2020届天津市部分区高考一模数学试题及答案

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2020届天津市部分区高考一模数学试题

注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上

一、单选题

1．已知a ，b R ∈，若2b i

a i i

+-=（i 是虚数单位），则复数a bi +是（） A ．12i - B ．12i +

C ．2i -

D ．2i +

答案：B

根据复数的除法，先得到21a i bi -=-+，根据复数相等，求出参数，即可得出结果. 解：

因为()()()

21b i i b i a i bi i i i +-+-===-+-， 所以1

2a b =??=?

，因此12a bi i +=+.

故选：B. 点评：

本题主要考查复数的除法，以及由复数相等求参数的问题，属于基础题型. 2．设R θ∈，则2

2

π

π

θ-

<

是“sin 0θ>”的（）

A ．充分不必要条件

B ．充要条件

C ．必要不充分条件

D ．既不充分又不必

要条件 答案：A

根据充分条件与必要条件的概念，以及正弦函数的性质，即可得出结果. 解： 若2

2

π

π

θ-

<

，则2

2

2

π

π

π

θ-

<-

<

，即0θπ<<，所以sin 0θ>；

若sin 0θ>，则22,k k k Z πθππ<<+∈，不能推出“2

2

π

π

θ-

<

”.

所以2

2

π

π

θ-

<

是“sin 0θ>”的充分不必要条件.

故选：A.

点评：

本题主要考查判断命题的充分不必要条件，涉及正弦函数的性质，属于基础题型. 3．已知函数()2

ln f x x x ax =+-．若曲线()y f x =在点()()

1,1f 处的切线与直线

2y x =平行，则实数a =（）

A ．

72

B ．2

C ．

32

D ．1

答案：D

先对函数求导，求得()13f a '=-；再由题意，得到32a -=，求解，即可得出结果. 解：

因为()2

ln f x x x ax =+-，所以()1

2f x x a x

'=

+-，则()13f a '=-； 又曲线()y f x =在点()()

1,1f 处的切线与直线2y x =平行， 所以32a -=，解得：1a =. 故选：D. 点评：

本题主要考查已知曲线在某点处的切线斜率求参数的问题，属于基础题型.

4．在ABC 中，90B ∠=?，3AB =，4BC =，以边BC 所在的直线为轴，将ABC 旋转一周，所成的曲面围成的几何体的体积为（） A ．36π B ．12π C ．36 D ．12

答案：B

根据旋转体的概念，结合题意得到该几何体是圆锥，根据体积计算公式，即可得出结果. 解：

因为在ABC 中，90B ∠=?，所以BC AB ⊥，

若以边BC 所在的直线为轴，将ABC 旋转一周，所得的几何体是以BC 为高，以AB 为底面圆半径的圆锥，因为3AB =，4BC =， 因此，其体积为：()2

1123

V AB BC ππ=???=.

故选：B. 点评：

本题主要考查求圆锥的体积，熟记圆锥的体积公式即可，属于基础题型.

5．为普及环保知识，增强环保意识，某中学随机抽取部分学生参加环保知识测试，这些学生的成绩（分）的频率分布直方图如图所示，数据（分数）的分组依次为[)20,40，

[)40,60，[)60,80，[]80,100．若分数在区间[)20,40的频数为5，则大于等于60分

的人数为（）

A ．15

B ．20

C ．35

D ．45

答案：C

根据分数在区间[)20,40的频数，求出样本容量，再根据大于等于60分频率，即可得出对应的人数. 解：

因为分数在区间[)20,40的频数为5，由频率分布直方图可知，区间[)20,40对应的频率为1(0.010.020.015)200.1-++?=， 因此样本容量为

5

500.1

=， 所以，大于等于60分的人数为()500.020.0152035?+?=. 故选：C. 点评：

本题主要考查频率分布直方图的简单应用，属于基础题型.

6．已知函数()25x f x x =+．若1

3

1log 2a f ?

?= ???

