u k u )()(λ=∑∞=-0)()(k kk n u k u λ=λλ--+111n ,n ≥0即y(n)=λλ--+111n u(n)2.4 图P2.4所示的是单位取样响应分别为h 1(n)和h 2(n)的两个线性非移变系统的级联，已知x(n)=u(n), h 1(n)=δ(n)-δ(n-4), h 2(n)=a n u(n),|a|<1,求系统的输出y(n).解ω(n)=x(n)*h1(n)=∑∞-∞=k ku)([δ(n-k)-δ(n-k-4)] =u(n)-u(n-4)y(n)=ω(n)*h2(n)=∑∞-∞=k k k ua)([u(n-k)-u(n-k-4)]=∑∞-=3nk ka,n≥32.5 已知一个线性非移变系统的单位取样响应为h(n)=a n-u(-n),0<a<1 用直接计算线性卷积的方法，求系统的单位阶跃响应。
数字信号处理课后习题答案(全)1-7章
1
4
(2m 5) (n m) 6 (n m)
m4
m0
第 1 章 时域离散信号和时域离散系统
（3） x1(n)的波形是x(n)的波形右移2位， 再乘以2， 画出图形如题2解图 （二）所示。
(4) x2(n)的波形是x(n)的波形左移2位， 再乘以2， 画出图形如题2解图（三） 所示。
因此系统是非线性系统。
第 1 章 时域离散信号和时域离散系统
（6） y(n)=x(n2)
令输入为
输出为
x(n－n0)
y′(n)=x((n－n0)2) y(n－n0)=x((n－n0)2)=y′(n) 故系统是非时变系统。 由于
T［ax1(n)+bx2(n)］=ax1(n2)+bx2(n2) =aT［x1(n)］+bT［x2(n)］
0≤m≤3
－4≤m≤n
非零区间如下:
第 1 章求解： ① n<0时， y(n)=0
② 0≤n≤3时， y(n)= ③ 4≤n≤7时， y(n)= ④ n>7时， y(n)=0
1=n+1
n
1=8－m n0
3
mn4
第 1 章 时域离散信号和时域离散系统
x(m)h(n－m)
m
第 1 章 时域离散信号和时域离散系统
题7图
第 1 章 时域离散信号和时域离散系统
y(n)={－2,－1,－0.5, 2, 1, 4.5, 2, 1; n=－2, －1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}
第 1 章 时域离散信号和时域离散系统
解法（二） 采用解析法。 按照题7图写出x(n)和h(n)的表达式分别为
(完整word版)数字信号处理答案第二章
第二章2.1 判断下列序列是否是周期序列。
若是,请确定它的最小周期.（1）x （n ）=Acos(685ππ+n ） （2)x （n)=)8(π-ne j（3）x （n)=Asin(343ππ+n ) 解 （1）对照正弦型序列的一般公式x （n ）=Acos （ϕω+n )，得出=ω85π。
因此5162=ωπ是有理数，所以是周期序列。
最小周期等于N=)5(16516取k k =。
（2）对照复指数序列的一般公式x （n ）=exp[ωσj +］n,得出81=ω。
因此πωπ162=是无理数,所以不是周期序列。
(3）对照正弦型序列的一般公式x （n)=Acos(ϕω+n ），又x （n)=Asin （343ππ+n ）＝Acos （-2π343ππ-n )＝Acos(6143-n π）,得出=ω43π.因此382=ωπ是有理数，所以是周期序列。
最小周期等于N=)3(838取k k =2.2在图2.2中，x （n ）和h(n)分别是线性非移变系统的输入和单位取样响应。
计算并列的x （n ）和h （n)的线性卷积以得到系统的输出y(n ）,并画出y(n)的图形。
(a)1111(b)(c)111110 0-1-1-1-1-1-1-1-1222222 33333444………nnn nnnx(n)x(n)x(n)h(n)h(n)h(n)21u(n)u(n)u(n)a n ===22解 利用线性卷积公式y(n ）=∑∞-∞=-k k n h k x )()(按照折叠、移位、相乘、相加、的作图方法,计算y(n)的每一个取样值。
（a ） y （0）=x （O)h （0）=1y （l ）=x （O ）h(1)+x （1)h （O)=3y （n)=x(O)h （n ）+x （1)h(n-1)+x(2)h （n —2)=4,n ≥2 （b) x(n ）=2δ(n ）-δ（n-1）h(n)=-δ（n)+2δ（n —1)+ δ(n —2）y(n ）=-2δ(n)+5δ（n —1）= δ(n-3） (c ） y （n ）=∑∞-∞=--k kn k n u k u a)()(=∑∞-∞=-k kn a=aa n --+111u （n ）2。
数字信号处理习题答案
