最新C案例04动态规划
动态规划方案学习速成攻略与实践案例
动态规划方案学习速成攻略与实践案例一、前言大家好，今天我来给大家分享一份关于动态规划的学习攻略和实践案例。
动态规划是算法领域的一种重要技术，广泛应用于各种场景，如最长公共子序列、背包问题、最长递增子序列等。
掌握动态规划，不仅可以提高解决问题的效率，还可以提升自己的编程能力。
我们就一起走进动态规划的世界，探寻其中的奥秘。
二、动态规划学习攻略1.理解动态规划的基本概念动态规划是一种分阶段决策的过程，它将一个问题分解为若干个子问题，并通过解决子问题来求解原问题。
动态规划的核心思想是保存子问题的解，避免重复计算。
2.掌握动态规划的解题步骤（1）明确状态：将问题分解为若干个子问题，并定义状态变量，这些状态变量可以用来描述子问题的解。
（2）建立状态转移方程：根据子问题之间的关系，找出状态之间的转移规律，建立状态转移方程。
（3）确定边界条件：为了解决边界问题，需要为状态转移方程设定合适的边界条件。
（4）计算最优解：根据状态转移方程和边界条件，计算出问题的最优解。
3.学习动态规划的常用技巧（1）画出状态转移图：通过画出状态转移图，可以更清晰地理解状态之间的转移关系。
（2）使用表格法：将状态和状态转移方程写成表格形式，便于分析和计算。
（3）利用代码实现：通过编写代码，将动态规划的思想转化为程序，验证自己的思路。
三、动态规划实践案例1.最长公共子序列最长公共子序列（LongestCommonSubsequence，LCS）问题是动态规划的经典问题之一。
给定两个序列X和Y，求它们的最长公共子序列。
案例分析：我们可以用一个二维数组dp来表示X和Y的最长公共子序列。
dp[i][j]表示X的前i个字符与Y的前j个字符的最长公共子序列的长度。
状态转移方程为：dp[i][j]={dp[i-1][j-1]+1,ifX[i]==Y[j]max(dp[i-1][j],dp[i][j-1]),otherwise}代码实现：defLCS(X,Y):m,n=len(X),len(Y)dp=[[0](n+1)for_inrange(m+1)]foriinrange(1,m+1):forjinrange(1,n+1):ifX[i-1]==Y[j-1]:dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1else:dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-1])returndp[m][n]2.0-1背包问题0-1背包问题是动态规划的另一个经典问题。
C++中的动态规划算法及常见题目汇总
C++中的动态规划算法及常见题⽬汇总什么是动态规划在⾯试过程中如果是求⼀个问题的最优解（通常是最⼤值或者最⼩值），并且该问题能够分解成若⼲个⼦问题，并且⼦问题之间好友重叠的更⼩⼦问题，就可以考虑⽤动态规划来解决这个问题。
动态规划的分类 ⼤多数动态规划问题都可以被归类成两种类型：优化问题和组合问题优化问题 优化问题就是我们常见的求⼀个问题最优解（最⼤值或者最⼩值）组合问题 组合问题是希望你弄清楚做某事的数量或者某些事件发⽣的概率两种不同动态规划解决⽅案⾃上⽽下：即从顶端不断地分解问题，知道你看到的问题已经分解到最⼩并已得到解决，之后只⽤返回保存的答案即可⾃下⽽上：你可以直接开始解决较⼩的⼦问题，从⽽获得最⼩的解决⽅案。
在此过程中，你需要保证在解决问题之前先解决⼦问题。
这种⽅法叫做表格填充法。
常见的动态规划例⼦1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11. 猜数字⼤⼩ 1. 裴波那契数列 裴波那契数列就是典型的组合问题，要求出做某事的数量或者概率问题分析：对于题⽬中的青蛙爬楼梯问题，初试情况下是只有⼀级台阶时，只有⼀种跳法，只有两级台阶时，有两种跳法，当有n级台阶时，设n级台阶的跳法总数是f(n),如果第⼀步跳⼀级台阶，则和剩下的n-1级台阶的跳法是⼀样的，如果第⼀级跳两级台阶，则和剩下的n-2级台阶的跳法是⼀样的，因此最终n级台阶的跳法是f(n)=f(n-1)+f(n-2)，即其是可以被分解为更⼩的⼦问题的，下⾯我们以求解f(10)为例来分析递归的过程 我们从这张图中不难发现，在这棵树中有很多节点都是重复的，⽽且重复节点会随着n的增⼤⽽急剧增⼤，因此我们采⽤⾃顶向下的⽅式会有很低的效率，因此我们采⽤⾃下⽽上的⽅法，⾸先根据f(1)和f(2)计算出f(3),再根据f(2)和f(3计算出f(4),以此类推求出f(n) 