惯性坐标系与非惯性坐标系

惯性坐标系与非惯性坐标系
相对于惯性系作加速运动的参考系就是非惯性系。

在非惯性系中,牛顿运动定律不能适用的。

惯性系：相对于地球静止或作匀速直线运动的物体。

非惯性系：相对地面惯性系做加速运动的物体。

平动加速系：相对于惯性系作变速直线运动，但是本身没有转动的物体。

例如：在平直轨道上加速运动的火车。

转动参考系：相对惯性系转动的物体。

例如：转盘在水平面匀速转动。

关于牛顿力学有关惯性系的概念，爱因斯坦有这样的批评：“古典力学想要说明一个物体不受外力，必须证明它是惯性的，想要说明一个物体是惯性的，有必须证明它不受外力。

”从而犯了逻辑循环的错误。

上面讲话的意思是，古典力学要想知道一个物体的受力状态，就要预先知道它的运动状态，而要想知道一个物体的运动状态，就必须预先知道其受力状态，但由于古典力学无法预先确定两者中的任何一个，另一个也就同样无法确定。

不过，这个批评很明显地不符合事实，因为这段话的前半部分虽然还看不出有什么错误，牛顿正是由于行星绕太阳的非惯性运动，才判定各行星受到力的作用的，但后半段则是完全不顾事实的，在谈论这个问题时应以事实为根据。

科学的历史告诉我们，在牛顿力学问世以前，人类早已对太阳系内各大天体的运动状态有了基本了解，并建立了哥白尼系统的宇宙图形。

人们取得如此的成就依靠的并不是力学定律和力学实验，而是长期的天文观测数据。

人们是在对太阳系内各天体的运动状态已有了基本了解后才找到牛顿的力学定律的。

所以“古典力学对天体运动状态的了解要取决于对天体受力状态的了解”这个论断是完全违背事实的。

当然，牛顿力学的建立使人们对天体的运动规律有比较以前更为深刻的理解，但无论如何，天文观测的数据总是第一位的，而不是开普勒三定律和牛顿定律创造了这些数据。

牛顿力学问世后，曾有人利用力学计算的方法预计了海王星的存在，似乎是先知道力学定律，然后才知道星体运动的。

但是不能忘记，这些计算方法所依据的原理是从已知星体运动归路总结出来的，所以总的来说，人们是先知道天体的受力状态的。

牛顿力学问世后，人们有时也利用力学实验的办法作为研究天体运动的一种补充手段，例如用在地球表面上的柯氏力的办法来证地球存在自转，但这只是地球自转的许多证据的一种，它不能给出地球轨道要数的全部数据，至于其它行星如何运行，就更不能采用这个方法了。

太阳系内各行星的轨道要数是老早确定了的，人们不仅已经了解了这些行星的瞬时速度，而且了解它们的瞬时加速度，所以并不存在辨别这些行星是不是惯性系的困难，人们老早就知道它们是非惯性系，知道它们的经向和横向加速度，甚至水星近日点每100年约43"的额外进动量也已精确地测出。

因此，牛顿力学并不存在判断天体是否惯性系的困难或犯了逻辑循环的错误。

相对论者一再强调古典力学无法了解天体运动状态，目的显然是为了否定绝对时空观念及其有力支柱哥白尼系统。

但他本人却又常提起哥白尼系统，应用哥白尼系统来解决实际问题，岂非自相矛盾。

也许相对论者会提出疑问，既然太阳也绕银河系中心转动，而银河系也不是不动的，难道仅仅根据太阳系内各天体的运动状态就可以判断其惯性的好坏？
前文已经说明，运动的绝对性是有相对运动的不等价性来体现的。

太阳系的质心（采用严格性差一点的习惯用语，可以简单点说太阳）和各行星运动状态的差别是：太阳只有绕银心转动的牵连加速度，而各行星不仅有简练加速度，而且有相对太阳运动的相对加速度，所以考虑太阳在银河系内的运动，太阳依然惯性最好。

