张宇高等数学手写高清笔记
(最新)张宇高数18讲数学二知识点总结笔记
张宇高数18讲数学二知识点总结笔记●1.函数极限与连续1)函数极限的定义及使用●定义●使用●是常数、唯一性、局部有界性、局部保号性●等式脱帽法2)函数极限的计算●化简先行●等价无穷小替换●恒等变形●及时提出极限存在且不为0的因式●洛必达法则●泰勒公式●熟记常用公式●展开原则●无穷小比阶●函数极限的存在性●具体性●若洛必达失效，用夹逼准则●抽象性●单调有界准则●连续与间断●研究位置●无定义点、分段函数的分段点●连续●内点处、端点处●间断●2.数列极限1)数列极限的定义及使用●定义●使用●是常数、唯一性、有界性、保号性●收敛的充要条件2)数列极限的存在性与计算●海涅定理的使用●直接计算法●定义法（先斩后奏法）●单调有界准则●用已知不等式●题设给出条件来推证●夹逼准则●用基本放缩法●题设给出条件来推证●综合题总结●用导数、积分、中值定理综合●用方程列、区间列综合●用极限综合●3.一元微分的概念1)导数定义（导数在一点的问题）●分段函数（或含绝对值函数）在分段点●抽象函数在一点●特指点x_0●泛指点x●四则运算中的特殊点●太复杂的函数●f=f_1+f_2●f=f_1* f_2* f_3* ...*●求导公式无定义的点2)微分定义●4.一元微分的计算1)复合函数求导2)隐函数求导3)反函数求导4)分段函数求导（含绝对值）●在分段点用导数定义●在非分段点用导数公式●对数求导法●幂指函数求导法●参数方程确定的函数求导●高阶导数●归纳法（记公式）●莱布尼茨公式●展开式（记公式）5)难点●计算量大●含参数的讨论●高阶导数●5.一元微分的几何应用1)研究对象●“祖孙三代”●f(x)●具体●抽象●f_n(x) 函数族●f_1·f_2·...·f_n● f'(x) ； \frac{\mathrm{d}[f(x)]}{\mathrm{d}{(x^2)}} ; {f}^{(n)}(x)●\int_{a}^{x}f(x)dx●分段函数（含绝对值）●参数方程●x=x(t), y=y(t)●x=r(\theta)cos\theta,y=r(\theta)sin\theta●隐函数F(x,y)=02)研究内容●切线、法线、截距●极值、单调性●单调性的判别●一阶可导点是极值点的必要条件●判别极值的第1,2,3充分条件●拐点、凹凸性●凹凸性的定义●拐点定义●凹凸性与拐点的判别●判别凹凸性的充分必要条件●二阶可导点是拐点的必要条件●判别拐点的第1,2,3充分条件●6.中值定理、微分等式与微分不等式1)中值定理●确定区间●确定辅助函数●确定使用的定理●零点定理●介值定理●费马定理●罗尔定理●拉格朗日中值定理●泰勒公式●柯西中值定理2)微分等式问题●理论依据●考法3)微分不等式问题●用单调性●用最值●用凹凸性●用拉格朗日中值定理●用柯西中值定理●用带有拉格朗日余项的泰勒公式●7.一元微分物理应用1)物理应用●以“A对B的变化率”为核心写\frac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}B}●8.一元积分的概念与性质1)祖孙三代●\int_{a}^{x}f(x)dx ，f(x)，{ f^{'}(x) } 的奇偶性，周期性2)积分比大小●用几何意义●看面积大小●用保号性●做差●看正负3)定积分定义●基本形（能凑成\frac{i}{n}）●\lim_{n \to \infty}\sum_{i=1}^n f(0+\frac{1-0}{n}i)\frac{1-0}{n} =\int_{0}^{1}f(x)dx●\lim_{n \to \infty}\sum_{i=0}^{n-1} f(0+\frac{1-0}{n}i)\frac{1-0}{n} =\int_{0}^{1}f(x)dx●放缩形（凑不成\frac{i}{n}）●夹逼准则●放缩后再凑\frac{i}{n}●变量形●\lim_{n \to \infty}\sum_{i=1}^n f(0+\frac{x-0}{n}i)\frac{x-0}{n} =\int_{0}^{x}f(x)dx4)反常积分的判敛●概念●判别●9.一元积分的计算1)基本积分公式2)不定积分的计算●凑微分法●思想●方法●常用的凑微分公式●程序●换元法●思想●方法●三角函数代换●恒等变形后作三角代换●跟式代换●倒代换●复杂函数的直接带换●思想●方法●u,v的选取原则●推广公式（表格法）●有理函数的积分●定义●思想●方法3)定积分的计算●区间再现公式●华里士公式●其他常用含三角函数的积分等式●区间简化公式●对称性下的积分问题●定积分分部积分法中的“升阶”降阶“”公式●分段函数的定积分●10.