2019年安徽省蚌埠市高考数学三模试卷(理科)(解析版)

2019年安徽省蚌埠市高考数学三模试卷（理科）
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1. i 是虚数单位，复数
=（ ）
A. 1
B. i
C.
D. 2. 已知集合A ={x | ≤3}，集合B ={x |x 2
≤9}，则A ∩B =（ ）
A. B. C.
D.
3. 函数f （x ）=e
的图象是（ ）
A.
B.
C.
D.
4. 我市高三年级第二次质量检测的数学成绩X 近似服从正态分布N （82，σ2），且P （74＜X ＜82）=0.42．已
知我市某校有800人参加此次考试，据此估计该校数学成绩不低于90分的人数为（ ） A. 64 B. 81 C. 100 D. 121 5. 已知双曲线C ：
=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，以F 1F 2为直径的圆与双曲线C 的渐近线在第一象限的交点坐标为（2，1），则双曲线C 的方程为（ ） A.
B.
C.
D.
6. 执行如图程序框图所示的程序，若输出的x 的值为9，则输入的x 为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
7. 如图，网格纸上小正方形的边长均为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A. B.
C.
D.
8. 若二项式（x 6
）n 的展开式中含有常数项，则n 的值可以是（ ）
A. 8
B. 9
C. 10
D. 11
9. 已知函数f （x ）=2sin （ωx +φ）（ω＞0，|φ|＜
）图象的相邻两条对称轴之间的距离为
，将函数f （x ）
的图象向左平移
个单位长度后，得到函数g （x ）的图象．若函数g （x ）为偶函数，则函数f （x ）在
区间[- ，
]上的值域是（ ）
A.
B.
C.
D.
10. 如图，在四棱锥P -ABCD 中，BC ∥AD ，AD =2BC ，点E 是棱PD 的中点，PC 与平面
ABE 交于F 点，设PF =λFC ，则λ=（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 11. 设抛物线
C ：y 2=2px （p ＞0）的焦点为F ，点M 在抛物线C 上，|MF |=2．若以MF 为直径的圆过点（0，1），则抛物线C 的焦点到准线距离为（ ） A. 2 B. 2或4
C. 8
D. 8或16
12. 已知函数f （x ）=x +
，过点（1，0）作曲线f （x ）的两条切线，切点为A （x 1，f （x 1）），B （x 2，f
（x 2）），其中0＜x 1＜x 2．若在区间（x 1，x 2）中存在唯一整数，则a 的取值范围是（ ）
A. B.
C.
D.
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知向量 =（x ，2）， =（-1，1），若| |=| |，则x 的值为______．
14. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2sin 2A +c （sin C -sin A ）=2sin 2
B ，且△AB
C 的面积
S =
abc ．则角B =______．
15. 回收1吨废纸可以生产出0.8吨再生纸，可能节约用水约100吨，节约用煤约1.2吨，回收1吨废铅蓄
电池可再生铅约0.6吨，可节约用煤约0.8吨，节约用水约120吨，回收每吨废铅蓄电池的费用约0.9万元，回收1吨废纸的费用约为0.2万元．现用于回收废纸和废铅蓄电池的费用不超过18万元，在保证节约用煤不少于12吨的前提下，最多可节约用水约______吨．
16. 已知球D 的半径为3，圆A 与圆C 为该球的两个小圆，MN 为圆A 与圆C 的公共弦，MN =2 ，若点B
是弦MN 的中点，则四边形ABCD 的面积的最大值为______． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）
17. 已知数列{a n }中，a 1=3，且n （n +1）（a n -a n +1）=2，其中n ∈N *．
（1）求数列{a n }的通项公式；
（2）设b n =
，求数列{b n }的前n 项和S
n ．
