高等数学 导数习题答案

思考： lim f '( x ) 是否存在？ f ' (0) = ?
x 0
导函数的单侧极限与单侧导数不是同一概念。
( x 3) ( x 4) , 求 d f x 3 , f '( x ) . 例 2. 设 f ( x ) x ( x 1) ( x 2) x4 1 f ( x ) f (3) f ( x) lim . 解：f '(3) lim lim x 3 x 3 x 3 x 3 x ( x 1) ( x 2) x3 6 1 d f | x 3 dx . 6 ln | f ( x ) | ln | x 3 | ln | x 4 | ln | x | ln | x 1 | ln | x 2 |
2x , x 0 2 | x| . 因此，f '( x ) 2x , x 0 设 g( x ) | sin x | sin x , g '( x ) ? 2 | sin x | cos x .
例 5. 设 g( x ) sin[ f ( x 2 )] , f ( x ) 可导, 求 g '( x ) .
零点不超过 4 个，因此其零点共有 4 个。
sinx 1 ) 例 10. 求 I lim ( x 0 x (1 x 2 ) ln(sin x 解： I lim e
x2
x)
.
lim[(1 x 2 ) ln(sin x x )]
x 0 e x 0 ln( sin x x ) 1 x x cos x sin x lim[ ] 而 lim 2 2 x 0 x 0 2 x sin x x x x cos x sin x lim x 0 2 x3 1 x[1 x 2 2 o( x 2 )] [ x x 3 6 o( x 3 )] . lim 3 x 0 6 2x
上式两边同时求导得
f '( x ) 1 1 1 1 1 f ( x) x 3 x 4 x x 1 x 2 1 1 1 1 1 f ' ( x ) f ( x )[ ]. x 3 x 4 x x 1 x 2
例 3. 设 f '(1) 6 , g '(1) 2 , 且在某 U (1, ) 内 g( x ) 单调，
x3 练 1. 讨论 f ( x ) 2 的单调性、极值、凹凸性、拐 2 ( x 1) 点以及渐近线，并根据这些讨论作其草图。
(, 3)
3
0
(3, 1)
(1, 0)

0 0 0
非极 值
g '( x ) cos[ f ( x 2 )] f '( x 2 )(2 x ) 解： 2 x cos[ f ( x 2 )] f '( x 2 ) .
x 1 t2 d 2y 例 6. 设 求 2 . dx y cos t ,
dy sin t dt sin t . 解： dx 2 t dt 2t
练 1. 设 f ( x ) x | x | , 求 f '( x ) .
解： 若 x 0 , 则 f '( x ) 2 x ; 若 x 0 , 则 f '( x ) 2 x ;
x2 f ( wk.baidu.com ) f (0) lim 0. 而 f '(0) lim x 0 x 0 x x x2 f ( x ) f (0) 0. lim f '(0) lim x 0 x x 0 x
3 2 而 lim f ( x ) , f (e ) 1, f (e ) 4 e 0,
x 0
因此零点个数为 2.
练 5. 设 f ( x ) x ( x 1) (x 2) (x 3) ( x 4) , 则 f ' ( x ) 共有几 个零点？ 解：根据罗尔定理， f ' ( x ) 至少有 4 个零点， 分别在区间 (0 , 1), (1 , 2), (2 , 3), (3 , 4) 内。f '( x ) 是 4 次多项式，
故 I e 1 6 .
x 练 6. 求 I lim [sin(2 x ) cos(1 x )] .
e ln[sin( 2 t ) cos t ] 而 lim{ x ln[sin(2 x ) cos(1 x )] } lim t t 0 x 2 cos(2 t )sint 2. lim t 0 sin(2 t ) cos t
x 例 9. 函数 f ( x ) ln x 1 在 (0 , ) 内零点的个 e 数为？ 1 1 解：f ' ( x ) . 令 f ' ( x ) 0 得 x e . x e 当 0 x e 时 f '( x) 0 , 当 x e 时 f '( x) 0 ,
( 6)
x
lim
x 1 x2
练 6. 设 f ( x ) 可导，证明在 f ( x ) 的两个零点之间必有 f ( x ) x f '( x ) 的零点。 练 7. 设 f ( x ) 在 [1 , 1] 上具有三阶连续导数，且 f (1) 0, f (1) 1, f ' (0) 0. 证明存在 (1,1) 使得 f ''' ( ) 3. 练 8. 若 f ( x ) 在开区间 I 内连续, 且有唯一的极值点， 则该极值点必是最值点。
f ( x ) f (1) . 求 lim x 1 g ( x ) g (1)
x f (a ) a f ( x ) 例 4. 设 f ( x ) 在 x a 可导， 求 I lim . x a xa x f (a ) x f ( x ) x f ( x ) a f ( x ) 解：I lim x a xa x [f (a ) f ( x )] f ( x ) ( x a ) lim x a xa x [f (a ) f ( x )] lim lim f ( x ) x a x a xa a f '(a ) f (a ).