部分练习题参考答案第二章2.1 )1(2)(3)1()2(2)(-+++-+=n n n n n x δδδδ)6()4(2)3()2(-+-+-+-+n n n n δδδδ2.2 其卷积过程如下图所示)5(5.0)4()3()2(5.2)1(5)(2)(-------+-+=n n n n n n n y δδδδδδ2.3 （1）3142,73==ωππω这是有理数，因此是周期序列。
周期N =14。
（2）k kp ππ168/12==，k 取任何整数时，p 都不为整数，因此为非周期序列。
（3）k kp k k p 45.02,5126/5221====ππππ，当p 1，p 2 同时为整数时k =5,x (n )为周期序列,周期N =60。
（4）k kp πππ25.16.12==，取k =4，得到p =6，因此是周期序列。
周期N =6。
2.4 （1） ∑∞-∞=-=*=m m n R m R n h n x n y )()()()()(45(a) 当n <0 时，y (n )=0-0.5 -1 2.55h (m ) x (m ) 00 mm-121 0.51 2 h (0-m)m-121 h (-1-m)m-12 1h (1-m) 0m-121y (n )n-12(b) 当30≤≤n 时，11)(0+==∑=n n y nm(c) 当74≤≤n 时，n n y n m -==∑-=81)(34(d) 当n>7时，y (n )=0所以743070810)(≤≤≤≤><⎪⎩⎪⎨⎧-+=n n n n n n n y 或 （2）)2(2)(2)]2()([)(2)(444--=--*=n R n R n n n R n y δδ)]5()4()1()([2-----+=n n n n δδδδ（3）∑∞-∞=--=*=m mn m n u m R n y n x n y )(5.0)()()()(5∑∞-∞=--=m mnm n u m R )(5.0)(5.05(a) 当n <0 时，y (n )=0 (b) 当40≤≤n 时，n n nnm mn n y 5.0221215.05.05.0)(1-=--==+=-∑(c) 当5≥n 时，n nm mn n y 5.03121215.05.05.0)(540⨯=--==∑=- 最后写成统一表达式：)5(5.031)()5.02()(5-⨯+-=n u n R n y nn（4）∑∞-∞=-=*=m mn m R n h n x n y 5.0)()()()(3(a) 当n ≤0 时，y (n )=0(b) 当31≤≤n 时，n nnn m mnn y 5.0121215.05.05.0)(1-=--==∑-=-(c) 当54≤≤n 时，25.05.01621)21(25.05.05.0)(6232-⨯=--==---=-∑n n n nn m mnn y(d) 当n ≥6时，y (n )=0)5(25.0)4(75.0)3(875.0)2(75.0)1(5.0)(-+-+-+-+-=n n n n n n y δδδδδ2.6 （1）非线性、移不变系统（2）线性、移不变系统 （3）线性、移变系统 （4）非线性、移不变系统 （5）线性、移变系统2.7 （1）若∞<)(n g ，则稳定，因果，线性，时变（2）不稳定，0n n ≥时因果，0n n <时非因果，线性，时不变 （3）线性，时变，因果，不稳定 2.8 （1）因果，不稳定（2）因果，稳定（3）因果，稳定 （4）因果，稳定 （5）因果，不稳定 （6）非因果，稳定 （7）因果，稳定 （8）非因果，不稳定 （9）非因果，稳定 （10）因果，稳定2.9 因为系统是因果的，所以0)(,0=<n h n令)()(n n x δ=，)1(5.0)()1(5.0)()(-++-==n x n x n h n h n y 1)1(5.0)0()1(5.0)0(=-++-=x x h h15.05.0)0(5.0)1()0(5.0)1(=+=++=x x h h 5.0)1(5.0)2()1(5.0)2(=++=x x h h 25.0)2(5.0)3()2(5.0)3(=++=x x h h 15.0)1(5.0)()1(5.0)(-=-++-=n n x n x n h n h所以系统的单位脉冲响应为)1(5.0)()(1-+=-n u n n h n δ2.10 （1）初始条件为n <0时，y (n )=0设)()(n n x δ=，输出)(n y 就是)(n h 上式可变为)()1(5.0)(n n h n h δ+-=可得 11)1(5.0)0(=+-=h h 依次迭代求得5.00)0(5.0)1(=+=h h25.00)1(5.0)2(=+=h hn n h n h 5.00)1(5.0)(=+-=故系统的单位脉冲响应为)(5.0)(n u n h n= （2）初始条件为n ≥0时，y (n )=0)]()([2)1(n