实现的代码如下1int jumpFloor(int number) {2if(number<0)3return0;4else if(number==0||number==1||number==2)5return number;6else7 {8int result=0;9int f1=1;10int f2=2;11for(int i=3;i<=number;++i)12 {13 result=f1+f2;14 f1=f2;15 f2=result;16 }17return f2;18 }19 }矩形覆盖问题问题分析：由于2*1的⼩矩形可以横着放，也可以竖着放，当n=1时，其只有⼀种⽅式,f(1)=1，n=2时，有两种覆盖⽅式f(2)=2如图 当要构成2*n的⼤矩形时，如果第⼀个⼩矩形竖着放，则其和后⾯n-1个⼩矩形的⽅法相等，如果第⼀个⼩矩形横着放，则第⼆个⼩矩形也只能横着放，即上图右边的⽅法，因此其和后⾯n-2个⼩矩形的放法相等。
动态规划算法及其应用案例解析
动态规划算法及其应用案例解析动态规划算法是计算机科学中一种非常重要的算法，它在许多领域都有大量的应用。
在本文中，我们将介绍动态规划算法的基本思想和特点，并通过一些常见的应用案例来深入理解这个算法。
1. 动态规划算法的基本思想动态规划算法是一种算法设计技术，用于在多阶段决策过程中寻找最优解。
它的基本思想是将一个大问题分解成较小的子问题来解决，然后将这些子问题的解组合起来得到原问题的解。
它与分治算法很类似，但是动态规划算法通常是针对问题的重复性结构进行优化的。
动态规划算法通常适用于满足以下几个条件的问题：（1）问题具有重叠子问题的特点，即一个大问题可以分解为多个子问题，且这些子问题存在相同的子结构；（2）问题具有最优子结构的特点，即一个问题的最优解包含其子问题的最优解。
通过以上两个条件，在通过子问题的最优解推导出大问题的最优解时，我们可以避免重复计算并且保证得到的结果是最优的。
2. 动态规划算法的特点动态规划算法的主要特点包括以下几个方面：（1）动态规划算法使用一个递推公式来计算问题的解，这个递推公式通常是由原问题和子问题之间的关系建立而来的。
（2）动态规划算法使用一个表格来存储子问题的解，这个表格通常称为动态规划表或者状态转移表。
（3）动态规划算法通常需要进行一些预处理操作，例如初始化表格的值，以及确定递推公式的边界条件。
（4）动态规划算法的时间复杂度通常是由子问题的个数和计算每个子问题的时间复杂度来决定的。
3. 应用案例解析下面我们将通过一些常见的应用案例来更好地理解动态规划算法。
（1）背包问题背包问题是指给定一组物品和一个容量为W的背包，选择一些物品放入背包中，使得放入背包的物品的总价值最大。
这个问题可以通过动态规划算法来解决。
我们可以定义一个二维数组f[i][j]，表示前i个物品放进容量为j的背包所得到的最大价值。
递推公式可以定义为：f[i][j] = max(f[i-1][j], f[i-1][j-w[i]] + v[i])，其中w[i]表示第i个物品的重量，v[i]表示第i个物品的价值。
动态规划算法的详细原理及使用案例
动态规划算法的详细原理及使用案例一、引言动态规划是一种求解最优化问题的算法，它具有广泛的应用领域，如机器学习、图像处理、自然语言处理等。
本文将详细介绍动态规划算法的原理，并提供一些使用案例，以帮助读者理解和应用这一算法的具体过程。
二、动态规划的基本原理动态规划算法通过将问题分解为多个子问题，并利用已解决子问题的解来求解更大规模的问题。
其核心思想是利用存储技术来避免重复计算，从而大大提高计算效率。
具体来说，动态规划算法通常包含以下步骤：1. 定义子问题：将原问题分解为若干个子问题，这些子问题具有相同的结构，但规模更小。
这种分解可以通过递归的方式进行。
2. 定义状态：确定每个子问题的独立变量，即问题的状态。
状态具有明确的定义和可计算的表达式。
3. 确定状态转移方程：根据子问题之间的关系，建立状态之间的转移方程。
这个方程可以是简单的递推关系式、递归方程或其他形式的方程。
4. 解决问题：使用递推或其他方法，根据状态转移方程求解每个子问题，直到获得最终解。
三、动态规划的使用案例1. 背包问题背包问题是动态规划算法的经典案例之一。
假设有一个背包，它能容纳一定重量的物品，每个物品有对应的价值。
