流水作业调度问题报告

题目二 流水作业调度

2.1问题重述

n 个作业},,2,1{n 要在由2台机器1M 和2M 组成的流水线上完成加工。每个作业加工的顺序都是先在1M 上加工，然后在2M 上加工。1M 和2M 加工作业i 所需的时间分别为i a 和i b ，n i ≤≤1。流水作业调度问题要求确定这n 个作业的最优加工顺序，使得从第一个作业在机器1M 上开始加工，到最后一个作业在机器2M 上加工完成所需的时间最少。

2.2问题分析

设全部作业的集合为},,2,1{n N =。S 是N 的作业子集。在一般情况下，机器1M 开始加工S 中作业时，机器2M 还在加工其他作业，要等时间t 后才可利用。将这种情况下完成S 中作业所需的最短时间记为),(t S T 。流水作业调度问题的最优值为)0,(N T 。

经过分析，流水作业调度问题具有最优子结构性质。设π是所给n 个流水作业的一个最优调度，它所需的加工时间为')1(T a +π。其中'T 是在机器2M 的等待时间为)1(πb 时，安排作业)(,),2(n ππ 所需的时间。

记)}1({π-=N S ，则有),()1('πb S T T =。

由流水作业调度问题的最优子结构性质可知:

)}},{({min )0,(1i i n i b i N T a N T -+=≤≤ （1）

一般形式：

})}0,max{,},{({min ),(i i i S

i a t b i S T a t S T --+=∈ （2） 从公式（1）可以看出，该问题类似一个排列问题，求N 个作业的最优调度问题，利用其子结构性质，对集合中的每一个作业进行试调度，在所有的试调度中，取其中加工时间最短的作业做为选择方案。将问题规模缩小。公式（2）说明一般情况下，对作业集S 进行调度，在2M 机器上的等待时间，除了需要等该部件在1M 机器上完成时间，还要冲抵一部分原来的等待时间，如果冲抵已成负

值，自然仍需等待1M 将作业做完，所以公式取}0,max {i a t -。

2.3算法描述

从上面的分析可知，流水作业问题一定存在满足Johnson 法则的最优调度，从而得到流水作业问题的Johnson 算法：

（1）令}|{1i i b a i N <=，}|{2i i b a i N ≥=；

（2）将1N 中作业依i a 的非减序排序；将2N 中作业依i b 的非增序排序；

（3）1N 中作业接2N 中作业构成满足Johnson 法则的最优调度。

算法代码具体实现，见附录。

2.4验证结果

我们任意选取数据进行验证，即任意选取五个不同的作业在机器1上的运行时间为}1,4,5,2,3{，在机器2上运行时间为}2,1,3,6,4{。输出结果：完成作业的最短时间为：17；作业调度的顺序为：}3,2,0,1,4{。

图2 算法程序运行结果