(学霸笔记)之高等数学复习笔记
重点高中学霸高中数学 高中数学笔记全册((最终)(1)
书山有路勤为径， 学海无涯苦作舟。
XiaoMu
目录
第一章 函数 ........................................................................... 1 一、定义域 ........................................................................... 1 1.具体函数定义域 ................................................................. 1 2.抽象函数的定义域： ............................................................. 1 二、值域的六种求法 ................................................................... 2 1.分离常数法 ..................................................................... 2 2.判别式法 ....................................................................... 2 3.配方法 ......................................................................... 2 4.代数换元法 ..................................................................... 2 5.均值不等式 ..................................................................... 2 6 特殊函数有界法 ................................................................. 3 三、奇函数及其性质 ................................................................... 3 1.常见的奇函数： ................................................................. 3 2.奇函数性质： ................................................................... 3 四、常见的偶函数及其性质 ............................................................. 4 1.常见的偶函数 ................................................................... 4 2.偶函数的性质 ................................................................... 4 五、函数的周期性 ..................................................................... 5 六、函数的对称性 ..................................................................... 6 1.类型 ........................................................................... 6 2.特点 ........................................................................... 6 七、函数对称性与周期性综合考虑 ....................................................... 6 八、函数的翻折 ....................................................................... 7 九、抽象函数与具体函数的对应 ......................................................... 8 十、高斯函数性质 ..................................................................... 9 1.概念 ........................................................................... 9 2.性质 ........................................................................... 9 十一、函数不动点与稳定பைடு நூலகம் ............................................................ 10 1.不动点 ........................................................................ 10 2.稳定点 ........................................................................ 10 3.动点与稳定点的性质 ............................................................ 10 4.导数习题集 .................................................................... 10
高数学公式和知识点笔记
高数学公式和知识点笔记高等数学是一门重要的基础学科，包含众多的公式和知识点。
