随机存贮策略培训讲学

随机存贮策略
摘要
教材中的(s，S) 随机存贮策略的决策模型已经被大家广泛认识和接受，但是该模型在考虑存储成本的时候忽略了周初贮存的减少不是瞬间发生的，而是一个持续的过程，那么整个存贮成本就不应该仅仅是对周末存贮余量的持有成本。

为此，本文根据题目要求在一周内销售量服从均匀分布，针对其不足进行了一定的改进，使得(s，S) 随机存贮策略的决策模型具有更广泛的适用性。

采用了通过求概率的期望来最中求得总费用的期望，通过模型假设，我们确定总费用由货物成本、存贮成本、缺货损失和订货费构成。

最终确定了s和S。

题中的模型为单时段随机存贮模型，在模型的改进中，我们可以考虑多品种随机存贮模型和多时段随机存贮模型。

关键词：贮存量随机存贮策略总费用均匀分布期望
问题的重述
商店在一周中的销售量是随机的，服从均匀分布。

每逢周末经理要根据存货的多少决定是否订购货物，以供下周的销售。

适合经理采用的一种简单的策略是制定一个下界s和一个上界S，当周末存货不少于s时就不订货；当存货少于s时则订货，且订货量使得下周初的存量达到S。

试确定s和S，使得总费用最小。

模型假设与符号说明
（一）模型的假设：
1：为了问题简化起见，我们仍然只考虑费用：订货费、贮存费、缺货费和
商品购进价格。

2：每次订货时间以周为单位，商品数量以件为单位。

3：每次订货费为0c （与数量无关），每件商品购进价为1c ，每件商品一周的贮存费为2c ，每件商品的缺货损失为3c ，3c 相当于售出价，所以有1c <3c 。

4：一周的销售量r 是随机的，其概率密度为)(p r 。

5：记周末的存货量为x ，订货量为u ，并且立即到货，于是周初的存货量为x+u 。

（二）符号说明：ρ是当销售量呈现均匀分布时平均销售速率。

模型的建立与求解
模型一：对(s ，S)型随机存贮策略模型回顾（此时的)(p r 是未知的）
(s ，S)型存贮策略是一种随机需求的存贮策略。

假设一周的销售是集中在周初进行的，即周一的贮存量为x+u-r ，不随时间改变。

这条假设是为了计算贮存费用的方便。

为了保证定期订货但订货量不确定的情况下使得总费用最小，采取如下的存贮策略：每周初期检查存贮，当存货量x<s （临界订货点），需要订货，订货的数量为u=S （贮存总量）-x （当前贮存量）。

当存货量x ≥ s （临界订货
点），本周不订货。

而s 和S 的确定就是本模型的关键。

假设已知连续随机需求的密度函数为)(p r ，每次订货费为0c （与数量无关），每件商品购进价为1c ，每件商品一周的贮存费为2c ，每件商品的缺货损失为3c ，通过寻求货物成本、订货成本、存储成本和缺货成本的总期望值最小，可以得出
⎰+-=S
c c c c r 03
213)(p ，进而确定S 。

在不需要订货的情况下，本周的需求只能依靠现
有存货量x 来满足。

而存货量x ≥临界订货s ，因此，我们需要寻找一个在不订货的条件下能够最佳满足需求的经济临界订货点s ，则s 为能够满足不等式的 ⎰⎰⎰⎰∞∞-+-++≤-+-+S S x x dr r p S r dr r p r S S dr r p x r dr r p r x x )()(c )()(c c c )()(c )()(c c 302103021的最小值。

分析上述(s ，S)型随机存贮策略模型的不足
在模型一中贮存费用的计算是比较困难的。

因为一般地说贮存费应与贮存时间有关，所以必须对一周内贮存量的变化情况做出适当的假定。

按照模型一中的假设，贮存量q 在10≤≤t 内的变化可用图1表示，即在可以忽略的短时间内贮存量就降为u-r(u>r 时)或0（r u ≤时），我们已经得到在这个假定下计算及其结果都非常简单。

图 1（一模型假设的图示）
该贮存贮模型是一个经典的定期订货的随机存储模型，但是它认为经济贮存总容量减去需求量就是需要贮存的量，从而忽略了需求的过程不是瞬间完成的，而是在一段时间内持续或间断性发生的，也就是说贮存总量的削减是有一个过程的，因此，当期的贮存量不仅仅是期末残留物品的贮存两还应该包括整个需求过程中当时在管物资的贮存量。