18.如图，在以P为顶点，母线长为的圆锥中，底面圆O的直径AB
长为2，C是圆O所在平面内一点，且AC是圆O的切线，连接BC
交圆O于点D，连接PD，PC．
（1）求证：平面PAC⊥平面PBC；
（2）若E是PC的中点，连接OE，ED，当二面角B-PO-D的大小
为120°时，求平面PAC与平面DOE所成锐二面角的余弦值．
19.已知点E（-2，0），F（2，0），P（x，y），是平面内一动点，P可以与点E，F重合．当P不与E，
F重合时，直线PE与PF的斜率之积为．
（1）求动点P的轨迹方程；
（2）一个矩形的四条边与动点P的轨迹均相切，求该矩形面积的取值范围．
20.某地种植常规稻α和杂交稻β，常规稻α的亩产稳定为485公斤，今年单价为3.70元/公斤，估计明年
单价不变的可能性为10%，变为3.90元/公斤的可能性为70%，变为4.00的可能性为20%．统计杂交稻β的亩产数据，得到亩产的频率分布直方图如图①．统计近10年杂交稻β的单价（单位：元/公斤）与种植亩数（单位：万亩）的关系，得到的10组数据记为（x i，y i）（i=1，2，..10），并得到散点图如图②．
（1）根据以上数据估计明年常规稻α的单价平均值；
（2）在频率分布直方图中，各组的取值按中间值来计算，求杂交稻β的亩产平均值；以频率作为概率，
预计将来三年中至少有二年，杂交稻β的亩产超过795公斤的概率；
（3）①判断杂交稻β的单价y（单位：元/公斤）与种植亩数x（单位：万亩）是否线性相关？若相关，试根据以下的参考数据求出y关于x的线性回归方程；
②调查得知明年此地杂交稻β的种植亩数预计为2万亩．若在常规稻α和杂交稻β中选择，明年种植
哪种水稻收入更高？
统计参考数据：=1.60，=2.82，（x i）（y i）=-0.52，（x i）2=0.65，
附：线性回归方程=bx+a，b=．
21.已知函数f（x）=-x，其中a≥1．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）讨论函数f（x）的零点个数．
22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），直线l的参数方程为（t
为参数，0≤β＜π），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求曲线C的极坐标方程；
（2）已知直线l与曲线C相交于A，B两点，且|OA|-|OB|=2，求β．
23.已知：a2+b2=1，其中a，b∈R．
（1）求证：≤1；
（2）若ab＞0，求（a+b）（a3+b3）的最小值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】
解：===i，
故选：B．
根据复数运算的除法运算法则，分子分母同乘以1+3i，进行运算．
本题考查了复数的除法运算，掌握运算法则是关键．本题属于基础题．
2.【答案】C
【解析】
解：因为集合A={x|≤3}={x|0≤x≤9}，
B={x|x2≤9}={x|-3≤x≤3}，
所以A∩B={x|0≤x≤3}，
故选：C．
通过解不等式，把集合A，B化简，然后求出A∩B．
本题考查了不等式的解法，交集的基本运算，正确求解不等式是本题的关键，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】
解：f（0）=1，排除选项C，D；
由指数函数图象的性质可得函数f（x）＞0恒成立，排除选项B，
故选：A．
先根据函数值f（0）=1排除选项C，D；再根据指数函数图象的性质可得f（x）＞0恒成立，即可得到答案．
本题主要考查函数图象的判断，结合函数的性质是解决本题的关键．，图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象．
4.【答案】A
【解析】解：因为数学成绩X近似服从正态分布N（82，σ2），
所以数学成绩X关于X=82对称，
∵P（74＜X＜82）=0.42．
∴P（82＜X＜90）=0.42．
P（X≥90）=P（X≤74）==0.08，
所以我市某校有800人参加此次考试，据此估计该校数学成绩不低于90分的人数为
0.08×800=64，
故选：A．
通过数学成绩X近似服从正态分布N（82，σ2），所以数学成绩X关于X=82对称，通过P（74＜X＜82）=0.42．可以计算出P（82＜X＜90）=0.42．利用对称性即可得出P（X≥90）=P（X≤74），这样就可以估计出我市某校有800人参加此次考试，该校数学成绩不低于90分的人数．
