线性代数的一些证明题

线性代数一些证明题 1 题目

设n 阶可逆矩阵A 满足A 2=A ，求A 的特征值。 知识点

特征值与特征向量

矩阵的行列式

解题过程

解：因为A 2=A

所以A 2－A =0

所以det(A 2－A )=det[A (A －E )]=det(A )det(A －E )=0 A 为可逆矩阵，所以det(A )≠0 所以det(A －E )=0

所以A 的特征值为1.

常见错误

设存在λ，使Ax =λx 成立 则 det(Ax )=det(A )det(x )

=det(λx )

=n λdet(x ) (错误在于向量取行列式)

所以 有)det(A n =λ成立.

又因为A 2=A

det(A )2=det(A), 即det(A )=0或det(A )=1.

由于A为可逆矩阵，det(A)≠0.

所以det(A)=1

当n为奇数时，λ=1.

当n为偶数时，λ= 1.

相关例题

设A为n阶矩阵,若A2=E，试证A的特征值是1或-1.

2题目

设A是奇数阶正交矩阵，且det(A)=1，证明det(E-A)=0.知识点

①正交矩阵的定义：A T A=E

②单位矩阵的性质：EA=AE=A E T=E

③矩阵运算规律

④转置矩阵的性质：(A+B)T=A T+B T

⑤det(A)=det(A T)

⑥det(AB)=det(A)det(B)

⑦det(-A)=(-1)n det(A)

解题过程

∵A是正交矩阵

∴E－A= A T A－A= A T A－EA=( A T－E)A

∵det(A)=1

∴det(E－A)=det((A T－E)A)=det(A T－E)det(A)=det(A T－E) ∵det(E－A)=det(E－A)T=det(E－A T)

∴det(A T－E)= det(E－A T)= det(－(A T－E))= (－1)n det(A T－E) ∵n为奇数

∴(－1)n=－1

∴det(A T－E)=0

∴det(E－A)=0

常见错误

①误以为det(E－A)= det(E)－det(A)，于是det(E－A)=1－det(A)=1－1=0

②∵det(A)=1

∴

a·2a·…·n a=1(其中1a,2a,…,n a为A作初等变换变为上三角形

1

后对角线上的元素).

∴det(E－A)=（1-

a）（1-2a）…（1-n a）.

1

∵det(E-A)=det((A T-E)A)=det(A T-E)det(A)=det(A T-E)

且det(A T-E)= （

a-1）（2a-1）…（n a-1）.

1

∴（1-

a）（1-2a）…（1-n a）=（1a-1）（2a-1）…（n a-1）

1

= (-1)n（1-

a）（1-2a）…（1-n a）

1

∵n为奇数

∴(－1)n=－1

∴（1－

a）（1－2a）…（1－n a）=0

1

∴det(E－A)=0

以上证法先把A变为上三角，再用E减去变化后的A，再求行列式，这是错误的。

相关例题

证明：若A 为正交矩阵，则det(A )=±1. 3 题目

试就a,b 的各种取值情况,讨论下列线性方程组的解,若有解,则求出解。

⎪⎩

⎪

⎨⎧-=++-=+-++=-+3

)2(33)2()2(2132321321x b a ax x b x a x x x x （1） 知识点 线性方程组解的结构 解题过程

解：B=⎥⎥

⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+---+-3 2b a 3 03 2 2a 21 1 1

1b ⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+---3 2b a 3a 01 b a 01 1 1

1 (1)当a —b ≠0,且a ≠0时，rank(B)=3，增广矩阵的秩也等于3，而且等于未知数的个数，故方程组（1）有唯一解。其解为：

(2)当a-b=0，且a ≠0时，rank(B)=2,增广矩阵的秩也等于2，秩小于未知数的个数，此时故方程组（1）有无穷多解。

其解可由132=-bx ax ，解得,132x a

b a x +=，代入第一个方程

1321=-+x x x 得到31111x a b a x ⎪⎭

⎫

⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=；

一般解为：⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎪⎨⎧=+=+=-=-+-=任意）(1

1111333

3231x x x a x a b a x a x a b a a a x

（3）当a=0，b 为任意数，

此时增广矩阵可化为：⎥⎥

⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡---0 b a 0 01 a 01 1 1

1b 可见，rank(B)=2, 但增广矩阵的秩为3，所以方程组（1）无解， 常见错误

在讨论带参数的线性方程时，尽管初等变换结果正确，也会产生讨论不全的错误。

如，当a ≠b 时，就说原方程有唯一解，没有指出a ≠0，当a=b 时，就说原方程组有无穷多解，没有指出a=b ≠0，等等。 相关例题

确定a,b 的值，使下列方程组 （1） 有唯一解； （2） 无解；

有无穷多解，并求出通解。 4 题目

若123,,ααα线性无关，4112233k k k αααα=++，其中123,,k k k 全不为0. 证明234,,ααα线性无关. 知识点 向量线性相关 解题过程

证法一：（从定义出发）

设存在常数123,,k k k '''，使得1223340k k k ααα'''++=