如何求三角函数的周期
高中数学解题方法系列：三角函数周期问题的3种方法
=（sin2 x+ cos2 x）（sin4 x-sin2 x·cos2 x+ cos4 x） =( sin2 x+ cos2 x)2-3 sin2 x·cos2 x =1-3 sin2 x·cos2 x =1- 3 sin22 x
cos x cos 3x
2．公式法： （1）如果所求周期函数可化为 y=Asin（x ）、y=Acos（x ）、
ｙ＝tg（x ）形成（其中 A、 、 为常数，且 A 0、 ＞0、 R）， 则可知道它们的周期分别是： 2 、 2 、 。
例 4：求函数 y=1-sinx+ 3 cosx 的周期
2
例 12：求函数 y=sin2x+sin3x 的周期
解：∵sin2x
的周期为
T1=
，sin3x
的周期为
T2=
2 3
而 T1
T2
=
3 2
，即是
T=2T1=3T2，
∴y=sin2x+sin3x 的周期为 T=2T1=2
例 13：求函数 y=cos x +sin x 的周期
3
4
解：∵cos x 的周期为 T1=6 ，sin x 的周期为 T2=8
的周期为 T=P2T1=P1T2，其中 P1、P2N，且（P1、P2）=1
事实上，由 T1
T2
P1 （既约分数），得 T=
P2
P2T1=P1T2
∵f（x+ P1T2）=f1（x+ P1T2）+f2（x+ P1T2） =f1（x+ P2T1）+ f2（x+ P1T2） = f1（x）+ f2（x） =f（x）
初中数学 如何求解三角函数的周期性变换问题
初中数学如何求解三角函数的周期性变换问题在初中数学中，我们经常会遇到求解三角函数的周期性变换问题。
这类问题要求我们根据已知函数的周期，求解相应的变换函数的周期。
在本文中，我们将讨论如何求解三角函数的周期性变换问题，并通过具体的例子来说明。
一、正弦函数和余弦函数的周期性变换1. 正弦函数的周期性变换正弦函数sin(x)的标准周期是2π，即在区间[0, 2π]内，正弦函数的图像会重复出现。
现在我们来求解正弦函数的周期性变换问题，即求解sin(ax)的周期。
对于正弦函数sin(ax)，我们可以使用以下公式来求解周期：周期= 原函数的周期/ |a|当a>0时，周期= 2π / a。
当a<0时，周期= -2π / a。
2. 余弦函数的周期性变换余弦函数cos(x)的标准周期是2π，即在区间[0, 2π]内，余弦函数的图像会重复出现。
现在我们来求解余弦函数的周期性变换问题，即求解cos(ax)的周期。
对于余弦函数cos(ax)，我们可以使用以下公式来求解周期：周期= 原函数的周期/ |a|当a>0时，周期= 2π / a。
当a<0时，周期= -2π / a。
二、例题解析现在我们通过具体的例子来求解三角函数的周期性变换问题。
例题1：求解sin(3x)的周期。
根据前面的讨论，我们知道当a为正数时，sin(ax)的周期= 2π / a。
所以，sin(3x)的周期= 2π / 3。
例题2：求解cos(2x)的周期。
根据前面的讨论，我们知道当a为正数时，cos(ax)的周期= 2π / a。
所以，cos(2x)的周期= 2π / 2 = π。
通过这两个例子，我们可以看到，根据三角函数的周期性规律，我们可以很轻松地求解三角函数的周期性变换问题。
三、数学背景和应用三角函数的周期性变换问题在数学中具有重要的意义。
周期性是函数的一种特殊性质，它可以帮助我们理解和分析函数的变化规律。
通过求解三角函数的周期性变换问题，我们可以更好地掌握函数的周期性，从而更好地理解和应用三角函数。
初中数学 如何求解三角函数的周期性变换问题
初中数学如何求解三角函数的周期性变换问题要求解三角函数的周期性变换问题，我们需要了解三角函数的周期性特点和周期性变换的规律。
下面以正弦函数为例，介绍如何求解三角函数的周期性变换问题。
1. 正弦函数的周期性特点：正弦函数sin(x)的周期是2π。
也就是说，sin(x)在每个区间[0, 2π]、[2π, 4π]、[4π, 6π]等等上都会重复自身。
2. 求解正弦函数的周期性变换问题：现在我们要求解sin(x)的周期性变换，即要找到一个变换函数，使sin(x)的周期变为另一个值。
-周期性的定义：如果函数f(x)在某个区间上满足f(x + T) = f(x)，其中T是一个常数，那么我们就称函数f(x)为周期函数，T为函数的周期。
-周期性的变换规律：在周期性变换中，函数的周期会发生改变。
-周期性变换的关键点：要求解周期性变换问题，我们需要找到一个变换函数，使函数的周期发生改变。
3. 具体求解周期性变换问题的方法：对于正弦函数sin(x)，我们可以通过以下步骤求解周期性变换问题：-步骤1：确定变换函数。
变换函数是将函数的周期变为另一个值。
对于正弦函数sin(x)，我们可以使用变换函数sin(kx)，其中k是一个非零常数。
-步骤2：根据变换函数，确定周期性变换后的函数图像的周期。
在坐标平面上，我们可以找到一个变换函数，使其图像的周期发生改变。
-步骤3：根据周期性的变换规律，确定周期性变换后的函数图像的周期。
在周期性变换中，函数的周期会发生改变。
4. 其他三角函数的周期性变换问题：类似地，我们可以根据其他三角函数的周期性特点和周期性变换的规律来求解周期性变换问题。
以余弦函数为例，余弦函数cos(x)的周期也是2π。
当我们对cos(x)进行周期性变换时，其周期也会发生改变。
类似地，我们可以通过确定变换函数，找到周期性变换后的函数图像的周期。
根据周期性的变换规律，确定周期性变换后的函数图像的周期。
这些方法可以帮助我们在解决问题时确定三角函数的周期性的变化。
三角函数周期的几种求法.doc
三角函数周期的几种求法深圳市福田区皇岗中学蔡舒敏高中数学第一册第二节中涉及到函数周期的问题，学生们往往对此类的问题感到比较困难。
本文就这个问题谈三角函数周期的几种求法。
1.定义法：定义：一般地y=c,对于函数，如果存在一个不为零的常数，使得当取定义域内的每一个值吋，f (x+T) = f ( X )都成立，那么就把函数y = f (x)叫做周期函数；不为零的常数叫做这个函数的周期。
对于一个周期函数來说，如果在所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小的正周期。
下面我们谈到三角函数的周期时，一般指的是三角函数折最小止周期。
例1.求函数y=3sin (-% + -)的周期3 3解:Vy=f (x) =3sin (-x+—) =3sin (-% + —+2^-)3 3 3 3=3sin (拿+ 2兀 +彳)=3sin[|(x + 3^) + |]二f (x+3兀)这就是说，当自变量由x增加到x+3龙,且必增加至!J x+3龙时,函数值重复出现。
二函数y=3sin (-x + —)的周期是T二3龙。
