带状态观测器的控制系统综合设计与仿真要点

带状态观测器的控制系统综合设计与仿真一、主要技术参数：1.受控系统如图所示：图1 受控系统方框图2.性能指标要求： （1）动态性能指标： 超调量 5%p σ≤； 超调时间 0.5p t ≤秒； 系统频宽 10b ≤ω； （2）稳态性能指标：静态位置误差0=p e （阶跃信号） 静态速度误差2.0≤v e （速度信号） 二、设计思路1、按图中选定的状态变量建立系统的状态空间数学模型。

2、对原系统在Simulink 下进行仿真分析，对所得的性能指标与要求的性能指标进行比较。

3、根据要求的性能指标确定系统综合的一组期望极点。

4、假定系统状态均不可测，通过设计系统的全维状态观测器进行系统状态重构。

5、通过状态反馈法对系统进行极点配置，使系统满足要求的动态性能指标。

6、合理增加比例增益，使系统满足要求的稳态性能指标。

7、在Simulink 下对综合后的系统进行仿真分析，验证是否达到要求的性能指标的要求。

三、实验设计步骤I 、按照极点配置法确定系统综合的方案1、按图1中选定的状态变量建立系统的状态空间数学模型 ① 列写每一个环节的传递函数 由图1有：112235()()510()()10()()U s x s s x s x s s x s x s s ⎧=⎪+⎪⎪=⎨+⎪⎪=⎪⎩②叉乘拉式反变换得一阶微分方程组 由上方程可得12132(5)()5()(10)()10()()()s x s U s s x s x s sx s x s +=⎧⎪+=⎨⎪=⎩即1121232()5()5()()10()10()()()sx s x s U s sx s x s x s sx s x s =-+⎧⎪=-⎨⎪=⎩ 拉式反变换为1121232551010x x U x x x x x ⎧=-+⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎩输出由图1可知为3y x =③用向量矩阵形式表示11223350051010000100x x x x u x x ⎡⎤⎢⎥-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦[]001y x =2、对原系统在Simulink 下进行仿真分析，对所得的性能指标与要求的性能指标进行比较原受控系统仿真图如下：图2 原受控系统仿真图原受控系统的阶跃响应如下图：图3 原受控系统的阶跃响应曲线很显然，原系统是不稳定的。

3、根据要求的性能指标确定系统综合的一组期望极点由于原系统为三阶系统，系统有3个极点，选其中一对为主导极点1s和s，另一个为远极点，并且认为系统的性能主要是由主导极点决定的，远2极点对系统的影响很小。

根据二阶系统的关系式，先定出主导极点。

p t =ep n b πωωσ==式中，ξ和n ω为此二阶系统的阻尼比和自振频率。

可以导出：①由p 5%=e σ≤2.996≥，从而有0.69ξ≥，于是选0.707ξ==。

②由0.5p t s ≤0.51nπω=≤ 90.50.707n πω≥≈⨯③由10b ω≤和已选的ξ=得10n ω≤，与②的结果比较，取10n ω=。

这样，便定出了主导极点1,2n s j ξωω=-±远极点应选择使它和原点的距离远大于15s 的点，现取317s s =，因此确定的希望极点为1237.077.077.077.0750s j s j s =-+⎧⎪=--⎨⎪=-⎩ 4、确定状态反馈矩阵K由步骤1所得状态空间方程知，受控系统的特征多项式为32500()det()1010001(5)(10)1550s f s sI A s ss s s s s s+=-=-+-=++=++12315,50,0a a a ∴===而由希望的极点构成的特征多项式为*32()(7.077.07)(7.077.07)(50)64.148075000f s s j s j s s s s =+++-+=+++***12364.14,807,5000a a a ∴===于是状态反馈矩阵K ∧为[]***332211500075749.14K a a a a a a ∧⎡⎤=---⎣⎦=根据系统的能控性判据判断系统的能控性[]2c c Q b Ab A b rank Q n⎡⎤=⎣⎦=则5251250507500050c Q -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦[]3c rank Q n ==由上式知，原系统是完全能控的。

若做变换X P X ∧=，那么就可建立起给定的（A,B,C ）和能控规范型(,,)A B C ∧∧∧之间的关系式1A P AP ∧-=,1B P B ∧-=,C C P ∧=。

