高等数学笔记

第1章函数

§1 函数的概念

一、区间、邻域

自然数集N整数集Z有理数集Q实数集R

建立数轴后：

建立某一实数集A与数轴上某一区间对应

区间：设有数a,b,a

即(a,b)={x|a

a称为(a,b)的左端点，b称为(a,b)的右端点。

a∉(a,b),b∉(a,b)

闭区间：[a,b]={x|a≤x≤b}

a∈[a,b],b∈[a,b]

文章来源：/

半开区间：[a,b)={x|a≤x≤b},a∈[a,b),b∉[a,b)

(a,b]={x|a

a，b都是确定的实数，称(a,b),[a,b),(a,b],[a,b]为有限区间，“b−a”称为区间长度。

记号：

+∞——正无穷大

−∞——负无穷大

区间：

[a,+∞)={x|a≤x}

(a,+∞)={x|a

(−∞,b]={x|x≤b}

(−∞,b)={x|x

称为无穷区间（或无限区间）

文章来源：/

邻域：设有两个实数a,δ(δ>0)，则称实数集{x|a−δ

a称为N(a,δ)的中心，δ>0称为邻域N(a,δ)的半径。

去心邻域：把N(a,δ)的中心点a去掉，称为点a的去心邻域，记为N(a^,δ)={x|0<|x−a|<δ}=N(a,δ)∖{a}

注：其中，∖{a}表示去掉由a这一个数组成的数集。

二、函数概念

例1. 设圆的半径为x(x>0)，它的面积A=πx2，当x在(0,+∞)内任取一个数值（记为∀x∈(0,+∞)）时，由关系式A=πx2就可以确定A的对应数值。

文章来源：/

例2. 设有半径为r的圆，作圆的内接正n边形，每一边对应的圆心角α=2πn，周长S n=n⋅2r sinπn，当边数n在自然数

集N(n≥3)任取一个数，通过关系式S n=2nr sinπn就有一个S n对应确定数值。

函数定义：设有数集X,Y，f是一个确定的对应法则，对∀x∈X，通过对应法则f都有唯一的y∈Y与x对应，记为x→f y，或f(x)=y，则称f为定义在X上的函数。

其中X称为f的定义域，常记为D f。

X——自变量，Y——因变量。

当X遍取X中的一切数时，那么与之对应的y值构成一个数集V f={y|y=f(x),x∈X}，称V f为函数f的值域。

文章来源：/

注意：

（1）一个函数是由x,y的对应法则f与x的取值范围X所确定的。把“对应法则f”、“定义域”称为函数定义的两个要素。

例如，y=arcsin(x2+2)这个式子，由于x2+2>2，而只有当|x2+2|≤1时，arcsin才有意义，因此这个式子不构成函数关系。又例如，y=ln x2与y=2ln x不是同一个函数，因为定义域不同。而y=ln x2与y=2ln|x|是同一个函数，因为定义域相同。（2）函数的值域是定义域和对应法则共同确定的。

（3）确定函数定义域时，注意：若函数有实际意义，需依据实际问题是否有意义来确定。

若函数不表示某实际问题，则定义域为自变量所能取得的使函数y=f(x)成立的一切实数所组成的数值。

函数的几何意义：设函数y=f(x)定义域为D f，∀x∈D f，对应函数值y=f(x)在XOY平面上得到点(x,y)，当x遍取D f中一切实数时，就得到点集P={(x,y)|y=f(x),x∈D f}。点集P称为函数y=f(x)的图形。

文章来源：/

三、函数的几个简单性质

1. 函数的有界性

若∃M>0,s.t.|f(x)|≤M,x∈I，则称y=f(x)在区间I上有界。否则称f(x)在I上无界。

注：s.t.是“使得，满足于”的意思，I表示某个区间。

例如，y=sin x在I=(−∞,+∞) )上是有界的（∵|sin x|≤1,x∈(−∞,+∞)）。

又如，y=1x2+1在(−∞,+∞)上有界。

对任何正数M>0（无论多么大），总∃x1∈I,s.t.|f(x1)|>M，则称f(x)在I上无界。

例如，y=1x在(0,1)内无界。

证明：

对给定的M>0（不妨设M>1），无论M多么大，必存在x1=12M∈(0,1)，使f(x1)=112M=2M>M

函数的上界、下界：若∃M（不局限于正数），s.t.f(x)≤M,∀x∈I，则称f(x)在区间I上有界。任何一个数N>M，N也是f(x)的一个上界。

若∃P,s.t.f(x)≥P,∀x∈I，则称f(x)在区间I上有下界。若Q

f(x)在区间I上有界⇔f(x)在I上既有下界又有上界（“⇔”表示充分必要条件）。

证明：

设f(x)在I上有界，根据定义，∃M>0,s.t.|f(x)|≤M,∀x∈I。

|f(x)|≤M⇔−M≤f(x)≤M

因此f(x)有下界−M，也有上界M（对∀x∈I）

反之，设f(x)在I上既有下界m，又有上界N，即m≤f(x)≤N

如果m=N=0，则f(x)≡0,∀x∈I

∴f(x)在I上有界。

如果m,N不同时为零，取M=max{|m|,|N|}>0，

则−M≤−|m|≤m≤f(x)≤N≤|N|≤M

即−M≤f(x)≤M⇒|f(x)|≤M,∀x∈I

∴f(x)在I上有界。

2. 函数的单调性

若函数f(x)在区间I上，对任何x1,x2∈I，且x1

若x1

若x1f(x2)，则称f(x)在I上严格单调减。

类似地，也有广义单调减（单调减，非增的）的概念。

例如，y=x2,D f=(−∞,+∞)

在(0,+∞)上，y=x2严格单增。

在(−∞,0)上，y=x2严格单减。

又如，取整函数（取一个数的整数部分）：

y=[x]=⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪−1,−1≤x<00,0≤x<11,1≤x<22,2≤x<3......

其函数图形如下：

取整函数是一个广义单增/单调增/非减函数。

文章来源：/

3. 函数的奇偶性

若f(x)在关于原点对称的区间I上满足f(−x)=f(x)，则称f(x)为偶函数。

若满足f(−x)=−f(x)，则称f(x)为奇函数。