x 0
1 x
另附若干基本计算与证明（答案后附） x3 练 1. 讨论 f ( x ) 2 的单调性、极值、凹凸性、拐 2 ( x 1) 点以及渐近线，并根据这些讨论作其草图。 练 2. 求 f ( x ) x 1 x 在 [5 , 1] 上的最值。 练 3. 求数列 {n n } 的最大项。 1 f ( x ) a sin x sin 3 x 在 x 取得极值？ 练 4. a 取何值时 3 3 是极大值还是极小值？
sin t , 2t t cos t sin t d 2 y d g( t ) d g ( t ) dt , , 而 2 2 2t dx dx d 2 y d g( t ) sin t t cos t . 故 2 3 dx dx 4t
记 g( t )
求 例 7. 曲线 y f ( x ) 由方程 e 2 x y cos( xy ) e 1 确定， 在点 (0,1) 的切线方程。 解： 方程两边对 x 求导得 e 2 x y ( y ' 2) sin( xy )(1 y ') 0. 令 x = 0 得 e [ y(0)' 2] 0 , 即 y(0)' 2. 所求切线方程为 y 1 2 x . 求df 练 2. 函数 y f ( x ) 由方程 2 x y x y 确定， 答：d f
5 x2
练 4. 设 f ( x ) 是 ( , ) 内具有任意阶导数的奇函数，
( 2n) n Z . f ( 0 ) , 求 其中
( 2n) f ( x ) 也是奇函数。 是奇函数， 故 f ( x ) 解： ( 2n) f (0) 0. 因此
奇函数的麦克劳林公式没有偶次幂项。 偶函数的麦克劳林公式没有奇次幂项。
解：设 lim f ( x ) A , 则 A lim (
1 ) 2 A, x x 0 x 0 e 1 1 1 ex 1 x ex 1 x A lim ( x ) lim lim x x 0 x (e 1) x 0 x e 1 x 0 x2 ex 1 1 lim . x 0 2 x 2
f ( x ) f (1) f ( x ) f (1) lim f ( x ) f (1) f '(1) x 1 x 1 x 1 解： lim lim g( x ) g(1) g '(1) x 1 g ( x ) g (1) x 1 g ( x ) g (1) lim x 1 x 1 x 1 3.
x
x
解： I lim e
x x ln[sin(2 x )cos(1 x )]
lim { x ln[sin(2 x ) cos(1 x )] }
故 I e2 .
1 1 2 lim f ( x ), 例 11. 设 lim f ( x ) 存在，且有 f ( x ) x x x 0 e 1 x 0 求 lim f ( x ) .
f ( 0) 0 , n 2k . n! 1 , n 2k 1
( n)
f
( n)
0 , n 2k ( 0) . n ! , n 2k 1
练 3. 设 f ( x ) x e
, 求 f (11) (0) . 2 n x x 解： e x 1 x o( x n ) 2! n! 4 2n 2 x x e x 1 x2 o( x 2 n ) 2! n! 9 2 n 5 x x f ( x) x5 x7 o( x 2 n 5 ) 2! n! 11! (11) f ( 0) . 3!
练 5. 求下列极限
(1) lim x cot 2 x
x 0
x 1 ( 3) lim ( ) x x
(5) lim e
x3 x 0
1 sin(1 x )
1 ( 2) lim ( 2 cot 2 x ) x 0 x
( 4)
x 0
lim x sin x
x3 1 sin6 x
导数习题
2014. 12. 11
2 1 x sin , x 0 求 f '( x ) . 例 1. 设 f ( x ) x x0. 0, 解： 若 x 0 , 则 f ' ( x ) 2 x sin(1 x ) cos(1 x ).
2 x sin(1 x ) f ( x ) f (0) lim 0. 而 f '(0) lim x 0 x x 0 x 2 x sin(1 x ) cos(1 x ), x 0 因此，f ' ( x ) x 0. 0,
x0
x0
.
= ( ln2 1 ) dx .
x , 例 8. 设 f ( x ) 2 1 x
求f
( n)
( 0) .
1 解： 1 x x 2 x n o( x n ) 1 x 1 2 4 2n 2n 1 x x x o ( x ) 2 1 x 3 5 2n1 o( x 2n1 ) f ( x) x x x x