三角函数的周期性

sin π 3 32
【说明】 周期性应用于区域转化. 将“无解析式”的区域函数 转化到“有解析式”的区间上求值.
20
周期函数在高考中
3. 函数周期性应用于求单调区间
【例题】 x∈R，求函数 y =sin2x + 3 sinx cosx+2cos2x 的单调增 区间.
【解答】 y1co2xs 3si2 nx(1co2xs)
sinxcoxs 2sinx(π) 4
和函数的周期与原有函数的周期保持不变. 这个结论符合一般 情况. 对于另一种情况，当相加的两个函数的最小正周期不相同，情 况将会如何？
13
周期函数的和函数
1. 函数 sinx+sin2 x 的周期性
sin x 的最小正周期为2π，sin2x的最小正周期是π，它们之间谁 依赖谁，或依赖一个第三者？ 列表如下.
中学教材上的周期函数，一般都是简单和具体的函数. 关于最 小正周期的求法，也是一些感性的结果；没有系统和完整“最 小正周期”的系统研究. 然而，随着“抽象函数”的不断升温，对周期函数周期的考点 要求越来越高. 2005年福建理数卷出现的“周期大错题”正是这种盲目拔高的 必然结果.
25
高考史上的周期大错题
三角函数的周期性
序曲
三角函数知多少 正弦函数作代表 三角函数讲周期 周期当中挑最小
1
三角函数的周期性
三角函数的周期性
一、正弦函数的周期 二、复合函数的周期性 三、周期函数的和函数 四、周期函数在高考中 五、高考史上的周期大难题 六、高考史上的周期大错题
2
三角函数的周期性
一、正弦函数的周期
三角函数，以正弦函数 y = sin x 为代表，是典型的周期函数. 幂函数 y = xα 无周期性，指数函数 y = ax 无周期性，对数函数 y =logax无周期，一次函数 y = kx+b、二次函数 y = ax2+bx+c、 三次函数 y = ax3+bx2 + cx+d 也无周期性. 周期性是三角函数独有的特性.
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复合函数的周期性
5. 幂复合函数举例
【例1】 求 y =| sinx |的最小正周期.
【解答】 y|sinx| sin2x
最小正周期为π.
5
【例2】 求 y (sin x) 3 的最小正周期.
5
【解答】 (sinx)3 3 (sinx)5 最小正周期为2π.
2
【例2】 求 y (sin x) 5 的最小正周期.
4
正弦函数的周期性
2. y=sin(ωx) 的最小正周期
设ω>0，y =sin(ωx)的最小正周期设为L . 按定义 y = sin ω(x+L) = sin(ωx+ ωL) = sin ωx . 令ωx = x' 则有 sin (x' + ωL) = sin x' 因为sinx最小正周期是2π，所以有
对于y = sin3x =(sinx)3，L=2π肯定是它的周期，但它是否还有更 小的周期呢？ 我们可以通过作图判断，分别列表作图如下.
图上看到，y = sin3x 没有比2π更小的周期，故最小正周期
为2π.
9
复合函数的周期性
3. y= sin2 x 的周期性
对于y = sin2x =(sinx)2，L=2π肯定是它的周期，但它的最小正周 期是否为2π？ 可以通过作图判定，分别列表作图如下.
图上看到，y = sin2x 的最小正周期为π，不是2 π.
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复合函数的周期性
4. sin2n x 和sin2n-1 x 的周期性
y = sin2x 的最小正周期为π，还可通过另外一种复合方式得到.
ys in2x1co2sx 2
因为 cos2x 的周期是π，故 sin2x 的周期也是π. sin2x 的周期，由cosx 的2π变为sin2x的π.就是因为符号法“负负 得正”所致. 因此，正弦函数 sinx 的幂复合函数sin m x，当m=2n时，sin m x 的最小正周期为π；m = 2n – 1时，sin m x 的最小正周期是2 π.
2
4 24
4 44
令 1 1 sin2x 0
44
得 x π
4
故交点横坐标的值的集合为
x
|
x
kπ
π
4
【说明】 先求绝对值最小的解，再利用最小正周期求“通解”.