目的是在不超过背包总重量的前提下，选取最有价值的物品装入背包。
这个问题可以通过动态规划算法来求解。
具体步骤如下：（1）定义问题：在不超过背包容量的限制下，选取物品使得总价值最大化。
（2）定义状态：令dp[i][j]表示将前i个物品放入容量为j的背包中所能获得的最大价值。
（3）状态转移方程：dp[i][j] = max(dp[i-1][j-w[i]]+v[i], dp[i-1][j])，其中w[i]为第i个物品的重量，v[i]为第i个物品的价值。
（4）解决问题：根据状态转移方程依次计算每个子问题的解，并记录最优解，直到获得最终答案。
2. 最长公共子序列最长公共子序列（Longest Common Subsequence，简称LCS）是一种经典的动态规划问题，它用于确定两个字符串中最长的共同子序列。
动态规划案例 出售货物
动态规划案例出售货物一、啥是动态规划呢？嘿呀，动态规划这个词儿听起来是不是有点高大上？其实没那么神秘啦。
就好比你在卖货物的时候，要做一系列的决定，动态规划就是一种能帮你做出最优决定的方法。
比如说，你有一堆货物，每件货物都有不同的成本、售价和数量，你得想办法在各种限制条件下，赚到最多的钱。
这就像是走迷宫，你得找一条最划算的路出来。
二、出售货物的例子。
想象一下，你是个小商贩。
你进了三种货物，就叫它们货物A、货物B和货物C 吧。
货物A进价10元，能卖15元；货物B进价12元，能卖18元；货物C进价8元，能卖12元。
你手头的资金有限，比如说只有100元，而且你的摊位空间也有限，只能放20件货物。
这时候你就得盘算盘算啦。
如果只看单件货物的利润，货物B的利润最高，看起来应该多进货物B。
但是你得考虑资金和空间呀。
假如你全进货物B，100元能进8件还余4元，空间也占用了8个位置，这样还剩下12个空间和4元钱就浪费了。
这时候动态规划就来帮忙啦。
你得综合考虑每种货物的利润、资金和空间的限制，来确定一个最优的进货方案。
可能是进一些货物A，一些货物B，再搭配一点货物C，这样才能让你的总利润最大化。
三、动态规划的思考过程。
这就像是在脑子里搭积木一样。
你先从一件货物开始想，假如只能进一种货物，怎么进才能在资金和空间允许的情况下赚最多的钱。
然后再考虑两种货物的组合，最后再把三种货物都考虑进来。
这个过程中，你要不断地比较不同方案的利润。
就像在做一个很有趣的游戏，你要在有限的资源里找到最棒的玩法。
而且这个玩法不是一成不变的，可能今天的进价和售价变了，或者你的资金和空间变了，那你的最优方案也得跟着变。
四、动态规划在实际生活中的意义。
你看啊，在这个出售货物的小例子里，动态规划能帮我们赚更多的钱。
但在实际生活中，它的用处可大了去了。
不仅仅是小商贩，大公司在安排生产、物流、销售的时候也会用到。
比如说快递公司安排送货路线，既要考虑每个快递点的包裹数量，又要考虑车辆的载重量和路程远近，这时候动态规划就能发挥作用啦。
动态规划实例讲解
x4 D 4(x4)x5 v4(x4,d4) v4(x4,d4)+f5(x5)f4(x4)最 优 决 策 d4*
D 1D 1 EE 5
5+0=5* 5 D 1 E
D 2D 2 EE 2
2+0=2* 2 D 2 E
16
求最短路径
其中*表示最优值，在上表中，由于决策允
许集合D4(x4)中的决策是唯一的，因此这个
从表达式f1(x1)可以看出，从A到E 的最短路径长度为19。由f1(x1)向 f4(x4)回朔，得到最短路径为：
A B2 C1D1E
23
24
资源分配问题
资源分配问题
例5.6: 有资金4万元，投资A、B、C三个项
目，每个项目的投资效益与投入该项目的
资金有关。三个项目A、B、C的投资效益
（万吨）和投入资金（万元）关系见下表：
x2 D 2(x2) x3 v2(x2,d2) v2(x2,d2)+f3(x3) f2(x2) d2*
000 0
0+0=0
00
1
0 1
1 0
0 13
0+11=11 13+0=13*
13 1
02 0
0+30=30*
2 1 1 13
13+11=24 30 0
2 0 29
29+0=29
03 0
0+45=45*
决策允许集合包含三个决策，它们是
D2(x2)=D2(B3)={B3C1,B3C2,B3C3}
15
求最短路径
最优指标函数fk(xk)表示从目前状态
到E的最短路径。终端条件为
f5(x5)=f5(E)=0 其含义是从E到E的最短路径为0。
数学建模动态规划
u5*(E2)F.