，(3log 5b f =，()0.2

6c f =．则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．c a b >> D ．c b a >>

答案：D

先根据对数函数与指数函数的性质，得到1

33

1

0log log 512

<<<，0.261>，再根据函数单调性，即可判断出结果. 解：

因为11

3333

3

1

0log 1log log log 5lo 2g 312

=<=<<=，0.261>，

函数2x y =与5y x =都是增函数，所以()25x

f x x =+也是增函数，

因此(()0.2

1

33

1log log 62f f f ??< ?

?

， 即c b a >>. 故选：D. 点评：

本题主要考查由函数单调性比较大小，熟记指数函数与对数函数的性质即可，属于常考题型.

7．已知函数()()sin 0,2f x x πω?ω??

?=+>< ??

?的最小正周期为π，其图象关于直线

6

x π=对称．给出下面四个结论：①将()f x 的图象向右平移6π

个单位长度后得到函数

图象关于原点对称；②点5,012π??

???

为()f x 图象的一个对称中心；③1

42f π??= ???；

④()f x 在区间06,π??

????

上单调递增．其中正确的结论为（）

A ．①②

B ．②③

C ．②④

D ．①④

答案：C

先由函数周期性与对称轴，求出函数解析式为()sin 26f x x π??

+

?

=??

，根据三角函数的平移原则，正弦函数的对称性与单调性，逐项判断，即可得出结果. 解：

因为函数()()sin 0,2f x x πω?ω??

?=+>< ???的最小正周期为π，其图象关于直线6

x π=

对称，

所以2,6

2k k Z π

πωππω?π?=????+=+∈??，解得2,6k k Z ωπ

?π=??

?=+∈??， 因为2π

?<

，所以6π=?，因此()sin 26f x x π?

?+ ?

=??；

①将()sin 26f x x π?

?

+

?

=??

的图象向右平移

6

π

个单位长度后函数解析式为

()sin 26f x x π?

?=- ??

?，

由2,6x k k π

-

=π∈Z 得,122

k x k Z ππ=+∈，所以其对称中心为：,0,122k k Z ππ??

+

∈ ???

，故①错； ②由2,6

x k k Z π

π+

=∈，解得,12

2

k x k Z π

π

=-

+

∈，即函数()f x 的对称中心为,0,122k k Z ππ??

-+∈ ?

??

；令512212k πππ-+=，则1k =，故②正确；

③sin cos 26624f ππππ??

+== ?

??

??

?=??，故③错； ④由222,2

6

2

k x k k Z π

π

π

ππ-

+≤+

≤

+∈得2,36

k x k k Z ππ

ππ-

+≤≤+∈， 即函数()f x 的增区间为2,,36k k k Z ππππ??

-++∈????，因此()f x 在区间06,π??????

上单调递

增．即④正确. 故选：C. 点评：

本题主要考查三角函数的性质，熟记正弦函数的对称性，单调性，周期性等即可，属于常考题型.

8．设双曲线()222210x y a b a b

-=>>的两条渐近线与圆22

10x y +=相交于A ，B ，C ，D

四点，若四边形ABCD 的面积为12，则双曲线的离心率是（） A

．

3

B

C

或

3

D

．答案：A

先由题意，得到四边形ABCD 为矩形，设点00(,)A x y 位于第一象限，得到

004ABCD S x y =矩形；根据双曲线的渐近线方程与圆的方程联立，求出22

010

e x =

，再由四

边形面积，得到2

0x =

，进而可求出离心率.

