离散数学第八章

现的图称为G的一个平面嵌入.无平面嵌入的的图称为非
第 平面图.
八
章
一
些
特
殊
的 图
图中,(2)是(1)(K4)的平面嵌入, 所以(1)是平面图.(2)是平 面图.(3),(5)都不是平面图, 即K5和K3,3都不是平面图.
(4),(6)分别是(3),(5)交叉最少的画法.
离 8.4 平面图
散 数
8.4.1 平面图的基本概念
数 学
V2={v1,v2,v3,v4,v5}的完备匹配, 图中粗边所示的匹配就是
其中的一个, 即选张为物理组组长, 李为化学组组长, 赵
为生物组组长.
第 八
G2不满足t条件, 但满足相异性条件, 因而也存在完备
章 匹配, 图中粗边所示匹配就是其中的一个完备匹配.
一
些 特
G3不满足t条件, 也不满足相异性条件, 因而不存在完
条件称为“t条件”, 满足t条件的二部图, 一定满足相
第 八
异性条件.
章 一
事实上, 由条件(1)可知, V1中k个顶点至少关联kt条
些 特
边. 由条件(2)可知, 这kt条边至少关联V2中的k个顶
殊 点, 于是若G满足t条件, 则G一定满足相异性条件, 但
的 图
反之不真.
离 散
例8.1 某中学有3个课外小组: 物理组、化学组、生物组.
条边均不相邻, 则称E*为G中的匹配(或边独立集).
① 若在E*中再加入任何1条边就都不是匹配了,则称E*
第 为极大匹配.
八 章
② 边数最多的极大匹配称为最大匹配, 最大匹配中的
一 元素(边)的个数称为G的匹配数, 记为1(G),简记为1.
些 注意: 今后常用M表示匹配. 设M为G中一个匹配.
特 殊 的
(3)中存在欧拉回路, 即为欧拉图.
离 8.3 哈密尔顿图
散
数 学
1895年爱尔兰数学家威廉.哈
密尔顿首先提出了在正十二面
体上的一个数学游戏, 即能否在
第 八
如图所示的图上找到一条初级
章 回路, 使它经过每个城市恰好一
一
些 次, 这个问题就是“周游世界问
特
殊 题”. 这样的通路(回路)就是哈
的 图
例.
数
学
第 八 章
一
些
特
殊
的 图

图中(1)(2)(3) 不是欧拉图, (4) 是欧拉图.
离 8.2 欧拉图(即一笔画问题)
散 数
例.
学
第 八 章
一
些
特
殊
的 图
图1是欧拉图;
图2不是欧拉图, 但存在欧拉通路;
图3既不是欧拉图, 也不存在欧拉通路.
8.2 欧拉图(即一笔画问题)
离
散 有向图的欧拉回路判定定理
特 殊
★对于非连通的平面图G有k(k≥2)个连通分支,则G的无
的 限面R0的边界由k个回路围成.
图
离 散 数 学
第 八 章
一 些
图(1)所示为连通的平面图, 共有3个面R0,R1,R2.
特 殊 的
R1的边界为回路v1v3v4v1,deg(R1)=3. R2的边界为回路v1v2v3v1,deg(R2)=3.
vV(G), 若存在M中的边与v关联, 则称v为M的饱和点, 否则称v为M非饱和点, 若G中每个顶点都是M饱和点,
图 则称M为G中完美匹配.
离 散 数 学
在图 (1)中的匹配有：
第 八 章
一 些
{e1},{e1,e7},{e5},{e4,e6}. 其中， {e5},{e1,e7},{e4,e6}是极大匹配, {e1,e7},{e2,e6}是最 大匹配, 匹配数1=2. 图中不存在完美匹配.
到起始地点. 这就是七桥问题, 一个著名的图论问题. 大
数学家欧拉那里证明了这样的走法不存在.
8.2 欧拉图(即一笔画问题)
离 散
无向图的欧拉图及其判断
数 学
定义8.4 经过图中每条边一次且仅一次并且行遍图中每个
顶点的通路(回路), 称为欧拉通路或欧拉迹(欧拉回路或欧
拉闭迹). 存在欧拉回路的图, 称为欧拉图.只存在欧拉通
数 学
今有张、王、李、赵、陈5名同学.若已知:
(1) 张、王为物理组成员, 张、李、赵为化学组成员, 李、
赵、陈为生物组成员;
第
八 (2) 张为物理组成员, 王、李、赵为化学组成员, 王、李、
章
一 赵、陈为生物组成员;
些 特
(3) 张为物理组和化学组成员, 王、李、赵、陈为生物组
殊 的
成员.
图 问在以上3种情况下能否各选出3名不兼职的组长？
8.1 二部图
离 散
二部图的判断定理
数
学 定理8.1 一个无向图G=<V,E>是二部图当且仅当G中无奇
数长度的回路.