4
6
D2 2
F
3
1
D3
3
E2 u4 *(D 1)E1.
f4(D2)5 u4 *(D 2)E2.
f 3 ( C 2 ) m d 3 ( C 2 , D 1 i ) f 4 n ( D 1 ) d 3 ( { C , 2 , D 2 ) f 4 ( D 2 )}
m 4 i7 ,5 n 5 } { 1 . 0
一、基本概念
阶段：是指问题需要做出决策的步数。阶段总数常记为n，相 应的是n个阶段的决策问题。阶段的序号常记为k，称为阶段 变量，k=1,2, …,n. k即可以是顺序编号也可以是逆序编号， 常用顺序编号。 状态：各阶段开始时的客观条件，第k阶段的状态常用状态
变量 s k 表示，状态变量取值的集合成为状态集合，用 S k
4
A
5
2
B1 3
6
8 7
B2
7
C1
5
8
4
C2 5
3
C3 4
8
C4 4
D1
3
5 6
D2 2
1
D3
3
u5*(E1)F,
E1
4
3
E2
u5*(E2)F.
F
f 4 ( D 1 ) m d 4 ( D 1 , E 1 i ) f n 5 ( E 1 ) d 4 ( { D , 1 , E 2 ) f 5 ( E 2 )}
到过程终止时的最佳效益。记为
其中 opt 可根据具体情况取max 或min。 基本方程：此为逐段递推求和的依据，一般为：
式中opt 可根据题意取 max 或 min. 例如，案例1的基本方程为：
动态规划详解（C++版）
动态规划详解（C++版）动态规划一、背包问题：01背包问题题目有N件物品和一个容积为V的背包。
第i件物品的体积是c[i]，价值是w[i]。
求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。
基本思路这是最基础的背包问题，特点是：每种物品仅有一件，可以选择放或不放。
用子问题定义状态：即f[i][v]表示前i件物品恰放入一个容量为v 的背包可以获得的最大价值。
则其状态转移方程便是：二维方程：f[i,v]:=max(f[i-1,v],f[i-1,v-c[i]]+w[i])一维方程：f[v]:=max(f[v],f[v-c[i]]+w[i]);这个方程非常重要，基本上所有跟背包相关的问题的方程都是由它衍生出来的。
所以有必要将它详细解释一下：“将前i件物品放入容量为v的背包中”这个子问题，若只考虑第i件物品放或不放，那么就可以转化为一个只牵扯前i-1件物品的问题。
如果不放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入容量为v的背包中”，价值为f[i-1][v]；如果放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入剩下的容量为v-c[i]的背包中”，此时能获得的最大价值就是f[i-1][v-c[i]]再加上通过放入第i件物品获得的价值w[i]。
1．采药(RQNOJ15)；题目描述：辰辰是个天资聪颖的孩子，他的梦想是成为世界上最伟大的医师。
为此，他想拜附近最有威望的医师为师。
医师为了判断他的资质，给他出了一个难题。
医师把他带到一个到处都是草药的山洞里对他说：“孩子，这个山洞里有一些不同的草药，采每一株都需要一些时间，每一株也有它自身的价值。
我会给你一段时间，在这段时间里，你可以采到一些草药。
如果你是一个聪明的孩子，你应该可以让采到的草药的总价值最大。
”如果你是辰辰，你能完成这个任务吗？输入格式：输入的第一行有两个整数T（1 <= T <= 1000）和M（1 <= M <= 100），用一个空格隔开，T代表总共能够用来采药的时间，M代表山洞里的草药的数目。
c语言动态规划
c语言动态规划动态规划是一种常用的问题求解方法，它通过将问题分解成子问题来求解，然后根据子问题的解来推导出原问题的解。
在C 语言中，我们可以使用动态规划的思想来解决许多复杂的问题。
动态规划通常通过使用一个数组来存储子问题的解，然后根据数组的值来计算原问题的解。
下面是一个简单的动态规划的例子：假设有一个数组arr，包含n个整数，我们要求解arr的最大连续子数组的和。
我们可以定义一个新的数组dp，其中dp[i]表示以arr[i]结尾的最大连续子数组的和。
那么，我们可以得到动态规划的递推关系式：dp[i] = max(arr[i], dp[i-1]+arr[i])其中，当i=0时，dp[i]=arr[i]。
下面是一个使用动态规划求解最大连续子数组和的C语言代码示例：```c#include <stdio.h>int maxSubArray(int arr[], int n) {int dp[n];dp[0] = arr[0];int maxSum = dp[0];for (int i = 1; i < n; i++) {dp[i] = (dp[i-1] + arr[i]) > arr[i] ? (dp[i-1] + arr[i]) : arr[i];maxSum = dp[i] > maxSum ? dp[i] : maxSum;}return maxSum;}int main() {int arr[] = {-2, 1, -3, 4, -1, 2, 1, -5, 4};int n = sizeof(arr) / sizeof(arr[0]);int maxSum = maxSubArray(arr, n);printf("Maximum sum of subarray is %d\n", maxSum);return 0;}```在上面的代码中，我们定义了一个长度为n的数组dp，存储以arr[i]结尾的最大连续子数组的和。