x n y n y -=-0,0)(≥=n n h2)]0()0([2)1(-=-=-x h h 22)]1()1([2)2(-=---=-x h h 32)]2()2([2)3(-=---=-x h hn n h n h 2)1(2)(-=+=所以)1(2)(---=n u n h n2.11 证明（1）因为∑∞-∞=-=*m m n h m x n h n x )()()()(令m n m -='，则)()()'()'()()('n x n h m h m n x n h n x m *=-=*∑∞-∞=（2）利用（1）证明的结果有)]()([)()]()([)(1221n h n h n x n h n h n x **=**∑∞-∞=-*-=m m n h m n h m x )]()()[(12∑∑∞-∞=∞-∞=--=m k k m n h k h m x )()()(12交换求和的次序有∑∑∞-∞=∞-∞=--=**k m k m n h m x k h n h n h n x )()()()]()([)(1221∑∞-∞=-*-=k k n h k n x k h )]()()[(12)]()([)(12n h n x n h **= )()]()([21n h n h n x **=（3）∑∞-∞=-+-=+*m m n h m n h m x n h n h n x )]()()[()]()([)(2121∑∑∞-∞=∞-∞=-+-=m m m n h m x m n h m x )()()()(21)()()()(21n h n x n h n x *+*=2.12 ∑∞-∞=--=*=m m n Nm n u a m Rn y n x n y )()()()()(∑∞-∞=--=m m Nnm n u a m Ra)()((a) 当n <0 时，y (n )=0(b) 当10-≤≤N n 时，11/11)/1(1)(110--=--==++=-∑a a a a a aan y n n nnm mn(c) 当N n ≥时，1)/1(1)/1(1)(111--=--==+-+-=-∑a a a a a a aan y N n n N nN m mn最后写成统一表达式：)(1)(11)(111N n u a a a n R a a n y N n n N n ---+--=+-++ 2.13 )]4()([*)()()()(11--=*=n n n u n h n x n y δδ)()4()(4n R n u n u =--=)()()()()(421n u a n R n h n y n y n *=*=)4(1)(113141---+--=-++n u a a a n R a a n n n2.14 （1）采样间隔为005.0200/1==T)()82sin()(ˆ0nT t nT f t xn a -+=∑∞-∞=δππ)()8100sin(nT t nT n -+=∑∞-∞=δππ（2）)85.0sin()(ππ+=n n x数字频率πω5.0=，42=ωπ，周期N =42.15 （1）0)()(0n j n n j j e e nn eX ωωωδ-∞-∞=-=-=∑ （2）∑∑∞=-+-∞-∞=-==0)(0)()(n n j n j n nj j e e en x eX ωωαωω∑∞=--=0)(0n nj eeωωα)(01ωωα---=j ee （3）∑∑∑∞=+-∞=--∞-∞=-===)(0)()(n n j n nj nn nj j e eeen x eX ωαωαωω)(11ωαj e +--=（4）∑∑∞=--∞-∞=-==0cos )()(n n j n n nj j ne e en x eX ωαωωω∑∑∞=----+---∞=-+=+=0)()(0][21)(210000n n j j n j j nj n j n j n ne e e e e e ωωαωωαωωωααωαωαωωωαωωαωω2200)()(cos 21cos 111112100------+----+--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-=e e e e e e e e e e j j j j j （5）nj N N n n nj j e n N en x eX ωωωπ--=∞-∞=-∑∑⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+==12cos 1)()( ∑∑-=---=-++=1212)(21N N n n j n N j nN j N Nn nj e e e eωππω ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--+--+--=+-+-+-------)()()()()()(1)1(1)1(211)1(ωπωπωπωπωπωπωωωN j N N j N N j N j N N j N N j j Nj Nj e e e e e e e e e-0.92-0.380.920.38x (n ) 0nωωωωωωπωN j j j j N j e N e e Ne N e N 232)123()2cos(cos 21cos 12sin )2sin(------+--+=2.16 （1）⎰⎰⎰-==--πωπωππωωωπωπωπ002121)(21)(d je d je d e e H n h n j nj n j j ⎪⎩⎪⎨⎧=--=为奇数为偶数n n n n n ππ20)1(1 （2）)sin()()()(011n n h n x n y ω=*=)cos()()()(022n n h n x n y ω-=*=2.17 （1）)(ωj eX -*（2）)]()([21ωωj j e X eX -*+（3）)]()([2122ωωj j e X e X -+（4）)(2ωj e X2.18采样间隔为25.0=T ，采样频率π8=Ωs)(1t y a 没有失真，因为输入信号的频率π21=Ω小于π42=Ωs)(2t y a 失真，因为输入信号频率π52=Ω大于π42=Ωs第三章3．1 设)(ωj eX 和)(ωj e Y 分别是)(n x 和)(n y 的傅里叶变换，试求下列序列的傅里叶变换：（1）)(0n n x - （2） )(*n x （3） )(n x - （4） )(*)(n y n x （5） )()(n y n x ∙ （6） )(n nx （7） )2(n x （8）)(2n x （9）⎩⎨⎧===奇数，偶数n n n x n x 0),2()(9解：（1） FT[)(0n n x -]=∑∞-∞=--n n j e nn x ω)(0令0n n n -='，0n n n +'=，则FT[)(0n n x -]=)()(00)(ωωωj n j n n n j e X e e n x -∞-∞=+''-='∑ （2） FT[)(*n x ]=)(*])([)(**ωωωj n n j n nj e X e n x en x-∞-∞=-∞-∞=-∑∑==（3） FT[)(n x -]=∑∞-∞=--n nj en x ω)(令n n -='，则FT[)(n x -]=∑∞-∞=''n n j e n x ω)()(ωj e X -=（4） FT[)(*)(n y n x ]=)(ωj eX )(ωj e Y证明 )(*)(n y n x =∑∞-∞=-m m n y m x )()(FT[)(*)(n y n x ]=∑∑∞-∞=-∞-∞=-n nj m em n y m x ω)]()([令m n k -=，则FT[)(*)(n y n x ]=m j k kj m e ek y m x ωω-∞-∞=-∞-∞=∑∑)]()([=mj k m kj em x ek y ωω-∞-∞=∞-∞=-∑∑)()(=)(ωj eX )(ωj e Y（5） FT[)()(n y n x ∙] =∑∞-∞=-n nj en y n x ω)()(=∑⎰∞-∞=-'-''n n j n j j e d e eY n x ωωππωωπ])(21)[(=ωπωωππω'∑⎰∞-∞='---'d e n x eY n n j j )()()(21=ωπωωππω''--'⎰d e X e Y j j )()(21)( 或者 FT[)()(n y n x ]=)(*)(21ωωπj j e Y e X（6） 因为∑∞-∞=-=n nj j en x eX ωω)()(，对该式两边对ω求导，得到j e n nx j d e dX n n j j -=-=∑∞-∞=-ωωω)()(FT[)(n nx ] 因此 FT[)(n nx ]=ωωd e dX j j )(（7） FT[)2(n x ]=∑∞-∞=-n nj en x ω)2(令n n 2='，则FT[)2(n x ]=∑''-'取偶数n n j en x 2)(ω=n j nn e n x n x ω21)]()1()([21-∞-∞=-+∑=])()([212121n j n n j n j n e n x e en x ωπω-∞-∞=-∞-∞=∑∑+ =)]()([21)21(21πωω-+j j e X e X 或者FT[)2(n x ]=)()]()([21212121ωωωj j j e X e X eX =+ （8） FT[)(2n x ]=∑∞-∞=-n n j e n xω)(2利用（5）题结果，令)()(n y n x =，则FT[)(2n x ]=)(*)(21ωωπj j e X e X =ωπωωππω''--'⎰d e X e X j j )()(21)( （9） FT[)(9n x ]=∑∞-∞=-取偶数n n n j e nx ω)2(令∞≤'≤∞-='n n n ,2，则FT[)(9n x ]=)()(22ωωj n n n j e X en x ='∑∞-∞='-取偶数3．2 已知⎩⎨⎧≤<<=πωωωωω||,0||,1)(00j e X求)(ωj eX 的傅里叶反变换)(n x 。