32500det()1010001(5)(10)1550s sI A s ss s s s s s+-=-+-=++=++12315,50,0a a a ∴===21211001011252551007505001510500050151050505005000P A b Ab b a a a ⎡⎤⎢⎥⎡⎤∴=⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦1*1000.0200.0200.20.20P PP-∴=⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦[]1ˆ9.8 5.3100K KP-== 极点配置的Matlab 程序如下：A=[-5 0 0;10 -10 0;0 1 0];b=[5;0;0];c=[0 0 1];pc=[-7.07+7.07i,-7.07-7.07i,-50]; K=acker(A,b,pc) 运行结果为： K =9.8280 5.3114 99.96985、确定放大系数K由4知，对应的闭环传递函数为32()64.148075000Ks s s s Φ=+++所以由要求的跟踪阶跃信号的误差0p e =，有[][]03232001()0lim 1()lim 64.148075000lim 1()lim 64.14807500050005000p t s s s s e y t s s s s s s Ks s s s K →∞→→→Φ⎡⎤==-=-⎢⎥⎣⎦+++-=-Φ=+++-=所以5000K =对上面的初步结果，再用对跟踪速度信号的误差要求来验证，即[][]2200323223201()lim ()lim 1lim 1()164.1480764.14807500064.14807lim 64.1480750008070.16140.25000v t s s s s e t y t s s s s s s s s s s s s s s s s s →∞→→→Φ⎡⎤=-=-⎢⎥⎣⎦=-Φ++=+++++=+++==≤显然满足0.2v e ≤的要求，故5000K =。

对此系统进行仿真：图4 受控系统的闭环系统仿真图仿真结果如下：局部放大图：图6 闭环系统阶跃响应曲线局部放大图num=5000;den=[1 64.14 807 5000];sys=tf(num,den);step(sys)[y,t]=step(sys);ymax=max(y);mp=(ymax-1)*100tp=spline(y,t,ymax)mp = 4.2219tp = 0.4686由仿真图经matlanb 计算得： 4.2219%5%p σ=≤0.46860.5p t s s =≤，均满足要求。

II 、观测器的设计假定系统状态均不可测，通过设计系统的全维状态观测器进行系统状态重构1、确定原系统的能观性根据给定的受控系统，求能观测性矩阵及能观测性的秩2o C Q CA CA ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦[]o rank Q n =则[]0010********o rank Q rank n ⎡⎤⎢⎥===⎢⎥⎢⎥-⎣⎦又因之前以求得系统是完全能控的，所以系统既完全能控、又完全能观测。

因此，系统的极点可以任意配置。

2、 计算观测器的反馈矩阵G 该设计中系统的极点为1237.077.077.077.0750s j s j s =-+⎧⎪=--⎨⎪=-⎩取观测器极点,使观测器的极点实部是原系统极点实部的2-3倍。

因此，选择1,2321,150s s =-=-由所取极点，可得期望的闭环系统的特征多项式为*232()(150)(21)192674166150f s s s s s s ∴=++=+++1***23192,6741,66150a a a ===设状态观测器矩阵L 为;123l L l l ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦则闭环系统的特征多项式为：1322332321350(s)1010(l 15)s (15l l 50)s 50l +5l +10l 01+s l f SI A LC s l s s l +=-+=-+=++++++-比较f(s)和f(s*)的系数得33232115192155067415051066150l l l l l l +=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ 解得1233712,4036,177l l l ===所以状态观测器L 为37124036177L ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦则[]5003712()101004036001010177537121010403601177A Lc -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦--⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦因此观测器状态方程为ˆˆ()x 50371253712ˆ1010403604036011770177xA Lc bu Ly x u y =-++--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦[]ˆˆˆ001ycx x == 3、 画出带观测器的状态反馈系统的闭环图 带观测器状态反馈的闭环系统方框图如图7所示。

图7 带观测器的状态反馈系统由上面计算得出的带观测器状态反馈的闭环系统方框图如下图8 带观测器状态反馈的闭环系统方框图4、在simulink 环境下对控制系统进行仿真分析图九带观测器状态反馈的闭环系统阶跃响应曲线局部放大图如下;图10 带观测器状态反馈的闭环系统阶跃响应曲线注：由于观测性能很好，曲线经无限放大后为两条曲线。

由图可知，系统满足各性能指标。

四、参考书目1、《自动控制原理》主编：李素玲胡建出版社：西安电子科技大学出版社2、《现代控制理论》主编：王金城出版社：化学工业出版社3、《现代控制理论》主编：于长官出版社：哈尔滨工业大学出版社4、《控制系统的MATLAB仿真与设计》主编：王海英袁丽英吴勃出版社：高等教育出版社5、《MATLAB 7辅助控制系统设计与仿真》主编：飞思科技产品研发中心出版社：电子工业出版社6、《控制系统设计与仿真》主编：赵文峰出版社：西安电子科技大学出版社五、设计总结与心得体会不知不觉两周的课程设计马上就结束了，这两周虽然忙碌但也学了不少知识。