解：

根据双曲线与圆的对称性可得，四边形ABCD 为矩形；不放设点00(,)A x y 位于第一象

限，

则0000224ABCD S x y x y =?=矩形；

因为双曲线()22

2210x y a b a b

-=>>的渐近线方程为：b y x a =±，

由00220010

b y x a x y ?=???+=?得2220010b x x a ??+= ???，即22202

10a b x a +=，所以2222010c e a x ==， 又2

0004412ABCD b S x y x a

==

=矩形

，所以203a x b

=

==

因此2

2010e x =

=整理得：4291001000e e -+=，解得：2109

e =或210e =，

所以e =

或e = 又0a b >>，

所以双曲线的离心率e ===

因此3

e =. 故选：A. 点评：

本题主要考查求双曲线的离心率，熟记双曲线的简单性质即可，属于常考题型. 9．在等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，60BAD ∠=?，8AB =，4CD =．若M 为线段BC 的中点，E 为线段CD 上一点，且27AM AE ?=，则DM DE ?=（） A ．15 B ．10 C ．

203

D ．5

答案：D

过点D 作DF AB ⊥于点F ，根据平面向量的基本定理，根据题意，得到31

42AM AB AD =

+，设DE tDC =，得到2t AE A AB D =+，再由27AM AE ?=，求出1

4

t =；再由向量数量积运算，即可求出结果. 解：

过点D 作DF AB ⊥于点F ，

因为四边形ABCD 为等腰梯形，且8AB =，4CD =，所以2AF =， 又60BAD ∠=?，所以4cos60AF

AD =

=?

；

因为M 为线段BC 的中点， 所以()()

11113

122224

2AM AB AC AB AD DC AB AD AB AB AD ??=

+=++=++=+ ???， 又E 为线段CD 上一点，所以存在t R ∈，使得DE tDC =， 则2

t

AE AD AD DE AB =+=+

， 由27AM AE ?=得3127422t AB AD A B D A ????

+?+= ? ?????

，

即22331274824

t

AB AD t AB AD AD AB ?+++?=， 即33184cos60641648cos60274824

t

t ????+?+?+????=， 解得：1

4

t =

； 所以(

)1311

8428

DM DE AM AD AB A A A D AB B D ???=-?

=+-? ??? 2311

31311cos 606484615428

321632162AB AD A AB AB AB D ??=-?=-?=?-???=-= ???

故选：D.

点评：

本题主要考查由向量数量积求参数，以及求平面向量的数量积，熟记向量数量积运算法则，以及平面向量基本定理即可，属于常考题型. 二、填空题

10．已知集合{

}

2,2

m

A =，{}(),,

B m n m n R =∈，且14A

B ??

=????

，则

A B =________．

答案：12,

,24??-????

根据交集的结果，先求出2m =-，从而得到1

4

n =

，再求并集，即可得出结果.

解： 因为{

}

2,2

m

A =，{}(),,

B m n m n R =∈，14A

B ??=????

，

所以124m

=，解得2m =-；因此14

n =. 所以12,,24A

B ?

?=-????.

故答案为：12,,24??-???

?

. 点评：

本题主要考查由集合的交集求参数，以及集合的并集运算，属于基础题型.

11．在5

22x

???

-的展开式中，5x 项的系数为________（用数字作答）

． 答案：80-

根据二项展开式的通项公式，写出通项，即可根据题意求解. 解：

因为522x

???-的展开式的通项为()

()552

155

52

22r r r

r r

r

r

T C C x

x -+-==--，

令

55

52

r -=，则3r =， 所以5x 项的系数为()3

3

5280C -=-.

故答案为：80-. 点评：

本题主要考查求指定项的系数，熟记二项式定理即可，属于基础题型.

12．设0a >，0b >，若a 与2b 的等差中项是2，则22log 2log a b +的最大值是________． 答案：2

根据题意，先得到24b a +=，再由对数运算，以及基本不等式，即可求出结果. 解：

因为a 与2b 的等差中项是2， 所以24b a +=，又0a >，0b >，

则()2

22

2222log 2log log log 22a b a b ab ??++== ???

≤，

当且仅当2a b =

，即2,a b ==.