一元积分几何应用1)研究对象●f(x)●f_n(x)●参数方程●x=x(t)●y=y(t)●\frac{\partial f}{\partial x}●\int_{a}^{x}f(x)dx●微分方程的解函数f(x)2)研究内容●面积、旋转体体积、平均值●平面曲线的弧长、旋转曲面的面积（侧面积）●“平面上的曲边梯形”的形心坐标公式●平行截面面积为已知的立体体积●11.积分等式与积分不等式1)积分等式●通过证明某特殊积分等式求某特殊积分●积分形式的中值定理2)积分不等式●用函数的单调性●处理被积函数●已知f(x) \leq g(x)，用积分保号性证得\int_{a}^{b}f(x)dx \leq\int_{a}^{b}g(x)dx，a<b●用拉格朗日中值定理●用泰勒公式●用放缩法●用分部积分法●用换元法●用夹逼准则求解一类积分的极限问题●曲边梯形面积的连续化与离散化问题●12.一元积分的物理应用1)位移大小与总路程●位移大小●\int_{t_1}^{t_2}v(t)dt●总路程●\int_{t_1}^{t_2}|v(t)|dt2)变力沿直线做功●W=\int_{a}^{b}F(x)dx3)提取物体做功●W=\rho g\int_{a}^{b}xA(x)dx4)静水压力●P=\rho g\int_{a}^{b}x[f(x)-h(x)]dx5)细杆质心●\bar x=\frac{\int_{a}^{b}x\rho (x)dx}{\int_{a}^{b}\rho (x)dx}6)其他重要应用（微元法总结）●13.多元函数微分学1)概念●极限、连续、偏导数、可微2)复合函数求导法●链式求导规则●全导数●全微分形式不变3)隐函数求导●隐函数存在定理●一个方程的情形●方程组的情形4)多元函数的极值、最值●无条件极值●取极值的必要条件●取极值的充分条件●条件极值与拉氏乘数法5)偏微分方程●已知偏导数（或偏增量）的表达式，求z=f(x,y)●给出变换，化已知偏微分方程为常微分方程，求f(u)●给出变换，化已知偏微分方程为指定偏微分方程及其反问题●14.二重积分1)概念●和式极限●普通对称性●轮换对称性●二重积分比大小●用对称性●用保号性●二重积分中值定理●周期性2)计算●直角坐标系与换序●极坐标系与换序●直极互化3)应用●面积●\iint_{D}dxdy●15.微分方程1)一阶微分方程的求解●能写成 y'=f(x)·g(x)●能写成 y'=f(ax+by+c)●能写成 y'=f(\frac{y}{x})●能写成 \frac{1}{y'}=f(\frac{x}{y})●能写成 y'+p(x)y=q(x)2)二阶可降阶微分方程的求解●能写成 y''=f(x,y')●能写成 y''=f(y,y')3)高阶常系数线性微分方程的求解●能写成 y''+py'+qy=f(x)●能写成 y''+py'+qy=f_1(x)+f_2(x)4)用换元法求解微分方程●用求导公式逆用来换元●用自变量来换元●用因变量来换元●用x,y地位互换来换元5)应用题●用极限、导数定义或积分等式建方程●用几何应用建方程●用曲线切线斜率●用两曲线f(x)与g(x)的公切线斜率●用截距●用面积●用体积●用平均值●用弧长●用侧面积●用曲率●用形心。
2016张宇高数笔记-第一版-带封面-第一次修订
( → ) ( )
( , , ), ( , , ), ( , , )
= , = + +
=
= ，其中 、 为常数，
| | > ，证明 ′( )存在，且 ′( ) = 。 ( ) = ，则 ( ) = + ( )，其中 若
→• (
3、圆与椭圆
→•
( )=
( − ) +( − ) = = + = + 圆心( , ), 面积 =
[例] = ∭ , 由 = ②球面坐标系
平面切 锥面切 ⇒ 球面切
+
; = ; = 围成
( , , )
(
( ) ( , )
, ( ,
, ,
) )
( + )< ； )⋯( +
→
=
( ) ( , )
1、由拉格朗日中值定理得 ( ) − ( ) = ′( )( − ) 令 ( ) = ( + ), 在[ , ]上用拉格朗日中值定理 ( + )− + 2、 = + + < ( + )= < + ( − )
（1）精确定义
( , , ) =
→
2、极限化积分
( + − , + − , + − ) − ∙ − ∙ −
→
=
→
( )=
( )
2、计算
（1）基础题 ①直角坐标系，柱面坐标系 1°先一后二法——投影穿线法
( )
第二讲 一元函数微积分学
综述：①定义；②计算；③应用(几何,物理)；④逻辑证明(中值,不等式,零点)
三、数列极限的计算 1、通项已知且易于连续化，用归结原则（海涅定理） 。
2014年考研数学高等数学(张宇)笔记