事实上，由于太阳绕银心运动的周期是2.5亿年，距离银心是27，000光年，向心和横向加速度均极为微小。

可以预计，如果银河系有绕总星系中心的运动的话，惯性就更好了。

所以，沿着这条道路，将会逐渐接近于找到一个绝对的惯性坐标系（或静止坐标系），这个坐标系就是我们所要寻找的绝对坐标系。

（从无限空间的概念来理解，绝对空间应该是一个无中心点的静止的框架。

）所以，我们目前虽然还不能确定一个绝对坐标系，但应该想它是存在的而且是可知的。

相对论者对古典力学有关惯性系的概念进行了批评，但是，相对论又是如何定义惯性系的应该是一个有兴趣的问题。

相对论者有时采用一种和古典力学差不多的提法，就是：“如果两个参考系相对作等速运动，若其中之一是惯性系，其余一个也是惯性系。

”但是，我们知道，由于高等学校承认一个标准的惯性系——绝对坐标系的存在，这样的定义是可以的，而在相对论没有明确地提出一个标准的惯性系以前，这样的定义就没有什么实际意义。

相对论者有时把两个相对作等速运动的坐标系含混地说成是秆锈病，但这样的定义只有宇宙间只存在两个坐标系才可能成立。

如果存在甲、乙、丙三个坐标系，甲相对乙作等速直线运动，相对丙作非等速直线运动，那么甲究竟是惯性系还是非惯性系？
应该指出，相对作等速运动的两个坐标系，并不一定是惯性系。

在伽利略作有名的斜塔落体实验时，轻重两物体同时落地，相对速度和相对加速度均为零，但两者均非惯性系。

相对论者有时又说不受力的坐标系是惯性系，但问题在于如何知道坐标系是不受力的。

所以正是相对论的本身在惯性系的定义问题打夯存在着逻辑循环的毛病。

相对论者有时又说相对于观察者作等速直线运动的是惯性系（因为观察者可以把自己所在坐标系看作为惯性系），但观察者坐标系作为惯性系时又将出现许多新的困难，这个问题将在讨论等效原理时再说。

因此，正是由于绝对坐标系的被否定，相对论存在着惯性系定义的困难。

惯性系与非惯性系
牛顿第一定律、牛顿第二定律、动量定理、动量守恒定律、动能定理、机械能定理、机械能守恒定律，总称为动力学定律。

动力学定律的基本表述，不可能适用于所有的参考系。

在一些参考系中，这些动力学定律是成立的；在另一些参考系中，这些动力学定律不成立。

由此，把参考系分为两类：动力学定律的基本表述在其中成立的参考系称为惯性参考系，简称为惯性系；动力学定律的基本表述在其中不成立的参考系称为非惯性参考系，简称为非惯性系(实际上并不总是遵循这个约定,后面还要谈到)。

在实际使用的坐标系中，银河系质心坐标系是最接近于惯性系的坐标系。

银河系质心坐标系，以银河系质心为原点，坐标轴指向某几个星云中心“太阳绕银河系中心运动”，是在银河系质心坐标系中描述太阳的运动。

暂时我们可以说：相对一个惯性系匀速平动或静止的参照系是惯性系；相对一个惯性系转动或变速平动的参照系是非惯性系。

相对惯性系变速平动的非惯性系
在相对惯性系以加速度A平动的非惯性系中，如果设想质量为m的质点除受到一般的力以外，还受到一个假想的等于(-mA)的力----称为惯性力，那么，在非惯性系中，质点受到的外力和惯性力的合力，等于质量与加速度的乘积。

这个命题叫做非惯性系牛顿第二定律。

对这个命题可以证明如下：
在惯性系中,以加速度a运动的质点满足
ΣF=ma
两边同加上(-mA),则有
ΣF+(-mA)=m(a-A)
事实上，在惯性系中以加速度a运动的质点，在相对惯性系以加速度A平动的非惯性系中，运动的加速度a\'=a-A,所以上式可改写为
ΣF+(-mA)=ma\'
此式表明,在非惯性系中,质点受到的一般的力和假想的等于(- mA)的力的合力,等于质量乘以加速度。