本题考查了正态分布的对称性及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】
解：设P（2，1），F1（-c，0），F2（c，0），由题意可知：点P在y=x上，
所以a=2b，又P在以F1F2为直径的圆上，所以OF2
=OP=（O为坐标原点），即c=，
又a2+b2=c2=5，a=2b，解得a=2，b=1，
所以双曲线方程为-y2=1，
故选：B．
设P（2，1），由题意可知：点P在
y=上，再由OP=OF2列方程组，结合c2=a2+b2即可求出a，b的值．
本题考查了求双曲线标准方程，解题的关键是应用向量构造等式．
6.【答案】B
【解析】
解：执行程序框图，输入x，
当i=1时，得到2x-1；
当i=2时，得到2（2x-1）-1=4x-3，
当i=3时，得到4（2x-1）-3=8x-7，
当i=4时，退出循环，输出8x-7=9，解得x=2，
故选：B．
直接利用程序框图的循环结构的应用求出结果．
本题考查循环结构的程序框图的输出结果的计算问题，着重考查推理与运算能力，属于基础题．
7.【答案】A
【解析】
解：通过三视图可知，该几何体是由一个球和一个三棱柱组合而成，
因此：=．
故选：A．
通过三视图可知，该几何体是由一个球和一个三棱柱组合而成，分别求出它们的体积相加即可．
本题考查了通过三视图求几何体的体积问题，关键是识别出几何体的形状．主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题．
8.【答案】C
【解析】
解：二项式（x 6）n的第r+1项为：T r+1=•（-1）r
•，
由题意可知含有常数项，所以只需4n-5r=0，对照选项当n=10时，r=8，
故选：C．
写出二项式展开式的通项，化简，令x的指数为零，对照选项，求出答案．
本题考查了二项式定理的应用，解题的关键是应用二项式的展开式的通项公式，属于基础题．
9.【答案】D
【解析】
解：因为函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|
＜），图象的相邻两条对称轴之间的距离为，
所以T=π，
而ω＞0，
解得：ω=2，
又因为函数f（x）的图象向左平移个单位长度后，得到函数g（x）的图象，
所以g（x）=2sin[ω（x+）+φ]，
由函数g（x）为偶函数，
可得（k∈Z），
而|φ|
＜，
所以：φ=-，
因此：，
由于：，
所以：，
所以：．
所以函数f（x）在区间上的值域是[-2，1]．
故选：D．
通过函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|
＜）图象的相邻两条对称轴之间的距离为，可以求出周期，进而可以求出ω的值，函数f（x）的图象向左平移个单位长度后，得到函数g（x）的图象，因此g（x）=2sin[ω（x+）+φ]，函数g（x）为偶函数，有，结合已知|φ|＜，求出φ，再利用正弦函数的性质，求出函数f（x）在区间[]上的值域．
本题综合考查了正弦型函数的图象和单调性．解决本题的关键是对函数g（x）为偶函数的理解，写出等式．主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．
10.【答案】C
【解析】
解：延长DC和AB交于一点G，连接EG交PC于点F，平面ABE即为平面
AEG，
连接PG，因为AD=2BC，且AD∥BC，可得点C，B分别是DG和AG的中点，
又点E是PD的中点，即GE和PC分别为△PDG的中线，
从而可得点F为△PDG的重心，
即PF=2FC，可得λ=2，
故选：C．
延长DC和AB交于一点G，连接EG交PC于点F，由已知可确定点F为三角形的重心，从而可得答案．
本题考查平面的确定和三角形的重心的性质，考查分析和推理能力，属于中档题．
11.【答案】A
【解析】
解：设点M的坐标为（，y0），A（0，1），抛物线的焦点F
（，0），抛物线的准线为x=-，
由抛物线的定义可知：
|MF|=+=2，①，
因为以MF为直径的圆过点A（0，1），∴=-1，解得y0=2，代入①中得p=2，
∴抛物线C的焦点到准线距离为2，
故选：A．
设出M的坐标为（，y0），A（0，1），根据MF=2可得到
|=
+=2，①，再由直线垂直，进而可
以求出y0的值，代入①，求出p即可．