cc++动态规划与递推教程
图5.10 一个有向连通图
计算开始时，若 (j ， t)∈E ，则 cost (k-1 ， j)=C(j，t)；当(j，t)E时，令cost (k-1 ，j)=∞。 利 用 公式 (5-1) 计 算 cost (l ， s) ： 先 对所 有 ∈Vk-2计算 cost (k-2，j)；然后对所有j∈Vk-3 计算 cost (k-3 ， j) ，继续算下去，最后得 cost (l，s)。对于图 5.10，计算过程如下： cost (3 ，5)= min(4+ cost (4，8)，8+cost (4，9))=min(4+8，8+4)=12 cost (3，6)= min(9+ cost (4，8)，6+ cost (4，9))= min(9+8，6+4)=10
第3类，仅有一种方法(c)。分别归并相邻两 堆，再归并成1堆。 定义 f(i,j) 表示从第i堆到第j堆沙子的归并的 最小代价，g(i,j) 表示第i堆到第j堆沙子的质 量和。于是： f (1,4)=min{f(1,3), f(1,2)+f(3,4),f(2,4)}+g(1,4) 而 f (1,3)=min{f (1,2), f (2,3)}+g (1,3) f (1,2)=g(1,2); f (3,4)=g(3,4); f (2,3)=g(2,3) f (2,4)=min{f (2,3), f (3,4)}+g(2,4) 一般地：
5.3 最短路径问题 这是在数据结构中讨论过的问题，现在用 动态规划求解。 给定有向连通图 G=(V，E)。按动态规划的 方法，首先将图“段化”。把顶点集 V 分 成 k个不相交的子集Vi，k≥2，1≤i≤k。使得 E中的任一边〈u ,v〉，必有u∈Vi，v∈Vi+1。 令 |V1|= |Vk|=1 。 则 称 s(∈V1) 为 起 点 ， t(∈Vk) 为终点。C(i ，j)是边(i ，j)的耗费函 数。从 s 到 t 的一条路线的耗费等于这条线 路上所有边的耗费之和。每个子集 Vi
动态规划算法设计方法及案例解析
动态规划算法设计方法及案例解析动态规划是一种解决多阶段决策问题的常用算法，通过将问题分解为多个子问题，并通过求解子问题的最优解来得到原问题的最优解。
本文将介绍动态规划算法的设计方法，并通过两个实例进行解析，以帮助读者更好地理解和应用该算法。
一、动态规划算法设计方法动态规划算法的设计一般遵循以下几个步骤：1. 确定问题的状态：将原问题划分为若干个子问题，并定义每个子问题的状态。
状态的定义应该包含子问题的变量和可以从子问题中获得的信息。
2. 定义状态转移方程：通过分析子问题之间的关系，确定状态之间的转移方式。
通常使用递推关系式来描述状态之间的转移，以表达每个子问题的最优解与其他子问题解之间的关系。
3. 确定初始状态和边界条件：确定问题的初始状态和边界条件，即最简单的子问题的解，作为求解其他子问题的基础。
4. 计算最优解：根据定义的状态转移方程，利用递推的方式从初始状态开始逐步计算每个子问题的最优解，直到得到原问题的最优解。
二、案例解析1：背包问题背包问题是动态规划算法中经典的案例之一，主要解决如何在限定容量的背包中选择一些物品，使得物品的总价值最大。
以下是一个简化的例子：假设有一个容量为C的背包，以及n个物品，每个物品有重量wi 和价值vi。
要求选择一些物品放入背包中，使得放入背包中物品的总价值最大。
根据动态规划算法的设计方法，我们可以定义子问题的状态为：背包容量为c，前a个物品的最优解用F(c,a)表示。
那么，状态转移方程可以定义为：F(c,a) = max{F(c,a-1), F(c-wa, a-1) + va}其中，F(c,a-1)表示不选择第a个物品时的最优解，F(c-wa, a-1) + va 表示选择第a个物品时的最优解。
初始状态为F(0,a) = F(c,0) = 0，边界条件为c < wa时，F(c,a) =F(c,a-1)。
根据以上定义，我们可以通过递推的方式计算F(c,n)，从而得到背包问题的最优解。
动态规划教程(c语言描述)
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动态规划解题的一般思路
用动态规划解题时，将和子问题相关的各个变量的一组取值， 称之为一个“状态”。一个“状态”对应于一个或多个子问题， 所谓某个“状态”下的“值”，就是这个“状态”所对应的子 问题的解。 比如数字三角形，子问题就是“从位于(r，j)数字开始，到 底边路径的最大和”。这个子问题和两个变量r 和j 相关，那 么一个“状态”，就是r, j 的一组取值，即每个数字的位置就 是一个“状态”。该“状态”所对应的“值”，就是从该位置 的数字开始，到底边的最佳路径上的数字之和。 定义出什么是“状态”，以及在该 “状态”下的“值”后， 就要找出不同的状态之间如何迁移――即如何从一个或多个 “值”已知的 “状态”，求出另一个“状态”的“值”。状 态的迁移可以用递推公式表示，此递推公式也可被称作“状态 转移方程”。
你的任务，就是对于给定的序列，求出最长上升子序 列的长度。
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问题描述