这样就证明了开头提出的命题。

复述一遍惯性力的定义：在相对惯性系以加速度A平动的非惯性系中，假想质量为m 的质点受到一个等于(-mA)的力(这个力没有施力物体)，叫做惯性力。

在这种非惯性系中，引入了惯性力概念，就可以应用非惯性系牛顿第二定律。

例题：装有水的桶，质量为M，放在跟水平面成α角的斜面上，如图32所示，水桶和斜面之间的动摩擦因素等于μ。

要使水桶沿斜面向下平动时，水桶中的水面和斜面相平行，，沿斜面方向作用在水桶上的外力F应为多大？
解：地面可以认为是惯性系(后面有较为详细的阐述)，设水桶沿斜面向下的加速度，大小为A，水的质量为m，那么在固定于水桶的坐标系中，水受到的惯性力是沿斜面向上的，大小为mA。

在水桶坐标系中水处于静止状态，水受到的重力和惯性力这两个主动力的合力应该垂直于水面，应该垂直于斜面向下，如图33所示。

mA应满足
mA=mgsinα
所以 A=gsinα
下面在地面坐标系对水桶(包括其中的水 )应用牛顿第二定律，不难列出
F+Mgsinα-μMgcosα=MA
于是 F=μMgcosα
图35所示的坐标系O\'x\'y\'相对坐标系Oxy的运动也是平动。

设坐标系Oxy是惯性系，那么在坐标系O\'x\'y\'中，对质量为 m的质点来说，惯性力为(-mA)，其中A是坐标系O\'x\'y\'相对坐标系Oxy的加速度，等于点O\'相对坐标系Oxy的加速度。

点O\'的加速度的方向是从O\'指向O。

惯性力(-mA)方向可能是沿着OO\'，也可能平行于OO\'( 质点受到的惯性力的作用线，当然过质点所在的位置)，跟下面所说的惯性离心力不同。

其实一般不会采用O\'x\'y\'这种非惯性系进行动力学分析，尽管这种非惯性系的性质比下面说到的要简单。

相对惯性系匀速转动的非惯性系
图36(a图和b图)中非惯性系Ox\'y\'z\'绕惯性系Oxyz的z轴(z轴垂直于平面Oxy，图中未画出)以角速度ω匀速转动。

在这种非惯性系中也可应用非惯性系牛顿第二定律：质点受到的外力和惯性力的合力，等于质量与加速度的乘积。

这里的惯性力也是假想的力，没有施力物体。

这种惯性力包含两项，其中一项是由Oxyz的z轴上的某点垂直于z轴指向质点，称为惯性离心力，另一项比较复杂，与质点相对坐标系O\'x\'y\'x\'的速度有关，称为科里奥利力或科氏力。

对于相对非惯性系O\'x\'y\'z\'保持静止的质点来说，惯性力只有一项：惯性离心力。

质点离z轴的距离为r时，质点在非惯性系O\'x\'y\'z\' 中受到的惯性离心力的大小等于mω2r。

在惯性系中应用动力学定律时，不应该使用惯性力和惯性离心力概念。

例题1：如图37，细杆MN竖直放在圆盘上，在绳子的M 端跟圆盘的中心Q点之间连有一根细绳。

原来圆盘静止，细绳上拉力为零。

圆盘以角速度ω绕OO\'轴匀速转动时，细杆相对圆盘静止，仍然竖直，这时细绳上的拉力多大？已知细杆的质量为m，QN=NM=s。

解：细杆上各点离转动轴OO\'的距离都是s，所以在圆盘参考系中，细杆受到的惯性离心力F离=mω2s。

在圆盘参考系中，细杆除了N端以外，其它各处受三个力：F离、重力、细绳对细杆M点的拉力T，其中重力的作用线过N点。

在圆盘参考系中，细杆保持静止，因此受到的包括惯性力在内的各力的和应为零，各力对任意直线的力矩的代数和应为零。

由各力对N点(对过N点垂直于平面MNQ的直线)的力矩的代数和为零，可得
T(s/ 2)=mω2s(s/2)
于是 T= 2mω2s/2
细绳上的拉力等于 2mω2s/2。