第 如图8.2 均无奇数长度的回路, 都是二部图.
八 其中图(2)所示为K2,3,图(3)所示为K3,3.
章
1
3
5
一
些
特
殊
的
图
2
4
6
8.1 二部图
离 散
匹配
数
学 定义8.2 设G=<V,E>为无向图, E*E, 若E*中任意两
特 殊
在图(2)中匹配有：{e2,e5},{e3,e6},{e1,e7,e4}
的 图
所有匹配是极大匹配, {e1,e7,e4}是最大匹配, 同 时也是完美匹配, 匹配数为3.
8.1 二部图
离
完备匹配
散
数 学
定义8.3 设G=<V1,V2,E>为一个二部图, M为G中一个最大匹
配, 若M=min{V1,V2}, 则称M 为G中的一个完备匹配, 此
数 学
定理8.5 一个有向图D是欧拉图,当且仅当D是强连通的,且所 有顶点的入度等于出度.一个有向图D是半欧拉图,当且仅当
D是单向连通的,且恰有两个奇度顶点,其中一个入度比出度
大1,另一个入度比出度小1.而其余顶点的入度均等于出度.
第
八
章
一 些 特 殊 的
图 (1)既无欧拉回路, 也无欧拉通路.
(2)中存在欧拉通路, 但无欧拉回路, 即为半欧拉图.
特 殊
则有向图D中存在哈密尔顿通路.
的 推论 n(n≥3)阶有向完全图为哈密尔顿图.
图
注: 到目前为止, 只能根据定义判断一个图是否为哈
密尔顿图, 只有在特殊情况下才有判断方法.
离 8.4 平面图
散 数
8.4.1 平面图的基本概念
学 定义8.6 一个图G若能以这样的方式画在平面上；除顶点
处外无边交叉出现, 则称G为平面图. 画出的无边交叉出
时若V1 ≤V2, 则称M为V1到V2的一个完备匹配. 如果V1=
第 八
V2, 这时M为G中的完美匹配.
章
存在完备
一
些 特
匹配吗?
殊
存在完美
的
图
匹配吗?
8.1 二部图
离 散 数
Hall定理
学
定理8.2 设二部图G=<V1,V2,E>, V1≤V2, G中存在从V1
到V2的完备匹配当且仅当V1中任意k个顶点(k=1,2,…
第 路的图, 称为半欧拉图.
八 章
定理8.4 无向图G为欧拉图当且仅当G是连通的, 且G中无
一 奇度顶点. 无向图G为半欧拉图,当且仅当G是连通的且G
些 中有两个奇度顶点.
特
殊 注: 若无奇度顶点, 则通路为回路; 若有两个奇度顶点, 则它
的 图
们是欧拉通路的端点.
8.2 欧拉图(即一笔画问题)
离 散
离 8.3 哈密尔顿图
散 数
哈密尔顿图的判定
学
定理8.6 (必要条件) 若无向图G=<V,E>是哈密尔顿图, 则
对V的任意的非空真子集V1, 都有p(G-V1)≤V1.
第 八
其中, p(G-V1)为从G中删除V1(删除V1中各顶点及关联的
章 边)后所得图的连通分支数.
一
些 推论 若无向图G=<V,E>是半哈密尔顿图, 则对V的任意的
八
p(C-V1)= r≤V1
章
一 些
一般说来,V1中的顶点在C上既有相邻的, 又有不相邻的, 因 而总有 p(C-V1)≤ V1.
特 又因为C是G的生成子图, 故
殊
的
p(G-V1)≤ p(C-V1)≤ V1.
图
离 8.3 哈密尔顿图
散 数 学
a
d
第 八 章
一
b
些
(1)
特
殊 的
图(1) 删除节点a.
特
殊 的
非空真子集V1, 都有p(G-V1)≤V1+1.
图 注: 利用该定理可以判断某些图不是哈密尔顿图.
8.3 哈密尔顿图
离
散 数
证明: 设C为G中的一条哈密尔顿回路.
学 (1) 若V1中的顶点在C上彼此相邻, 则
p(C-V1)=1≤ V1
第 (2) 设V1中的顶点在C上存在r(2≤r≤ V1)个互不相邻, 则
图 图(2)删除V1={a,b,c,d,e,f,g}
a
f g
e
c
(2)
离 8.3 哈密尔顿图
散
数 例:
学
第 八 章
一
些
特 殊
在图中,
虽 然 对 任 意 的 结 点 集 合 V1,
都 满 足 p(G-
的 图
V1)|V1|, 但它仍然不是哈密尔顿图.
说明：该条件不能作为判断哈密尔顿图的充分条件.
