波动过程中质点的振动速度与加速度

五、波动过程中质点的振动速度与加速度

介质中任一质点的振动速度，可通过波动方程表式，把x看作为定值，将y 对t求导数(偏导数) 得到，记作。以常用的波函数为例，质点的振动速度为

质点的加速度为y对t的二阶偏导数：

由此可知介质中各质点的振动速度和加速度都是变化的。

五、平面简谐波波函数的求解

【例1】设某一时刻绳上横波的波形曲线如图所示，水平箭头表示该波的传播方向。试分别用小箭头表明图中A、B、C、D、E、F、G、H、I各质点在该时刻的运动方向，并画出经过1/4周期后的波形曲线。

(a) (b) (c)

【解】

在波的传播过程中，各个质点只在自己的平衡位置附近振动，并不会随波前进。在横波的情形中，质点的振动方向总是和波的传播方向相垂直。在图(a)中，质点C正达到正的最大位移处，质点G则处于负的最大位移处，这时它们的速度为零。根据图中的波动传播方向，可以设想出下一瞬时的波形曲线，见图(a)

中的虚线，因而可判断各质点的运动方向。如图(b)所示，质点A、B、H、I向上运动，质点D、E、F向下运动。

由于波形每一个周期向前推进一个波长，所以经过T/4后的波形曲线应比图(a)所示的波形曲线向左平移λ/4，如图(c)所示。

通过作下一瞬时的波形曲线来判断质点速度的方向是常用的方法，但也容易造成误解。如上图(a)中的虚线可能会使人误认为C点的速度向下而G点的速度向上，实际上此时它们的位移都正好达到极值，它们的速度都为零。

【例2】有平面简谐波沿x轴正方向传播，波长为λ，见下图。如果x轴上坐标为x0处质点的振动方程为，试求：(1)波动方程；(2)坐标原点处质点的振动方程；(3)原点处质点的速度和加速度。

【解】

(1)如图所示，设考察点为x轴上任意一点，坐标为x。从x0到x的波程为

x- x0，按相位落后的关系，x处质点的振动相位比x0质点落后，故x轴上任意一点的振动方程，即波动方程为

(1)

(2)把x=0带入(1)式，即得原点处质点的振动方程

(3)原点处质点的速度为

加速度为

【例3】一简谐波逆着x轴传播，波速u=8.0m/s。设t=0时的波形曲线如图

所示。求：(1)原点处质点的振动方程；(2)简谐波的波动方程；(3)t=时的波形曲线。

【解】

(1)由波形曲线图可看出，波的振幅A=0.02m，波长λ=2.0，故波的频率为

，角频率为。从图中还可以看出，t=0时原点处质点的位移为零，速度为正值，可知原点振动的初相为-π/2，故原点的振动方程为

(2)设x轴上任意一点的坐标为x，从该点到原点的波程为x，按相位落后与距离的关系，x处质点振动的时间比原点处质点超前，故x轴上任意一点的振动方程，即波动方程为

(3)经过3T/4后的波形曲线应比图中的波形曲线向左平移3λ/4，也相当于向右平移λ/4，如图中虚线所示。

我们看到，如果知道了某一个质点的谐振方程，通过相位（或时间）超前或落后的概念就很容易得到谐波方程。

【例4】有平面简谐波沿x轴正方向传播，波长为λ，周期为T。如果x轴上坐标为x0处的质点在t0时的位置在平衡位置且正在向负方向运动，试求简谐波的波动方程。

【解】

按题意可知，x0处质点在t0时的振动的相位为π/2。由于x0处质点振动的相

位每过一个T要增加2π，所以x0处质点在任意t时的振动相位为，故x0处质点的振动方程为

从x0到坐标为x的任意一点的波程为x- x0，按相位落后与距离的关系，x处质点的振动相位比x0质点落后，故x点的振动方程，即波动方程为

我们也可以通过简谐波的通式用拟合的方法来求出波方程。注意到，对于正行波，x前面应该取负号，我们设波方程为

按题意，x0处质点在t0时的振动的相位为π/2，即

于是得到

代入通式即得波函数

用简谐波的通式通过拟合来求波方程是一个很简洁的方法，在数学上这相当于由通解定解的过程。由于通式中已包含了波动方程的全部物理思想，所以可以很直接地通过对比得到所需要的结果。