输入数据 输入的第一行是序列的长度N (1 <= N <= 1000)。第二行 给出序列中的N 个整数，这些整数的取值范围都在0 到 10000。 输出要求 最长上升子序列的长度。 输入样例 7
1735948
输出样例 4
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5、参考程序 III
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动态规划解题的一般思路
许多求最优解的问题可以用动态规划来解决。
首先要把原问题分解为若干个子问题。注意单纯的递归往往会导 致子问题被重复计算，用动态规划的方法，子问题的解一旦求出就 要被保存，所以每个子问题只需求解一次。 子问题经常和原问题形式相似，有时甚至完全一样，只不过规模 从原来的n 变成了n-1，或从原来的n×m 变成了n×(m-1) ……等 等。
动态规划讲解大全(含例题及答案)
多阶段决策过程的最优化问题。 在现实生活中，有一类活动的过程，由于它的特殊性，可将过程分成若干个互相联系的阶段，在 它的每一阶段都需要作出决策，从而使整个过程达到最好的活动效果。当然，各个阶段决策的选取不 是任意确定的，它依赖于当前面临的状态，又影响以后的发展，当各个阶段决策确定后，就组成一个 决策序列，因而也就确定了整个过程的一条活动路线，如图所示：（看词条图） 这种把一个问题看作是一个前后关联具有链状结构的多阶段过程就称为多阶段决策过程，这种问 题就称为多阶段决策问题。
在前面的例子中，第一个阶段就是点 A，而第二个阶段就是点 A 到点 B，第三个阶段是点 B 到点 C，而第四个阶段是点 C 到点 D。
状态：状态表示每个阶段开始面临的自然状况或客观条件，它不以人们的主观意志为转移，也称 为不可控因素。在上面的例子中状态就是某阶段的出发位置，它既是该阶段某路的起点，同时又是前 一阶段某支路的终点。
fout.close(); return 0; }
USACO 2.3 Longest Prefix
题目如下： 在生物学中，一些生物的结构是用包含其要素的大写字母序列来表示的。生物学家对于把长的序 列分解成较短的（称之为元素的）序列很感兴趣。 如果一个集合 P 中的元素可以通过串联（允许重复；串联，相当于 Pascal 中的 “+” 运算符） 组成一个序列 S ，那么我们认为序列 S 可以分解为 P 中的元素。并不是所有的元素都必须出现。 举个例子，序列 ABABACABAAB 可以分解为下面集合中的元素： {A, AB, BA, CA, BBC} 序列 S 的前面 K 个字符称作 S 中长度为 K 的前缀。设计一个程序，输入一个元素集合以及一 个大写字母序列，计算这个序列最长的前缀的长度。 PROGRAM NAME: prefix INPUT FORMAT 输入数据的开头包括 1..200 个元素（长度为 1..10 ）组成的集合，用连续的以空格分开的字 符串表示。字母全部是大写，数据可能不止一行。元素集合结束的标志是一个只包含一个 “.” 的行。 集合中的元素没有重复。接着是大写字母序列 S ，长度为 1..200,000 ，用一行或者多行的字符串 来表示，每行不超过 76 个字符。换行符并不是序列 S 的一部分。 SAMPLE INPUT (file prefix.in) A AB BA CA BBC . ABABACABAABC OUTPUT FORMAT 只有一行，输出一个整数，表示 S 能够分解成 P 中元素的最长前缀的长度。 SAMPLE OUTPUT (file prefix.out) 11 示例程序如下： #include <stdio.h>
动态规划算法详解及应用实例
动态规划算法详解及应用实例动态规划算法是一种常见的解决各种最优化问题的算法。
它适用于很多复杂的问题，如图形分析、路线规划、搜索引擎等等。
本文将详细讲解动态规划算法的基本原理、特点和应用实例，供大家学习和借鉴。
一、动态规划算法基本原理动态规划，简称DP，是一种递推式算法，通过将问题分解成一系列子问题，并按照一定的顺序对子问题进行求解，最终得到问题的最优解。
其主要思想是：当我们在解题时遇到一个问题时，如果能将这个问题划分成若干个与原问题相似但规模更小的子问题，而这些子问题又可以逐一求解，最终将所有子问题的结果汇总起来得到原问题的解，那么这个问题就可以使用动态规划算法解决。
由于动态规划算法中有“最优解”的要求，所以在求解过程中需要涉及到状态转移方程的设计。
状态转移方程是一个数学公式，它描述了一个状态如何从前一个状态转移而来，以及在当前状态下所做的某些决策对下一个状态的影响。
通过不断迭代求解状态转移方程，我们可以得到最优解。
二、动态规划算法的特点1、动态规划是一种自底向上的策略，通常需要维护一个状态表格，记录下每个阶段的最优解，最后汇总起来得到问题的最终解。
2、动态规划通常具有“无后效性”的特点，即求解某个决策问题时，当前状态之后的决策不会影响之前的决策。
因此，在涉及到状态转移时，只需考虑当前状态和以前的状态即可。
3、动态规划通常包含两个要素：最优子结构和重叠子问题。
最优子结构是指一个问题的最优解由其子问题的最优解递推而来，而重叠子问题则是指在递归求解的过程中，同一问题会被反复求解多次，因此需要使用记忆化搜索等技巧，避免重复计算。
4、动态规划算法的时间复杂度通常是O(n^2)或O(n^3)，空间复杂度通常也会比较高。