为何太阳系质心坐标系常常称为惯性系
太阳系质心坐标系，是以太阳系质心为原点，坐标轴指向某几颗遥远的恒星。

这个坐标系相对银河系质心坐标系的运动是一种平动和一种转动的叠加。

太阳系中的任何天体，在太阳系质心坐标系中受到的惯性力，跟受到的银河系中除太阳以外的恒星的引力几乎抵销。

因此在太阳系质心坐标系中，对太阳系内的天体应用非惯性系牛顿定律时，可以不考虑惯性力和其它恒星施加的引力。

如此应用非惯性系牛顿定律，就很像是应用惯性系牛顿定律。

所以，在中学物理，大学低年级物理课程中，太阳系质心坐标系，称为惯性系。

同样，太阳质心坐标系，地月系质心坐标系，地球质心坐标系，在很多场合都很像是惯性系，常常就称为“惯性系”。

这些“惯性系”只是对一定范围内的研究对象，表现得像惯性系：
对太阳系内的物体来说,太阳系质心坐标系很像惯性系；
对太阳系内除了太阳以外的物体来说, 太阳质心坐标系很像惯性系；
对地月系内的物体来说，地月系质心坐标系很像惯性系；
对地月系内除了地球以外的物体来说，地球质心坐标系很像惯性系。

地面坐标系是否很像惯性系？重力是怎样定义的？
对地面附近（例如高度在几百千米以内）相对地面静止的和以不太大的速度(比如在几百米每秒以内)运动的物体来说，地面参照系很像惯性系。

相对地面不动的坐标系都称为地面坐标系。

地面坐标系相对地球质心坐标系，绕相对地球质心坐标系不动的地轴匀速转动(以不变的角速度转动)。

在地面坐标系中，对地球周围的物体原则上应该应用非惯性系动力学定律，需要引入惯性离心力F离和科氏力。

惯性离心力的方向是垂直于地轴，从地轴指向质点；惯性离心力的大小为
F离=mω2r
式中r是质点离地轴的距离。

对地面附近的物体来说，惯性离心力跟地球施加的的万有引力F的合力G称为重力。

在地面坐标系中，重力G比万有引力F简单：G 垂直于大地水准面，F一般不严格地垂直于大地水准面。

参考图41，大地水准面是近于球面的椭球面，这里的椭球面故意画得比较扁。

可以算出，地面附近的物体的惯性离心力的大小不超过地球施加的万有引力F的一百九十分之一(参见赵凯华等《新概念物理教程?力学》89页)，因此重力G的大小接近于万有引力F。

科氏力是与速度有关的，速度不很大的时候，科氏力可忽略。

所以在地面坐标系中，对地面附近的速度不很大的物体，可以这样应用非惯性系牛顿定律：不计科氏力，把地球施加的引力和惯性离心力合为一项──重力。

如此应用非惯性系牛顿定律，很像应用惯性系牛顿定律。

因此，常常说，“地面坐标系是惯性系”。

“地面坐标系是惯性系”，这句话应该理解为，对于地面附近的速度不很大的物体，地面坐标系像惯性系。

重力概念是否可用于离星球表面较远的物体
重力概念是针对地面附近的物体而言的，也可以针对其它星球附近的物体而言，不用于离星球表面较远的物体。

地面附近的物体受到的重力，是地球对物体的万有引力跟惯性离心力的合力。

对于地面附近的物体来说，惯性离心力的大小不到万有引力的一百九十分之一，因此重力跟地球对物体的万有引力在大小和方向两个方面都很接近，在某些近似处理中可以忽略它
们的差别。

