贪心算法及其应用

湖州师范学院实验报告
课程名称：算法
实验三：贪心算法
一、实验目的
1、理解贪心算法的概念，掌握贪心算法的基本要素。

2、掌握设计贪心算法的一般步骤，针对具体问题，能应用贪心算法求解。

二、实验内容
1、问题描述
活动安排问题
设有n个活动的集合E={1,2,…,n}，其中每个活动都要求使用同一资源，如演讲会场等，而在同一时间内只有一个活动能使用这一资源。

每个活动i都有一个要求使用该资源的起始时间si和一个结束时间fi,且si <fi 。

如果选择了活动i，则它在半开时间区间[si, fi)内占用资源。

若区间[si, fi)与区间[sj, fj)不相交，则称活动i与活动j是相容的。

也就是说，当si≥fj或sj≥fi时，活动i与活动j相容。

2、数据输入：文件输入或键盘输入。

3、要求：
1）完成上述两个问题中1个或全部，时间为 1 次课。

2）独立完成实验及实验报告。

三、实验步骤
1、理解方法思想和问题要求。

2、采用编程语言实现题目要求。

3、上机输入和调试自己所写的程序。

4、附程序主要代码：2、活动规划问题
#include<stdio.h>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
struct node
{
int start;
int end;
} a[11111];
bool cmp(node x,node y)
{
if(x.end<y.end) return true;
else if(x.end==y.end && x.start>y.start) return true;
return false;
}
int main()
{
int n,i,j,ans,end;
cin>>n;
for(i=0;i<n;i++) cin>>a[i].start>>a[i].end;
sort(a,a+n,cmp);
ans=0;
end=-1e9-100;
for(i=0;i<n;i++) {
if(a[i].start>=end) {
ans++;
end=a[i].end;
}
}
cout<<ans<<endl;
return 0;
}
5、实验结果：
四、实验分析
活动安排问题：
结束时间越早的活动优先。

这个策略是有效的，我们可以证明。

假设最优解OPT中安排了m个活动，我们把这些活动也按照结束时间由小到大排序，显然是不冲突的。

假设排好顺序后，这些活动是a(1) , a(2), a(3)….a（m）假设按照我们的贪心策略，选出的活动自然是按照结束时间排好顺序的，并且也都是不冲突的，这些活动是b(1), b(2) …b(n)
问题关键是，假设a(1) = b(1), a(2) = b(2)…. a(k) = b(k)，但是a(k+ 1) != b(k+1)，回答几个问题：
(1)b(k+1)会在a(k+2), a(k+3), …. a(m)中出现么？
不会。

因为b(k+1)的结束时间是最早的，即f(b(k+1)) <= f(a(k+1)),而a(k+2), a(k+3), …. a(m)的开始时间和结束时间都在f(a(k+1))之后，所以b(k+1)不在其中。

(2)b(k+1)和a(1), a(2), …. a(k) 冲突么？
不冲突，因为a(1), a(2), …. a(k)就是b(1), b(2), …. b(k)
(3)b(k+1)和a(k+2), a(k+3), …. a(m)冲突么？
不冲突，因为f(b(k+1)) <= f(a(k+1))，而a(k+2), a(k+3), …. a(m)的开始时间都在f(a(k+1))之后，更在f(b(k+1))之后。

因此我们可以把a(k+1) 换成b(k+1)，从而最优解和我们贪心得到的解多了一个相同的，经过一个一个替换，我们可以把最优解完全替换成我们贪心策略得到的解。

从而证明了这个贪心策略的最优性。