基本不等式求最值的类型与方法-经典大全

基本不等式求最值的类型与方法-经典大全

3

4

专题：基本不等式求最值的类型及方法

一、几个重要的基本不等式： ①

，

、)(2

22

2

2

2

R b a b

a a

b ab b a ∈+≤⇔≥+当且仅当a = b 时，“=”

号成立； ②

，

、)(222

+

∈⎪⎭

⎫ ⎝⎛+≤⇔≥+R b a b a ab ab b a 当且仅当a = b 时，

“=”号成立； ③

，

、、)(3

33

333

3

3

+∈++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b =

c 时,“=”号成立； ④

)

(333

3+

∈⎪⎭

⎫ ⎝⎛++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b

= c 时,“=”号成立.

注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”；

② 熟悉一个重要的不等式链：

b

a 112

+2a b

+≤≤≤2

2

2b a +。

二、函数()(0)b f x ax a b x

=+>、图象及性质

(1)函数()0)(>+=b a x b

ax x f 、图象如图： (2)函数()0)(>+=b a x

b

ax x f 、性质：

①值域：)

,2[]2

,(+∞--∞ab ab ；

②单调递增区间：(,-∞)+∞；单调递减区间：

(0,

]b a

，[,0)b a

-

.

三、用均值不等式求最值的常见类型 类型Ⅰ：求几个正数和的最小值。 例1、求函数2

1

(1)

2(1)y x x x =+>-的最小值。

解析：2

1(1)2(1)

y x x x =+>-21(1)1(1)2(1)x x x =-++>-2

111

1(1)222(1)

x x x x --=+++>-

1≥312≥+52=，

当且仅当2

11(1)

2

2(1)

x x x -=>-即2x =时，“=”号成立，

故此函数最小值是52

。 评析：利用均值不等式求几个正数和的最小值

时，关键在于构造条件，使其积为常数。通常要通

5

6

过添加常数、拆项（常常是拆底次的式子）等方式进行构造。

类型Ⅱ：求几个正数积的最大值。 例2、求下列函数的最大值： ①2

3(32)(0)2

y x x x =-<< ②2

sin

cos (0)

2

y x x x π

=<<

解析：①

3

0,3202

x x <<

->∴，

∴2

3(32)(0)(32)2y x x x x x x =-<<=⋅⋅-3

(32)

[]

1

3

x x x ++-≤=，

当且仅当32x x =-即1x =时，“=”号成立，故此

函数最大值是1。

②

0,sin 0,cos 0

2

x x x π

<<

>>∴，则0y >，欲求y 的最

大值，可先求2

y 的最大值。

242sin cos y x x =⋅222sin sin cos x x x =⋅⋅2221

(sin sin 2cos )2

x x x =⋅⋅2

2

2

31sin sin 2cos 4()2327x x x ++≤⋅=

,

当且仅当

22sin 2cos x x =(0)2

x π

<

<

tan 2

x ⇒=，即

x arc =时 “=”23。

评析：利用均值不等式求几个正数积的最大值，关键在于构造条件，使其和为常数。通常要通

过乘以或除以常数、拆因式（常常是拆高次的式子）、平方等方式进行构造。

类型Ⅲ：用均值不等式求最值等号不成立。 例3、若x 、y +

∈R ，求4()f x x x

=+)10(≤、图象及性质知，当(0,1]x ∈时，函数4()f x x x

=+是减函数。证明：任取1

2

,(0,1]

x x

∈且1

2

01

x x

<<≤，则

12121244

()()()(

)f x f x x x x x -=-+-211212()4x x x x x x -=-+⋅121212

4()x x x x x x -=-⋅， ∵

1201

x x <<≤，∴121212

4

0,

0x x x x x x --<<，

则

1212()()0()()

f x f x f x f x ->⇒>，

即

4()f x x x

=+

在(0,1]上是减函数。故当1x =时，

4

()f x x x

=+

在(0,1]上有最小值5。

解法二：（配方法）因01x <≤，则有

4()f x

x x

=+24

=+，

易知当01x

<≤时，

x

μ=

且单调递减，则2()4

f x =+在

(0,1]

上也是减函数，