目录第一讲极限一极限定义 (3)二极限性质 (4)三函数极限基本计算 (8)四综合计算 (11)五数列极限计算 (14)六函数连续与间断 (16)第二讲一元函数微积分一概念 (17)1. 导数 (18)2. 微分 (20)3. 不定积分 (21)4. 定积分 (23)5. 变限积分 (28)6. 反常积分 (29)二计算 (29)1. 求导 (29)2. 求积 (33)三应用 (40)1. 微分应用 (40)2. 积分应用 (43)四逻辑推理 (43)1. 中值定理 (49)2. 等式证明 (50)3. 不等式证明 (51)第三讲多元函数的微分学（公共部分）一概念 (51)1. 极限的存在性 (51)2. 极限的连续性 (52)3. 偏导数的存在性 (52)4. 可微性 (53)5. 偏导数的连续性 (54)二计算 (54)三应用 (56)第四讲二重积分（公共部分）一概念与性质 (59)二计算 (60)1. 基础题 (60)2. 技术题 (61)三综合计算 (62)第五讲微分方程一概念及其应用 (63)二一阶方程的求解 (64)三高阶方程的求解 (66)第六讲无穷级数一数项级数的判敛 (67)二幂级数求收敛域 (69)三展开与求和 (69)四傅里叶级数 (71)第七讲多元函数微分学一基础知识 (73)二应用 (75)第八讲多元函数积分学一三重积分 (76)二第一型曲线、曲面积分 (78)1. 一线 (78)2. 一面 (79)三第二型曲线、曲面积分 (80)1. 二线 (81)2. 二面 (83)考研数学狂人笔记QQ 807784058，本资料为收集的考研中数学成绩达到146分的牛人所做的总结笔记。
笔记中的知识点、考点、重难点总结条理清晰，成功之鉴，便于对考点的把握，少走弯路，本资料为笔记的手写复印版，原滋原味，包含高数、线代、概率一套，资料为备考数学一所做，但是同样适用于数学二、三（只需要对照各自考纲，删除部分考点即可）。
(完整版)高等数学笔记
(完整版)高等数学笔记第一章 函数、极限和连续§1.1 函数一、 主要内容 ㈠ 函数的概念1。
函数的定义: y=f(x ）， x ∈D定义域： D(f ）, 值域: Z(f ）。
2.分段函数: ⎩⎨⎧∈∈=21)()(D x x g D x x f y3。
隐函数： F(x,y ）= 04。
反函数： y=f （x) → x=φ(y ）=f —1(y ）y=f -1(x)定理:如果函数: y=f （x), D （f ）=X ， Z （f ）=Y 是严格单调增加（或减少）的； 则它必定存在反函数：y=f —1（x)， D （f —1）=Y, Z （f —1)=X 且也是严格单调增加（或减少）的。
㈡ 函数的几何特性1。
函数的单调性： y=f （x ），x ∈D,x 1、x 2∈D 当x 1＜x 2时,若f(x 1)≤f(x 2)，则称f(x ）在D 内单调增加（ )；若f （x 1)≥f(x 2），则称f(x)在D 内单调减少( );若f(x 1）＜f （x 2)，则称f （x)在D 内严格单调增加( ）；若f(x 1)＞f （x 2)，则称f(x)在D 内严格单调减少（ ).2。
函数的奇偶性：D(f ）关于原点对称 偶函数：f(—x ）=f （x) 奇函数：f （-x ）=-f （x ） 3.函数的周期性：周期函数：f(x+T)=f(x ）, x ∈(-∞，+∞) 周期：T-—最小的正数4。
函数的有界性: |f(x)|≤M , x ∈(a,b) ㈢ 基本初等函数1。
常数函数： y=c ， (c 为常数）2.幂函数： y=x n， （n 为实数）3.指数函数: y=a x， （a ＞0、a ≠1） 4.对数函数： y=log a x ,（a ＞0、a ≠1） 5。
三角函数： y=sin x , y=con xy=tan x , y=cot x y=sec x , y=csc x6。
反三角函数：y=arcsin x, y=arccon x y=arctan x ， y=arccot x ㈣ 复合函数和初等函数1。
张宇高数笔记
张宇高数笔记(总13页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--第一章节 极限与连续数列收敛（有极限），则：①任何子列都收敛，反之就不是收敛数列。
②它的极限存在且唯一。
③它是有界的。
（收敛一定有界，但有界不一定收敛，可能振荡） ④它有保号性。
数列极限存在的解题手段： ①夹逼法。
②定积分定义法。
③对于给定递推式的数列求极限：（1）用单调有界证明极限存在，然后让等式两边极限相等解出A 。