3 3例2：求f (x) =sin6x+cos6x 的周期解Tf (x+—) = sin b (x+—) + cos6 (x+—)2 2 2二cos h x +sir?x二f (x).•.f （x） =sin6x+cos6x 的周期为T= —2例3：求f （x）二血兀+血3兀的周期cosx + cos3x解：Vf （x+兀）二曲（只+兀）+血如+兀）COS（X + 7l） + COS（X + 71）_ -sinx-sin3x-cox - cos3x_ sinx + sin 3xcos x +cos 3^二f （x）■求f（X）二Siz + sin3兀的周期:T Fcos x +cos 3x2.公式法：（1）如果所求周期函数可化为y二Asin （亦+ ©）、y二Acos （亦+炉）、y = tg （亦 + 0 ）形成（其中X、co、cp为常数，且A H O、®>O、0W R）,则可知道它们的周期分别是：—> —> -Oco co co例4：求函数y=l-sinx+V3 cosx的周期解：Vy=l-2 （- sinx- —cosx）- 2 2= 1-2 （cos —sinx-sin— cosx）3 3= l-2sin （x-—）3这里0二1 ・••周期T二2龙例5：求：y=2 （— sinx--cos3x） -12 2解：Vy=2 （— sinx-—cos3x） -12 2=2sin (3x-— ) -16这里⑵二3 ・•・周期为T二弐3例6：求y二tg (1+—)的周期解：这里g二丸，・•.周期为：T=^-/ —=-5 5 3(2)如果f (x)是二次或高次的形式的周期函数，可以把它化成sinox、COSGX、tgcox的形式，再确定它的周期。
三角函数周期的求法
求三角函数的周期问题常以选择题或者填空题的形式出现，属于基础题目.很多三角函数具有周期性，三角函数的解析式不同，其周期也不相同.对于不同的三角函数解析式，我们也需要采用不同的方法来求其周期.这里介绍三种方法.一、定义法定义法是指利用函数周期的定义来解题的方法.若函数f (x )的定义域为数集D ，那么对于∀x ∈D ，有f (x +T )=f (x )，则该函数为周期函数，其中T （最小正常数）为函数f (x )的最小正周期.运用定义法求三角函数的周期，只需要找到使f (x +T )=f (x )成立的T 的值即可.例1.求三角函数y =sin 2x 的最小正周期.解：设sin 2(x +T )-sin 2x =0，则2sin2x +T 2cos T 2⋅cos 2x +T 2sin T 2=0，化简得sin(2x +T )=sin T ，所以sin(2x +T )=0或者sin T =0，当sin(2x +T )=0时T =k π-2x ，此时T 不为常数，不能作为周期，当sin T =0时，T 的最小非零正数解为T =π，所以函数y =sin 2x 的最小正周期为T =π.由题目可知该三角函数为周期函数，不妨根据三角函数周期的定义设出函数的周期T ，然后通过三角恒等变换求得T 的值.二、最小公倍数法最小公倍数法：当三角函数f (x )和g (x )的定义域都是D ，且三角函数f (x )和g (x )的周期分别为T 1、T 2，那么T 1、T 2的最小公倍数就是函数f (x )±g (x ),f (x )×g (x ),f (x )g (x )的周期.运用最小公倍数法求三角函数周期的关键是寻找两个三角函数周期的最小公倍数.例2.求三角函数f (x )=4cos x 4-5sin x5的最小正周期.解：因为cos x 4与sin x5都是周期函数，且最小正周期分别为T 1=8π,T 2=10π且T 1T 2=45为有理数.而8和10的最小公倍数为40，所以f (x )为周期函数，且最小正周期为40π.函数f (x )是两个三角函数y =4cos x 4、y =5sinx5的和，而它们的最小正周期分别为T 1=8π、T 2=10π，利用最小公倍数法，求出它们周期的最小公倍数，便可求出该三角函数的最小正周期.三、公式法当遇到较为复杂的三角函数式时，可通过三角恒等变形将原三角函数转化为y =A sin(ωx +ϕ)+h 、y =A cos(ωx +ϕ)+h 、y =A tan(ωx +ϕ)+h 的形式，再结合正弦、余弦、正切三角函数的周期公式：T =2π||ω或T =π||ω来求得三角函数的周期.例3.求三角函数y =sin 6x +cos 6x 的最小正周期.解：y =sin 6x +cos 6x =(sin 2x +cos 2x )(sin 4x -sin 2x cos 2x +cos 4x )=(sin 2x +cos 2x )2-3sin 2x cos 2x =1-34sin 22x =1-34∙1-cos 4x2=38cos 4x +58.所以三角函数y =sin 6x +cos 6x 的最小正周期为T =2π||ω=π2.该三角函数的次数比较高，运用sin 2x +cos 2x =1、正余弦的二倍角公式便可将三角函数式化简为只含有余弦函数的式子.这样便可根据余弦函数的周期公式T =2π||ω求得三角函数y =sin 6x +cos 6x 的最小正周期.求三角函数周期的方法还有很多，不仅仅局限于这三种方法.同学们在平时的学习中要注意熟悉题型，总结解题技巧，以后再遇到类似的问题就能快速解题.（作者单位：江苏省沭阳如东中学）方法集锦45Copyright©博看网 . All Rights Reserved.。
三角函数的周期公式总结
三角函数的周期公式总结
三角函数的的周期是三角函数的重要性质，下面整理了三角函数周期公式和求周期的方法，希望能帮助到大家。
三角函数的周期公式
三角函数的周期T=2π/ω。
完成一次振动所需要的时间，称为振动的周期。
若f(x)为周期函数，则把使得f(x+l)=f(x)对定义域中的任何x都成立的最小正数l，称为f(x)的（基本）周期。
在计算机中，完成一个循环所需要的时间；或访问一次存储器所需要的时间，亦称为周期。
周期函数的实质：两个自变量值整体的差等于周期的倍数时，两个自变量值整体的函数值相等
求三角函数的周期，若函数式比较简单，可利用定义或周期公式直接求解，若函数式比较复杂，则需要把函数式变形后再利用定义或周期公式求解。
三角函数最小正周期
如果一个函数f（x）的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做f（x）的最小正周期。
（1）y=Asin(ωx+φ)+h或y=Acos(ωx+φ)+h最小正周期T=2π/ω。
（2）y=Acot(ωx+φ)+h或y=Atan(ωx+φ)+h最小正周期T=π/ω。
（3）y=|sinωx|或y=|cosωx|的最小正周期T=π/|ω|。
（4）y=|tanωx|或y=|cotωx|的最小正周期T=π/|ω|。
求三角函数的周期6种方法总结 多个例子详细解答
如何求三角函数的周期三角函数的的周期是三角函数的重要性质，对于不同的三角函数式，如何求三角函数的周期也是一个难点，下面通过几个例题谈谈三角函数周期的求法．1、定义法例1． 求下列函数的周期 x y 2sin )1(= , 32tan )2(x y =． (1)分析：根据周期函数的定义，问题是要找到一个最小正数T ，对于函数定义域内的每一个x 值都能使x T x 2sin )(2sin ＝+成立，同时考虑到正弦函数x y sin =的周期是π2． 解：∵ )(2sin )22sin(2sin ππ+=+=x x x , 即 x x 2sin )(2sin =+π．∴ 当自变量由x 增加到π+x 时，函数值重复出现，因此x y 2sin =的周期是π．(2) 分析：根据周期函数的定义，问题是要找到一个最小正数T ，对于函数定义域内的每一个x 值都能使 32tan )(32tan x T x =+成立，同时考虑到正切函数x y tan =的周期是π． 解：∵ )23(32tan )32tan(32tan ππ+=+=x x x , 即32tan )23(32tan x x =+π． ∴ 函数32tan x y =的周期是π23． 例2. 求函数（m ≠0）的最小正周期。
解：因为所以函数（m ≠0）的最小正周期例3. 求函数的最小正周期。
解：因为所以函数的最小正周期为。