本题考查了抛物线的定义以及p的几何意义．重点是由以MF为直径的圆过点（0，1），想到直线
垂直．
12.【答案】C
【解析】
解：由f（x）=x+，得f′（x）
=1-，切点为A（x1，f（x1））的切线的斜率为f′（x1）
=1-，
∴切点为A（x1，f（x1））的切线方程为：，
同理可求得切点为B（x2，f（x2））的切线方程为：，两条切线过点（1，0），把（1，0）代入两条切线方程得：
①，②，
∴可以把x1，x2看成2x2+2ax-a=0的两个根，
∵0＜x1＜x2，∴③，即-a＞2，
∵0＜x1＜x2，∴
，＞＞1，
在区间（x1，x2）中存在唯一整数必须满足：，得-2＜
a≤，
结合③，可得a的取值范围是[-）．
故选：C．
对函数求导，然后求出过点（1，0）作曲线f（x）的两条切线，把（1，0）代入两条切线
方程，得到
，，可以把x1，x2看成2x2+2ax-a=0的两个根，由0＜x1＜x2，
得，解出a的取值范围，可以证明出x2＞1，在区间（x1，x2）中存在唯一整
数，必须要满足，解出a的取值范围．
本题考查了导数的几何意义、求曲线方程的切线．本题重点考查了在区间上方程有唯一整数解
问题，考查了转化思想、方程思想，是中档题．
13.【答案】2
【解析】
解：根据题意，若
|
|=||，则
||2
=||2，
变形可得：•=0，
又由向量=（x，2），=（-1，1），
则•=-x+2=0，
解可得：x=2；
故答案为：2
根据题意，由
|
|=||，结合向量数量积的计算公式可得•=0，进而由数量积的坐
标计算公式计算可得答案．
本题考查向量数量积的计算，关键是分析向量、的关系，属于基础题．
14.【答案】
【解析】
解：由于S=abc
，可得：
abc=absinC，
解得：c=2sinC，
代入2sin2A+c（sinC-sinA）=2sin2B中，得sin2A+sin2C-sinAsinC=sin2B，
由正弦定理，可将上式化简为，a2+c2-ac=b2，
由余弦定理可知：b2=a2+c2-2accosB，
所以：
cosB=，
又因为B∈（0，π），
所以角
B=．
故答案为：．
△ABC的面积
S=abc，结合面积公式，可得c=2sinC，代入已知等式中，得到
sin2A+sin2C-sinAsinC=sin2B，先用正弦定理，后用余弦定理，最后求出角B的值．
本题考查了面积公式、正弦定理、余弦定理．解题的关键在于对公式的模型特征十分熟悉，属于基础题．
15.【答案】9000
【解析】
解：设回收废纸x吨，回收废铅蓄电池y吨，可节约用水z吨，
由已知条件可得，z=100x+120y，
作出不等式组表示的可行域，如图所示，
z=，
平移直线可得当直线过点A时，在y轴的截距最大，即z最大，
由图可得点A（90，0），此时z取得最大值为9000．
故答案为：9000．
设回收废纸x吨，回收废铅蓄电池y吨，由题意列出不等式组及目标函数，转化成求目标函数的最值问题．
本题考查简单线性规划的应用，属于基础题解决线性规划的应用题时，其一般步骤为：①分析题目中相关量的关系，列出不等式组，即约束条件；②由约束条件画出可行域；③分析目标函数z与直线截距之间的关系；④使用平移直线法求出最优解；⑤还原到现实问题中．
16.【答案】2
【解析】
解：如下图所示：点B是弦MN的中点，
由DB⊥MN，得
DB=，
又∵DA⊥AB，∴DA2+AB2=4，
∴DA2+AB2=4≥2DA•AB ，得，
当且仅当
DA=AB=时，等号成立，
同理S△CAB≤1，当且仅当DC=CB=时，等号成立，
因此四边形ABCD的面积的最大值为2．
故答案为：2．
利用球的性质可以推出DA⊥AB，得到DA2+AB2=4，这样可以得到S△DAB≤1，同理S△DAB≤1，这样求出四边形ABCD的面积的最大值．
本题考查了球的性质．重点考查了重要不等式，关键是构造直角三角形，得到两线段长度的平方和是定值，是中档题．
17.【答案】解：由题意知，n（n+1）（a n-a n+1）=2，
a n-a n+1==2（-），
即有a n+1-=a n-，
进而a n-=a n-1-=…=a1-=1，
即a n=1+；
（2）a n=1+=，
a1a2…a n=•…•=，
于是b n===-，
前n项和S n=-+-+…+-=2-．【解析】
（1）由n（n+1）（a n-a n+1）=2，可以变形为a n+1-=a n
-，根据等差数列的定义可以求出数列
{a n}的通项公式；
（2）根据（1）可以求出b n =
==
-，应用裂相消法求出{b n}的前n项和