（2）先斩后奏解出A ，然后用压缩映象原理列出|x x −x |<k |x x −1−x |，其中0<k <1④对于未给出递推式的数列求极限：根据题设条件得出x x +1和x x 的递推关系，然后用③的方法。
⑤充分运用题目中给出的函数关系式：（1）x x +1=x (x x )，x (ξ)=x ；则x x +1−x x =x (x x )−x (x x −1)，|x x +1−x |=|x (x x )−x (x )|（2）任何|x ′(x )|≤k 的函数，都可由拉氏定理得|x (x 1)−x (x 2)|≤x |x 1−x 2|（3）若知x (x )的单调性，可把x x +1和x x 的大小判断转化为对x (x x +1)和x (x x )的判断。
（4）若给出x x +1=x (x x )，x ′(x )和x 0的初值，则用拉氏定理:|x x +1−x 0|=|x (x x )−x (x 0)|=|x′(x )(x x −x 0)|≤A |(x x −x 0)|压缩映象⑥对于累加型数列x x =∑x (x ,x )x x =1求极限，常用无穷项相加放缩的方式夹逼出来。
函数极限存在（设为A ），则：①左右极限都为A 。
（证明题证极限存在的思路） ②唯一性、有界性、保号性。
③∀ε>0,∃δ>0,当0<|x −x 0|<δ时，有|f (x )−A |<ε此定义在广义上，ε可以为任何形式，但必须满足“可以任意小”。
张宇老师带你学高数上册导学 全
存在准则 两个重要极限（注意
两个重要极 极限成立的条件，熟 限 悉等价表达式）
掌握（两个重要极限 要会证明）【重点
】，“柯西极限存在 准则”考研不要求.
例1-4 4
利用函数极限求数列
极限
无穷小阶的概念（同
例1-5，例1
阶无穷小、等价无穷 小、高阶无穷小、低 §1.7无穷 阶无穷小、k阶无穷
掌握【重点】
掌握 掌握【重点】 掌握【重点】
§ 4.4 有 理 有理函数积分法，可 函数积分 化为有理函数的积分
§ 4.5 积 分 考研不作要求
表的使用
会求
总习题四
总结归纳本章的基本 概念、基本定理、基 本公式、基本方法
必做例题 精做练习
P192习4-1: 例1-3，5- 1(1),2(5)(8)(
15 13)(17)(19)( 21) (25),5,7
掌握
掌握 掌握 掌握
必做例题 精做练习 ——
例1-5 例6-10 例11-13
P286习6-2: 1(1)(4),2(1), 4,5(1),7,9,1 1,12,15(1)(3 ) ,16,19,21,22 (数二，数 三不用 做),28(数 二，数三不 用做)
例1-5
P293习6-3: 5,11（数三 全不用做）
方程
不要求）
例1-2
P314习7-3: 1(1)(5),2(2)
一阶线性微分方程的形式和解 掌握（熟记公式）
法 §7.4一阶
线性微分方
程
伯努利方程的形式和解法（记
1(5)(10)(12) 例1-10
(15)(16),2,3,
4
§3.3泰勒 泰勒中值定理 公式 麦克劳林展开式
张宇数学基础班笔记
张宇数学基础班笔记一、 三种层次层次一：感知——形式上 层次二：再现——本质上注1：2013年人数众多、题目特别难注2：洛必达法则在两种情况下要慎用：（狠下功夫） （1） f(x)/g(x)时，f 、g 为抽象函数 （2） f(x)/g(x)时，f 、g 含参数（半抽象）注3：洛必达法则的证明及其使用前提、拉格朗日中值定理的证明之类的题要注意注4：有限个无穷小的和是无穷小；有限个无穷小的积是无穷小。
无限个无穷小的 和不一定是无穷小；无限个无穷小的积也不一定是无穷小。
（到此为止）层次三：融通——解题能力（听课听得懂、看书看得懂，都不算解题能力，应该是在无任何提示的情况下独立做对题目）1. 泰勒公式：碰上此类难背的工具——具体学、不抽象学、不单纯背书。
用泰勒公式解决A+/-B 型函数的极限计算——泰勒公式是等价替换的精确化；等价替换是近似代换，泰勒公式是精确代换。
——泰勒公式：事不过三，只记两项。
SinX=X-1/6（(X)的三次方）o(X 的m 次方)——代表任何一个X 的m 次方的高阶无穷小arcsinX-arctanX=1/2(X3)sinX-tanX=-1/2(X3) 注意：lim （A+B ）=limA+limB ——后验逻辑（极限计算：能不能拆？拆了再说。
）注意：通法——目标：干掉f （x ）去掉抽象函数，分母相同时直接（2）式－（1）式 练习：SinX+X~2X二、三、 真题——好又多（1987-2001-2012：一、二、三、四）四、大纲——不能拘泥大纲五、特点（高数）1．注意：答题纸跟草稿纸非常像，一定小心。
不要塞进草稿纸2．高等数学难度加大，远远高于线代、概率。
重点在高数。