以下是为您整理的一份较为全面的高数学公式和知识点笔记，希望能对您的学习有所帮助。
一、函数与极限1、函数的概念函数是一种对应关系，对于定义域内的每个自变量的值，都有唯一确定的因变量值与之对应。
2、基本初等函数包括幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数。
3、极限的定义当自变量趋近于某个值时，函数值趋近于一个确定的常数，这个常数就是极限。
4、极限的计算方法（1）代入法：直接将趋近的值代入函数。
（2）化简法：通过约分、通分等方法化简函数。
（3）等价无穷小替换：在求极限时，将一些无穷小量用与其等价的无穷小量替换。
5、两个重要极限（1）＄＼lim_{x\to 0} ＼frac{＼sin x}｛x} ＝ 1$（2）＄＼lim_{x\to ＼infty} （1 ＋＼frac{1}｛x}）＾x ＝ e$二、导数与微分1、导数的定义函数在某一点的导数是函数在该点的变化率。
2、导数的几何意义导数表示函数在某一点处的切线斜率。
3、基本函数的导数公式（1）＄（x^n)＇＝ nx^｛n 1}＄（2）＄（＼sin x)＇＝＼cos x$（3）＄（＼cos x)＇＝＼sin x$（4）＄（e^x)＇＝ e^x$（5）＄（＼ln x)＇＝＼frac{1}｛x}＄4、导数的四则运算（1）＄（u ＋ v)＇＝ u' ＋ v'＄（2）＄（u v)＇＝ u' v'＄（3）＄（uv)＇＝ u'v ＋ uv'＄（4）＄（＼frac{u}｛v}）＇＝＼frac{u'v uv'｝｛v^2}＄5、复合函数求导法则设$y ＝ f(g(x)）＄，则$y' ＝ f'（g(x)）＼cdot g'（x)＄6、微分的定义函数的微分等于函数的导数乘以自变量的增量。
三、中值定理与导数的应用1、罗尔定理如果函数$f(x)＄满足：在闭区间$a, b$上连续，在开区间$（a, b)＄内可导，且$f(a) ＝f(b)＄，那么在$（a, b)＄内至少存在一点$＼xi$，使得$f'（＼xi) ＝ 0$。
高数笔记大一第五章知识点
高数笔记大一第五章知识点高数笔记：大一第五章知识点第五章是大一学生学习高等数学的重要阶段，主要包括一元函数微分学和函数的积分学。
这一章节的内容对于进一步学习数学和应用数学都具有重要的意义。
本文将对第五章的一些关键知识点进行总结和解析，希望对大家在学习高等数学时有所帮助。
一、一元函数微分学1. 导数和微分在第五章，我们学习了一元函数的导数和微分。
导数是函数变化率的极限，表示函数在某一点的切线斜率。
微分是在导数的基础上定义的一个新概念，它表示函数在某一点的微小变化量。
2. 常用函数的导数公式在学习求导的过程中，掌握一些常用函数的导数公式是非常重要的。
例如，幂函数的导数公式、指数函数的导数公式、对数函数的导数公式等。
掌握这些公式可以简化求导的过程，提高计算效率。
3. 高阶导数和导数的几何意义我们不仅可以对函数进行一阶导数，还可以进行二阶导数、三阶导数等。
高阶导数的几何意义是函数曲线的曲率。
通过求解高阶导数，我们可以进一步了解函数曲线的变化规律和形态特征。
4. 隐函数求导在实际问题中，有些函数可能无法显式地表示为关于自变量的函数形式，我们称之为隐函数。
通过隐函数求导的方法，可以求出隐函数的导数和微分。
这在物理、工程、经济等领域的问题中具有广泛的应用价值。
二、函数的积分学1. 定积分的定义和性质定积分是反应函数在一定区间上的积累效果的数值。
定积分的定义是通过将区间等分，求出分割点上函数值与区间长度乘积的极限得到。
定积分具有线性性、积分中值定理、换元积分法等重要性质。
2. 牛顿-莱布尼茨公式牛顿-莱布尼茨公式是函数积分学中的核心公式，它将积分与导数联系在一起。
通过牛顿-莱布尼茨公式，我们可以通过求函数的原函数来计算定积分。
3. 不定积分和定积分的关系在第五章，我们学习了不定积分和定积分之间的关系。
不定积分是定积分的逆运算，通过不定积分我们可以求出函数的原函数。
而定积分则是通过对函数在特定区间上的积累效果进行求解。
高等数学笔记(含数一内容)
隐函数求导
参数方程确定的函数求导
分段函数求导
先讨论关键点是否连续，确定连续后再判断函数各个部分是否可导。
求函数高阶导
一般使用数学归纳法解决。
微分
可微
定义：设y=f(x) (x∈D)，x₀∈D。若∆y=A∆x+৹(∆x)，则称f(x)在x=x₀处可微。
性质
可微一定可导，可导一定可微（充要条件）
若∆y=A∆x+৹(∆x)，则A=f'(x₀)，即dy∣₍x=x₀₎=f'(x₀)dx
二阶线性微分方程解的结构 齐+齐=齐 齐 + 非齐 = 非齐 非齐 + 非齐 = 齐 （拆解性质）对于方程**，若f(x)=f1(x)+f2(x)（即可拆成两部分），则分别构造两个二阶非齐次线性微分方程，且φ1(x)，φ2(x)分别为它们的特解，则 有原方程特解为：
y=φ1(x)+φ2(x) （系数和的特点）设φ1(x)，φ2(x)，...，φn(x)，为方程**的解，则通解的组合形式为y=k1φ1(x)+k2φ2(x)+...+knφn(x) 若y为方程*的通解，则k1+k2+...+kn=0（系数和为0） 若y为方程**的通解，则k1+k2+...+kn=1（系数和为1） （二阶常系数线性微分方程通解形式推导定理）
函数f(x)∈ c【a，b】的性质（函数在区间内恒连续）
性质1：∃最大值 M 和最小值 m （最值）； 性质2：∃M₀>0，使得∣f(x)∣≤M₀（有界）；
性质3： ∀η ∈【m，M】，∃ξ∈【a，b】，使得f(ξ)=η（介值定理）；
性质4：若 f(a)*f(b)<0，则∃c∈(a，b)，使得f(c)=0（零点定理）。 连续函数的运算
高数复习笔记
第一章1、映射：Y中有唯一与x对应的元素，f为x到y的映射，y称为像，x称为原像条件：x,y均为非空集合，但是y反过来对应的x不一定是唯一的可以多个x对应一个y，不可一个x对应一个y。
y中所有元素均被对应，f称为满射。
一个x对应着一个y是单射，若即是单射又是满射则是双射。
2、函数的有界性：上有界，下有界。
恒小于一个值，恒大于一个值。