故答案为：2. 点评：

本题主要考查由基本不等式求最值问题，涉及等差数列，以及对数运算，属于常考题型. 13．已知圆()()2

2

:1116C x y ++-=，过点()2,3P -的直线l 与C 相交于A ，B 两点，

且AB =l 的方程为________． 答案：280x y -+=

根据几何法求弦长的公式，先求出圆心到直线l 的距离，根据点到直线距离公式，列出等式，即可求出直线斜率，进而可求出结果. 解：

由题意，圆()()2

2

:1116C x y ++-=的圆心为()1,1-，半径为4r =， 又由题意可知，AB 为弦长，

所以圆心到直线l

的距离为：d ===

设直线l 的方程为：3(2)y k x -=+，即230kx y k -++=，

所以d =

=

d =

=24410k k -+=，

解得：12

k =

. 故直线l 的方程为280x y -+=. 故答案为：280x y -+=. 点评：

本题主要考查由弦长求直线方程，熟记直线与圆位置关系，以及弦长的求法即可，属于常考题型.

14．天津市某学校组织教师进行“学习强国”知识竞赛，规则为：每位参赛教师都要回答3个问题，且对这三个问题回答正确与否相互之间互不影响，若每答对1个问题，得1分；答错，得0分，最后按照得分多少排出名次，并分一、二、三等奖分别给予奖励．已

知对给出的3个问题，教师甲答对的概率分别为

34，1

2

，p ．若教师甲恰好答对3个问题的概率是

1

4

，则p =________；在前述条件下，设随机变量X 表示教师甲答对题目的个数，则X 的数学期望为________． 答案：

23；2312

. 先根据独立事件的概率计算公式，由题意，求出2

3

p =；结合题意确定X 可能取的值分别为0,1,2,3，求出对应的概率，即可计算期望. 解：

因为教师甲恰好答对3个问题的概率是

1

4，所以311424

p ??=，解得：23p =； 由题意，随机变量X 的可能取值分别为：0,1,2,3；

所以3121

(0)11142324

P X ??????==-?-?-=

? ? ???????， 31231231261

(1)111111423423423244

P X ????????????==?-?-+-??-+-?-?==

? ? ? ? ? ?????????????，

31231231211

(2)11142342342324

P X ??????==??-+?-?+-??= ? ? ???????，

31261

(3)423244

P X ==??==，

因此，()1111123012324424412

E X =?+?+?+?=. 故答案为：23；2312

. 点评：

本题主要考查独立事件的概率，以及求离散型随机变量的期望，属于常考题型.

15．已知函数(

)2,0

x x x f x x ?-≤?=?>??．若存在x ∈R 使得关于x 的不等式()1

f x ax ≤-成立，则实数a 的取值范围是________． 答案：(]

[),31,-∞--+∞

分0x =，0x <，0x >三种情况，结合分离参数的方法，分别求出a 的范围，即可得出结果. 解：

由题意，当0x =时，不等式()1f x ax ≤-可化为01≤-显然不成立； 当0x <时，不等式()1f x ax ≤-可化为21x x ax -+≤，所以1

1a x x

≤+

-， 又当0x <时，11()2x x x x ??

??+=--+-≤- ??????

?，当且仅当1x x -=-，即1x =-时，等号成立；

当0x >时，不等式()1f x ax ≤-可化为1ax ≤，

即2

1111a

x ?

≥=+-≥-??

；

因为存在x ∈R 使得关于x 的不等式()1f x ax ≤-成立， 所以，只需213a ≤--=-或1a ≥-. 故答案为：(][),31,-∞--+∞.