3．重心前移：在二重积分及其以前。
4．数学二的真题最有价值——最好的习题：数学二、四。
5．必备资料：（1）教材：高等数学：同济大学第六版（2）辅导书：（很好）概率：陈希孺院士、高数18讲（3）真题：2013考研数学历年真题分析与演练第二讲高等数学考试内容分析1.关于函数：(1)复合——分段函数的复合(2)（必考）考察函数的微分或者积分形式下的四个性质：奇偶性、单调性、周期性、有界性。
高等数学笔记(含数一内容)
隐函数求导
参数方程确定的函数求导
分段函数求导
先讨论关键点是否连续，确定连续后再判断函数各个部分是否可导。
求函数高阶导
一般使用数学归纳法解决。
微分
可微
定义：设y=f(x) (x∈D)，x₀∈D。若∆y=A∆x+৹(∆x)，则称f(x)在x=x₀处可微。
性质
可微一定可导，可导一定可微（充要条件）
若∆y=A∆x+৹(∆x)，则A=f'(x₀)，即dy∣₍x=x₀₎=f'(x₀)dx
二阶线性微分方程解的结构 齐+齐=齐 齐 + 非齐 = 非齐 非齐 + 非齐 = 齐 （拆解性质）对于方程**，若f(x)=f1(x)+f2(x)（即可拆成两部分），则分别构造两个二阶非齐次线性微分方程，且φ1(x)，φ2(x)分别为它们的特解，则 有原方程特解为：
y=φ1(x)+φ2(x) （系数和的特点）设φ1(x)，φ2(x)，...，φn(x)，为方程**的解，则通解的组合形式为y=k1φ1(x)+k2φ2(x)+...+knφn(x) 若y为方程*的通解，则k1+k2+...+kn=0（系数和为0） 若y为方程**的通解，则k1+k2+...+kn=1（系数和为1） （二阶常系数线性微分方程通解形式推导定理）
函数f(x)∈ c【a，b】的性质（函数在区间内恒连续）
性质1：∃最大值 M 和最小值 m （最值）； 性质2：∃M₀>0，使得∣f(x)∣≤M₀（有界）；
性质3： ∀η ∈【m，M】，∃ξ∈【a，b】，使得f(ξ)=η（介值定理）；
性质4：若 f(a)*f(b)<0，则∃c∈(a，b)，使得f(c)=0（零点定理）。 连续函数的运算
《高等数学》笔记-知识归纳整理
- 1 -第一章 函数与极限第一节 函数1.区间(interval):介于某两个实数之间的全体实数构成区间.这两个实数叫做区间的端点..,,b a R b a <∈∀且}{b x a x <<开区间),(b a 记作}{b x a x ≤≤闭区间],[b a 记作ox a bo xab}{b x a x <≤}{b x a x ≤<左闭右开区间左开右闭区间),[b a 记作],(b a 记作}{),[x a x a ≤=+∞}{),(b x x b <=-∞o x aoxb注:两端点间的距离称为区间的长度.无穷区间2 邻域.0,>δδ且是两个实数与设a ,叫做这邻域的中心点a .叫做这邻域的半径δ.}{),(δδδ+<<-=a x a x a U xaδ-a δ+a δδ,}{邻域的称为点数集δδa a x x <-记作二、函数的概念1.函数的定义函——信函单值对应多值函数不是函数自变量因变量对应法则(())x )(0x f f xyDW------函数的定义域D 和函数的对应规律f 函数的值域称为派生要素。
2. 函数的两个要素w={y │y=f(x), x ∈D}xaδ- a δ+ a δδ,邻域 的去心的 点 δa) , ( δ a U记作 .}0{),(δδ<-<=a x x a U知识归纳整理- 2 -❖定义域的求法❖在实际问题中，定义域由实际问题的具体条件来确定。
（即使实际问题故意义的取值范围）。
如时光、长度、分量必须大等于0 。
❖对于数学式子表达的函数，如果给出了取值范围就不必再求。
否则，则是使解析式故意义的x的集合（使对应的函数值唯一确定）。
1. 在分式中，分母应不为0；2. 在偶次根式中，被开方数不能为负数；3. 在对数式中，真数不能为0和负数；▪ 4. 在反三角函数式中，要符合反三角函数的定义域；▪ 5. 若函数表达式中含有分式、根式、对数式、反三角函数式等，则应取各部分定义域的交集。
(完整版)高等数学笔记(可编辑修改word版)
⑷若 lim ,则称β是比α较低阶的无穷小量
2
lim 1
定理：若：1 ~ 1， 2 ~ 2；则：
2
lim
1 2
㈢两面夹定理
1． 数列极限存在的判定准则：
设： yn xn zn （n=1、2、3…）
且：
lim
n
yn
lim
n
zn
a
则：
lim
n
xn
a
2． 函数极限存在的判定准则：
设：对于点 x0 的某个邻域内的一切点 （点 x0 除外）有：
第一章 函数、极限和连续 §1.1 函数
一、 主要内容 ㈠ 函数的概念 1. 函数的定义: y=f(x), x∈D