(完整word版)数字信号处理第二章习题解答
数字信号处理第2章习题解答2.1 今对三个正弦信号1()cos(2)a x t t π=，2()cos(6)a x t t π=-，3()cos(10)a x t t π=进行理想采样，采样频率为8s πΩ=，求这三个序列输出序列，比较其结果。
画出1()a x t 、2()a x t 、3()a x t 的波形及采样点位置并解释频谱混淆现象。
解：采样周期为2184T ππ== 三个正弦信号采样得到的离散信号分别表示如下：1()cos(2)cos()42a n x n n ππ=⋅=2()cos(6)cos()42a n x n n ππ=-⋅=-3()cos(10)cos()42a n x n n ππ=⋅=输出序列只有一个角频率2π，其中1()a x n 和3()a x n 采样序列完全相同，2()a x n 和1()a x n 、3()a x n 采样序列正好反相。
三个正弦信号波形及采样点位置图示如下：tx a 1(t )tx a 2(t )tx a 3(t )三个正弦信号的频率分别为1Hz 、3Hz 和5Hz ，而采样频率为4Hz ，采样频率大于第一个正弦信号频率的两倍，但是小于后两个正弦信号频率的两倍，因而由第一个信号的采样能够正确恢复模拟信号，而后两个信号的采样不能准确原始的模拟信号，产生频谱混叠现象。
2.3 给定一连续带限信号()a x t 其频谱当f B >时，()a X f 。
求以下信号的最低采样频率。
（1）2()a x t （2）(2)a x t （3）()cos(7)a x t Bt π解：设()a x t 的傅里叶变换为()a X j Ω（1）2()a x t 的傅里叶变换为22()[()]Ba a BX j X j d ππωωω-⋅Ω-⎰因为22,22B B B B πωππωπ-≤≤-≤Ω-≤ 所以44B B ππ-≤Ω≤即2()a x t 带限于2B ，最低采样频率为4B 。
数字信号处理第2章答案
＝
系统的零点为z=0， 极点为z=0.9， 零点在z平面的原点，
不影响频率特性， 而惟一的极点在实轴的0.9处， 因此滤波 器的通带中心在ω=0处。 毫无疑问， 这是一个低通滤波器。
［例2.4.2］假设x(n)=xr(n)+jxi(n)， xr(n)和xj(n)为实序列， X(z)=ZT［x(n)］在单位圆的下半部分为零。 已知
N 1
( z 1)
z
1
2 N 1
z 1 z 1
N
2
［例2.4.4］
时域离散线性非移变系统的系统函数H(z)为
1 ( z a )( z b )
H (z)
,
a 和 b 为常数
第２章
时域离散信号和系统的频域分析
（1） 要求系统稳定， 确定a和b的取值域。
第２章
时域离散信号和系统的频域分析
2.3 分析信号和系统的频率特性
求信号与系统的频域特性要用傅里叶变换。 但分析频 率特性使用Z变换却更方便。 我们已经知道系统函数的极、
零点分布完全决定了系统的频率特性， 因此可以用分析极、
零点分布的方法分析系统的频率特性， 包括定性地画幅频 特性， 估计峰值频率或者谷值频率， 判定滤波器是高通、 低通等滤波特性， 以及设计简单的滤波器（内容在教材第5 章）等。
Re［X(ejω)］=X(ejω) Im［X(ejω)］=0 ［例2.4.3］ 已知 0≤n≤N N+1≤n≤2N n<0, 2N<n
n x(n) 2 N n 0
求x(n)的Z变换。
第２章
时域离散信号和系统的频域分析
解： 题中x(n)是一个三角序列， 可以看做两个相同的矩
数字信号处理第二章答案 朱冰莲
第二次：
2-11解：
（1）
直接法：
2-12（1）：解
直接法：
复卷积公式法：
（2）直接法：
复卷积公式法：
2-14
解：此题无需具体计算出 ，根据离散时间傅里叶变换（DTFT）和离散时间傅里叶逆变换（IDTFT）定义和性质可得
（1）
（2）
（3）根据Parsval定理，有
（4）同（3），有
2-15
解：
2-16
2-5解：
（4）方法一：因为收敛域为 ，所以 为右序列。
令
所求的逆Z变换为：
方法二：因为收敛域为 ，所以 为右序列。
2-6
解：
2-8
解：
2-9
解：
（3）根据初值定理， ， ；
根据终值定理，X(z)极点在单位圆外，故无法求得终值；
（4）根据初值定理， ， ；
