三次样条插值法与最小二值 法的分析及比较

数值计算方法期末论文————同等要求下三次样条插值法与最小二值法的分析及比较。

引言在实际中，常常要处理由实验或测量所得到的一批离散数据.插值与拟合方法就是要通过这些数据去确定某一类已知函数的参数或寻找某个近似函数，使所得到的近似函数与已知数据有较高的拟合程度.如果要求这个近似函数（曲线或曲面）经过已知的所有数据点，则称此类问题为插值问题。

当所给的数据较多时，用插值方法所得到的插值函数会很复杂，所以，通常插值方法用于数据较少的情况.但数据一般都是由观测或试验得到的，往往会带有一定的随机误差，因而，要求近似函数通过所有的数据点也是不必要的.如果不要求近似函数通过所有数据点，而是要求它能较好地反应数据的整体变化趋势，则解决这类问题的方法称为数据拟合.插值和拟合都是要根据一组数据构造一个函数作为近似，由于近似的要求不同，二者的数学方法上是完全不同的。

而面对一个实际问题，究竟应该用插值还是拟合，有时容易确定，有时则并不明显。

本文由具体题目为基础，主要论述了在同等要求下三次样条插值法与最小二值法的分析及比较。

关键词：数值计算方法、三次样条插值法、最小二值法目录引言--------------------------------------------------- 2第一章三次样条插值------------------------------------ 41.1三次样条插值函数--------------------------------- 41.2 分段线性插值------------------------------------ 51.3插值理论----------------------------------------- 6 第二章最小二乘法--------------------------------------- 72.1 线性最小二乘拟合法------------------------------ 72.2 一般线性最小二乘拟合法--------------------------- 82.3非线性最小二乘拟合法------------------------------ 9 第三章算法对比与实现------------------------------------ 103.1对比实例一---------------------------------------- 103.2对比实例二---------------------------------------- 113.3结果及分析---------------------------------------- 15 第四章总结---------------------------------------------- 16第一章 三次样条插值1.1三次样条插值函数：若函数S （x ）∈2c [a,b],且在每个小区间[1,j j x x +]上是三次多项式，其中a =01x x <<…n x <b =是给定节点，则称S(x)是节点01,,...,n x x x 上的三次样条函数。

若在节点j x 上给定函数值j y ()(0,1,...,),j f x j n ==并成立()(0,1,...,)j j s x y j n ==则称S(x)为三次样条插值函数。

三次样条插值的计算方法：①因为在每个小区间上()i S x 是三次多项式，所以''()i S x 在每个小区间上是直线，可以写出它的表达式''1111(),i i iii i ii ix x x x S x m m x x x x ++++--=+--其中1,i i m m +是待定参数。

②把它积分两次，得到3311()()(),66i i i i i iix x x x S x m m cx d h h ++--=+++这里的c 和d 是积分常数，1i i i h x x +=-。

利用()i i i S x y =和11()i i i S x y ++=可以确定c,d,于是有331122111()()()66()(),66i i i i i iii ii i iii i iix x x x S x m m h h m h x x m h x x y y h h +++++--=+--+-+-将其求导数得到22'1111()()()22.6i i i i i iii ii ii ix x x x S x m m h h y y m m h h ++++--=-+--+-至此，我们把()i S x 以及它的一、二阶导函数都用两个参数表示出来。

③我们令''111()(),0,1,...2,i i i i S x S x i n +++==-得到一个关于01,,...,n m m m 的线性方程组112,1,2,...,1,i i i i i m m m d i n μλ-+++==- （1.1）其中，111111,1,6.i ii i i ii i i i i i i i i y y y y h h h d h h h h μλμ+--------==-=++该方程有1n +个未知数，1n -个方程。

针对不同的边界条件可以有相应的附加方程，最常用到的是0,.n m m αβ==解出（1.1）及其附加方程得到i m 再代进()i S x 的表达式，就得到了全部解。

1.2分段线性插值：所谓分段线性插值就是通过插值点用折线段连接起来逼近)(x f .设已知节点b x x x a n =<<<= 10上的函数值,,,,10n f f f 记,max ,1k kk k k h h x x h =-=+求一折线函数)(x I h 满足：1)(x I h ],,[b a ∈20k k k f x I =)( （n k ,,1,0 =），30)(x I h 在每个小区间[1,+k k x x ]上是线性函数。