22
三角函数的周期性
五、高考史上的周期大难题
高考史上第一次“周期大难题”出现在恢复高考后的第3年， 即1980年的理科数学卷上. 本题排在该卷的第六大题上. 在有十个大题的试卷上，这是个 中间位置，然而，从当年的得分情况来看，本题的难度超过了 包括压轴题和附加题在内的所有题目. 这点为命题人事先未能 预后料来.分析，该题的难点有三 . 一、函数抽象，导致周期中含有参数；二、求参数范围，与解 不等式综合；三、求最小正整数解，连命题人自拟的“标答” 都含糊不清. 20多年来数学界质疑不断.
2 3
x的最小正周期.
通过作图、直观看到，sinx+sin 2 x 的最小正周期为6π，即sin x
3
和 sin 2 x最小正周期的最小倍数.
16
3
三角函数的周期性
四、周期函数在高考中
三角函数是高考命题的重要板块之一，小题考，大题也考，比 分约占高考总分的七分之一，与立体几何相当. 与立几不同的 是，它还与函数、方程、不等式、数列、向量等内容综合. 正弦函数是三角函数的代表，而周期性又是正弦函数的特性. 关系到正弦函数的试题，有2种形式. 一、直接考，求正弦函数的最小正周期. 二、间接考，考周期在正弦函数性质中的应用. 求单调区间， 求最值，简单方程的通解等.
倍角法判定最麻烦 y s in2x 12coxs
2
18
周期函数在高考中
1. 求正弦函数的周期
【例2】 （1） y =2cos2x+1的最小正周期为 （2） y =|sinx + cosx|的最小正周期为
【解答】 （1）y = 2cos2x + 1的最小正周期由cos2x决定， 故答案为π.
（2） |six nco x|s2|sixn )(|2si2 (n x )
2
【解答】 (sinx)5 5(sinx)2
最小正周期为π.
q
【说明】 正弦函数sinx 的幂复合函数 (sin x ) p
当 q 为奇数时，周期为2π；q 为偶数时，周期为π.
12
三角函数的周期性
三、周期函数的和函数
两个周期函数，如 sin x 和 cosx ，它们最小正周期相同，都是 2π. 那么它们的和函数，即 sinx + cos x的最小正周期如何？
【例题】 已知函数 f(x)si4nxco 4xssi2nxco 2xs1
2si2 nx
4
【解答】 f(x)s4 ix n c4 ox ss2 ix n c2 ox s11 s2 ix n c2 ox s1
2 si2 x n
4 2 (1 sixc no x )s4
1(1s inxcoxs)1 11si2nx111si2nx
后者周期变为 2π ( 0)
而在以下的各种变换中，如
(1)初相变换 sin ωx → sin( ωx+φ)；
(2)振幅变换 sin( ωx +φ) → Asin( ωx+φ)； (3)纵移变换 Asin( ωx +φ) → Asin( ωx+φ)+m；
后者周期都不变，亦即 Asin( ωx +φ) +m与sin(ωx)的周期相同，
2005年的周期大错题
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高考史上的周期大难题
2006年的周期大难题
【考题】设三角函数 f(x)sink(ππ) ，其中k≠0.
53
1．写出 f (x)极大值M、极小值m与最小正周期; 2．试求最小的正整数k，使得当自变量x在任意两个整数间（包 括整数本身）变化时，函数 f (x)至少有一个值是M与一个值是m.
【解答】 1. M=1，m = -1，T 52π 10π
如 y sin3x π 的最小周期与 y = sin(3x)相同，都是 2 π
2
3
于是，余弦函数 ycox ssinπxsin xπ的最小正周期
2 2
与sinx的最小正周期相同，都是2π.
6
三角函数的单调性
二、复合函数的周期性
将正弦函数 y = sin x 进行周期变换x→ ωx，sinx →sinωx
22
3si2x n1co 2xs 3si2 n x (π)3
2
2
2
62
函数的最小正周期为π.
令 π 2x π π
2
62
得 π x π
3
6
因为函数周期为π，故函数的单调增区间为
kπ
π, 3
kπ
π 6
【说明】 先求包含零点的增区间，再用最小正周期求单调增区
间的集合.