S n．
本题考查数列递推公式求出等差数列的通项公式．重点考查了裂相相消法求数列的前n项和，属于中档题．
18.【答案】证明：（1）AB是圆O的直径，AC与圆O切于点A，AC⊥AB，
PO⊥底面圆O，∴PO⊥AC，
PO∩AB=O，AC⊥平面PAB，∴AC⊥PB．
又∵在△PAB中，PA=PB=AB，∴PA⊥PB，
∵PA∩AC=A，∴PB⊥平面PAC，从而平面PAC⊥平面PBC．
解：（2）∵OB⊥PO，OD⊥PO，∴∠BOD为二面角B-PO-D的平面角，
∴∠BOD=120°，如图建立空间直角坐标系，由题意得OB=1，
则A（0，-1，0），B（0，1，0），D（，-，0），C（，-1，0），
P（0，0，1），E（，-，），
由（1）知==（0，-1，1）为平面PAC的一个法向量，
设平面ODE的法向量为=（x，y，z），
=（，-，），=（，-，），
∵，，
∴ ，取z=1，得=（，，），∴cos＜，＞==-．
∴平面PAC与平面DOE所成锐二面角的余弦值为．
【解析】
（1）由AB是圆O的直径，AC与圆O切于点A，可得AC⊥AB，由PO⊥底面圆O，可得PO⊥AC，利用线面垂直的判定定理可知，AC⊥平面PAB，即可推出AC⊥PB．又在△PAB中，
PA=PB= AB，可推出PA⊥PB，利用线面垂直的判定定理可证PB⊥平面PAC，从而利用面面垂直的判定定理可证出平面PAC⊥平面PBC．
（2）由OB⊥PO，可知∠BOD为二面角B-PO-D的平面角，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面PAC与平面DOE所成锐二面角的余弦值．
本题考查了通过线面垂直证明面面垂直．重点考查了利用空间向量法求二面角的问题，是中档题．
19.【答案】解：（1）当P与点E，F不重合时，设P（x，y），
得，
即，
当P与点E，F重合时，适合上式，
综上，动点P的轨迹方程为；
（2）记矩形面积为S，
当矩形一边与坐标轴平行时，易知S=8．
当矩形各边均不与坐标轴平行时，
根据对称性，设其中一边所在直线方程为y=kx+m，则对边方程为y=kx-m
另一边所在的直线为y=-x+n，则对边方程为y=-x-n，
∴矩形的邻边长为，b=，
由
得（1+4k2）x2+8kmx+4（m2-1）=0，
则△=0，得4k2+1=m2，
同理：，
∴S=ab=×
=
=4
=4
=4
∈（8，10]
综上：S∈（8，10]．
【解析】
（1）当P与点E，F不重合时，根据斜率之积可直接求出动点P的轨迹方程；考虑到P与点E，F 重合的情况，最后写出动点P的轨迹方程；
（2）记矩形面积为S，当矩形一边与坐标轴平行时，易知S=8；
当矩形各边均不与坐标轴平行时，
根据对称性，设其中一组对边所在直线方程为y=kx±m，
另一组对边所在的直线为，
则由平行线间距离得矩形长宽a，b，
联立直线与椭圆方程，由判别式为0可得k与m，n的关系式，
代入面积算式结合不等式可得最值．
本题考查了直译法求曲线的轨迹方程．重点考查了求椭圆外切矩形的面积的取值问题，考查了基本不等式的应用．
E（ξ）=3.7×0.1+3.9×0.7+4×0.2=3.9，
估计明年常规稻α的单价平均值为3.9（元/公斤）；
（2）杂交稻β的亩产平均值为：
[（750+810+820
）×0.005+（760+800）×0.01+（770+790）×0.02+780×0.025]×10=782．依题意知杂交稻β的亩产超过795公斤的概率P=0.1+0.5×2=0.2，
则将来三年中至少二年，杂交稻β的亩产超过795公斤的概率为：
．．；
（3）①∵散点图中各点大致分布在一条直线附近，
∴可以判断杂交稻β的单价y与种植亩数x线性相关，由题中提供的数据得：，
，
∴线性回归方程为；
②估计明年杂交稻β的单价元/公斤；
估计明年杂交稻β的每亩平均收入为782×2.50=1955元/亩，
估计明年常规稻α的每亩平均收入为485×E（ξ）=485×3.9=1891.5元/亩，
∵1955＞1891.5，∴明年选择种杂交稻β收入更高．
【解析】
（1）设明年常规稻α的单价为ξ，列出ξ的分布列，计算E（ξ）；
（2）根据频率分布直方图中，各组的取值按中间值来计算，所以可以求出杂交稻β的亩产平均值；根据以频率作为概率，可以预计出将来三年中至少有二年，杂交稻β的亩产超过795公斤的概率；
（3）①根据题中给的数据和分式，可以求出线性回归方程；