一 些
d(u)+d(v)n
特 殊
则G中存在哈密尔顿回路, 即G是哈密尔顿图.
的
图
8.3 哈密尔顿图
离
散 例:在右图中,任意两个结点的度数之
数
学 和为4,结点数为6,即有46,但它仍然
是哈密尔顿图.
说明: 该条件是不完备的.
第
八 §关于有向图的哈密尔顿回路与通路
章
一 些
定理8.8 在n(n≥2)阶有向图D=<V,E>中, 如果所有有 向边均用无向边代替, 所得无向图中含生成子图Kn,
离 8.3 哈密尔顿图
散 数
定理8.7(充分条件) 设G＝<V,E>是n(n≥3)阶无向简单图.
学 如果G中任意两个不相邻的结点u,vV. 均有：
d(u)+d(v)n-1，
则G中存在哈密尔顿通路.
第 八
推论 设G＝<V,E>是n(n≥3)阶无向简单图, 如果对任意两
章 个不相邻的结点u,vV, 均有:
第 八
V1)至wk.baidu.com邻接V2中的k个顶点.
章 一
定理8.3 设二部图G=<V1,V2,E>, 如果
些 特
(1) V1中每个顶点至少关联t(t＞0)条边;
殊 的
(2) V2中每个顶点至多关联t条边,
图 则G中存在V1到V2的完备匹配.
8.1 二部图
离
散
Hall定理
数
学
Hall定理中的条件称为“相异性条件”, 定理8.3中的
密尔顿通路(回路).
离 8.3 哈密尔顿图
散 数
定义8.5 经过图中每个顶点一次且仅一次的通路(回路)
学 称为哈密尔顿通路(回路). 存在哈密尔顿回路的图称为
哈密尔顿图. 只存在哈密尔顿通路的图称为半哈密尔
顿图.
第 八 章
一 些 特 殊 的
图 例: 图中(1)是半哈密尔顿图, (2) 为哈密尔顿图, (3)既 不是半哈密尔顿图也不是哈密尔顿图.
图 R0的边界为复杂回路v1v4v5v6v5v4v3v2v1,
deg(R0)=8.
8.4 平面图
离 散
8.4.1 平面图的基本概念
数 定理8.9 在一个平面图G中, 所有面的次数之和都等于边 学 数m的2倍, 即(r为面数)
r
deg(Ri ) 2m
第
i 1
八
章
一 些 特 殊 的 图
例: 图(2)与(3)都是(1)的平面嵌入, 它们都与(1)同构. 图 (2)中deg(R0)=3; 图(3)中deg(R0)=4.
第 若V1中任一顶点与V2中每个顶点有且仅有一条边相关联, 八 则称二部图G为完全二部图(或完全偶图). 若V1 =n, 章 V2=m, 则记完全二部图G为Kn,m.
一
些 特

在下图中,
(1)所示为K2,3,
殊 (2)所示为K3,3. K3,3是重
的 要的完全二部图, 它与K5一 图 起在平面图中起着重要作用.
8.1 二部图 8.2 欧拉图 8.3 哈密尔顿图 8.4 平面图
离 8.1 二部图(P286-287)
散 数
定义8.1
若能将无向图G=<V,E>的顶点集V划分成两个子集
学 V1和V2(V1∩V2=),使得G中任何一条边的两个端点一个
属于V1,另一个属于V2,则称G为二部图(也称为偶图). V1,V2称为互补顶点子集,此时可将G记成G=<V1,V2,E>.
殊 备匹配, 故选不出3名不兼职的组长来.
的
图
8.2 欧拉图(即一笔画问题)
离 §哥尼斯堡七桥问题
散 数 学
第 八 章
一
些
特 18世纪在哥尼斯堡城(今俄罗斯加里宁格勒)的普莱格
殊 的 图
尔河上有7座桥, 将河中的两个岛和河岸连结, 如图所示. 城中的居民经常沿河过桥散步, 于是提出了一个问题:
能否一次走遍7座桥, 而每座桥只许通过一次, 最后仍回
学 定义8.7 设G是一个连通的平面图(指G的某个平面嵌入),
G的边将G所在的平面划分成若干个区域, 每个区域称
为G的一个面. 其中面积无限的区域称为无限面或外部
第 八
面, 常记成R0. 包围每个面的所有边所构成的回路称为
章 该面的边界, 边界的长度称为该面的次数, R的次数记
一 些
为deg(R).
离 散
解: 设v1,v2,v3,v4,v5分别表示张,王,李,赵,陈; u1,u2,u3分别
数 表示物理组,化学组,生物组; 在3种情况下作二部图分别
学
记为G1,G2,G3, 如下图所示.
第 八 章
一 些 特 殊 的 图
离 散
G1满足t=2的t条件, 所以, 存在从V1={u1,u2,u3}到