例4.求函数y ＝｜sin x ｜＋｜cos x ｜的最小正周期.解:∵)(x f ＝｜sin x ｜＋｜cos x ｜＝｜－sin x ｜＋｜cos x ｜＝｜cos(x ＋2π)｜＋｜sin(x ＋2π)｜ ＝｜sin(x ＋2π)｜＋｜cos(x ＋2π)｜ ＝)2(π+x f 对定义域内的每一个x ，当x 增加到x ＋2π时，函数值重复出现，因此函数的最小正周期是2π.注意：1、根据周期函数的定义，周期T 是使函数值重复出现的自变量x 的增加值，如),2()2(x f T x f =+周期不是T ，而是T 21； 2、”“)()(x f T x f =+是定义域内的恒等式，即对于自变量x 取定义域内的每个值时，上式都成立．直接利用周期函数的定义求出周期。
如何求三角函数的周期
如何求三角函数的周期摘要：求三角函数的周期，若函数式比较简单，可利用定义或周期公式直接求解，若函数式比较复杂，则需要把函数式变形后再利用定义或周期公式求解，因此掌握方法很重要． 关键词：三角函数 周期 方法三角函数的的周期是三角函数的重要性质，对于不同的三角函数式，如何求三角函数的周期也是一个难点，下面通过几个例题谈谈三角函数周期的求法．1、根据周期性函数的定义求三角函数的周期例1 求下列函数的周期 x y 2sin )1(= , 32tan )2(x y =． (1)分析：根据周期函数的定义，问题是要找到一个最小正数T ，对于函数定义域内的每一个x 值都能使x T x 2sin )(2sin ＝+成立，同时考虑到正弦函数x y sin =的周期是π2． 解：∵ )(2sin )22sin(2sin ππ+=+=x x x , 即 x x 2sin )(2sin =+π．∴ 当自变量由x 增加到π+x 时，函数值重复出现，因此x y 2sin =的周期是π．(2) 分析：根据周期函数的定义，问题是要找到一个最小正数T ，对于函数定义域内的每一个x 值都能使 32tan )(32tanx T x =+成立，同时考虑到正切函数x y tan =的周期是π． 解：∵ )23(32tan )32tan(32tanππ+=+=x x x , 即32tan )23(32tan x x =+π． ∴ 函数32tan x y =的周期是π23． 注意：1、根据周期函数的定义，周期T 是使函数值重复出现的自变量x 的增加值，如),2()2(x f T x f =+周期不是T ，而是T 21； 2、”“)()(x f T x f =+是定义域内的恒等式，即对于自变量x 取定义域内的每个值时，上式都成立． 2、根据公式求周期对于函数B x A y ++=)sin(ϕω或B x A y ++=)cos(ϕω的周期公式是||2ωπ=T ， 对于函数B x A y ++=)tan(ϕω或B x y ++=)cot(ϕω的周期公式是||ωπ=T ． 例3 求函数)623sin(3π-=x y 的周期 解： 34232ππ==T ．3、把三角函数表达式化为一角一函数的形式，再利用公式求周期例4 求函数x x x y 2sin 2cos sin 32-=的周期 解：12cos 2sin 3sin 2cos sin 322-+=-=x x x x x y1)62sin(21)2cos 212sin 23(2-+=-+=πx x x ∴ ππ==22T ． 例5 已知函数),3cos 3(sin 3sin)(x x x x f +=求周期 解：∵32sin 21)32cos 1(213cos 3sin 3sin )(2x x x x x x f +-=+= )432sin(2221)32cos 32(sin 2121π-+=-+=x x x ∴ ππ3322==T ． 4、遇到绝对值时，可利用公式 2||a a =, 化去绝对值符号再求周期例6 求函数 |cos |x y =的周期解：∵ 22cos 1cos |cos |2x x x y +=== ∴ ππ==22T ． 例7 求函数|cos ||sin |x x y +=的周期解：∵()x x x x x x y 2sin 1|2sin |1|cos ||sin ||cos ||sin |22+=+=+=+= )4cos 1(21124cos 11x x -+=-+= ∴ 函数|cos ||sin |x x y +=的最小正周期 242ππ==T ． 5、若函数)()()(21x f x f x f y k +++= ，且)(,),(),(21x f x f x f k ，都是周期函数，且最小正周期分别为k T T T ,,21，如果找到一个正常数T , 使k k T n T n T n T ==== 2211， (k n n n ,,,21 均为正整数且互质)，则T 就是)()()(21x f x f x f y k +++= 的最小正周期．例8 求函数x x y 21cos sin +=的周期 解：∵ x sin 的最小正周期是π21=T ， x 21cos的最小正周期是π42=T ． ∴ 函数y 的周期2211T n T n T == ，把21T T ，代入得 21 4 2n n ππ=，即212n n =， 因为21,n n 为正整数且互质， 所以 1 ,221==n n ．函数x x y 21cossin +=的周期ππ42211=⨯==T n T ． 例9 求函数x x y 43cos 32sin +=的周期 解： ∵ x 32sin 的最小正周期是ππ33221==T ，x 43cos 的最小正周期是384322ππ==T ， 由2211T n T n =， 2138 3n n ππ= ，2189n n = (21,n n 为正整数且互质), 得 9 ,821==n n ．所以 函数x x y 43cos 32sin +=的周期是ππ243811=⨯==T n T ．。
如何求三角函数的周期解读
如何求三角函数的周期三角函数的的周期是三角函数的重要性质，对于不同的三角函数式，如何求三角函数的周期也是一个难点，下面通过几个例题谈谈三角函数周期的求法．1、根据周期性函数的定义求三角函数的周期例1 求下列函数的周期 x y 2sin )1(= , 32tan )2(x y =． (1)分析：根据周期函数的定义，问题是要找到一个最小正数T ，对于函数定义域内的每一个x 值都能使x T x 2sin )(2sin ＝+成立，同时考虑到正弦函数x y sin =的周期是π2． 解：∵ )(2sin )22sin(2sin ππ+=+=x x x , 即 x x 2sin )(2sin =+π．∴ 当自变量由x 增加到π+x 时，函数值重复出现，因此x y 2sin =的周期是π．(2) 分析：根据周期函数的定义，问题是要找到一个最小正数T ，对于函数定义域内的每一个x 值都能使 32tan )(32tanx T x =+成立，同时考虑到正切函数x y tan =的周期是π． 解：∵ )23(32tan )32tan(32tanππ+=+=x x x , 即32tan )23(32tan x x =+π． ∴ 函数32tan x y =的周期是π23． 注意：1、根据周期函数的定义，周期T 是使函数值重复出现的自变量x 的增加值，如),2()2(x f T x f =+周期不是T ，而是T 21； 2、”“)()(x f T x f =+是定义域内的恒等式，即对于自变量x 取定义域内的每个值时，上式都成立．2、根据公式求周期对于函数B x A y ++=)sin(ϕω或B x A y ++=)cos(ϕω的周期公式是||2ωπ=T ， 对于函数B x A y ++=)tan(ϕω或B x y ++=)cot(ϕω的周期公式是||ωπ=T ． 例3 求函数)623sin(3π-=x y 的周期 解： 34232ππ==T ． 