②估计明年杂交稻β的单价，进而可以估计明年杂交稻β的每亩平均收入，估计明年常规稻α的每亩平均收入，两者进行比较，可以得出明年选择种杂交稻β收入更高．
本题考查了求离散型随机变量的分布列及均值、求线性回归方程并依据线性回归方程做出预测，是中档题．
21.【答案】解：（1），x∈R
令f'（x）=0得x1=1，x2=ln a，
①当ln a=1，即a=e时，f'（x）≥0恒成立，∴f（x）在（-∞，+∞）上增；
②当ln a＜1，即1≤a＜e时，令f'（x）＞0，得x＞1或x＜ln a，
令f'（x）＜0，得ln a＜x＜1，
∴f（x）在（-∞，ln a）上增，在（ln a，1）上减，在（1，+∞）上增；
③当ln a＞1即a＞e时，令f'（x）＞0，得x＞ln a或x＜1，
令f'（x）＜0，得1＜x＜ln a，
∴f（x）在（-∞，1）上增，在（1，ln a）上减，在（ln a，+∞）上增；
综上，当a≤0时，函数f（x）的减区间为（-∞，1），增区间为（1，+∞）；
当a=e时，f（x）的单调增区间为（-∞，+∞）；
当0＜a＜e时，f（x）的单调增区间为（-∞，ln a），（1，+∞），单调减区间为（ln a，1）；
当a＞e时，f（x）的单调增区间为（-∞，1），（ln a，+∞），单调减区间为（1，ln a）．
（2）（i）由（1）知，当a=e时，f（x）单调递增，又f（0）=0，故1个零点；
（ii）当a＞e或1≤a＜e时，，
①当a=1时，f（x）在（-∞，0）上增，在（0，1）上减，在（1，+∞）上增，
∵f（0）=0，，＞，此时2个零点；
②当a＞e时，f（x）在（-∞，1）上增，在（1，ln a）上减，在（ln a，+∞）上增；
＞，又f（0）=0，此时1个零点；
③当1＜a＜e时，f（x）在（-∞，ln a）上增，在（ln a，1）上减，在（1，+∞）上增；
＞，＞，
，f（0）=0
∵，
∴当＜＜时，＞，有1个零点；
当时，，有2个零点；
当＜＜时，＜，有3个零点；
综上所述：当＞时，有1个零点；当a=1或时，有2个零点；当＜＜时，有3个零点．
【解析】
（1）求导，让导函数为零，解出方程，根据根之间的大小关系，进行分类讨论，求出函数f（x）的单调区间；
（2）（i）由（1）知，当a=e时，f（x）单调递增，可以判断有一个零点；
（ii）当a＞e 或时，f（lna）=，结合（1）中的结论，对a分类，利用单调性，判断零点的个数．
本题考查了利用导数研究函数的单调性和零点问题，解题的关键是根据单调性，求出极值点，而后分类讨论，求出函数零点的个数，属难题．
22.【答案】解：（1）由曲线C的参数方程（α为参数），可得普通方程为（x-4）2+y2=9，
即x2+y2-8x+7=0，
∴曲线C的极坐标方程为ρ2-8ρcosθ+7=0；
（2）由直线l的参数方程（t为参数，0≤β＜π），可得直线的极坐标方程为θ=β（ρ∈R），
∵直线l与曲线C相交于A，B两点，
∴设A（ρ1，β），B（ρ2，β），
联立，可得ρ2-8ρcosβ+7=0，
∵△=64cos2β-28＞0，即＞，ρ1+ρ2=8cosβ，ρ1ρ2=7．
∴|OA|-|OB|=|ρ1-ρ2|==，
解得cos，
∴或．
【解析】
（1）利用平方和为1消去参数α得普通方程，利用x2+y2=ρ2，x=ρcosθ，将直角坐标方程转为极坐标方程．
（2）将直线l和曲线C的极坐标方程联立，根据极径的几何意义可得|OA|-|OB|=|ρ1-ρ2|，即可得结果．
本题考查极坐标方程，直角坐标方程以及参数方程之间的转化，考查极径几何意义的应用，属于中档题．
23.【答案】解：（1）证明：根据题意，≤1⇒|a-b|≤|1-ab|⇒（a-b）2≤（1-ab）2，
变形可得：（a2-1）（1-b2）≤0，
又由a2+b2=1，则a2≤1，b2≤1，
则有（a2-1）（1-b2）≤0，
故原不等式成立．
（2）根据题意，（a+b）（a3+b3）=a4+ab3+a3b+b4≥a4+2+b4=（a2+b2）2=1，
当且仅当a=b=或-时，等号成立，
则（a+b）（a3+b3）的最小值为1．
【解析】
（1）根据题意，分析可得所证不等式等价于|a-b|≤|1-ab|，进而变形可得（a-b）2≤（1-ab）2，进而可得可得：（a2-1）（1-b2）≤0，结合a、b的范围分析可得证明；
（2）根据题意，分析可得（a+b）（a3+b3）=a4+ab3+a3b+b4≥a4+2+b4，进而利用基本不等式分析从而可求得最值．
本题考查不等式的证明方法，涉及利用基本不等式求最值问题，属于中档题．。