定义域: D(f), 值域: Z(f).
2.分段函数:
y
f (x) g( x)
x D1 x D2
3.隐函数: F(x,y)= 0 4.反函数: y=f(x) → x=φ(y)=f-1(y)
x x0
㈡无穷大量和无穷小量
1． 无穷大量： lim f (x)
称在该变化过程中 f (x) 为无穷大量。
X 再某个变化过程是指：
x , x , x , x x0, x x0 , x x0
2． 无穷小量： lim f (x) 0 称在该变化过程中 f (x) 为无穷小量。 3． 无穷大量与无穷小量的关系：
g(x) f (x) h(x) 且： lim g(x) lim h(x) A 则： lim f (x) A
x x0
x x0
x x0
㈣极限的运算规则
若： lim u(x) A, lim v(x) B
则：① lim[u(x) v(x)] limu(x) lim v(x) A B
高等数学知识点总结手写笔记
高等数学知识点总结手写笔记Higher mathematics, also known as advanced mathematics, is a fundamental and essential subject for many fields of study, including engineering, physics, computer science, and economics. It covers a wide range of topics, from calculus and differential equations to linear algebra and complex analysis. In order to understand and apply these concepts effectively, it is crucial to have a solid understanding of the key principles and techniques involved. In this hand-written summary, I will provide an overview of some of the most important concepts in higher mathematics.高等数学是许多领域的基础和必要学科，包括工程学、物理学、计算机科学和经济学。
它涵盖了广泛的主题，从微积分和微分方程到线性代数和复分析。
为了有效地理解和应用这些概念，具有对涉及的关键原理和技术的扎实理解至关重要。
在这篇手写摘要中，我将概述高等数学中一些最重要的概念。
One of the fundamental concepts in higher mathematics is calculus.It is the study of change, and it provides a framework for understanding how things change over time or in relation to one another. Calculus includes two main branches: differential calculus,which focuses on rates of change and slopes of curves, and integral calculus, which deals with accumulation and finding the area under a curve. These two branches of calculus are essential for solving problems in various fields of science and engineering.高等数学中的一个基本概念是微积分。
张宇2013考研数学辅导讲义高等数学第1,2章习题详解(理工类)
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张宇总结高数积分知识
1 1 2 ( 2 1)dt 8 t t 1 1 ( 2 ln t t ) C 8 t 1 x 1 x 1 x 1 ( 2 ln )C 8 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 ln C 2 2(1 x ) 4 x 1 1 3 5 x 1 x 故原式= x 2 x ln +C. 2 3 4 x 1 2(1 x )
6