3、把三角函数表达式化为一角一函数的形式，再利用公式求周期例4 求函数x x x y 2sin 2cos sin 32-=的周期 解：12cos 2sin 3sin 2cos sin 322-+=-=x x x x x y1)62sin(21)2cos 212sin 23(2-+=-+=πx x x ∴ ππ==22T ． 例5 已知函数),3cos 3(sin 3sin)(x x x x f +=求周期 解：∵32sin 21)32cos 1(213cos 3sin 3sin )(2x x x x x x f +-=+= )432sin(2221)32cos 32(sin 2121π-+=-+=x x x ∴ ππ3322==T ． 4、遇到绝对值时，可利用公式 2||a a =, 化去绝对值符号再求周期例6 求函数 |cos |x y =的周期解：∵ 22cos 1cos |cos |2x x x y +=== ∴ ππ==22T ． 例7 求函数|cos ||sin |x x y +=的周期解：∵()x x x x x x y 2sin 1|2sin |1|cos ||sin ||cos ||sin |22+=+=+=+= )4cos 1(21124cos 11x x -+=-+= ∴ 函数|cos ||sin |x x y +=的最小正周期 242ππ==T ． 5、若函数)()()(21x f x f x f y k +++= ，且)(,),(),(21x f x f x f k ，都是周期函数，且最小正周期分别为k T T T ,,21，如果找到一个正常数T , 使k k T n T n T n T ==== 2211， (k n n n ,,,21 均为正整数且互质)，则T 就是)()()(21x f x f x f y k +++= 的最小正周期． 例8 求函数x x y 21cos sin +=的周期 解：∵ x sin 的最小正周期是π21=T ， x 21cos的最小正周期是π42=T ． ∴ 函数y 的周期2211T n T n T == ，把21T T ，代入得 21 4 2n n ππ=，即212n n =，因为21,n n 为正整数且互质， 所以 1 ,221==n n ．函数x x y 21cossin +=的周期ππ42211=⨯==T n T ． 例9 求函数x x y 43cos 32sin +=的周期 解： ∵ x 32s i n 的最小正周期是ππ33221==T ，x 43cos 的最小正周期是384322ππ==T ， 由2211T n T n =， 2138 3n n ππ= ，2189n n = (21,n n 为正整数且互质), 得 9 ,821==n n ．所以 函数x x y 43cos 32sin +=的周期是ππ243811=⨯==T n T ．函数的周期性--函数的周期性不仅存在于三角函数中，在其它函数或者数列中"突然"出现的周期性问题更能考查你的功底和灵活性，本讲重点复习一般函数的周期性问题一.明确复习目标1.理解函数周期性的概念，会用定义判定函数的周期；2.理解函数的周期性与图象的对称性之间的关系，会运用函数的周期性处理一些简单问题。
初中数学 如何求解三角函数的周期性变换问题
初中数学如何求解三角函数的周期性变换问题要求解三角函数的周期性变换问题，我们需要了解三角函数的周期性性质，并掌握周期函数的变换规律。
下面以正弦函数为例，介绍如何求解三角函数的周期性变换问题。
1. 正弦函数的周期性质：正弦函数的周期是2π，即sin(x + 2π) = sin(x)。
这意味着正弦函数在每个2π的整数倍上都有相同的值。
2. 周期函数的变换规律：对于周期为T的函数f(x)，当自变量增加T，函数值保持不变。
因此，如果我们已知一个函数f(x)是周期为T的函数，那么对于任意整数n，有f(x + nT) = f(x)。
3. 求解正弦函数的周期性变换问题：现在我们要求解sin(x)的周期性变换问题，即要找到一个函数g(x)，使得g(x) = sin(x + 2π)。
根据周期函数的变换规律，我们有g(x + 2π) = g(x)。
因此，我们可以推导出g(x) = sin(x)。
所以，sin(x + 2π) = sin(x)的周期性变换函数是g(x) = sin(x)。
4. 其他周期性变换问题：类似地，我们可以根据周期函数的变换规律求解其他三角函数的周期性变换问题。
以余弦函数为例，余弦函数的周期也是2π，即cos(x + 2π) = cos(x)。
根据周期函数的变换规律，我们可以推导出cos(x + 2π) = cos(x)的周期性变换函数是h(x) = cos(x)。
总结：在求解三角函数的周期性变换问题时，我们需要了解三角函数的周期性质，并掌握周期函数的变换规律。
对于正弦函数，其周期为2π，即sin(x + 2π) = sin(x)。
根据周期函数的变换规律，我们推导出sin(x + 2π) = sin(x)的周期性变换函数是g(x) = sin(x)。
类似地，对于余弦函数，其周期也是2π，即cos(x + 2π) = cos(x)。
根据周期函数的变换规律，我们推导出cos(x + 2π) = cos(x)的周期性变换函数是h(x) = cos(x)。
三角函数周期的几种求法
三角函数周期的几种求法-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One12三角函数周期的几种求法深圳市福田区皇岗中学 蔡舒敏高中数学第一册第二节中涉及到函数周期的问题，学生们往往对此类的问题感到比较困难。
本文就这个问题谈三角函数周期的几种求法。
1．定义法：定义：一般地ｙ＝c ，对于函数，如果存在一个不为零的常数，使得当取定义域内的每一个值时，ｆ（ｘ＋T ）＝ｆ（ｘ）都成立，那么就把函数ｙ＝ｆ(ｘ)叫做周期函数；不为零的常数叫做这个函数的周期。
对于一个周期函数来说，如果在所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小的正周期。
下面我们谈到三角函数的周期时，一般指的是三角函数折最小正周期。
例1．求函数y=3sin （332π+x ）的周期解：∵y=f （x ）=3sin （332π+x ）=3sin （332π+x +2π）=3sin （3232ππ++x ）=3sin[3)3(32ππ++x ]= f （x+3π）这就是说，当自变量由ｘ增加到x+3π，且必增加到x+3π时，函数值重复出现。
∴函数y=3sin （332π+x ）的周期是T=3π。
例2：求f （x ）=sin 6x+cos 6x 的周期解∵f （x+2π）= sin 6（x+2π）+ cos 6（x+2π）3= cos 6x +sin 6x= f （x ）∴f （x ）=sin 6x+cos 6x 的周期为T=2π例3：求f （x ）=xx xx 3cos cos 3sin sin ++的周期解：∵f （x+π）=)cos()cos()(3sin )sin(ππππ++++++x x x x=x cox xx 3cos 3sin sin ----=xx x x 3cos cos 3sin sin ++ = f （x ）∴求f （x ）=xx xx 3cos cos 3sin sin ++的周期：T=π2．公式法：（1）如果所求周期函数可化为y=Asin （ϕω+x ）、y=Acos （ϕω+x ）、ｙ＝tg （ϕω+x ）形成（其中A 、ω、ϕ为常数，且A ≠0、ω＞0、ϕ∈R ），则可知道它们的周期分别是：ωπ2、ωπ2、ωπ。
三角函数求周期的方法
三角函数的的周期是三角函数的重要性质，下面整理了三角函数求周期的方法，希望能帮助到大家。