则称)(x I h 为分段线性插值函数。

1.3插值理论：设函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，在[a,b]上有互异点x0,x1,…,x n处取值y0,y1,…,y n 。

如果函数φ(x)在点x i上满足φ(x i)=y i (i=0,1,2,…,n)，则称φ(x)是函数y=f(x)的插值函数，x0,x1,…,x n是插值节点。

若此时φ(x)是代数多项式P(x)，则称P(x)为插值多项式。

显然 f(x)≈φ(x)，x∈[a,b]。

第二章 最小二乘法在实际生活中，往往需要从一组实验数据（x i ,y i ）中寻找出变量x,y 之间的函数关系.由于观测数据不可避免出现误差，因此并不需要y=f(x)一定要经过所有的点，而只要求在给定点x i 上误差Δi=f(x i )-y i 按某种标准达到最小.通常用欧式范数║Δ║2作为误差量度的标准.这就是所谓的最小二乘拟合法.最小二乘拟合法可以分为线性最小二乘拟合法和非线性最小二乘拟合法。

2.1 线性最小二乘拟合法设0{()}m k k x φ=是一个线性无关的函数系，则称线性组合0()()mkkk x a x φφ==∑为广义多项式.如三角多项式：0()cos sin mmkkk k x akx bkx φ===+∑∑.设由给定的一组测量数据(,)i i x y 和一组正数(1,2,,)i w i n = ,求一个广义多项式0()()mkkk x a x φφ==∑使得目标函数21[()]niiii S w x y φ==-∑ （3.1）达到最小,则称函数()x φ为数据(,)(1,2,i i x y i n = 关于权函数(1,2,,i w i n = 的最小二乘拟合函数,由于()x φ关于待定系数i a 是线性的,故此问题又称为线性最小二乘问题.要使最小二乘问题的目标函数(3.1)达到最小,则由多元函数取得极值的必要条件得0(0,1,2,,)kS k m a ∂==∂即 1[()]()0(0,1,2,,)nmi k k i i k i i k w a x y x k m φφ==-==∑∑亦即1[()()]()m nniji ki jiik i j i i w x x a w y x φφφ====∑∑∑(0,1,2,,)k m = 是未知量为01,,,ma a a 的线性方程组,称之为正规方程组。

实际中可适当选择函数系0{()}mk k x φ=,由正规方程组解出01,,,m a a a ,于是可得最小二乘拟合函数0()()mkkk x a x φφ==∑。

2.2 一般线性最小二乘拟合法将上面一元函数的最小二乘拟合问题推广到多元函数,即为多维线性最小二乘拟合问题.假设已知多元函数12(,,,)n y f x x x = 的一组测量数据12;(,,,)i i ni i x x x y(1,2,,)i m = 和一组线性无关的函数系120{(,,,)}Nk n k x x x φ= ,求函数 12120(,,,)(,,,)Nk n kkn k x x x a x x x φφ==∑对于一组正数12,,,m w w w ,使得目标函数2121[(,,,)]miii i ni i S w yx x x φ==-∑达到最小,其中待定系数012,,,N a a a a 由正规方程组(,)(,)Njk j k j a y φφφ==∑ (0,1,2,,)k N =确定,此处12121(,)(,,,)(,,,)mj k iji i ni k i i ni i w x x x x x x φφφφ==∑ ,121(,)(,,,)mk iki i ni ii y w x x x y φφ==∑上面的函数φ关于i a 都是线性的,这就是线性最小二乘拟合问题,对于这类问题的正规方程组总是容易求解的.如果φ关于i a 都是非线性的,则相应的问题称为非线性最小二乘拟合问题。

2.3非线性最小二乘拟合法假设已知多元函数12(,,,)n y f x x x = 的一组测量数据12;(,,,)(1,2,,)i i ni i x x x y i m = ,要求一个关于参数j a (0,1,2,,)j N = 是非线性的函数1201(,,,;,,,)n N x x x a a a φφ= ，对于一组正数12,,,m w w w ,使得目标函数20112011(,,,)[(,,,;,,,)]mN iii i ni N i S a a a w yx x x a a a φ==-∑达到最小，则称之为非线性最小二乘问题。

第三章 算法对比与实现3.1 对比实例一对函数y，在[-5，5]上对函数作插值计算。