三、应用实例：0-1背包问题0-1背包问题是指在背包容量固定的情况下，如何选择物品才能使得背包装载的价值最大，其中每个物品只能选择一次。
对于此类问题，可以采用动态规划算法进行求解。
首先需要确定问题的状态转移方程，具体如下：设f(i,j)表示在前i个物品中，当背包的容量为j时，能够装载的最大价值，那么状态转移方程为：f(i,j)=max{f(i-1,j), f(i-1,j-wi)+vi}其中，wi表示第i个物品的重量，vi表示第i个物品的价值。
动态规划(完整)
(3) 决策、决策变量
所谓决策就是确定系统过程发展的方案，
决策的实质是关于状态的选择，是决策者
从给定阶段状态出发对下一阶段状态作出
的选择。
用以描述决策变化的量称之决策变量， 和状态变量一样，决策变量可以用一个数， 一组数或一向量来描述．也可以是状态变量
的函数，记以 xk xk (sk ) ，表示于 k 阶段状
动态规划的分类:
• 离散确定型 • 离散随机型 • 连续确定型 • 连续随机型
动态规划的特点:
• 动态规划没有准确的数学表达式和定义 精确的算法, 它强调具体问题具体分析,
依赖分析者的经验和技巧。
• 与运筹学其他方法有很好的互补关系, 尤 其在处理非线性、离散性问题时有其独 到的特点。
通常多阶段决策过程的发展是通过状态的一系列变换来 实现的。一般情况下，系统在某个阶段的状态转移除与本阶 段的状态和决策有关外，还可能与系统过去经历的状态和决 策有关。因此，问题的求解就比较困难复杂。而适合于用动 态规划方法求解的只是一类特殊的多阶段决策问题，即具有 “无后效性”的多阶段决策过程。
4 6
C1
3
B2 3
4T
3 3
C2
阶段指标函数：
vk sk , xk cskxk
5
A3
B3
过程指标（阶段递推）函数:
fk(sk ) min
vk (sk , xk )
fk
1
(sk
1 )
k= 4
f4 (C1) = 3, f4 (C2) = 4
2
k=3
f3(B1)=min{1+f4(C1)=4*, 4+f4(C2)=8}=4
(6) 指标函数
用来衡量策略或子策略或决策的效果的 某种数量指标，就称为指标函数。它是定义 在全过程或各子过程或各阶段上的确定数量 函数。对不同问题，指标函数可以是诸如费 用、成本、产值、利润、产量、耗量、距离、 时间、效用，等等。
动态规划 运筹学 例题
动态规划运筹学例题动态规划（DynamicProgramming）是运筹学中一种基于分析多阶段决策过程的重要算法。
它主要指用于多步决策的最优化方法，是在一定时期内，为了达到目标，从多种可能的决策中选择最优方案的过程。
它的最大特点就是将一个较大的复杂的问题分解成若干个小的子问题，将解决这些子问题的过程和结果组合起来，从而解决原问题。
下面以最常见的“背包问题”为例，来深入讲解动态规划的基本原理。
假设有一个背包，背包容量为5KG，要放入这个背包中的有：物品A（重量3kg，价值2），物品B（重量2kg，价值3），物品C（重量1kg，价值4）。
问：最多能放入背包中的最大价值是多少？动态规划会将这个问题分解成两个子问题，即：当第一个物品放入背包时，最多能放入背包中的最大价值是多少？当第二个物品放入背包时，最多能放入背包中的最大价值是多少？通过上面划分出来的2个子问题，我们就可以用动态规划来解决这个问题。
首先，定义f（i，w）表示前i个物品放入背包中，总重量不超过w的最大价值，即：f（i，w）=max{f（i-1，w），f（i-1，w-wi）+vi}其中，f（i-1，w）表示前i-1个物品放入背包中，总重量不超过w的最大价值，f（i-1，w-wi）+vi表示前i-1个物品放入背包中，总重量不超过w-wi的最大价值，再加上第i个物品的价值vi。
下面我们来解决上面所说的背包问题：对于第一个物品A，有两种情况，第一种情况：不放入背包，则背包中的最大价值f（1，5）=0；第二种情况：将物品A放入背包，则背包中最大价值f（1，2）=2。
由于5>2，所以f（1，5）=2。
第二个物品B，有两种情况，第一种情况：不放入背包，f（2，5）=2；第二种情况：将物品B放入背包，则背包中最大价值f（2，3）=2+3=5。
由于5>3，所以f（2，5）=5。
同理，有第三个物品C，有两种情况，第一种情况：不放入背包，f（3，5）=5；第二种情况：将物品C放入背包，则背包中最大价值f（3，4）=5+4=9。
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Input Input contains data for a bunch of mice, one mouse per line, terminated by end of file.
The data for a particular mouse will consist of a pair of integers: the first representing its size in grams and the second representing its speed in centimeters per second. Both integers are between 1 and 10000. The data in each test case will contain information for at most 1000 mice.
6
二、经典问题：最长有序子序列
[问题描述] 找出由n个元素组成的序列的最长有序子序列