1、定义法：题目中提到f（x）=f（x+C）,其中C为已知量，则C为这个函数的一个最小周期。
2、公式法：将三角函数的函数关系式化为：y=Asin(wx+B)+C或
y=Acos(wx+B)+C，其中A,w,B,C为常数。
则周期T=2π/w，其中w为角速度，B为相角，A为幅值。
若函数关系式化为：Acot(wx+B)+C或者tan(wx+B)+C，则周期为T=π/w。
3、定理法：如果f(x)是几个周期函数代数和形式的，即是：函数
f(x)=f1(x)+f2(x)，而f1(x)的周期为T1, f2(x)的周期为T2，则f(x)的周期为T=P2T1=P1T2，其中P1、P2N，且（P1、P2）=1。
sinx周期为2π/1=2π。
｜sinx｜周期为1/2*(2π )=π。
sin2x周期为2π/2=π。
｜sin2x｜周期为1/2*π=π/2。
sin1/2x周期为2π/(1/2)= 4π。
｜sin1/2x｜周期为1/2*(4π)=2π。
sin(x+π)周期与sinx周期相同（平移不改变周期），为2π。
｜sin(x+π)｜|周期为1/2*(2π)= π。
sin（x+2π）周期与sinx周期相同，为2π。
｜sin（x+2π｜周期为1/2*(2π)= π。
cos周期变化规律与sin完全一样，只是tanx周期为π ，atan（ωx+θ）周期为π/ω，但其绝对值，x轴下方部分翻上去以后与原有x轴上方部分不同，故其周期不变，即｜tanx｜周期为π 。
三角函数的周期性怎么求 公式是什么
三角函数的周期性怎么求公式是什么
三角函数的周期性是数学中常考到的一个知识点，下面是周期性的计算方法及公式，供大家查阅参考，希望可以帮助到大家的复习。
三角函数的周期性怎么求公式是什么
1三角函数的周期性
三角函数的周期T=2π/ω。
完成一次振动所需要的时间，称为振动的周期。
若f(x)为周期函数，则把使得f(x+l)=f(x)对定义域中的任何x都成立的最小正数l，称为f(x)的（基本）周期。
在计算机中，完成一个循环所需要的时间；或访问一次存储器所需要的时间，亦称为周期。
周期函数的实质：两个自变量值整体的差等于周期的倍数时，两个自变量值整体的函数值相等。
如：f(x+6) =f(x-2)则函数周期为T=8。
2三角函数的周期通式的表达式
正弦三角函数的通式：y=Asin(wx+t）；余弦三角函数的通式：y=Acos(wx+t）；
正切三角函数的通式：y=Atan(wx+t);余切三角函数的通式：y=Actg(wx+t)。
在w>0的条件下：A:表示三角函数的振幅；三角函数的周期T=2π/ω；三角函数的频率f=1/T:
wx+t表示三角函数的相位；t表示三角函数的初相位。
如何求三角函数周期
如何求三角函数周期三角函数周期的求解方法三角函数是数学中常见的函数类型之一，包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。
对于每一个三角函数，它们都具有固定的周期，即在一定的区间内重复自身的模式。
本文将介绍如何求解三角函数的周期。
一、正弦函数的周期求解正弦函数的表示为y = sin(x)，其中x为自变量，y为函数的值。
正弦函数的周期可以通过以下公式来求解：周期T = 2π/|a|其中a为正弦函数中x的系数。
例如，对于正弦函数y = sin(3x)，我们可以求解其周期T：T = 2π/3所以，正弦函数y = sin(3x)的周期为2π/3。
二、余弦函数的周期求解余弦函数的表示为y = cos(x)，其中x为自变量，y为函数的值。
余弦函数的周期可以通过以下公式来求解：周期T = 2π/|a|其中a为余弦函数中x的系数。
例如，对于余弦函数y = cos(2x)，我们可以求解其周期T：T = 2π/2所以，余弦函数y = cos(2x)的周期为π。
三、正切函数的周期求解正切函数的表示为y = tan(x)，其中x为自变量，y为函数的值。
正切函数的周期可以通过以下公式来求解：周期T = π/|a|其中a为正切函数中x的系数。
例如，对于正切函数y = tan(4x)，我们可以求解其周期T：T = π/4所以，正切函数y = tan(4x)的周期为π/4。
综上所述，我们可以通过特定的公式来求解三角函数的周期。
对于正弦函数，周期T = 2π/|a|；对于余弦函数，周期T = 2π/|a|；对于正切函数，周期T = π/|a|。
根据这些公式，我们可以很方便地求解三角函数的周期，从而更好地理解和分析三角函数的性质和图像。
三角函数的周期
确定三角函数周期的方法一、根据周期性函数的定义求周期1.f(x+T)=f(x)是定义域内的恒等式，必须对定义域中任何一个x 成立．T 是不为0的常数；2.周期T 是使函数值重复出现的自变量x 的增加值，如),2()2(x f T x f =+周期不是T ，而是T 21；例1 求函数f(x)＝2sin （21x －6π）的最小正周期。
解：把21x －6π看成是一个新的变量z,那么2sinz 的最小正周期是2π。
由于z ＋2π＝21x-6π=(21x ＋4π)-6π。
所以当自变量x 增加到x ＋4π且必须增加到x ＋4π时，函数值重复出现。
∴函数y=2sin(21x-6π)的最小正周期是4π。
二、根据公式求周期通过恒等变换，把周期函数转化为y=Asin （ϕω+x ）、y=Acos （ϕω+x ）、ｙ＝tg （ϕω+x ）形成（其中A 、ω、ϕ为常数，且A ≠0、ω＞0、ϕ∈R ），则可知道它们的周期分别是：ωπ2、ωπ2、ωπ。
例2 求下列函数的周期 (1) f(x)＝sin(x ＋3π)cos(x －3π) (2) f(x)＝sin 6x ＋cos 6x (3) f(x)＝x 2cos 21-解 (1) f(x)＝sin(x ＋3π)cos(x －3π)＝21|sin2x+sin π32|=21sin2x+43∴最小正周期为T= π (2) f(x)＝sin 6x+cos 6x=(sin 2x+cos 2x)(sin 4x-sin 2xcos 2x+cos 4x) =(sin 4x-sin 2xcos 2x+cos 4x) =(sin 2x+cos 2x)2-3sin 2xcos 2x =1-43sin 2x =85+83cos4x ∴最小正周期为T=2π (3) f(x)＝x 2cos 21-=22cos 121x+-=x 2cos - 它与－cos2x 的周期相同，故得 f(x)的最小正周期为T=π 三、把三角函数表达式化为一角一函数的形式，再利用公式求周期 例3 求函数x x x y 2sin 2cos sin 32-=的周期 解：12cos 2sin 3sin 2cos sin 322-+=-=x x x x x y1)62sin(21)2cos 212sin 23(2-+=-+=πx x x ∴ ππ==22T ． 例4 已知函数),3cos 3(sin 3sin )(x x x x f +=求周期解：∵32sin 21)32cos 1(213cos 3sin 3sin )(2xx x x x x f +-=+=)432sin(2221)32cos 32(sin2121π-+=-+=x x x ∴ ππ3322==T ． 四、遇到绝对值时，可利用公式 2||a a =, 化去绝对值符号再求周期 例5 求函数 |cos |x y =的周期解：∵ 22cos 1cos |cos |2xx x y +===∴ ππ==22T ． 例6 求函数|cos ||sin |x x y +=的周期解：∵()x x x x x x y 2sin 1|2sin |1|cos ||sin ||cos ||sin |22+=+=+=+= )4cos 1(21124cos 11x x -+=-+= ∴ 函数|cos ||sin |x x y +=的最小正周期 242ππ==T ． 五、最小公倍数法求几个正弦、余弦和正切函数的最小正周期，可以先求出各个三角函数的最小正周期，然后再求其最小公倍数T,即为和函数的最小正周期。