点评：

本题主要考查由不等式恒成立求参数的问题，注意利用参变分离把问题转化为函数的最值问题，后者可利用基本不等式求最值，也可以利用二次函数的性质求最值，本题属于常考题型. 三、解答题

16．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知sin

sin 2

A B

a c A +=，

c =23a b =．

（1）求角C 的大小； （2）求()sin C B -的值．

答案：（1）

3π；（2. （1）根据正弦定理，诱导公式，以及二倍角公式，得出1

sin

22

C =，进而可求出结果； （2）由（1）的结果，根据余弦定理，求出2b =，3a =，再求出cos B ，sin B ，即可根据两角差的正弦公式求出结果. 解：

（1）因为sin

sin 2

A B

a c A +=，,,A B C 分别为三角形内角， 由正弦定理可得：sin sin sin sin 2

C

A C A π-=，

因为()0,A π∈，故sin 0A ≠， 所以cos

sin 2sin cos 222

C C C C ==， 又

0,22C π??∈ ???，因此2sin 12C =，所以1sin 22C =，因此26C π

=即3

C π=； （2）由（1）得1

cos 2

C =，因为7c =，23a b =， 由余弦定理可得：22

222

229713714cos 231232

b b a b

c C ab b b +-+-===-=

，解得：2b =；

所以3a =，

因此2222cos 72767a c b B ac +-===，所以221sin 1cos B B =-=，

故()3212121

sin sin cos cos sin 7272714

C B C B C B -=-=?-?=

. 点评：

本题主要考查正弦定理与余弦定理解三角形，以及三角恒等变换求函数值的问题，属于常考题型.

17．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11ABB A ，11BB C C 均为正方形，且

1111A B B C ⊥，M 为1CC 的中点，N 为1A B 的中点．

（1）求证：//MN 平面ABC ； （2）求二面角1B MN B --的正弦值；

（3）设P 是棱11B C 上一点，若直线PM 与平面1MNB 所成角的正弦值为2

15

，求111B P B C 的

值

答案：（1）证明过程见详解；（2）

45

；（3）13.

（1）先取1AA 中点为O ，连接ON ，OM ，根据面面平行的判定定理，得到平面//MON 平面ABC ，进而可得//MN 平面ABC ；

（2）先由题意，得到11B C ，1B B ，11B A 两两垂直，以1B 为坐标原点，分别以1B B ，11B C ，

11B A 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，设11ABB A 边长为2，分别求出平面BMN

和平面1B MN 的一个法向量，根据向量夹角公式，求解，即可得出结果；

（3）先设

[]111

0,1B P

t B C =∈，得到()1,22,0PM t =-，根据空间向量的夹角公式，列出等式求解，即可得出结果. 解：

（1）取1AA 中点为O ，连接ON ，OM ， 因为M 为1CC 的中点，N 为1A B 的中点， 所以//ON AB ，//OM AC ， 又AB

平面ABC ，AC ?平面ABC ，AC AB A ?=

，

所以平面//MON 平面ABC ， 又MN ?平面MON ， 所以//MN 平面ABC ；

（2）因为四边形11ABB A ，11BB C C 均为正方形，所以11B C ，1B B ，11B A 两两垂直， 以1B 为坐标原点，分别以1B B ，11B C ，11B A 为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设11ABB A 边长为2，则1(0,0,0)B ，(2,0,0)B ，1(0,2,0)C ，(2,2,0)C ，

1(0,0,2)A ，

所以(1,0,1)N ，(1,2,0)M ，

因此1(1,2,0)B M =，(0,2,1)MN =-，(1,2,0)BM -=， 设平面BMN 的一个法向量为(),,m x y z =，

则m BM m MN ?⊥?⊥?，所以2020m BM x y m MN y z ??=-+=??=-+=?

，令1y =，则2

2x z =??=?，

因此()2,1,2m =；

设平面1B MN 的一个法向量为()111,,n x y z =，

则1m B M m MN ?⊥?⊥?，所以12020m B M x y m MN y z ??=+=??=-+=?

，令1y =，则2

2x z =-??=?，

因此()2,1,2n =-，

设二面角1B MN B --的大小为θ， 则1cos cos ,9

4m n

m n m n

θ?