有界的充要条件是即有上界又有下界（函数绝对值恒小于一正数）数列收敛的定义1数列收敛极限唯一2数列收敛，数列一定有界3从某一项开始大于零，则其极限大于零4数列收敛，子数列收敛两函数相同的条件：定义域，表达式4、函数极限：δ，函数极限定义：定义、ε5、极限运算法则无穷小加无穷小为无穷小（零是无穷小，但是无穷小不一定为零）有界函数（常数）×无穷小也是无穷小6、重要极限7、极限存在准则：单调有界有极限夹逼准则函数的保号性常见等价无穷小1、sinx~x~tanx~ln(1+x)~arcsin(x)~arctan(x)~e x-12、1-cosx~1/2x23、(1+x)a-1函数连续间断定义某一点连续（左右极限存在且相等等于该点函数值，称之为连续1、左极限等于该点函数值——左连续，右极限等于该点函数值——右连续2、闭区间连续。
右左端点处对应左右连续，开区间上连续间断点类型1、没定义2、有定义，极限不存在3、有定义，极限存在。
但是极限不等于函数值1、第一类间断点左右极限都存在（都相等但是不等于函数值——可去间断点）（极限不相等，跳跃间断点）2、第二类间断点左右极限至少有一个不存在称为第二类间断点基本初等函数必连续（三角、反三角，幂函数，指数函数，对数函数）加减乘除（分母不为零）、复合函数只要原函数连续，则连续最值定理：闭区间连续函数一定可以取到最大最小值零点定理：端点处函数值异号，开区间内存在零点（开区间使用）介值定理：闭区间连续函数，区间内比存在一点，使其函数值取到最大值最小值之间（闭区间使用，且多个函数相加存在）第二章函数导数存在就是可导可导一定连续（可以推出极限值等于函数值）不连续一定不可导函数倒数存在——函数左右导数存在且相等验证可导与否，先看是否连续，后看左右导数是否相等Secx=1/cosx cscx=1/sinx三角函数N 阶导数——sinx 求导——sin(x+n*pai/2) cosx 同理1')(!*)1()1(++-=+n nn n b ax a n b ax 乘积函数求N 阶导数隐函数求导（两侧同时对x 求导，最后解出导数）参数方程求导)(')(')()(t t f dx dy t x t f y ϕϕ===可导《=》可微=>连续第三章三个条件拉格朗日中值定理：1、拉格朗日等价形式：)(*])([')()(a b a b a f a f b f --+=-θ2、三个点，采用两次拉格朗日定理 柯西中值定理：二阶可导——一阶可导——连续 洛必达法则：（存在局限性，如果上下求导最后极限不存在，但是其极限有可能存在，洛必达法则不适用） 1、0/0型。
(完整版)高等数学笔记
第一章 函数、极限和连续§1.1 函数一、 主要内容 ㈠ 函数的概念1. 函数的定义: y=f(x), x ∈D定义域: D(f), 值域: Z(f).2.分段函数: ⎩⎨⎧∈∈=21)()(D x x g D x x f y3.隐函数: F(x,y)= 04.反函数: y=f(x) → x=φ(y)=f -1(y)y=f -1(x)定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y 是严格单调增加(或减少)的； 则它必定存在反函数：y=f -1(x), D(f -1)=Y, Z(f -1)=X且也是严格单调增加(或减少)的。
㈡ 函数的几何特性1.函数的单调性: y=f(x),x ∈D,x 1、x 2∈D 当x 1＜x 2时,若f(x 1)≤f(x 2),则称f(x)在D 内单调增加( )；若f(x 1)≥f(x 2),则称f(x)在D 内单调减少( )；若f(x 1)＜f(x 2),则称f(x)在D 内严格单调增加( )；若f(x 1)＞f(x 2),则称f(x)在D 内严格单调减少( )。
2.函数的奇偶性：D(f)关于原点对称 偶函数：f(-x)=f(x) 奇函数：f(-x)=-f(x)3.函数的周期性：周期函数：f(x+T)=f(x), x ∈(-∞，+∞) 周期：T ——最小的正数4.函数的有界性： |f(x)|≤M , x ∈(a,b) ㈢ 基本初等函数1.常数函数： y=c ， (c 为常数)2.幂函数： y=x n, (n 为实数)3.指数函数： y=a x, (a ＞0、a ≠1) 4.对数函数： y=log a x ,(a ＞0、a ≠1) 5.三角函数： y=sin x , y=con xy=tan x , y=cot x y=sec x , y=csc x6.反三角函数：y=arcsin x, y=arccon x y=arctan x, y=arccot x ㈣ 复合函数和初等函数1.复合函数： y=f(u) , u=φ(x)y=f[φ(x)] , x ∈X2.初等函数:由基本初等函数经过有限次的四则运算（加、减、乘、除）和复合所构成的，并且能用一个数学式子表示的函数§1.2 极 限一、 主要内容 ㈠极限的概念1. 数列的极限:A ynn =∞→lim 称数列{}n y 以常数A 为极限;或称数列{}n y 收敛于A.定理: 若{}n y 的极限存在⇒{}n y 必定有界. 2.函数的极限：⑴当∞→x 时，)(x f 的极限：A x f A x f A x f x x x =⇔⎪⎪⎭⎫==∞→+∞→-∞→)(lim )(lim )(lim ⑵当0x x→时，)(x f 的极限：A x f xx =→)(lim 0左极限：A x f x x =-→)(lim 0右极限：A x f x x =+→)(lim 0⑶函数极限存的充要条件： 定理：A x f x f A x f x x x x x x ==⇔=+-→→→)(lim )(lim )(lim㈡无穷大量和无穷小量 1．无穷大量：+∞=)(limx f称在该变化过程中)(x f 为无穷大量。
《高等数学》笔记-知识归纳整理
- 1 -第一章 函数与极限第一节 函数1.区间(interval):介于某两个实数之间的全体实数构成区间.这两个实数叫做区间的端点..,,b a R b a <∈∀且}{b x a x <<开区间),(b a 记作}{b x a x ≤≤闭区间],[b a 记作ox a bo xab}{b x a x <≤}{b x a x ≤<左闭右开区间左开右闭区间),[b a 记作],(b a 记作}{),[x a x a ≤=+∞}{),(b x x b <=-∞o x aoxb注:两端点间的距离称为区间的长度.无穷区间2 邻域.0,>δδ且是两个实数与设a ,叫做这邻域的中心点a .叫做这邻域的半径δ.}{),(δδδ+<<-=a x a x a U xaδ-a δ+a δδ,}{邻域的称为点数集δδa a x x <-记作二、函数的概念1.函数的定义函——信函单值对应多值函数不是函数自变量因变量对应法则(())x )(0x f f xyDW------函数的定义域D 和函数的对应规律f 函数的值域称为派生要素。