物体离地面的距离增大，会发生什么变化呢？
在比如北纬45°，物体离地心的距离增大时，万有引力减小，而惯性离心力增大；距离越大，惯性离心力跟万有引力的合力的方向偏离“竖直向下”越多。

令 F= 2F离
则 G0Mm/R2=2mω2r
即 G0Mm/R2 =mω2R
可以算出当R等于4.2×107米（地球半径的 6.5倍）时，该式满足。

那时，惯性离心力跟万有引力的合力平行于自转轴，向南，如图42。

在赤道上方，随着物体高度的增加，万有引力和惯性离心力的合力越来越小，在同步卫星高度，合力为零，高度进一步增加后，合力变为竖直向上，越来越大。

在地面坐标系中静止不动的地球同步卫星，为何不掉下来？因为在地面坐标系中，它受到的向下的万有引力和向上的惯性离心力，两者的合力为零。

在除了北极南极赤道以外的地方，物体离地心的距离越大，惯性离心力与万有引力的合力的方向偏离“竖直向下”越多，偏离“指向地心”越多；也可以预料，距离越大，合力的方向和大小跟纬度的关系越是显著。

对高空中的物体，如果仍然把万有引力跟惯性离心力的合力定义为“重力”，重力将过于复杂，一般不能带来方便。

所以对于高空中的物体(比如高度超过1000千米的物体)，不采用重力概念，相应地，在地面坐标系中对高空中的物体，应用动力学定律时，必须毫不含糊地把地面坐标系作为一个非惯性系对待，在考虑万有引力的同时，考虑惯性离心力，考虑科氏力。

木星在木星质心坐标系中自转，在相对木星或木星表面不动的坐标系中，也可以对附近物体类似地引入重力概念。

月球在月球质心坐标系中自转，在相对月球或月球表面不动的坐标系中，也可以对附近的物体(比如高度不超过月球半径十分之一的物体)引入重力概念。

但由于月球自转周期是地球自转周期的27倍还多，使惯性离心力远远小于万有引力，所以重力跟万有引力的差别几乎总可以不计。

放在木星表面赤道附近的物体受到的惯性离心力大约等于木星施加的万有引力的四分之一(读者可以查地理课本提供的数据,计算一遍)。

木星表面附近物体受到的重力跟万有引力的差异比地球表面要大得多。

既然重力概念已经被赋予了特定的含义，那么要尽量避免把重力随意地作为万有引力的同义词而使用。

既然重力概念不用于高空物体，那么重力加速度概念也不用于高空中的物体。

有的书上“重力”一词有时以上述的意思而使用，有时又作为万有引力的同义词使用，读者可以根据上下文辨别。

完全失重
太阳系内的宇宙飞船(或人造卫星)只受万有引力作用而运动的时候，它的质心相对太阳系质心坐标系这个惯性系的加速度 A 不为零，等于宇宙飞船受到的万有引力与质量之比，即等于飞船所在处的引力场强度。

以宇宙飞船的质心为原点，坐标轴指向某几颗遥远的恒星，这样建立的坐标系称为宇宙飞船质心坐标系。

要在宇宙飞船质心坐标系中，对其中的或附近的质量为m的物体，应用牛顿第二定律，原则上应该引入等于(-mA)的惯性力。

由于物体受到的万有引力(mA)跟惯性力(-mA)的矢量和正好为零。

因此在宇宙飞船质心坐标系( 坐标轴指向遥远的恒星)中，对宇宙飞船或里面的物体或附近的物体，应用非惯性系牛顿第二定律的时候，可以同时不考虑惯性力和万有引力。

在这个非惯性系中，物体似乎失去了万有引力(实际上为惯性力所平衡)，这种现象称为完全失重。

完全失重的概念，提示人们只受万有引力作用的物体的质心坐标系具有怎样特殊的性质。

电梯只受万有引力作用的时候，如果试图在电梯质心坐标系(最好定义它的坐标轴指向遥远的恒星，定义它相对地面平动尚可)中，对电梯或电梯中的物体(以及对电梯外边附近的物体，比如电梯正下方的几米厚的泥土)，应用牛顿第二定律，那么电梯和其中的物体似乎失去了地球和其它天体施加的万有引力(实际上为惯性力所平衡)，这种现象也称为完全失重。

