公式表_第二波_少女

x 的积分限：一条平行于 x轴的直线沿x轴正方向穿 过积分区域，穿入线 1( y ) 为x的积分下限，穿出线 2( y ) 为积分上限。
二重积分图形
f ( x, y ) dxdy 由直角坐标
变成极坐标分两步： 第一步：在直角坐标积分式中做代 换： x = 的 ； 第二步：确定极坐标形式下的积分 限，将积分变为如下形式：
{ x = x(t ) y = y (t )
b a d c
{[ P( x, y ( x))] + [Q( x, y( x))] y ( x)}dx {[ P( x( y ), y )] x ( y ) + [Q( x( y ), y )]}dy
: f ( x, y , z )
计算公式
2 2 f ( x, y, z ( x, y )) 1 + z x + zy dxdy Dxoy
Dxoz Q( x, y( x, z ), z ) ± dxdz
±
Dxoz
Q( x, y ( x, z ), z ) dxdz
Q( x, y, z ) R( x, y, z ) 在Ω上具有一阶连续偏导数，则
P Q R ( + + ) dV = x y z
或
空间有界闭区间Ω，其表面外侧曲面为∑，若 P ( x, y, z )
y
Pdydz + Qdxdz + Rdxdy
f ( x, y, z ) dv =
d
max min
sin d
2( 1(
, ) , )
f ( sin cos , sin sin , cos ) 2 d
f ( x)dx
f ( x, y ) d
P Q R ( + + ) dV = x y z
这里 cos ，cos
关于 若 若
）面对称，并且设
1
为
三重积分图形
In =
2 0
sin n x dx =
2 0
cosn x dx
如果被积函数
f ( x, y )是关于 x 的偶函数，则
=2
D1
f ( x, y, z ) 关于 z 为奇函数，则 f ( x, y, z ) 关于 z 为偶函数，则
f ( x, y, z ) dv = 0.
f ( x, y ) d
D
f ( x) dx = 2
a 0
f ( x, y, z )关于 x 为奇函数，则 f ( x, y, z )关于 x 为偶函数，则
f ( x, y, z ) dv = 0.
y = 1 x, x = 0, y = 0 围成
1 0 1 0
抛物线 y 2 = x
1 0
x = 1 围成
d .
f ( x, y )是关于 x 的奇函数，则
f ( x, y ) d
设
D
f ( x, y, z )关于 y 为偶函数，则
f ( x, y, z ) dv = 2
1
f ( x, y, z ) dv.
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=
n 1 n 3 n n 2 n 1 n 3 n n 2
3 1 , n 为正偶数 4 2 2 6 4 2 , n 为正奇数 7 5 3
f ( x, y ) d
D
f ( x, y ) d .
f ( x, y, z ) dv = 2
1
f ( x, y, z ) dv.
x
z
z
1
z
z
z
若积分区域 D 关于
x 轴和 y 轴都对称，记
L : f ( x, y )
f ( x, y, z ( x, y )) 1 + z + z dxdy
Dxoy
高 数 叔
二代 三符号
±
Dxoy
三重积分
f ( x, y, z ) dv
直角坐标
柱面坐标
f (r , , z ) r dr d dz
先一后二
f ( x, y, z ) dV =
Dxoy b Dxoy : X型：
x 2 + y 2 = R 2 上半个圆 x 2 + y2 d =
D 0
圆周 x 2 + y 2 = Rx 围成的区域
R 0
y = x, x = 1, y = 0 围成
1 0 1
f ( x) dx.
如果被积函数
= 0.
f ( x, y, z ) dv = 2
1
f ( x, y, z ) dv.
中 y
2 1
d
2( 1( )
)
f ( cos , sin ) d
d
0
d .
0
y
4 0
定积分中关于三角函数还有一个非常 有用的定理，这个定理经常和定积分对称 性在题中结合使用：
y 轴对称，记 y 轴右侧区域为 D1
= 0.
f ( x, y, z ) 关于 y
f ( x, y, z ) dv = 0.
0
f ( cos , sin )
量的方向余弦。
3、找 的积分限。射线 M 在xoy平面上的投影射线为L，L在xoy平面上扫描，角 从 扫到 ，则它们就是 的积分限。
定积分换元法： 换元必换限， 不换元则不换限！ 例
2 0
分部积分法： “反对幂指三”五类函数， 排名靠后的凑！
2
格林公式
du = dx dv = e dx
x
直角坐标 X型：
x = sin cos , y = sin sin , z = cos , = x2 + y2 + z 2
1、找 的积分限。从原点出发一条射线 M，沿z轴正方向穿过积分区域 ，可见从
1
�没有方向 计算方法：转化为二重积分 二重积分
D
计算方法：转化为一元定积分
b a
x
� 2 (与z轴垂直， 取值为零) � 3 (法向量与z轴 夹角为钝角， 符号取“－”)
角度和结束角度确定 积分限，通过穿 入线和穿出线确定 的积分限。
dx dy
1 x 0 1 y 0
f ( x, y ) dy, f ( x, y ) dx.
f ( x)
a a
f ( x, y )是关于 y 的偶函数，则
=2
D1
dx
x x
f ( x, y) dy
d
d
=
R2
D 2 2
x2
R cos
y2 d R2
y
y
y
y
y
cos , y = sin ,并用 d d
替换dxdy，这里注意千万不要忘了前面
积分对称性 定积分对称性
当定积分的积分限关于原点对称时：
1 0 0 1 1
x
－R
0
R
x
0
二重积分对称性
若积分区域 D 关于 x 轴对称，记 x 轴以上区域为 D1 如果被积函数 设 关于 若 若 设
三重积分对称性
轮转对称性 设 关于
D1 = {( x, y) D | x 0, y 0}
如果
x= y=z
对称，则可以对被积函数中的变量
y
z 进行任意的轮
.
0
1
当然这里 n 为正奇数时， n
2 0
1
因为
f ( x, y) = f ( x, y) 或 f ( x, y ) = f ( x, y ) 则
f ( x, y ) d
L : f ( x, y )
y = y ( x) x = x( y )
{ x = x(t ) y = y (t )
b a d c
f [ x, y ( x)] 1 + [ y ( x)] dx f [ x( y ), y ] 1 + [ x ( y )] dy
2
2
一投二代三变量
f ( x, y, z ) dS =
( , ) 穿入，从
2
( , ) 穿出，
min
( P cos + Q cos + R cos ) dS
是∑上点（x,y,z）处的法向
则它们就是 的积分限。 2、找 的积分限。对任一固定的 到
max ，则它们就是
，射线 M 从z轴正方向开始扫描，扫描到积分区域时，与z轴正方向的夹角从
cos ，
的积分限。
曲线积分 L~
第一类(对弧长)
L
曲面积分
第一类(对面积)
~
第二类(对坐标)
L
第二类(对坐标)
f ( x, y ) ds
P( x, y) dx + Q( x, y)dy
f ( x, y, z ) dS
P( x, y, z )dydz + Q( x, y, z )dxdz + R( x, y, z )dxdy
dz
Dz
f ( x, y, z ) dxdy
=
rdr
z2 ( r , ) z1 ( r , )
====
a b a
dx dy
y2 ( x ) y1 ( x ) x2 ( y ) x1 ( y )
f ( x, y, z ) dz f ( x, y, z ) dzDxoy Nhomakorabea: Y型：
y = y ( x) x = x( y )
曲面积分
R( x, y, z ) dxdy P( x, y, z ) dydz
曲面方程 一投
z = z ( x, y )