神奇的数字世界

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神奇的数字世界【黄金律】

黄金分割又称黄金律，是指事物各部分间一定的数学比例关系，即将整体一分为二，较大部分与较小部分之比等于整体与较大部分之比，其比值为1∶0.618或1.618∶1，即长段为全段的0.618。0.618被公认为最具有审美意义的比例数字。上述比例是最能引起人的美感的比例，因此被称为黄金分割。黄金律的正确画法是把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比。其比值是一个确切值，等于[5^( 1/2)-1]/2，这是个是无限不循环小数，取其前三位数字的近似值是0.618。据说在古希腊，有一天毕达哥拉斯走在街上，在经过铁匠铺前他听到铁匠打铁的声音非常好听，于是驻足倾听。他发现铁匠打铁节奏很有规律，这个声音的比例被毕达哥拉斯用数理的方式表达出来。公元前4世纪，古希腊数学家欧多克索斯第一个系统研究了这一问题，并建立起比例理论。公元前300年前后欧几里得撰写《几何原本》时吸收了欧多克索斯的研究成果，进一步系统论述了黄金分割，成为最早的有关黄金分割的论著。中世纪后，黄金分割被披上神秘的外衣，意大利数家帕乔利称中末比为神圣比例，并专门为此著书立说。德国天文学家开普勒称黄金分割为神圣分割。黄金分割在文艺复兴前

后，经过阿拉伯人传入欧洲，受到了欧洲人的欢迎，他们称之为“金法”，17世纪欧洲的一位数学家，甚至称它为“各种算法中最可宝贵的算法”。这种算法在印度称之为“三率法”或“三数法则”，也就是我们现在常说的比例方法。到19世纪黄金分割这一名称才逐渐通行。

黄金律在自然界和人们生活中到处可见：

大多数门窗的宽长之比也是0.618，有些植茎上，两张相邻叶柄的夹角是137度28'，这恰好是把圆周分成1:0.618的两条半径的夹角。据研究发现，这种角度对植物通风和采光效果最佳。另外有人研究过向日葵，发现向日葵花有89个花辫，55个朝一方，34个朝向另一方，其比值正好也是0.618 黄金分割被认为是建筑和艺术中最理想的比例。建筑师们对数字0.618特别偏爱，无论是古埃及的金字塔，还是巴黎的圣母院，或者是近世纪的法国埃菲尔铁塔，都有与0.618有关的数据。还有，在古希腊神庙的设计中就用到了黄金分割。人们还发现，一些名画、雕塑、摄影作品的主题，大多在画面的0.618处。意大利画家达·芬奇发现，人的肚脐位于身长的0.618处；咽喉位于肚脐与头顶长度的0.618处；肘关节位于肩关节与指头长度的0.618处，人体存在着肚脐、咽喉、膝盖、肘关节四个黄金分割点，它们也是人赖以生存的四处要害。如果按0.618:1来设计腿长

与身高的比例，画出的人体身材最优美，而现今的女性，腰身以下的长度平均只占身高的0.58，因此古希腊维纳斯女神塑像及太阳神阿波罗的形象都通过故意延长双腿，使之与身高的比值为0.618，从而创造艺术美。难怪许多姑娘都愿意穿上高跟鞋，而芭蕾舞演员则在翩翩起舞时，不时地踮起脚尖。难怪许多姑娘都愿意穿上高跟鞋，而芭蕾舞演员则在翩翩起舞时，不时地踮起脚尖。

艺术家们认为弦乐器的琴马放在琴弦的0.618处，能使琴声更加柔和甜美。【完全数】完全数（Perfect number），又称完美数或完备数，是一些特殊的自然数：它所有的真因子（即除了自身以外的约数）的和（即因子函数），恰好等于它本身。例如：第一个完全数是6，它有约数1、2、3、6，除去它本身6外，其余3个数相加，1+2+3＝6。第二个完全数是28，它有约数1、2、4、7、14、28，除去它本身28外，其余5个数相加，1+2+4+7+14＝28。诸如此类。公元前6世纪的毕达哥拉斯是最早研究完全数的人，他已经知道6和28是完全数。毕达哥拉斯曾说：“6象征着完满的婚姻以及健康和美丽，因为它的部分是完整的，并且其和等于自身。”不过，或许印度人和希伯来人早就知道它们的存在了。有些《圣经》注释家认为6和28是上帝创造世界时所用的基本数字，他们指出，创造世界花了六天，二十八天则是月亮绕地球一周的日数。圣·奥古斯丁说：6这个

数本身就是完全的，并不因为上帝造物用了六天；事实恰恰相反，因为这个数是一个完全数，所以上帝在六天之内把一切事物都造好了。衍生阅读：对于“4”这个数，它的真因子有1、2，其和是3。由于4本身比其真因子之和要大，这样的数叫做亏数。对于“12”这个数，它的真因子有1、2、3、4、6，其和是16。由于12本身比其真因子之和要小，这样的数就叫做盈数。那么有没有既不盈余，又不亏欠的数呢？即等于它自己的所有真因子之和的数，这样的数就叫做完全数。

完全数有许多有趣的性质：它们都能写成连续自然数之和

例如：6＝1+2+3 28＝1+2+3+4+5+6+7

496＝1+2+3+……+30+31 每个都是调和数

它们的全部因数的倒数之和都是2，因此每个完全数都是调和数。例如：1/1+1/2+1/3+1/6＝2

1/1+1/2+1/4+1/7+1/14+1/28＝2 可以表示成连续奇立方数之和

除6以外的完全数，还可以表示成连续奇立方数之和。例如：28＝1^3+3^3 496＝1^3+3^3+5^3+7^3 8128＝1^3+3^3+5^3+……+15^3 各位数字相加直到变成个位数则一定是1

除6以外的完全数，把它的各位数字相加，直到变成个

位数，那么这个个位数一定是1。（亦即：除6以外的完全数，被9除都余1）例如：28：2+8＝10，1+0＝1 496：4+9+6＝19，1+9＝10，1+0＝1

寻找完全数并不是容易的事。大数学家欧几里德曾推算出完全数的获得公式：如果2^p-1质数，那么（2^p-1）X2^（p-1）便是一个完全数。

例如p＝2，2^p-1＝3是质数，（2^p-1）X2^（p-1）＝3X2＝6，是完全数。

例如p＝3，2^p-1＝7是质数，（2^p-1）X2^（p-1）＝7X4＝28，是完全数。

但是2^p-1什么条件下才是质数呢? 事实上，当2^p-1

是质数的时候，称其为梅森素数。至今，人类只发现了47

个梅森素数，也就是只发现了47个完全数。奇怪的是，已发现的47个完全数都是偶数，会不会有奇完全数存在呢？至今无人能回答这些问题。尽管没有发现奇完全数，但是当代数学家奥斯丁·欧尔证明，若有奇完全数，则其形式必然是12^p+1或36^p+9的形式，其中p是素数。在10^300以下的自然数中奇完全数是不存在的。【斐波那契数列】艾略特，波浪理论的开山祖师，，其理论的数字基础是一系列的数列，是斐波那契在13世纪时所发现的，因此，此数列一般却称之谓斐波那契数列。其实早在中国《道德经》第四十三章中就道出了神奇数字系列的真谛：“道生一，一