两块砖头叠在一起，作平抛运动或自由下落的时候，如果试图在砖头质心坐标系中，对每块砖头应用牛顿第二定律，那么砖头似乎失去了万有引力(实际上惯性力正好跟万有引力平衡)，这种现象也称为完全失重。

在砖头质心坐标系中，每块砖头都处于静止状态，受力平衡或不受力；砖头完全失重，相应地，两块砖头之间没有压力作用。

按照以上定义，完全失重概念适用于，只受万有引力而运动的物体的质心坐标系中，对质心附近的物体进行动力学分析。

对于物体和地球组成的系统,什么坐标系像惯性系
在地面坐标系中，作自由落体运动的物体，在相对地面竖直平动的坐标系中，机械能守恒吗？
设有一个坐标系O\'以10米/秒相对地面竖直向上平动，有一个质量为1千克的物体相对地面坐标系O作自由落体运动，g取10米/秒2。

这个物体在1秒内，跟地面之间的距离缩小5米，无论在坐标系O中，还是在坐标系O\'中，重力势能的减少量都是1×10×5=50焦。

在坐标系O中，物体的初速度等于0.1秒末的速度等于10米/秒。

在坐标系 O\'中，物体的初速度，向下，等于10米/秒，初动能为(1/2)×1×102=50焦；1秒末的速度，向下，等于20米/秒，动能为(1/2)×1×202=200焦。

在坐标系O\'中，1秒内动能的增加量等于150焦。

在坐标系O\'中，1秒内重力势能的减少量等于50焦，而动能的增加量等于150焦，可见在坐标系O\'中，这个物体机械能不守恒。

但物体和地球组成的系统是满足机械能守恒的条件的，机械能似乎应该守恒。

这怎样解释呢？
前面说过，对于地球附近的速度不很大的物体(不包括地球本身)，地面坐标系像惯性系。

相对地面匀速平动的坐标系自然也像惯性系。

而对于地球本身，地面坐标系并不像惯性系，相对地面匀速平动的坐标系也不像惯性系。

所以在地面坐标系中，在相对地面匀速平动的坐标系中，物体和地球组成的系统，不总是满足所有的惯性系动力学定律，是意料之中的。

对于物体和地球组成的系统，什么坐标系像惯性系呢？系统的质心坐标系像惯性系，相对于系统质心坐标系匀速平动的坐标系像惯性系。

这里，系统质心坐标系是指以系统的质心
为原点相对地面平动的坐标系(在某些场合,是指以系统的质心为原点相对地球质心坐标系平动的坐标系)，在建立这种系统质心坐标系时，假定地球的质心相对物体附近的地面保持静止。

系统质心坐标系，相对地面坐标系的加速度的确是微小的，但两种坐标系，对于这种系统来说，有显著的不同。

对于物体和地球组成的系统，地面坐标系一般不像惯性系。

在地面坐标系中，对这个系统进行动力学分析时，应该认为地球和物体都受到惯性力。

地面坐标系相对系统质心坐标系的加速度A极小，物体受到的惯性力(mA)总可以忽略，但地球受到的惯性力(MA)不可以忽略(正好等于物体的重力)。

对于物体和地球组成的系统，地面坐标系一般不像惯性系。

至于在地面坐标系中，在相对地面水平平动的坐标系中，物体和地球组成的系统，满足惯性系机械能守恒定律，那是因为地球受到的惯性力在这种坐标系中不做功。

(参见《大学物理》1991年第11期“地球所受的一种易被忽视的惯性力”一文)。