2. 函数的两个要素w={y │y=f(x), x ∈D}xaδ- a δ+ a δδ,邻域 的去心的 点 δa) , ( δ a U记作 .}0{),(δδ<-<=a x x a U知识归纳整理- 2 -❖定义域的求法❖在实际问题中，定义域由实际问题的具体条件来确定。
（即使实际问题故意义的取值范围）。
如时光、长度、分量必须大等于0 。
❖对于数学式子表达的函数，如果给出了取值范围就不必再求。
否则，则是使解析式故意义的x的集合（使对应的函数值唯一确定）。
1. 在分式中，分母应不为0；2. 在偶次根式中，被开方数不能为负数；3. 在对数式中，真数不能为0和负数；▪ 4. 在反三角函数式中，要符合反三角函数的定义域；▪ 5. 若函数表达式中含有分式、根式、对数式、反三角函数式等，则应取各部分定义域的交集。
大一高数知识点笔记
大一高数知识点笔记高等数学是大学理工科专业的重要基础课程，对于大一新生来说，掌握好这门课程的知识点至关重要。
以下是我整理的大一高数的一些重要知识点，希望能对大家的学习有所帮助。
一、函数与极限1、函数的概念函数是一种从一个集合（定义域）到另一个集合（值域）的对应关系。
简单来说，对于定义域内的每一个输入值，都有唯一的输出值与之对应。
函数的表示方法有解析式法、图像法和列表法。
2、函数的性质（1）奇偶性：若对于定义域内的任意 x ，都有 f(x) ＝ f(x) ，则函数为偶函数；若 f(x) ＝ f(x) ，则函数为奇函数。
（2）单调性：若对于定义域内的任意 x₁＜ x₂，都有 f(x₁) ＜f(x₂) ，则函数在该区间上单调递增；若 f(x₁) ＞ f(x₂) ，则函数在该区间上单调递减。
3、极限的概念极限是指当自变量趋近于某个值或无穷大时，函数值趋近于的一个确定的值。
4、极限的计算（1）直接代入法：若函数在极限点处连续，则可直接将极限点代入函数计算。
（2）有理化法：对于含有根式的分式，可通过有理化来消除根式，从而计算极限。
（3）等价无穷小替换：当x → 0 时，sin x ～ x ，tan x ～ x ，e^x1 ～ x 等，利用等价无穷小可以简化极限的计算。
5、两个重要极限（1）lim(x→0) （sin x ／ x) ＝ 1（2）lim(x→∞）（1 ＋ 1/x)＾x ＝ e二、导数与微分1、导数的定义函数在某一点的导数是函数在该点的瞬时变化率，即 f'（x₀) ＝lim(Δx→0) f(x₀＋Δx) f(x₀) ／Δx2、导数的几何意义函数在某一点的导数就是该点处切线的斜率。
3、基本初等函数的导数公式（1）（C)＇＝ 0 （C 为常数）（2）（x^n)＇＝ nx^（n 1)（3）（sin x)＇＝ cos x（4）（cos x)＇＝ sin x（5）（e^x)＇＝ e^x（6）（ln x)＇＝ 1 ／ x4、导数的四则运算（1）（u ± v)＇＝ u' ± v'（2）（uv)＇＝ u'v ＋ uv'（3）（u ／ v)＇＝（u'v uv'）／ v²（v ≠ 0）5、复合函数的求导法则设 y ＝ f(u) ，u ＝ g(x) ，则复合函数 y ＝ fg(x) 的导数为 y' ＝ f'（u) g'（x)6、微分的定义函数的微分是函数增量的线性主部，即 dy ＝ f'（x)dx三、中值定理与导数的应用1、罗尔定理如果函数 f(x) 满足：（1）在闭区间 a, b 上连续；（2）在开区间（a, b) 内可导；（3）f(a) ＝ f(b) ，那么在区间（a, b) 内至少存在一点ξ ，使得 f'（ξ) ＝ 0 。
高考学霸笔记文数
高考学霸笔记文数
函数：在高考中，函数是一大考点，包括函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等。
建议掌握一些常见的函数模型，如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等，并了解它们的基本性质和应用。
三角函数：三角函数是高考数学中的重要考点，包括正弦、余弦、正切等基本函数的定义、性质和变换。
建议掌握一些基本的三角函数公式，如和差公式、倍角公式、半角公式等，并能够灵活运用。
等差数列和等比数列：等差数列和等比数列是高考数学中的重要考点，包括它们的通项公式、求和公式、性质等。
建议掌握这些公式和性质，并能够应用于解题。
立体几何：立体几何是高考数学中的重要考点，包括空间几何体的形状、大小、位置关系等。
建议掌握一些基本的几何体概念，如正方体、长方体、球体等，并能够通过三视图和直观图来认识和理解几何体的结构和性质。
概率统计：概率统计是高考数学中的重要考点，包括随机事件的概率、期望和方差等概念。
建议掌握这些概念的定义和计算方法，并能够应用于解决实际问题。
解析几何：解析几何是高考数学中的重要考点，包括直线的方程、圆的方程、圆锥曲线的方程等。
建议掌握这些方程的表示方法和一些基本的几何性质，如直线的倾斜角和斜率、圆的半径和直径等，并能够应用于解题。
数学思维：数学思维是高考数学中的重要考点之一，包括抽象思维、逻辑思维、归纳思维等。
建议通过做一些数学题目来锻炼自己的数学思维能力，并逐渐掌握一些解题技巧和方法。
(完整版)高等数学笔记(可编辑修改word版)
⑷若 lim ,则称β是比α较低阶的无穷小量
2
lim 1
定理：若：1 ~ 1， 2 ~ 2；则：
2
lim
1 2
㈢两面夹定理
1． 数列极限存在的判定准则：
设： yn xn zn （n=1、2、3…）
且：
lim
n
yn
lim
n
zn
a
则：
lim
n
xn
a
2． 函数极限存在的判定准则：
设：对于点 x0 的某个邻域内的一切点 （点 x0 除外）有：
第一章 函数、极限和连续 §1.1 函数
一、 主要内容 ㈠ 函数的概念 1. 函数的定义: y=f(x), x∈D
定义域: D(f), 值域: Z(f).
2.分段函数:
y
f (x) g( x)
x D1 x D2
3.隐函数: F(x,y)= 0 4.反函数: y=f(x) → x=φ(y)=f-1(y)
x x0
㈡无穷大量和无穷小量
1． 无穷大量： lim f (x)