根据终值定理， ，又X(z)极点全部在单位圆内，则
(1)
零点：z= ，极点z=0.5
（2）
零点：z=-2，极点：z=0.5
因为此系统是一个因果稳定系统;所以其收敛
2-22
解：
（1）根据DTFT的线性、反折、移位等性质，有
（3）
（5）
（7）
2-23
（2）对于线性移不变系统，若输入序列为 ，则系统输出为
（3）系统的频率响应为
（4）当系统输入为正弦序列是，则输出为同频的正弦序列，其幅度受频率响应加权，相位为输入信号相位与系统相位响应之和。
(1)解：
2-17
解：此题可通过查Z变换表和Z变换性质表，先得到 ，令 进而求得 ，此时注意收敛域，必须包含单位圆，也可以直接根据频谱计算公式得到。
（1）
数字信号处理 课后习题答案 第2章.docx
习题1.设X（e"。
）和r（e JC0）分别是印7）和）仞的傅里叶变换，试求下面序列的傅里叶变换:(1) x("-"o) (3) x(-n) (5) x(")y(")(7) x(2n)⑵ x*(〃)(4) x(") * v(«) (6) nx(n) (8) /(〃)解：⑴00 FT[X(/7-Z70)] = £x(〃一〃o)e—S令n r = n-n0,即〃=n' + n Q,贝!J00FT[x(n-n o y\=工》(〃')以"''*""="初。
乂(烈)00 00(2)FT[x («)] = £ x* (n)e*= [ £ 戏〃)攻以]* = X* (e「W=—00 w=—00(3)00FT[x(—")]= 〃)e*"令=一〃,则00FT[x(—”)]= Zx(〃')e" =X(e—〃")”'=—00(4)00 x(〃) *'(〃)= ^\x(jrT)y(n -m)W=-0000 00FT[x(n) * v(w)] = Z【Z x("y("-初)]e""' n=-<x> w=-oo k = n-m,贝U00 00FT[x(ri)*y(ri)]= £[ £x(初) k=—CD W=-0000 00k=-<x> m=—cc= X(e5(em)_00 00 1时[x(M)贝〃)]= Z》(〃)贝〃)e「9 = Zx(〃)[-Lf/(em'"'"d 渺]e-加""=—00 〃=—00 2l "1 00=—£ Y(e j0)')2l " n=—<x>1 伙=一L "口")*?®"、技或者FT[x{n)y{ny\ = —「171 »兀oo(6)因为X(e，")= »("初,对该式两边口求导，得到叫、)=-J £仗"如=-jFT[nx(n)]因此矶孙(〃)]=j至@3)dco00⑺ FT\x(2ri)\=加n=-(x)令n' = 2n ,则FT[X(2W)]= £x(z/)e 7 %W--00,且取偶数00 1 r r・l 八1°0 . 1 00 . 1£?kO + (T)“x(")厂=| 广伽+£ef ("广伽〃=—oo 匕匕〃=—oo 〃=—00=L「xa*+x(/*E)F7[x(2z?)] = | X(e‘2") + X(—e'尸)(8) F7[X2(»)]= J X2(77)6^»=-OO利用(5)题结果，令x{n) = y{n),则F巾2(”)] = _£x(em)*X(eS) = —「X®。
数字信号处理习题答案
冲响应， 即
14
第1章 时域离散信号与时域离散系统
h(n) 1[ (n) δ(n 1) δ(n 2) δ(n 3) δ(n 4)]
5
（2） 已知输入信号， 用卷积法求输出。 输出信号y(n)为 y(n) x(k)h(n k) k
表1.4.1表示了用列表法解卷积的过程。 计算时， 表
第1章 时域离散信号与时域离散系统
2． 给定信号：
2n+5
－4≤n≤－1
x(n)= 6
0≤n≤4
0
其它
(1) 画出x(n)序列的波形， 标上各序列值；
(2) 试用延迟的单位脉冲序列及其加权和表示x(n)序列；
（3） 令x1(n)=2x(n－2)， 试画出x1(n)波形； （4） 令x2(n)=2x(n+2)， 试画出x2(n)波形； （5） 令x3(n)=x(2－n)， 试画出x3(n)波形。
n
n
x(n) 2 cos(0nT )
- n
（3）
0 2πf0 200π rad
T 1 2.5 ms fs
Xˆ a (
j )
1 T
X a ( j
k
jks )
2π T
[δ(
k
0
k s
)
δ(
0
ks )]
式中 s 2πfs 800π rad/s
22
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
解： (1) x(n)序列的波形如题2解图（一）所示。 (2) x(n)=－3δ(n+4)－δ(n+3)+δ(n+2)+3δ(n+1)+6δ(n) +6δ(n－1)+6δ(n－2)+6δ(n－3)+6δ(n－4)
数字信号处理 刘顺兰第二章完整版习题解答
即 0 不在采样点上时，
X (k )
