最新九年级上册数学一元二次方程专题知识点总结
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最新九年级上册数学一元二次方程专题知识点总结
知识点1.一元二次方程的判断标准:
(1)方程是_____方程(2)只有___个未知数(一元)(3)未知数的最高次数是____(二次) 三个条件同时满足的方程就是一元二次方程
练习A :1、下面关于x 的方程中:①ax 2+bx+c=0;②3x 2-2x=1;③x+3=
1x ;④x 2-y=0; ④(x+1)2= x 2-1.一元二次方程的个数是 .
2、若方程kx 2+x=3x 2+1是一元二次方程,则k 的取值范围是_________.
3、若关于x 的方程05122=+-+-x k x k 是一元二次方程,则k 的取值范围是_________.
4、若方程(m-1)x |m|+1-2x=4是一元二次方程,则m=______.
知识点 2.一元二次方程一般形式及有关概念
一元二次方程的一般形式______________________,其中_______是二次项,______为二次项系数,_______是一次项,_______为一次项系数,______为常数项.
注意:二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面的符号
练习B:1、将一元二次方程3x(x-1)=5(x+2)化成一般形式为_____________,其中二次项系数 a=________,一次项系数b=__________,常数项c=__________
知识点3.完全平方式
练习C:1、说明代数式2241x x --总大于224x x --
2、已知1a a +=1a a
-的值.
3、若x 2+mx+9是一个完全平方式,则m= ,
若x 2+6x+m 2是一个完全平方式,则m 的值是 .
若942++kx x 是完全平方式,则k = .
知识点4.整体运算
练习D: 1、已知x 2+3x+5的值为11,则代数式3x 2+9x+12的值为
2、已知实数x 满足210x x +-=则代数式2337x x ++的值为____________
知识点5.方程的解
练习E :1、已知关于x 的方程x 2+3x+k 2=0的一个根是x=-1,则k=_______________.
2、求以12x 1x 3=-=-,为两根的关于x 的一元二次方程 .
知识点6.方程的解法
⑴方法:①直接开方法;②因式分解法;③配方法(二次项系数为1,一次项系数为偶数);④公式法;⑤十字相乘法;
⑵关键点:降次
练习F :
1、直接开方解法方程
(1) 2(6)30x -+= (2) 21(3)22
x -= (3)(4x-1)²=225 (4)
2、用配方法解方程
(1) 2210x x +-= (2) 2430x x -+=
3、用公式法解方程
(1) 03722=+-x x (2) 210x x --=
4、用因式分解法解方程:
(1) 3(2)24x x x -=- (2) 22(24)(5)x x -=+
5、用十字相乘法解方程
(1) 2900x x --= (2) 22100x x +-=
知识点7.一元二次方程根的判别式:2b 4ac ∆=-
练习G:1、关于x 的一元二次方程012)2(2=-+++m x m x . 求证:方程有两个不相等的实数根
2、若关于x 的方程0122=-+x k x 有两个不相等的实数根,则k 的取值范围是 .
3、关于x 的方程()0212=++-m mx x m 有实数根,则m 的取值范围是 知识点8.根与系数的关系
1212,b c x x x x a a +=-=(a ≠0, Δ=b 2-4ac ≥0) 使用的前提:(1)不是一般式的要先化成一般式;(2)定理成立的条件0∆≥
练习H :1、已知方程25x mx 6=0+-的一个根为x=3,求它的另一个根及m 的值.
2、已知22x 4x 30+-=的两根是x 1 ,x 2 ,利用根与系数的关系求下列各式的值
(1)12
11x x + (2)2212x x + (3)12(1)(1)x x ++ (4)212()x x - 3、已知关于x 的一元二次方程x 2-(m+2)x+14
m 2-2=0.(1)当m 为何值时,这个方程有两个的实数根.(2)如果这个方程的两个实数根x 1,x 2满足x 12+x 22=18,求m 的值.
知识点9.非负数的和2为0
|x |≥0,√a ≥0,a ²≥0
1、已知a ²+b ²+c ²+4a-2b +5=0,求3a ²+5b ²-5的值.
2、若a ,b ,c 是△ABC 的三边长且满足a ²-6a+b ²-8b+√c-a+25=0,请根据已知条件判断其形状.
知识点9.一元二次方程与实际问题
1、 病毒传播问题
2、 树干问题
3、 握手问题(单循环问题)
4、 贺卡问题(双循环问题)
5、 围栏问题
6、 几何图形(道路、做水箱)
7、 增长率、降价率问题
8、 利润问题(注意减少库存、让顾客受惠等字样)
9、 数字问题
10、折扣问题