1 对于不定积分 2 dx作一次变换， 2 ( x 1) x 1 2t 2 2 令t , 则x 1 , x 1 , dx dt 2 x 1 1 t 1 t (1 t ) 1 1 dx dx 2 2 2 2 ( x 1) ( x 1) ( x 1) 1 t 2 1 t 2 2 ( ) ( ) dt 2 2t 2 (1 t ) 1 1 t 2 ( ) dt 8 t
( x y) ( x y ) ln xy dxdy 1 x y D
2
( x y ) ln( x y ) ( x y ) ln x 2 dxdy 2 dxdy 1 x y 1 x y D D 于是I = dx
0 令x y u 视x为常数 1 1 x 0 1 1 x ( x y ) ln( x y ) x y dy ln xdx 0 0 1 x y 1 x y 1 1 1 1 u ln u u du ln xdx du 0 x 1 u 1 u
2 0
1
0
r dr. 1 r
2
于是分别只需计算
2 0
ln(1 tan ) sin 2 d 和
2
1
0
r dr即可. 1 r
纯手写!87页高分学霸数学笔记曝光,原来人家拿高分是有原因的!速下载
纯手写!87页高分学霸数学笔记曝光,原来人家拿高分是有原因的!速下载不少同学一到上课就开始忙起来了，把老师写在黑板上的一字不落都抄到笔记本上，就觉得笔记记完了。
但是这种方法真的有效吗？还有更高效的方法吗？今天学习哥给大家分享的是一个高三学霸谈到的一些记笔记的技巧；希望大家多多学习，从记笔记这件事做起，慢慢培养自己的好习惯。
学习就是这样一个慢慢改进、提升自己的过程，希望你不要操之过急。
01记课堂笔记的五大技巧1、不要记得太紧太密，每页右边留下约1/3的空白处，以便日后补充、修改。
2、用词用语要简洁浓缩，常用词语可用代号。
3、写字要快、字迹不必要求太高，看清就行。
4、注意听课与看书结合，有些内容可直接在书上批注。
5、用不同颜色的笔，比如用蓝色和红色，一般用蓝色笔写，重要的内容（如：概念、公式、定理）用红色笔写，这样便于以后复习只需看一下提纲然后进行联想。
02整理笔记“七步法”第一步：忆“趁热打铁”，课后即抓紧时间，对照书本、笔记，及时回忆有关的信息。
实在忆不起来，可以借同学的笔记参看。
这是整理笔记的重要前提，为笔记提供“可整性”。
第二步：补课堂上所做的笔记，因为是要跟着老师讲课的速度进行的，一般的讲课速度要较记录速度快。
于是笔记就会出现缺漏、跳跃、省略甚至符号代文字等情况。
在忆的基础上，及时作修补，使笔记有“完整性”。
第三步：改仔细审阅笔记，对错字、错句及其他不够确切的地方进行修改。
其中，特别要注意与解答课后练习，与教学(学习)目的有关的内容的修改，使笔记有“准确性”。
第四步：编用统一的序号，对笔记内容进行提纲式的、逻辑性的排列，注明号码，梳理好整理笔记的先后顺序，使笔记有“条理性”。
第五步：分以文字(最好用红笔)或符号、代号等划分笔记内容的类别。
如，以语文为例，哪些是字词类，哪些是作家与作品类，哪些作品(课文)是分析类，哪些是问题质疑、探讨类，哪些是课后练习题解答，等等。
为分类摘抄做好准备，使笔记有“系统性”。
大一高数极限笔记整理手写
大一高数极限笔记整理手写极限笔记整理一、极限的概念1.极限是指在某个无限小范围内，函数值变化率明显减小，以至于最终趋近某一值。
2.极限也就是函数在某点上的取值，或者叫做这个函数到某一点的接近值。
3.极限的实质是用一个函数的局部特性来反映其整体特性。
4.极限的计算过程，就是要寻求到某一点的接近值，从而去探究函数在这个点上的特性。
二、极限的形式1.极限表示方法呈“两段”状。
一是用“+∞”表示函数到该点的右侧极限；二是用“-∞”表示函数到该点的左侧极限。
2.当极限接近某一值，即limit f(x) =a时，可以简记为limx→af(x)=a。
3.极限运算时形式和实质是分开的，所以极限的形式可以不变而实质却变了。
三、极限的性质及计算1.极限的性质：加法性，乘法性，极限结合律，限制乘积定理等。
2.极限的计算方法：使用“绝对值”，“拉格朗日”，“偏分”等公式。
3.利用极限计算等式：当极限都存在且有限时，等式一定成立，此时可以利用极限计算等式。
四、无穷小和无穷大1.无穷小是指在某一点，函数值越来越小，甚至不断接近0，但永远不会等于0。
2.无穷大是指在某一点，函数值越来越大，甚至不断接近无穷大，但永远不会等于无穷大。
五、无穷小和无穷大的性质1.无穷小和无穷大的性质：加法性，乘法性，无穷小乘以非零的实数有限，无穷大乘以非零实数无限大等。
2.无穷小和无穷大的计算方法：使用善于变化法，无穷小和无穷大相除，采用以积计数法等。