长度及其中一个最长有序子序列 （注：这里有序指非递减顺序，且不要求子序列 连续）。 例如，对于序列[3, 7, 1, 5, 9, 3]，其中最长有序 子序列长度为3，这样的子序列有： [3, 7, 9]、[1, 5, 9]、[3, 5, 9]。
结论：自顶向下的分析，自底向上的计算。
2020/10/15
5
思路：从倒数第二行起， 按照状态转移方程 dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i + 1][j + 1]) + val[i][j] 向上递推， 直到val[1][1]， 此时dp[1][1]就是结果
2020/10/15
W[m[1]] < W[m[2]] < ... < W[m[n]]
and
S[m[1]] > S[m[2]] > ... > S[m[n]]
In order for the answer to be correct, n should be as large as possible. All inequalities are strict: weights must be strictly increasing, and speeds must be strictly decreasing. There may be many correct outputs for a given input, your program only needs to find one.
2020/10/15
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二、经典问题：最长有序子序列
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二、经典问题：最长有序子序列
2020/10/15
9
二、经典问题：最长有序子序列
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三 1160 FatMouse's Speed
Problem Description FatMouse believes that the fatter a mouse is, the faster it runs. To disprove this, you want to take the data on a collection of mice and put as large a subset of this data as possible into a sequence so that the weights are increasing, but the speeds are decreasing.
2020/10/15
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三 1160 FatMouse's Speed
解题思路： 题目要求找到的体重递增，速度递减 老鼠，先把老鼠的体重进行升序排序 然后算出速度的最长递减子序列。
2020/10/15
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四 1087 Super Jumping! Jumping! Juping!
Problem Description Nowadays, a kind of chess game called “Super Jumping! Jumping! Jumping!”
C案例04动态规划
用暴力的方法，可以吗？
2020/10/15
2
试想一下：
这道题如果用枚举法（暴力思想），在 数塔层数稍大的情况下（如31），则 需要列举出的路径条数将是一个非常庞 大的数目（2^30= 1024^3 > 10^9=10亿）。
2020/10/15
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拒绝暴力，倡导和谐～
2020/10/15
4
考虑一下：
从顶点出发时到底向左走还是向右走应取决于是 从左走能取到最大值还是从右走能取到最大值，只要 左右两道路径上的最大值求出来了才能作出决策。
同样，下一层的走向又要取决于再下一层上的最 大值是否已经求出才能决策。这样一层一层推下去， 直到倒数第二层时就非常明了。
如数字2，只要选择它下面较大值的结点19前进 就可以了。所以实际求解时，可从底层开始，层层递 进，最后得到最大值。
Two mice may have the same weight, the same speed, or even the same weight and speed.
2020/10/15
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三 1160 FatMouse's Speed
Output Your program should output a sequence of lines of data; the first FatMouse's Speed
Sample Input
6008 6000 500 1000 1100 6000 8000 6000 2000
1300 2100 2000 4000 3000 2000 1400 1200 1900
Sample Output
4 4 5 9 7