三角函数周期的几种求法解读
三角函数周期的几种求法深圳市福田区皇岗中学 蔡舒敏高中数学第一册第二节中涉及到函数周期的问题，学生们往往对此类的问题感到比较困难。
本文就这个问题谈三角函数周期的几种求法。
1．定义法：定义：一般地ｙ＝c ，对于函数，如果存在一个不为零的常数，使得当取定义域内的每一个值时，ｆ（ｘ＋T ）＝ｆ（ｘ）都成立，那么就把函数ｙ＝ｆ(ｘ)叫做周期函数；不为零的常数叫做这个函数的周期。
对于一个周期函数来说，如果在所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小的正周期。
下面我们谈到三角函数的周期时，一般指的是三角函数折最小正周期。
例1．求函数y=3sin （332π+x ）的周期解：∵y=f （x ）=3sin （332π+x ）=3sin （332π+x +2π）=3sin （3232ππ++x ）=3sin[3)3(32ππ++x ]= f （x+3π）这就是说，当自变量由ｘ增加到x+3π，且必增加到x+3π时，函数值重复出现。
∴函数y=3sin （332π+x ）的周期是T=3π。
例2：求f （x ）=sin 6x+cos 6x 的周期解∵f （x+2π）= sin 6（x+2π）+ cos 6（x+2π） = cos 6x +sin 6x= f （x ）∴f （x ）=sin 6x+cos 6x 的周期为T=2π例3：求f （x ）=xx xx 3cos cos 3sin sin ++的周期解：∵f （x+π）=)cos()cos()(3sin )sin(ππππ++++++x x x x=x cox xx 3cos 3sin sin ----=xx x x 3cos cos 3sin sin ++ = f （x ）∴求f （x ）=xx xx 3cos cos 3sin sin ++的周期：T=π2．公式法：（1）如果所求周期函数可化为y=Asin （ϕω+x ）、y=Acos （ϕω+x ）、ｙ＝tg （ϕω+x ）形成（其中A 、ω、ϕ为常数，且A ≠0、ω＞0、ϕ∈R ），则可知道它们的周期分别是：ωπ2、ωπ2、ωπ。
三角函数周期的三种求法
三角函数周期的三种求法作者：刘志军来源：《中学生数理化·教与学》2011年第07期职业高中数学（基础模块）上册第五章第三节中涉及函数周期的问题，学生往往对解决此类问题感到比较困难，而近年来职高对口升学又经常涉及三角函数周期的问题.本文结合职业高中学生知识水平的实际，总结了三角函数周期的三种求法.1．定义法周期函数的定义：一般地，对于函数y=f(x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，有ｆ（ｘ＋T）＝ｆ（ｘ）都成立，就把函数ｙ＝ｆ(ｘ)叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期.对于一个周期函数来说，如果在所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小的正周期.以后我们说到三角函数的周期，一般指的都是三角函数的最小正周期.针对一些简单的三角函数问题，通过变形可以利用上面的定义求得三角函数的周期.例1 求函数y=2sin（2x+π3）的周期.解：∵y=f（x）=2sin(2x+π3)=2sin（2x+π3+2π）=2sin（2x+2π+π3）=2sin［2(x+π)+π3］=f（x+π）.这就是说，当自变量由ｘ增加到x+π，且至少增加到x+π时，函数值重复出现.∴函数y=2sin（2x+π3）的周期T=π.点评：针对例1这种类型的问题我们可以推广到形如：y=Asin（）、y=Acos（）、ｙ＝tan（）（其中A、w、为常数，且A≠0、w＞0、∈R），这些函数都可以通过以上的变形求出周期，事实上这些函数的周期和三角函数中w的值有关.例2 求f（x）=sin3x+sin5xcos3x+cos5x的周期.解：∵f（x+π）=sin3(x+π)+sin5(x+π)cos3(x+π)+cos5(x+π)=-sin3x-sin5x-cos3x-cos5x=sin3x+sin5xcos3x+cos5x=f（x）.∴函数f（x）=sin3x+sin5xcos3x+cos5x的周期T=π.点评：类似例2的题目，可以结合三角函数的诱导公式变形而得.例3 求f（x）的周期.解：∵f（x+π2）（x+π2）（x+π2）（x）.∴f（x）的周期为T=π2.2．公式法（1）如果所求周期函数可化为y=Asin（）、y=Acos（）、ｙ＝tan（）的形式（其中A、w、为常数，且A≠0、w＞0、∈R），则可知道上述三个函数的周期分别是：2πw、2πw、πw.例4 求f（x）-的周期.解：∵f（x）--这里w=2.∴周期T=π.∴f（x）-的周期为T=π.3．最小公倍数法由三角函数的代数和组成的三角函数式，可先找出其中每个函数的最小正周期，然后找出所有周期的最小公倍数.（１）分数的最小公倍数的求法是：各分数分子的最小公倍数÷各分数分母的最大公约数.（2）对于正、余弦函数的差不能用最小公倍数法.（3）本方法主要用于快速解决一些填空题或选择题，但本方法不能用作大题的解答过程.例5 求三角函数y=sin4x＋sin8x的周期.解：y=sin4x的周期是T=π2,y=sin8x的周期是T=π4.所以函数y=sin4x＋sin8x的最小正周期是π2和π4的最小公倍数π2.例6 求函数y=sinx+cos2x+sin4x的最小正周期.解：函数y=sinx的最小正周期是T=2π，cos2x的最小正周期是T=π，y=sin4x的最小正周期是T=π2.∵π2、π、2π的最小公倍数是2π，∴函数y=sinx+cos2x+sin4x的最小正周期为T＝2π.以上三种求三角函数周期的方法适用于不同的题目类型，用的最多的是公式法，而最小公倍数法则可快速解答填空题和选择题.只要多练习，我们在求三角函数周期时就能灵活运用这三种方法，逐步提高解题效率.注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。
如何求三角函数的周期
如何求三角函数的周期(总14页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--如何求三角函数的周期三角函数的的周期是三角函数的重要性质，对于不同的三角函数式，如何求三角函数的周期也是一个难点，下面通过几个例题谈谈三角函数周期的求法．1、根据周期性函数的定义求三角函数的周期例1 求下列函数的周期 x y 2sin )1(= , 32tan )2(x y =． (1)分析：根据周期函数的定义，问题是要找到一个最小正数T ，对于函数定义域内的每一个x 值都能使x T x 2sin )(2sin ＝+成立，同时考虑到正弦函数x y sin =的周期是π2．解：∵ )(2sin )22sin(2sin ππ+=+=x x x , 即 x x 2sin )(2sin =+π． ∴ 当自变量由x 增加到π+x 时，函数值重复出现，因此x y 2sin =的周期是π．(2) 分析：根据周期函数的定义，问题是要找到一个最小正数T ，对于函数定义域内的每一个x 值都能使 32tan )(32tanx T x =+成立，同时考虑到正切函数x y tan =的周期是π． 