如图2 所示，在t 时间内发生的库存除
了未销售完的物品u-r 需要发生库存外，同时销售量r 在T 时间内也是逐步实现的,其也占有贮存成本。

图2(随机需求的贮存状况)
模型二：对(s，S)型随机存贮策略模型的改进
随机销售从总体上来说，它仍旧会满足一定的统计规律。

在一个周期的具体销售过程中，销售总是围绕着平均水平上下波动，如图3所示。

因此，我们要从整体上把握一个周期的不定的随机销售属性的时候不妨研究其平均销售的属性。

这样就可以把难以把握的不确定销售转变成均匀销售。

图3（随机销售的平均值）
通过统计，我们不难获取到当前的贮存量x 、平均销售速率ρ是服从概率密度为p(r)的随机变量则t 时间内的销售量r=ρt ，由于销售量不可能是负数， 那么显然1)(0=⎰∞
dr r p 。

同时，我们知道一周内每次订货费为0c （与数量无关），每件商品购进价为1c ，每件商品一周的贮存费为2c ，每件商品的缺货损失为3c 。

每次订货量为S-x ，临界订货点为s 。

那么，S 和s 就是我们的决策变量。

我们首先确定S 。

根据存储规则，只要在周初发生了订货，那么订货量一定是S -x ，则周初贮存量为S 。

如果周初贮存量S<销售量pt ， 则会缺货（如图4 所
示），如果周初贮存量S>销售量pt ，则没有缺货成本（如图5 所示）。

显然，当t S <ρ时不会发生缺货，而t
S >ρ 时必定发生缺货。

图4（缺货状态） 图5（不缺货状态）
那么，根据概率论，可得一周的存贮成本的期望
⎰⎰∞++-=t S t
S dr r p C S S dr r p c t t t t S E /2/021)()2
/*()()2**)((ρρρ 一周的缺货成本的期望
⎰∞
-=t S dr r p c S t E /32)()(ρ
一周内发生订货的期望为
03)(c x S E -=
所以一周内的总成本期望（总费用期望）
=货物成本+存贮成本期望+缺货成本期望+订货成本期望
即3211)()(E E E x S c S C +++-=
=)(1x S c -+⎰⎰
∞++-t S t S dr r P C S S dr r p c t t t t S /2/02)()2/*()()2**)((ρρρ +⎰∞
-t S dr r p c S t /3)()(ρ+0)(c x S -
由1)(0=⎰∞dr r p 得，⎰⎰-=∞t S t S dr r p dr r p /0/)(1)(
为了使总期望最小，等式两边对S 求导得：
)()2()()()(33222/032201t
S p t S c c t S t c S c dr r p c c t c c c dS S dC t S +---++-++=⎰ρρρ 令0)(=dS
S dC 表达式中仅有S 一个未知数，故可以由此确定S 的值。

与模型一一样，如果本周不需要订货，则可以节省出0c ，显然同样存在s 使得如下的不等式成立。

（与模型一的计算方法相同，在教科书p276页）
)(1x s c -+⎰⎰∞++-t s t s dr r P C s s dr r p c t t t t s /2/02)()2
/*()()2**)((ρρρ +⎰∞
-t s dr r p c s t /3)()(ρ ≤)(1x S c -+⎰⎰∞++
-t S t S dr r P C S S dr r p c t t t t S /2/02)()2/*()()2**)((ρρρ +⎰∞
-t S dr r p c S t /3)()(ρ+0)(c x S -
选取该不等式的最小的一个s 作为本改进后的（s,S ）的存贮策略的s,即在均匀分布的情况下的s 。

讨论优缺点
该模型为简化只考虑了四种费用和为总费用，与实际有所差距。

上述两个模型均只考虑一周的存贮与需求，称为单时段随机存贮策略，而现实中更多的是多时段随机存贮策略和多品种随机存贮策略。

经过改进后的(s，S)存贮策略（模型二）尽管仍旧不能完全满足不断变化的现实要求，但是相对于原模型而言已经具有了更大的适用性。

模型的改进
在定时订货模型中，如果需求是随机的，订货-到货间隔比较长，则在订货-到货间隔出现缺货是一个随机现象．为了减少或避免缺货损失，可以在库存没有用完的情况下就订货，但这样就增加了存贮费用，因此，最优存贮策略是综合对比缺货费用和存贮费用，以决定在库存水平多高时进行订货．
需求的随机分布需要对历史资料进行统计分析确定，以得出在确定时间内各种需求数量出现的概率，以此作为计算缺货损失和存贮费用的基础．
参考文献
[1]林勇:基于随机提前期的(Q,s)库存模型.物流技术,2007
[3]张旭万:库存影响需求率的供应链EOQ 模型.重庆工商大学学报，2007。