1 e
1 e
b 当 ○
j ( 0
1 e 1 e
j 0 N 2 k) N
j ( 0
sin[(
0
2
N
k)N ] e ) N
j(
0
2 N
k )( N 1)
sin(
0
2
k
0
X (1) 2 2 j
nk N
x(n)W
n 0
N 1
k 2k 3k 1 jW N WN jW N ,
可求得 X (0) 0,
N 1 n 0
X (1) 4, X (2) 0 , N ( k ) c 1 N 1 c c 1 k cW N
(3) x( n) c , 0 n N 1
n
解： (1) X ( k )
x(n)W
n 0
3
nk 4
1 W4k W42 k W43k , k 0,1,2,3 X (2) 0, X (3) 2 2 j N 4
可求得 X (0) 0, (2) X ( k )
1 N 1 j ( k ' k ) n N 1 j N ( k k ') n X ( k ) [ e N e ] 2 n 0 n 0 N , 2 0 ,
(3) X ( k )
N 1 N 1 n 0
2
2
k k ' 及k N k ' 其它
k N
1 k N 1
即
N ( N 1) , 2 X (k ) N k , W N 1
信号处理-习题(答案)
页脚内容1数字信号处理习题解答 第二章 数据采集技术基础2.1 有一个理想采样系统，其采样角频率Ωs =6π，采样后经理想低通滤波器H a (j Ω)还原，其中⎪⎩⎪⎨⎧≥Ω<Ω=Ωππ30321)(，，j H a 现有两个输入，x 1(t )=cos2πt ，x 2(t )=cos5πt 。
试问输出信号y 1(t )，y 2(t )有无失真？为什么？ 分析：要想时域采样后能不失真地还原出原信号，则采样角频率Ωs 必须大于等于信号谱最高角频率Ωh 的2倍，即满足Ωs ≥2Ωh 。
解：已知采样角频率Ωs =6π，则由香农采样定理，可得 因为x 1(t )=cos2πt ，而频谱中最高角频率πππ32621=<=Ωh ，所以y 1(t )无失真； 因为x 2(t )=cos5πt ，而频谱中最高角频率πππ32652=>=Ωh ，所以y 2(t )失真。
2.2 设模拟信号x (t )=3cos2000πt +5sin6000πt +10cos12000πt ，求：（1） 该信号的最小采样频率；（2） 若采样频率f s =5000Hz ，其采样后的输出信号；分析：利用信号的采样定理及采样公式来求解。
○1采样定理 采样后信号不失真的条件为：信号的采样频率f s 不小于其最高频率f m 的两倍，即页脚内容2f s ≥2f m○2采样公式 )()()(s nT t nT x t x n x s===解：（1）在模拟信号中含有的频率成分是f 1=1000Hz ，f 2=3000Hz ，f 3=6000Hz∴信号的最高频率f m =6000Hz由采样定理f s ≥2f m ，得信号的最小采样频率f s =2f m =12kHz （2）由于采样频率f s =5kHz ，则采样后的输出信号⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛====n n n n n n n n n n n f n x nT x t x n x s s nT t s522sin 5512cos 13512cos 10522sin 5512cos 35112cos 105212sin 5512cos 3562cos 10532sin 5512cos 3)()()(πππππππππππ 说明：由上式可见，采样后的信号中只出现1kHz 和2kHz 的频率成分，即kHzf f f kHzf f f ss 25000200052150001000512211======，，页脚内容3若由理想内插函数将此采样信号恢复成模拟信号，则恢复后的模拟信号()()t t t f t f t y ππππ4000sin 52000cos 132sin 52cos 13)(21-=-=可见，恢复后的模拟信号y (t ) 不同于原模拟信号x (t )，存在失真，这是由于采样频率不满足采样定理的要求，而产生混叠的结果。
数字信号处理课后答案 第2章高西全
( −1) n x( n) = 2
n = −3
（4） 因为傅里叶变换的实部对应序列的共轭对称部分， 即
Re [ X (e jω )] =
n = −∞
∑
∞
x e ( n ) e − j ωn
1 xe (n) = ( x(n) + x(− n)) 2
按照上式画出xe(n)的波形如题5解图所示。
题5解图
2． 已知
jω
n = −∞
∑
∞
x( n′)e − j2ωn′ = X (e j2ω )
| ω |< ω0
1, X (e ) = 0,
ω0 <| ω | ≤ π
求X(ejω)的傅里叶反变换x(n)。
解：