称在该变化过程中 f (x) 为无穷大量。
X 再某个变化过程是指：
x , x , x , x x0, x x0 , x x0
2． 无穷小量： lim f (x) 0 称在该变化过程中 f (x) 为无穷小量。 3． 无穷大量与无穷小量的关系：
g(x) f (x) h(x) 且： lim g(x) lim h(x) A 则： lim f (x) A
x x0
x x0
x x0
㈣极限的运算规则
若： lim u(x) A, lim v(x) B
则：① lim[u(x) v(x)] limu(x) lim v(x) A B
高一数学学霸笔记纯手写
高一数学学霸笔记纯手写高一数学学霸笔记一、函数1. 定义：函数是一种将一个集合（称为“定义域”）中的每个元素映射到另一个集合（称为“值域”）中的元素的规则。
2. 函数的表示方法：常用的表示方法有函数表达式、函数图象和函数关系式。
3. 常见函数的类型：- 一次函数：y = ax + b，其中 a 和 b 为常数，a ≠ 0。
- 二次函数：y = ax² + bx + c，其中 a、b 和 c 为常数，a ≠ 0。
- 幂函数：y = xⁿ，其中 n 为整数。
- 指数函数：y = aˣ，其中 a 为正数且不等于 1。
- 对数函数：y = logₐx，其中 a 为正数且不等于 1。
- 三角函数：sin(x)、cos(x)、tan(x) 等。
4. 函数的特性：- 奇偶性：若对任意 x，有 f(-x) = -f(x)，则函数为奇函数；若对任意 x，有 f(-x) = f(x)，则函数为偶函数。
- 单调性：若对任意 x₁ < x₂，有 f(x₁) < f(x₂)，则函数为严格单调递增；若对任意 x₁ < x₂，有 f(x₁) > f(x₂)，则函数为严格单调递减。
- 周期性：若存在正数 T，使得对任意 x，有 f(x+T) = f(x)，则函数具有周期 T。
二、数列1. 数列定义：数列是按照一定顺序排列的一串数。
2. 等差数列：数列中的相邻两项之差相等，称为等差数列。
- 通项公式：aₙ = a₁ + (n-1)d，其中 aₙ 为第 n 项，a₁为首项，d 为公差。
- 前 n 项和公式：Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2，其中 Sₙ 为前 n 项和。
3. 等比数列：数列中的相邻两项之比相等，称为等比数列。
- 通项公式：aₙ = a₁r^(n-1)，其中 aₙ 为第 n 项，a₁为首项，r 为公比。
- 前 n 项和公式：Sₙ = a₁(rⁿ - 1)/(r - 1)，其中 Sₙ 为前n 项和。
学霸笔记(免费版)
学霸笔记————浙江省专升本《高等数学》复习全书赵伟良著不懂事长编学霸笔记——《高等数学》不懂事长的话不懂事长的话专升本培训班流行一句话“上线靠数学，二本靠英语”，主要是因为数学在专升本考试中是提升最快的一门课程。
经过赵伟良老师的8个多月的悉心辅导，小编从开始的15分考到70分，到考前模拟的99分，到4月15号正式考试的110分，衷心感谢赵伟良老师上课时候的学霸笔记。
把学霸笔记从笔记形式做成《学霸笔记》，主要是希望在浙江工业职业技术学院的你在看到《学霸笔记》的后，可以通过自己的努力如愿以偿考上自己理想的本科院校。
学霸笔记是根据赵伟良老师给2018届专升本考生的上课笔记整理而成，符合《浙江省普通专升本考试高等数学考试大纲》及本科教育对数学基础的基本要求，含浙江省历年考试真题及经典题型。
尽管小编在整理笔记的时候倾注的很多心血，在新增题型方面也做出了努力，但由于小编能力实在有限，笔记整理中难免有疏漏之处，请各位学弟学妹见谅，也希望学弟学妹可以对学霸笔记的完善提出宝贵的意见和建议，以便小编在第二版学霸笔记中完善。
不懂事长2018年5月学霸笔记——《高等数学》目录目录第1章函数、极限与连续 (3)1.1 函数的概念与性质 (3)1.1.1函数定义域的求法 (3)1.1.2函数的性质 (4)1.1.3反函数 (6)1.1.4基本初等函数 (6)1.1.5复合函数 (7)1.1.6初等函数 (8)1.2极限 (9)1.2.1数列的极限 (9)1.2.2函数的极限 (9)1.2.3极限的计算 (9)1.2.4无穷小与无穷大 (14)1.3连续 (16)1.3.1连续 (16)1.3.2间断点 (16)1.3.3闭区间上连续函数的性质 (20)学霸笔记——《高等数学》 第1章 函数、极限与连续3第1章 函数、极限与连续1.1 函数的概念与性质1.1.1 函数定义域的求法1. 分母≠02. 偶次方根被开方数≥03. 对数y =log a x （a >0且a ≠1），真数x >04 反正弦arcsin x反余弦arccos x |x |≤1或−1≤x ≤15 正切 y =tan x （x ≠kπ+π2） k ∈z （正整数）余切 y =cot x （x ≠kπ）6. 分段函数 各段函数的并集例1：求y =log x x−2+arccos 5x−13的定义域y =log x x −2+arccos 5x −13∴x x−2>0 ，x −2≠0 ，−1≤5x−13≤1 ∴x (x −2)>0，−3≤5x −1≤3 ，−2≤5x ≤4∴x <0或x >2 ，x ≠2 ，−25≤x ≤45∴−25≤x <0∴[−25，0)例2：y =log x+14−x 2的定义域y =log x+14−x 2∴{x +1>0x +1≠14−x 2>0 → {x >−1x ≠0−2<x <2∴D =(−1,0)∪(0,2)学霸笔记——《高等数学》 第1章 函数、极限与连续4例3：y =11+11+1x的定义域{11+1x≠−11+1x ≠0x ≠0→ {1x ≠−21x≠−1x ≠0→ {x ≠−12x ≠0x ≠−1∴D =(−∞,−1)∪(−1,−12)∪(−12,0)∪(0,+∞)例4：f (x )={x −1 ,x <0x ,x =0x +1 ,x >0的定义域为 R 或 (−∞，+∞)例5：设f (x )的定义域为[0，1] φ(x )=ln x −1则复合函数f [φ(x )]的定义域为 [e ，e 2]例6：设f (x )的定义域为[0，2a ]，则f (x +a )的定义域为 [−a ，a ]则f (x +a )+f (x −a 2)的定义域为 [ a2，a ]1.1.2 函数的性质1 单调性{x 