解：∵ )23(32tan )32tan(32tan ππ+=+=x x x , 即32tan )23(32tan x x =+π． ∴ 函数32tan x y =的周期是π23． 注意：1、根据周期函数的定义，周期T 是使函数值重复出现的自变量x 的增加值，如),2()2(x f T x f =+周期不是T ，而是T 21； 2、”“)()(x f T x f =+是定义域内的恒等式，即对于自变量x 取定义域内的每个值时，上式都成立．2、根据公式求周期对于函数B x A y ++=)sin(ϕω或B x A y ++=)cos(ϕω的周期公式是||2ωπ=T ， 对于函数B x A y ++=)tan(ϕω或B x y ++=)cot(ϕω的周期公式是||ωπ=T ． 例3 求函数)623sin(3π-=x y 的周期 解： 34232ππ==T ． 3、把三角函数表达式化为一角一函数的形式，再利用公式求周期例4 求函数x x x y 2sin 2cos sin 32-=的周期 解：12cos 2sin 3sin 2cos sin 322-+=-=x x x x x y1)62sin(21)2cos 212sin 23(2-+=-+=πx x x ∴ ππ==22T ． 例5 已知函数),3cos 3(sin 3sin )(x x x x f +=求周期 解：∵32sin 21)32cos 1(213cos 3sin 3sin )(2x x x x x x f +-=+= )432sin(2221)32cos 32(sin 2121π-+=-+=x x x ∴ ππ3322==T ． 4、遇到绝对值时，可利用公式 2||a a =, 化去绝对值符号再求周期例6 求函数 |cos |x y =的周期解：∵ 22cos 1cos |cos |2x x x y +=== ∴ ππ==22T ． 例7 求函数|cos ||sin |x x y +=的周期解：∵()x x x x x x y 2sin 1|2sin |1|cos ||sin ||cos ||sin |22+=+=+=+= )4cos 1(21124cos 11x x -+=-+= ∴ 函数|cos ||sin |x x y +=的最小正周期 242ππ==T ． 5、若函数)()()(21x f x f x f y k +++= ，且)(,),(),(21x f x f x f k ，都是周期函数，且最小正周期分别为k T T T ,,21，如果找到一个正常数T , 使k k T n T n T n T ==== 2211，(k n n n ,,,21 均为正整数且互质)，则T 就是)()()(21x f x f x f y k +++= 的最小正周期．例8 求函数x x y 21cos sin +=的周期 解：∵ x sin 的最小正周期是π21=T ， x 21cos的最小正周期是π42=T ． ∴ 函数y 的周期2211T n T n T == ，把21T T ，代入得 21 4 2n n ππ=，即212n n =，因为21,n n 为正整数且互质， 所以 1 ,221==n n ．函数x x y 21cossin +=的周期ππ42211=⨯==T n T ． 例9 求函数x x y 43cos 32sin +=的周期 解： ∵ x 32sin 的最小正周期是ππ33221==T ，x 43cos 的最小正周期是384322ππ==T ， 由2211T n T n =， 2138 3n n ππ= ，2189n n = (21,n n 为正整数且互质), 得 9,821==n n ． 所以 函数x x y 43cos 32sin +=的周期是ππ243811=⨯==T n T ．函数的周期性--函数的周期性不仅存在于三角函数中，在其它函数或者数列中"突然"出现的周期性问题更能考查你的功底和灵活性，本讲重点复习一般函数的周期性问题一.明确复习目标1.理解函数周期性的概念，会用定义判定函数的周期；2.理解函数的周期性与图象的对称性之间的关系，会运用函数的周期性处理一些简单问题。
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如何求三角函数的周期三角函数的的周期是三角函数的重要性质，对于不同的三角函数式，如何求三角函数的周期也是一个难点，下面通过几个例题谈谈三角函数周期的求法．1、根据周期性函数的定义求三角函数的周期例1 求下列函数的周期 x y 2sin )1(= , 32tan )2(x y =． (1)分析：根据周期函数的定义，问题是要找到一个最小正数T ，对于函数定义域内的每一个x 值都能使x T x 2sin )(2sin ＝+成立，同时考虑到正弦函数x y sin =的周期是π2． 解：∵ )(2sin )22sin(2sin ππ+=+=x x x , 即 x x 2sin )(2sin =+π．∴ 当自变量由x 增加到π+x 时，函数值重复出现，因此x y 2sin =的周期是π．(2) 分析：根据周期函数的定义，问题是要找到一个最小正数T ，对于函数定义域内的每一个x 值都能使 32tan )(32tanx T x =+成立，同时考虑到正切函数x y tan =的周期是π． 解：∵ )23(32tan )32tan(32tanππ+=+=x x x , 即32tan )23(32tan x x =+π． ∴ 函数32tan x y =的周期是π23． 注意：1、根据周期函数的定义，周期T 是使函数值重复出现的自变量x 的增加值，如),2()2(x f T x f =+周期不是T ，而是T 21； 2、”“)()(x f T x f =+是定义域内的恒等式，即对于自变量x 取定义域内的每个值时，上式都成立． 2、根据公式求周期对于函数B x A y ++=)sin(ϕω或B x A y ++=)cos(ϕω的周期公式是||2ωπ=T ， 对于函数B x A y ++=)tan(ϕω或B x y ++=)cot(ϕω的周期公式是||ωπ=T ． 例3 求函数)623sin(3π-=x y 的周期 解： 34232ππ==T ． 3、把三角函数表达式化为一角一函数的形式，再利用公式求周期例4 求函数x x x y 2sin 2cos sin 32-=的周期 解：12cos 2sin 3sin 2cos sin 322-+=-=x x x x x y1)62sin(21)2cos 212sin 23(2-+=-+=πx x x ∴ ππ==22T ． 例5 已知函数),3cos 3(sin 3sin)(x x x x f +=求周期 解：∵32sin 21)32cos 1(213cos 3sin 3sin )(2x x x x x x f +-=+= )432sin(2221)32cos 32(sin 2121π-+=-+=x x x ∴ ππ3322==T ． 4、遇到绝对值时，可利用公式 2||a a =, 化去绝对值符号再求周期例6 求函数 |cos |x y =的周期解：∵ 22cos 1cos |cos |2x x x y +=== ∴ ππ==22T ． 例7 求函数|cos ||sin |x x y +=的周期解：∵()x x x x x x y 2sin 1|2sin |1|cos ||sin ||cos ||sin |22+=+=+=+= )4cos 1(21124cos 11x x -+=-+= ∴ 函数|cos ||sin |x x y +=的最小正周期 242ππ==T ． 