1 x ( n) = 2π
∫ωe
−
0
ω0
jωn
sin ω0 n dω = πn
3. 线性时不变系统的频率响应（频率响应函数） H(ejω)=|H(ejω)|ejθ(ω)， 如果单位脉冲响应h(n)为实序列， 试 证明输入x(n)=A cos(ω0n+ϕ)的稳态响应为
∑
∗
∞
x(n′)e − jω ( n + n0 ) = e − jωn0 X (e jω )
′
n = −∞
∑ x ( n )e
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数字信号处理第2章习题解答
2.1 今对三个正弦信号1()cos(2)a x t t π=，2()cos(6)a x t t π=-，3()cos(10)a x t t π=进行理想采样，采样频率为8s πΩ=，求这三个序列输出序列，比较其结果。
画出
1()a x t 、2()a x t 、3()a x t 的波形及采样点位置并解释频谱混淆现象。
解：采样周期为2184
T ππ=
= 三个正弦信号采样得到的离散信号分别表示如下：
1()cos(2)cos()42a n x n n π
π=⋅=
2()cos(6)cos()42a n x n n π
π=-⋅=-
3()cos(10)cos()42
a n x n n π
π=⋅=
输出序列只有一个角频率2π
，其中1()a x n 和3()a x n 采样序列完全相同，2()a x n 和
1()a x n 、3()a x n 采样序列正好反相。
三个正弦信号波形及采样点位置图示如下：
t
x a 1(t )
t
x a 2(t )
t
x a 3(t )
三个正弦信号的频率分别为1Hz 、3Hz 和5Hz ，而采样频率为4Hz ，采样频率大于第一个正弦信号频率的两倍，但是小于后两个正弦信号频率的两倍，因而由第一个信号的采样能够正确恢复模拟信号，而后两个信号的采样不能准确原始的模拟信号，产生频谱混叠现象。
2.3 给定一连续带限信号()a x t 其频谱当f B >时，()a X f 。
求以下信号的最低采样频率。
（1）2()a x t （2）(2)a x t （3）()cos(7)a x t Bt π
解：设()a x t 的傅里叶变换为()a X j Ω
（1）2
()a x t 的傅里叶变换为
22()[()]B
a a B
X j X j d ππ
ωωω-⋅Ω-⎰
因为22,22B B B B πωππωπ-≤≤-≤Ω-≤ 所以44B B ππ-≤Ω≤
即2()a x t 带限于2B ，最低采样频率为4B 。
（2）(2)a x t 的傅里叶变换为
1
(/2)2
a X j Ω 2/22B B ππ-≤Ω≤，即44B B ππ-≤Ω≤
即(2)a x t 带限于2B ，最低采样频率为4B 。
（3）()771
()cos(7)()2
j Bt j Bt a a x t Bt x t e e πππ-=
+ 根据傅里叶变换的频移性质，()cos(7)a x t Bt π的傅里叶变换为
[]1
((7)((7)2
a a X j B X j B ππΩ-+Ω+ 它为一个带宽为2B 的带通信号，其通带范围为59
22
B f B ≤≤。
根据带通模拟信+号的采样定理，最小采样频率为1/4
4(1) 4.52
B B ⋅+=。
补充知识：带通模拟信号的采样定理
设带通模拟信号的频带限制在L f 和H f 之间，其频谱最低频率大于L f ，最高频率小于H f ，信号带宽H L B f f =-。
此带通模拟信号所需最小抽样频率s f 等于
21s k f B n ⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
式中，B 为信号带宽；n 为商(
H f B )的整数部分，1,2,n =L ；为商(H f
B
)的小数部分，01k <<。
2.5 一带通模拟信号如图所示，现用以下采样频率对其采样。
（1）25 Hz （2）50 Hz （3）100 Hz 求采样后的频谱。
解：采样后的频谱分别如下图所示：
25 Hz 采样的频谱（注意：每一个三角形频谱都产生了混叠，以幅度的增加表示）
50 Hz 采样的频谱（没有混叠）
100 Hz 采样的频谱（没有混叠）
2.6 一带通模拟信号如图所示，求不产生混叠的最低采样频率。
解：由图知，60H f =，40L f =，20B =，
3H
f B
=的整数部分为3，小数部分为0，根据带通模拟信号的采样定理，最小采样频率为
240B Hz =。
0 40 60 -40 -60 f /Hz
0 25 50 -25 -50 f /Hz
75 100 -75 -100 0 25 50 -25 -50 f /Hz
75 100 -75 -100 0 25 50 -25 -50 f /Hz。