1 <x 2 ,f(x 1 )<f (x 2 )，则f (x )单调递增，即f ′(x )>0x 2<x 2 ,f(x 1 )>f (x 2 )，则f (x )单调递减，即f ′(x )<0注意：1）复合函数f [φ(x )]的单调性：同增异减2）单调函数的反函数也是单调的，且单调性相同2 奇偶性（定义域关于原点对称）且{f (−x )< f (x )，偶函数，关于y 轴对称f (−x )<−f (x )，奇函数，关于原点对称注意：奇＋奇=奇 奇×奇=偶 偶＋偶=偶 偶×偶=偶 奇＋偶=非奇非偶学霸笔记——《高等数学》 第1章 函数、极限与连续5例：判断函数f (x )=ln(x +√1−x 2)的奇偶性f (x )=ln (x +√1−x 2)f (−x )=ln (−x +√1−(−x )2)=ln [(√1+x2−x)(√1+x 2+x)√1+x 2+x]=1√1+x 2+x=ln (√1+x 2+x)−1=−ln (√1+x 2+x)=−f (x )∴f (x )=ln(x +√1−x 2)为奇函数3 周期性f (x +T )=f (x ) T 为最小正周期注意：1）y =A sin (ωx +φ) ,T =2πω y =A cos (ωx +φ) ,T =2πω2) y =A tan (ωx +φ) ,T =πωy =A cot (ωx +φ) ,T =πω例：若y =3+4sin π3x ，则T=6若y =sin π3+cos π4，则T=24π4 有界性∀x ∈I ，∃M >0，s.t |f (x )|≤M 则f (x )在I 上有界例：|sin x |≤1|cos x |≤1 |arcsin x |≤π2 0≤arccos x ≤π |arctan x |<π2 0<arccot x <π学霸笔记——《高等数学》 第1章 函数、极限与连续61.1.3 反函数y =f (x ) 反解→ x =φ(x )习惯上→ y =φ(x )→ y =f −1(x )y =f (x )与y =f −1(x )关于直线y =x 对称例1：求y =√x −1的反函数y =√x −1 ∴y 2=x −1 ∴x =1+y 2∴反函数为y =1+x 2 ，x ∈[0，+∞)例2：求y =ln (x +√1+x 2)的反函数y =ln (x +√1+x 2)∴e y =x +√1+x 2 ——① 令f (x )=ln (x +√1+x 2)∴f (−x )=ln (−x +√1+(−x )2)=−f (x )即−y =ln (−x +√1+(−x )2) ∴e −y =−x +√1+(−x )2——② ∴①−②=e y −e −y =2x∴x =e y −e −y2∴所求反函数为y =e x −e −x21.1.4 基本初等函数1 幂函数 y =x u2 指数函数 y =a x3 对数函数 y =log a x学霸笔记——《高等数学》 第1章 函数、极限与连续74 三角函数 正弦sin x 正割sec x =1cos x余弦cos x 余割csc x =1sin x正切tan x 余切cot x注意：平方关系{sin 2x +cos 2x =1tan 2x +1=sec 2x cot 2x +1=csc 2x二倍角{cos 2x =cos 2x −sin 2x =2cos 2x −1=1−2sin 2x sin 2x =2sin x cos x5 反函数 arcsin x 与 sin x 互为反函数 arccos x 与 cos x 互为反函数 arc tan x 与 tan x 互为反函数 arc cot x 与 cot x 互为反函数1.1.5 复合函数y =f (u )，u =φ(x )，则y =f [φ(x )]例1：分解y =cos 2[ln (x 2−1)]y =u 2 ,u =cos v , v =ln w ,w =x 2−1例2：若f (x )=x 2 ，g (x )=2xf [g (x )]=4xg [f (x )]=2x 2f [f (x )]=x 4例3：若f (x )={1，|x |≤10，x >1则f [f (x )]= 1f (x )={1，|x |≤10，x >1∴f [f (x )]={1，|f (x )|≤10，f (x )>1= 1学霸笔记——《高等数学》第1章函数、极限与连续1.1.6初等函数由基本初等函数经过有限次四则运算（加减乘除）及有限次复合，并且能用一个式子表示的函数的函数8学霸笔记——《高等数学》 第1章 函数、极限与连续91.2 极限1.2.1 数列的极限lim n→∞U n =A 或U n →A (n →∞)1.2.2 函数的极限lim n→∎f(x)=A 或f(x)→A (n →∎)1.2.3 极限的计算1 lim x→x 0f (x )=f(x 0) 直接代入（x 0有意义）20 0型a ）分解因式 约分例：lim x→1x 2−1x−1=lim x→1(x−1)(x+1)x−1=lim x→1x +1=2b )有理化例：lim √x 2−3−2=lim x→1(√x 2−3+2)(√x 2−3−2)(√x 2−3+2)=lim x→1(x−1)(√x 2−3+2)x−1=lim x→1√x 2−3+2=4c )用第一重要极限公式lim ∎→0sin ∎∎=1例：lim x→0sin 4x 3x =lim x→0sin 4x 4x ×43=43学霸笔记——《高等数学》 第1章 函数、极限与连续10d ）洛必达法则lim x→∎f (x )g (x )=lim x→∎f ′(x )g ′(x ) =lim x→∎f ′′(x )g ′′(x )例：lim x→0sin 4x 3x=lim x→04cos 4x3=43e ）用等价无穷小替换sin x ~x tan x ~x arcsin x ~x arctan x ~x ln (1+x )~xe x −1~x 1−cos x~12x 2 √1+x n−1~1n x例：lim x→0e x −1sin x =lim x→0e xcos x =1（洛必达法则） =lim x→0xx =1（等价无穷小）3∞ ∞型a ）分子分母同除以最快无穷大例1：lim x→∞3x 2−4x 2x 2+1=lim x→∞3−4x 2+1x2=32例2：lim x→∞3n +4n10n +2n =lim x→∞(310)n +(25)n 1+(15)n =0b ）利用结论limx→x 0a 0x m+⋯+a m b 0x n +⋯+b n ={∞ ,m >n a 0b 0,m =n 0 ,m <n学霸笔记——《高等数学》 第1章 函数、极限与连续11c ）洛必达法则lim x→∎f (x )g (x )=lim x→∎f ′(x )g ′(x ) =lim x→∎f ′′(x )g ′′(x )例：lim x→+∞x 2ln x =lim x→+∞2x1x=lim x→+∞2x 2=+∞4 0∙∞ 型 转化为⇒ 0型 或 ∞∞型例1：lim x→0+x ∙ln x =lim x→0+ln x1x=limx→0+1x−1x 2=lim x→0+−x =0例2：lim x→0x ∙cot x =lim x→0xtan 2x =lim x→0x2sec 22x =12例3：lim x→0x 2∙e1x 2=lim x→0e 1x 21x 2=lim x→0−2x −3∙e 1x 2−2x −3=+∞5 ∞−∞ 型 转化为⇒ 0型 或 ∞∞型(通分或有理化)例1：lim x→1(1x−1−1x 2−1)=lim x→1xx 2−1=∞例2：lim x→+∞(√x 2+x −x)=lim x→+∞[(√x 2+x−x)(√x 2+x+x)(√x 2+x+x)]=limx √x 2+x +x=lim1√1+1x+1=12学霸笔记——《高等数学》 第1章 函数、极限与连续126 1∞ 型a ）利用第二重要极限公式 (1+0)∞变形⇒ lim x→0(1+x )1x=e变形⇒ lim ∎→0(1+∎)1∎=e变形⇒ lim ∎→∞(1+1∎)∎=e例1：lim x→0(1+4x )32x=lim x→0(1+4x )14x×6=lim x→0[(1+4x )1x]6=e 6例2：lim x→∞(x−1x+1)2x=lim x→∞(1−2x+1)2x=lim x→∞(1−2x+1)−x+12×(−4)−2=lim x→∞(1−2x +1)−x+12×(−4)∙lim x→∞(1−2x +1)−2=e −4b ）利用对数恒等式1∞=e ln 1∞=e ∞ ∙ ln 1=e ∞ ∙ 0转化为⇒ 00型 或 ∞∞型例：lim x→0(cos x )1x=lim x→0e ln (cos x )1x=e lim x→01xln cos x=elim x→0−sin x cos x=e 07 00 型取对数恒等式的方法（见6 - b ）学霸笔记——《高等数学》 第1章 函数、极限与连续138 利用无穷小的性质无穷小×有界函数=无穷小lim x→0sin x x =1 lim x→∞sin xx =0lim x→0x ∙1sin x =1 lim x→∞x ∙sin 1x=1lim x→0x ∙sin 1x=0 lim x→∞sin ∎∎=1例：lim x→1(x −1)sin 1x−1=09 分段函数在分界点上的极限（讨论左右极限）例：设f (x )={x sin 1x ,x <0ln (1+x )x,x >0，讨论lim x→0f (x )是否存在。
高数笔记大一知识点
高数笔记大一知识点一、导数与微分在高等数学中，导数和微分是重要的概念。
导数表示了函数在某一点的变化率，微分则是导数的一个几何意义。
1. 导数的定义在数学中，如果函数f(x)在点x0的邻域内存在极限f'(x0)，则称函数f(x)在点x0处可导，f'(x0)即为函数f(x)在点x0处的导数。
2. 常见函数的导数公式(1) 常数函数f(x) = C的导函数为f'(x) = 0。
(2) 幂函数f(x) = x^n的导函数为f'(x) = nx^(n-1)。
(3) 指数函数f(x) = a^x的导函数为f'(x) = a^x * ln(a)。
(4) 对数函数f(x) = log_a(x)的导函数为f'(x) = 1 / (x * ln(a))。
3. 微分的几何意义微分表示了函数在某一点处的切线斜率，即函数曲线在该点处的局部近似线性化。
二、极限与连续在高等数学中，极限和连续是数学中的基本概念，它们在分析、微积分等领域有着重要的应用。
1. 极限的定义对于数列或者函数，如果它们随着自变量无限逼近某个确定的数，那么这个确定的数就是它们的极限。
2. 极限的性质(1) 极限的唯一性，若存在极限，则极限值唯一。
(2) 极限的四则运算法则，即和、差、积、商的极限运算法则。
3. 连续的定义函数在某一点连续，意味着函数在该点处的极限等于函数在该点处的函数值。
4. 连续函数的性质(1) 两个连续函数的和、差、积、商仍然是连续函数。
(2) 有限个连续函数的复合仍然是连续函数。
三、一元函数的微分学1. 高阶导数在微分学中，函数的导数也可以再次求导数，得到的叫做高阶导数。
2. 高阶导数的应用高阶导数可以用于函数的近似表示，如泰勒公式。
3. 拐点与凹凸性对于函数曲线上的一点，如果函数在这一点的左右两侧分别单调递增和单调递减，那么这一点就是拐点。
函数的凹凸性则与函数的二阶导数相关，正的二阶导数表示凹，负的二阶导数表示凸。
高数学公式和知识点笔记
高数学公式和知识点笔记高等数学是一门重要的基础学科，包含了众多的公式和知识点。
以下是我为大家整理的一份较为全面的高数学公式和知识点笔记，希望能对大家的学习有所帮助。
一、函数与极限（一）函数函数的概念：设 x 和 y 是两个变量，D 是给定的数集，如果对于每个 x∈D，按照某种确定的对应关系 f，变量 y 都有唯一确定的值与之对应，则称 y 是 x 的函数，记作 y ＝ f(x)，x∈D。
函数的性质：1、单调性：若对于定义域内的任意 x₁＜ x₂，都有 f(x₁) ＜ f(x₂)（或 f(x₁) ＞ f(x₂)），则称函数 f(x)在该区间上单调递增（或单调递减）。
2、奇偶性：若对于定义域内的任意 x，都有 f(x) ＝ f(x)，则称函数f(x)为偶函数；若 f(x) ＝ f(x)，则称函数 f(x)为奇函数。
（二）极限极限的定义：设函数 f(x)在点 x₀的某一去心邻域内有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在正数δ，使得当 x 满足 0 ＜｜x x₀| ＜δ 时，对应的函数值 f(x)都满足|f(x) A|＜ε，那么常数 A 就叫做函数 f(x)当x→x₀时的极限，记作lim(x→x₀) f(x) ＝ A。