5、若函数)()()(21x f x f x f y k +++= ，且)(,),(),(21x f x f x f k ，都是周期函数，且最小正周期分别为k T T T ,,21，如果找到一个正常数T , 使k k T n T n T n T ==== 2211， (k n n n ,,,21 均为正整数且互质)，则T 就是)()()(21x f x f x f y k +++= 的最小正周期． 例8 求函数x x y 21cos sin +=的周期 解：∵ x sin 的最小正周期是π21=T ， x 21cos的最小正周期是π42=T ． ∴ 函数y 的周期2211T n T n T == ，把21T T ，代入得 21 4 2n n ππ=，即212n n =，因为21,n n 为正整数且互质， 所以 1 ,221==n n ．函数x x y 21cossin +=的周期ππ42211=⨯==T n T ． 例9 求函数x x y 43cos 32sin +=的周期 解： ∵ x 32sin 的最小正周期是ππ33221==T ，x 43cos 的最小正周期是384322ππ==T ， 由2211T n T n =， 2138 3n n ππ= ，2189n n = (21,n n 为正整数且互质), 得 9 ,821==n n ．所以 函数x x y 43cos 32sin +=的周期是ππ243811=⨯==T n T ．函数的周期性--函数的周期性不仅存在于三角函数中，在其它函数或者数列中"突然"出现的周期性问题更能考查你的功底和灵活性，本讲重点复习一般函数的周期性问题一.明确复习目标1.理解函数周期性的概念，会用定义判定函数的周期；2.理解函数的周期性与图象的对称性之间的关系，会运用函数的周期性处理一些简单问题。
二、建构知识网络1.函数的周期性定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使恒成立，则f(x)叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的2.若T是周期，则k·T（k≠0,k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。
一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非所都有最小正周期。
如常函数f(x)=C；3.若函数f(x)对定义域内的任意x满足：f(x+a)=f(x－a),则2a为函数f(x)的周期。
（若f(x)满足f(a+x)=f(a－x)则f(x)的图象以x=a为图象的对称轴，应注意二者的区别)4.若函数f(x)图象有两条对称轴x=a和x=b，（a<b），则2（b-a）是f（x）的一个周期5.若函数f(x)图象有两个对称中心（a，0），（b，0）（a<b），则2（b-a）是f（x）的一个周期。
(证一证)6.若函数f（x）有一条对称轴x=a和一个对称中心（b，0）（a<b）,则4（b-a）是f（x）的周期。
举例:y=sinx,等.三.双基题目练练手1.f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，且f(1)=0，则方程f(x)=0在区间（0，6）内解的个数的最小值是（）A．5 B．4 C．3 D．22.若函数y=f(x)是周期为2的奇函数，且当x∈(0,1)时f(x)=x+1，则f(π)的值为（）A．π-5 B.5-π C.4-π D. π-43. 是偶函数，且为奇函数，则f(1992)=4.设存在常数p>0,使，则的一个周期是，f(px)的一个正周期是；5.数列中简答精讲：1、B；2、A；3、993；因（-1，0）是中心，x=0是对称轴，则周期是4；4、，；5、；由已知，周期为6。
四.经典例题做一做【例1】已知f(x)是以2为周期的偶函数，且当x∈(0,1)时，f(x)=x+1.求f(x)在(1,2)上的解析式。
解法1：（从解析式入手，由奇偶性结合周期性，将要求区间上问题转化为已知解析式的区间上。
）∵x∈(1,2), 则-x∈(-2,-1),∴2-x∈(0,1), ∵T=2,是偶函数∴f(x)=f(-x)=f(2-x)=2-x+1=3-x.x∈(1,2).解法2（从图象入手也可解决，且较直观）f(x)=f(x+2) 如图：x∈(0,1), f(x)=x+1.∵是偶函数∴x∈(-1,0)时f(x)=f(-x)=-x+1.又周期为2，x∈(1,2)时x-2∈（-1，0）∴f(x)=f(x-2)=-(x-2)+1=3-x.提炼方法：1.解题体现了化归转化的思想,即把未知的(1,2)上向已知的(0,1)上转化;2.用好数形结合,对解题很有帮助.【例2】f(x)的定义域是R，且f(x+2)[1-f(x)]=1+f(x),若f(0)=2008,求f(2008)的值。
解：周期为8，法二：依次计算f(2、4、6、8)知周期为8，须再验证。
方法提炼：1.求周期只需要弄出一个常数;2.注意既得关系式的连续使用.【例3】若函数在R上是奇函数，且在上是增函数，且.①求的周期；②证明f(x)的图象关于点(2k,0) 中心对称;关于直线x=2k+1轴对称, (k∈Z );③讨论f(x)在(1,2)上的单调性；解: ①由已知f(x)=－f(x+2)=f(x+2+2)=f(x+4),故周期T=4.②设P(x,y)是图象上任意一点,则y=f(x),且P关于点(2k,0)对称的点为P1(4k-x,-y).P关于直线x=2k+1对称的点为P2(4k+2-x,y).∵f(4k-x)=f(-x)=-f(x)=-y,∴点P1在图象上,图象关于点(2k,0)对称.又f(x)是奇函数,f(x+2)=-f(x)=f(-x)∴f(4k+2-x)=f(2-x)=f(x)=y, ∴点P2在图象上,图象关于直线2k+1对称.③设1<x1<x2<2,则-2<-x2<-x1<-1, 0<2-x2<2-x1<1.∵f(x)在(-1,0)上递增, ∴f(2-x1)<f(2-x2)……(*)又f(x+2)=-f(x)=f(-x) ∴f(2-x1)=f(x1), f(2-x2)=f(x2).(*)为f(x2)<f(x1),f(x)在(1,2)上是减函数.提炼方法：总结解周期性、单调性及图象对称性的方法。
【研究.欣赏】已知函数y=f(x)是定义在R上的周期函数，周期T=5，函数y=f(x)(-1≤x≤1)是奇函数.又知y=f(x)在[0,1]上是一次函数，在[1,4]上是二次函数，且在x=2时函数取得最小值-5.①证明：；②求的解析式；③求在上的解析式.解：∵是以为周期的周期函数，且在[-1,1]上是奇函数，∴，∴.②当时，由题意可设，由得，∴，∴.③∵是奇函数，∴，又知在上是一次函数，∴可设，而，∴，∴当时，，从而时，，故时，.∴当时，有，∴.当时，，∴∴.五．提炼总结以为师1.函数的周期性及有关概念;2.用周期的定义求函数的周期;3.函数的周期性与图象的对称性之间的关系;同步练习2．7 函数的周期性【选择题】1.f（x）是定义在R上的奇函数，它的最小正周期为T，则f（－）的值为A.0B.C.TD.－2.（2004天津）定义在R上的函数f（x）既是偶函数又是周期函数.若f（x）的最小正周期是π，且当x∈［0，］时，f（x）=sinx，则f（）的值为A.－B.C.－D.【填空题】3.设是定义在上，以2为周期的周期函数，且为偶函数，在区间[2，3]上，= ,则=4.已知函数f(x)是偶函数，且等式f(4+x)＝f(4-x)，对一切实数x成立，写出f(x)的一个最小正周5.对任意x∈R，f(x)=f(x-1)+f(x+1)且f(0)=6,f(4)=3,则f(69)=6.设f(x)定义在R上的偶函数，且，又当x∈(0，3]时，f(x)=2x，则f(2007)= 。