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周期函数在高考中
4. 周期性应用于求函数零点
3
正弦函数的周期性
1. 正弦函数 y=sinx 的最小正周期
在单位圆中，设任意角α的正弦线为有 向线段MP. 动点P每旋转一周，正弦线MP的即时位 置和变化方向重现一次. 同时还看到，当P的旋转量不到一周时， 正弦线的即时位置包括变化方向不会重 现因.此，正弦函数 y =sinx的最小正周期 2π.
(2) sin x 的定义域为［2kπ，2kπ+π］，值域为［0，1］，作图可 知， 它是最小正周期为2π的周期函数.
【说明】 从基本函数的定义域，值域和单调性出发，通过作图，
还可确定，loga x，sinx， 期函数.
，1 sin(sinx)都是最小正周期2π的周
sin x
8
复合函数的周期性
2. y= sin3 x 的周期性
L2πL 2π
例如 sin 2x的最小正周期为 2 π π 2
sin x 的最小正周期为 2 π 4 π
2
1
5
2
正弦函数的周期性
3. 正弦函数 y=sin(ωx+ φ) 的周期性
对正弦函数sinx的自变量作“一次替代”后，成形式 y = sin(ωx+ φ)
它的最小正周期与 y = sin ω x 的最小正周期相同，都是 L 2 π
都是
2π
而对复合函数 f (sinx)的周期性，由具体问题确定. 7
复合函数的周期性
1. 复合函数 f(sinx) 的周期性
【例题】 研究以下函数的周期性：
(1) 2 sinx ； (2) sin x
【解答】
(1) 2
sinx 的定义域为R，值域为
1 2
,
2
，作图可知，
它是最小正周期为2π的周期函数.
表上看到函数sinx+sin2x的最小正周期是2π.
14
周期函数的和函数
1. 函数 sinx+sin2 x 的周期性
依据上表，作sinx+sin2x 的图
象如右.
从图上看到，函数的最小正周
期为2π. 由sinx，sin2x 的最小正
周期中的大者决定，因为前者
是后者的2倍.
从
图上看到， sinx+sin2x 仍然是
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周期函数在高考中
1. 求正弦函数的周期
【例1】 函数 y =| sin x |的最小正周期为
2
（A）π2 （B）π
（C）2π
（D）4π
【解答】 y|sinx | sin2 x
2
2
最小正周期是 sin
x 2
最小正周期的一半，即2π. 答案为（C）
【说明】 图象法判定最简便，|sin x|的图象是将sinx的图象在 x 轴下方部分折到x轴上方去.
kk
2. f (x)在它的每一个周期中都恰好有一个值是M与一个值是m . 而任意两个整数间的距离都≤ 1因此要使任意两个整数间函数 f(x) 至少有一个值是M与一个值是m，必须且只须使 f (x)的周期≤1即： k=321就0π是这1, k样的10最π小31正.4整. 数.
k
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三角函数的周期性
六、高考史上的周期大错题
故答案为π.
【说明】co2sx，sin2(x)都可看作sinx的幂函数的复合函数.
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周期函数在高考中
2. 函数周期性应用于求值
【例题】 f (x)是R上的偶函数，且是最小正周期为π的周期函数.
若x
0,
π 2
时 f (x) = sinx
试求 f 5 π 的值.
3
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【解答】
f5πf2πfπfπ 3 3 3 3
个“振动函数”，但振幅已经
不是常数了.
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周期函数的和函数
2.
函数 sinx+sin
2 3
x 的周期性
sin x 的最小正周期为2π，sin 2 x的最小正周期是3π. 它们之间的
和sinx+sin x2的最小正周期也由3 “较大的”决定吗？即“和函
3
数”的周期为3π吗？
不妨按周期定义进行检验.
设x0
π 2
则x0 +3π=
π 3π 2
f(x0)fπ 2s
iπ ns 2
in 2•π1 3 3 2 2
f( x 0 3 π f) π 2 3 π s7 i 2 π n s i 2 3 • n 7 2 π 1 2 3 f( x 0 )
因此3π不是sinx + sin