极限的运算：1、四则运算：若lim(x→x₀) f(x) ＝ A，lim(x→x₀) g(x) ＝ B，则lim(x→x₀) f(x) ± g(x) ＝ A ± B；lim(x→x₀) f(x) × g(x) ＝ A × B；lim(x→x₀) f(x) ／ g(x) ＝ A ／ B（B ≠ 0）。
2、两个重要极限：lim(x→0) （sin x ／ x) ＝ 1；lim(x→∞）（1 ＋1 ／ x)ⁿ ＝ e（n 为常数）。
二、导数与微分（一）导数导数的定义：函数 y ＝ f(x)在点 x₀处的导数 f'（x₀) ＝lim(Δx→0) f(x₀＋Δx) f(x₀) ／Δx。
高数武忠祥笔记
高数武忠祥笔记高数（高等数学）对于很多学生来说是一门难以逾越的学科，然而，通过武忠祥老师的授课和笔记整理，我发现高数并没有我想象中那么难。
在这篇文章中，我将分享我的高数笔记，希望对正在学习高数的同学有所帮助。
1. 初识高数高数作为大学数学的重要组成部分，严谨性和抽象性常常使人望而却步。
然而，在武忠祥老师的授课中，他以通俗易懂的语言解释抽象概念，让我迅速掌握了高数的基本概念。
2. 函数与极限在高数的学习中，函数与极限是基础而重要的知识点。
武忠祥老师在讲解这部分内容时，采用了丰富的实例和图像辅助，使我更加直观地理解了函数和极限的概念。
特别是在极限的计算方面，他强调了极限的性质和运算规则，为我后续的学习打下了坚实的基础。
3. 导数与微分导数与微分是高数中的一个重要内容。
武忠祥老师以生动形象的比喻和例子，生动地解释了导数和微分的含义和应用。
尤其是在应用求导数解决实际问题时，他揭示了思考的方法和技巧，使我能够更好地将理论知识应用于实际问题的解决中。
4. 积分与应用积分是高数的核心概念之一，并且应用广泛。
在这部分内容中，武忠祥老师通过引出定积分的概念和性质，使我逐渐理解了积分的应用和意义。
同时，他讲解了不定积分和定积分的计算方法，并提供了大量的习题来巩固理论知识。
5. 多元函数多元函数是高数中的扩展内容，涉及到高维空间的概念与运算。
在这部分内容中，武忠祥老师注重培养我们的空间想象力和几何直观，通过图像和实例的讲解，帮助我更好地理解多元函数的性质与应用。
6. 微分方程微分方程是高数的重要应用之一，也是工科学生必备的工具。
武忠祥老师采用了解释透彻的方式讲解了一阶微分方程和二阶微分方程的求解方法，并提供了大量的典型例题和实际应用问题的解析，使我在应对微分方程问题时更加得心应手。
通过武忠祥老师的授课和笔记整理，我渐渐克服了对高数的恐惧心理，更加喜欢并懂得了高数的魅力。
他的授课风格既严谨又幽默，让我在学习高数的过程中乐在其中。
高数终极复习笔记(最新整理)
一： 注：其中 e 为无理数，它的值为：e=2.718281828459045...
二：
例题：求
解答：令
，则 x=-2t，因为 x→∞，故 t→∞，
则
间断点的分类 我们通常把间断点分成两类：如果 x0 是函数
的间断点，且其左、右极限都存在，我们把 x0
称为函数 的第一类间断点；不是第一类间断点的任何间断点，称为第二类间断点. 可去间断点
另外，若遇到
、
用法则求解。
例题：求
、 、 、 等型，通常是转化为
型后，在利
解答：它为 型，故可先将其转化为
型后在求解，
函数增减性判定方法：
设函数
在[a,b]上连续，在(a,b)内可导.
a)：如果在(a,b)内
＞0，那末函数
在[a,b]上单调增加；
b)：如果在(a,b)内 驻点
＜0，那末函数
在[a,b]上单调减少.
函数是以 y 为自变量的，我们没有对它作记号变换。即：
例题：求
的导数.
是对 y 求导，
是对 x 求导
解答：此函数的反函数为
，故
则：
隐函数的求导
若已知 F(x,y)=0，求 时，一般按下列步骤进行求解：
a)：若方程 F(x,y)=0，能化为
的形式，则用前面我们所学的方法进行求导；
b)：若方程 F(x,y)=0，不能化为
(uv)'=u'v+uv'，移项，得 uv'=(uv)'-u'v，对其两边求不定积分得：
， 这就是分部积分公式
例题：求 解答：这个积分用换元法不易得出结果，我们来利用分部积分法。
设 u=x，dv=cosxdx，那末 du=dx，v=sinx，代入分部积分公式得：
大一高数下学期知识点笔记
大一高数下学期知识点笔记高等数学是大一大学生必修的一门课程，它作为一门基础课程，对于培养学生的逻辑思维、分析问题的能力以及解决实际问题的能力有着重要作用。
下面将对大一高数下学期的一些知识点进行笔记总结，希望能够帮助到广大学生。
一、不定积分不定积分是高等数学中的基本概念，它是求函数原函数的过程。
在学习不定积分的过程中，我们需要掌握一些常见的不定积分公式和基本的积分法则。
常见的不定积分公式包括：1. x^n的不定积分公式：∫ x^n dx = （x^(n+1))/(n+1) + C（C为常数）2. e^x的不定积分公式：∫ e^x dx = e^x + C3. 正弦函数积分的不定积分公式：∫ sinx dx = -cosx + C4. 余弦函数积分的不定积分公式：∫ cosx dx = sinx + C此外，还需要掌握一些基本的积分法则，如分部积分法、换元法等。
二、定积分定积分是对函数在一定区间上的积分，它具有面积、物理学中的质量、工程学中的功等实际意义。
在学习定积分的时候，我们需要了解一些与定积分相关的概念和定积分的性质。
1. 定积分的定义：∫[a,b] f(x) dx = F(b) - F(a)，其中F(x)是f(x)的一个原函数。
2. 反常积分：当被积函数在区间上不连续或无界时，我们需要使用反常积分来求解。
反常积分有第一类反常积分和第二类反常积分，根据具体情况选择相应的求解方法。
3. 定积分的性质：定积分具有加法性、数乘性、保号性、保序性等性质，这些性质在计算时需要熟练掌握。
三、级数级数是数列和的概念的推广，它在数学和物理等领域中有广泛的应用。
在学习级数时，我们需要了解级数的收敛性和发散性，以及级数的求和方法。
1. 收敛级数的定义：当数列的部分和有极限时，该级数收敛；否则称为发散级数。
2. 常见的级数：常见的级数有等差级数、等比级数、调和级数等，这些级数在求和时有特定的方法。
3. 级数的判定方法：级数的判定方法主要有比较判别法、比值判别法、根值判别法等，使用不同的判定方法可以判断级数的收敛性或发散性。