=<>=

=

=

+， 所以sin θ==

； （3）因为P 是棱11B C 上一点，设[]111

0,1B P

t B C =∈，则(0,2,0)P t ， 所以()1,22,0PM t =-，

由（2）知，平面1MNB 的一个法向量为()2,1,2n =-， 又直线PM 与平面1MNB

所成角的正弦值为215

，记直线PM 与平面1MNB 所成角为α 则有2sin cos ,15

1PM n PM n PM n

α?=<>=

=

=

=

， 整理得221850t t +-=，解得13

t =

或5

7t =-（舍）

所以1111

3

B P t B

C ==.

点评：

本题主要考查证明线面平行，求二面角，已知线面角求其它量的问题，熟记面面平行的判定定理与性质，以及二面角，线面角的向量求法即可，属于常考题型.

18．已知抛物线2

:42C y x =的焦点为椭圆()22

22:10x y E a b a b

+=>>的右焦点，C

的准线与E 交于P ，Q 两点，且2PQ =． （1）求E 的方程；

（2）过E 的左顶点A 作直线l 交E 于另一点B ，且BO （O 为坐标原点）的延长线交E 于点M ，若直线AM 的斜率为1，求l 的方程．

答案：（1）22

142

x y +=；

（2）220x y ++=. （1）根据题意，先得到椭圆焦点坐标，再由2PQ =，得到2

22b a

=，根据焦点坐标

得到2222c a b =-=，两式联立，求出24a =，22b =，即可得出结果；

（2）先由题意，设直线l 的方程为2x my =-，()00,B x y ，联立直线与椭圆方程，求出点B 坐标，根据对称性，得到M 的坐标，再由直线斜率公式，即可求出结果. 解：

（1）因为抛物线2:2C y x =的焦点为

)

2,0，

由题意，可得：椭圆()22

22:10x y E a b a b

+=>>的两焦点为())

2,0,

2,0-，

又抛物线C 的准线与E 交于P ，Q 两点，且2PQ =，将x c =-代入椭圆方程得

222

21c y a b

+=，所以2

b y a =±，则222b a =，即2b a =①， 又2222

c a b =-=②，根据①②解得：24a =，22b =，

因此椭圆E 的方程为22

142

x y +=；

（2）由（1）得22

142

x y +=的左顶点为()2,0A -，设直线l 的方程为2x my =-，

()00,B x y ，

由222

142x my x y =-???+=?

?得22

(2)40m y my +-=，所以0242A m y y m +=+，

因此0242m y m =+，所以200224

22

m x my m -=-=+，

则222244,22m m B m m ??

- ?++??

，

又因为BO （O 为坐标原点）的延长线交E 于点M ，

则M 与B 关于原点对称，所以222244,22m m M m m ??

--- ?++??

，

因为直线AM 的斜率为1，

所以

222

4212422

m

m m m +=--++，解得：2m =-， 因此，直线l 的方程为：220x y ++=. 点评：

本题主要考查求椭圆的方程，以及根据直线与椭圆位置关系求直线方程的问题，属于常考题型.

19．设{}n a 是等比数列，{}n b 是等差数列．已知48a =，322a a =+，12b a =，

265b b a +=．

（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；

（2）设21212,211,2m m n m a b n m c b n m

--=-?=?+=?，其中*m N ∈，求数列{}n c 的前2n 项和．

答案：（1）12n n

a ，2n

b n =；（2）21

22510222399n n n n +??-?+++

???

. （1）先设{}n a 的公比为q ，{}n b 的公差为d ，根据等差数列与等比数列的基本量运算，以及题中条件，求出q 和d ，即可得出通项公式；

（2）分别求出奇数项与偶数项的和，再求和，即可得出结果. 解：

（1）设{}n a 的公比为q ，{}n b 的公差为d ， 由48a =，322a a =+得

4422q a a q =+，即288

2q q =+，解得：2q ，

所以4

131a a q

=

=，因此12n n a ，

又12b a =，265b b a +=，所以1426

12262b b b b d =??+=+=?，解得12

2b d =??=?， 因此2n b n =；

（2）因为21212,211,2m m n m a b n m c b n m

--=-?=?+=?，其中*m N ∈，

当n 为偶数时，121n n c b n =+=+， 所以2242(341)

(222)

n n n c c n c n +++++=

=+；

当n 为奇数时，2n

n n n c a b n ==?，

记3521

13521...123252...(21)2n n M c c c c n --=++++=?+?+?++-?①

则35721

4123252...(21)2

n M n +=?+?+?++-?②

①-②得3

5

7

21

2132222222 (22)

(21)2n n M n -+-=+?+?+?++?--?