六、无穷级数1.无穷级数是指可以无限增加的一系列数，它的性质：无穷级数的和可能是有限的，也可能是无穷的。
2.无穷级数的计算方法：可以使用等比级数和等差级数计算无穷级数，以此计算无穷级数的和。
高等数学一知识点总结手写版
高等数学一知识点总结手写版High school mathematics is a fundamental subject that lays the foundation for many fields of study, including engineering, physics, and computer science. One of the key topics covered in high school mathematics is calculus, a branch of mathematics that deals with the study of rates of change and the accumulation of quantities. Calculus is divided into two main branches: differential calculus, which focuses on the study of rates of change, and integral calculus, which deals with the accumulation of quantities.高等数学是一个基础科目，为许多领域的学习奠定了基础，包括工程学、物理学和计算机科学。
高等数学中的一个重要主题是微积分，这是一个处理速度变化和数量积累的数学分支。
微积分主要分为两个分支：微分学专注于速度变化的研究，积分学涉及数量的积累。
Differential calculus is concerned with studying the rate at which quantities change. It involves concepts such as limits, derivatives, and differentiation, all of which are essential for understanding how functions behave and how they can be manipulated to solve real-world problems. The notion of a limit is crucial in calculus, as it allowsus to analyze the behavior of functions and functions that approach certain values as their inputs approach specific points.微分学关注于研究数量变化的速率。
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目录
第一讲极限
一极限定义 (3)
二极限性质 (4)
三函数极限基本计算 (8)
四综合计算 (11)
五数列极限计算 (14)
六函数连续与间断 (16)
第二讲一元函数微积分
一概念 (17)
1. 导数 (18)
2. 微分 (20)
3. 不定积分 (21)
4. 定积分 (23)
5. 变限积分 (28)
6. 反常积分 (29)
二计算 (29)
1. 求导 (29)
2. 求积 (33)
三应用 (40)
1. 微分应用 (40)
2. 积分应用 (43)
四逻辑推理 (43)
1. 中值定理 (49)
2. 等式证明 (50)
3. 不等式证明 (51)
第三讲多元函数的微分学（公共部分）
一概念 (51)
1. 极限的存在性 (51)
2. 极限的连续性 (52)
3. 偏导数的存在性 (52)
4. 可微性 (53)
5. 偏导数的连续性 (54)
二计算 (54)
三应用 (56)
第四讲二重积分（公共部分）
一概念与性质 (59)
二计算 (60)
1. 基础题 (60)
2. 技术题 (61)
三综合计算 (62)
第五讲微分方程
一概念及其应用 (63)
二一阶方程的求解 (64)
三高阶方程的求解 (66)
第六讲无穷级数
一数项级数的判敛 (67)
二幂级数求收敛域 (69)
三展开与求和 (69)
四傅里叶级数 (71)
第七讲多元函数微分学
一基础知识 (73)
二应用 (75)
第八讲多元函数积分学
一三重积分 (76)
二第一型曲线、曲面积分 (78)
1. 一线 (78)
2. 一面 (79)
三第二型曲线、曲面积分 (80)
1. 二线 (81)
2. 二面 (83)。