(

)422

468221

212

2122222...2(21)2

2(21)2

12

n n n n n n -++-=+++++--?=+

--?-

(

)422

21

212

2121052(21)2

221233n n n n n -++-??

=+

--?=-

+-? ?-??

，

所以21

10252939n n M +??=

+-? ???

， 因此数列{}n c 的前2n 项和为21

22510222399n n n n +??-?+++ ???

.

点评：

本题主要考查等差数列与等比数列基本量的运算，以及数列的求和，熟记等差与等比数列的通项公式，以及求和的方法即可，属于常考题型.

20．已知函数()()ln 1f x x m x m R =--∈在1x =处取得极值A ，函数

()()1x g x f x e x -=+-，其中 2.71828e =…是自然对数的底数．

（1）求m 的值，并判断A 是()f x 的最大值还是最小值； （2）求()g x 的单调区间；

（3）证明：对于任意正整数n ，不等式2111111222n e ?

???

??+

++< ??? ???????

成立． 答案：（1）1m =；A 是最小值；（2）单调递减区间是()0,1，单调递增区间是()1,+∞；（3）证明过程见详解.

（1）先对函数求导，根据题意，得到()10f '=，求出1m =，研究函数单调性，即可判断出结果； （2）对函数()1

ln 1x g x e

x -=--求导，得到()11x xe g x x

--'=，令1

()1x h x xe -=-，

对其求导，研究其单调性，即可判断函数()1

ln 1x g x e

x -=--的单调性；

（3）先由（1）得1x >时，ln 1x x <-恒成立，令112n

x =+，则11ln 122

n n ??+< ???，进而求和，即可得出结果. 解：

（1）因为()ln 1f x x m x =--，0x >，所以()1m f x x

'=-， 又()ln 1f x x m x =--在1x =处取得极值A ， 则()110f m '=-=，即1m =；所以()111x f x x x

-'=-

=，

由()10x f x x -'=

>得1x >；由()1

0x f x x

-'=<得01x <<， 所以函数()ln 1f x x x =--在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增， 因此()ln 1f x x x =--在1x =处取得最小值，即A 是最小值； （2）由（1）得()1

1ln 1ln 1x x g x x x e x e x --=--+-=--，

所以()11

11

x x xe g x e x x

---'=-=

， 令1

()1x h x xe

-=-，则111()(1)x x x h x e xe x e ---'=+=+，

因为0x >，所以1

()(1)0x h x x e -'=+>恒成立，

因此1

()1x h x xe

-=-在()0,∞+上单调递增；又(1)0h =，

所以，当(0,1)x ∈时，()0h x <，即()0g x '<； 当()1,x ∈+∞时，()0h x >，即()0g x '>；

所以函数()g x 的单调递减区间是()0,1，单调递增区间是()1,+∞； （3）由（1）知，()ln 1(1)0f x x x f =--≥=， 所以ln 1x x ≤-，当1x >时，ln 1x x <-恒成立；

令112n x =+，则11ln 122

n n ??+< ?

??， 因此231111ln 1ln 1ln 1...ln 12222n ????????+

+++++++ ? ? ? ?????????

231111111122 (1112222212)

n n n ??

- ???<++++==-<-， 即2111ln 1111ln 222n e ??????

??+

++<= ??? ???????????

， 因此2111111222n e ???

???+++< ??? ?????

??

. 点评：

本题主要考查根据函数极值点求参数，考查求函数单调性，以及导数的方法证明不等式，属于常考题型.