数学期望

数学期望

1、定义：在概率论和统计学中，数学期望(mean)（或均值，亦简称期望）是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和，是最基本的数学特征之一。它反映随机变量平均取值的大小。

需要注意的是，期望值并不一定等同于常识中的“期望”——“期望值”也许与每一个结果都不相等。期望值是该变量输出值的平均数。期望值并不一定包含于变量的输出值集合里。

大数定律规定，随着重复次数接近无穷大，数值的算术平均值几乎肯定地收敛于期望值。

2、离散型数学期望：

如果随机变量只取得有限个值或无穷能按一定次序一一列出，其值域为一个或若干个有限或无限区间，这样的随机变量称为离散型随机变量。离散型随机变量的一切可能的取值与对应的概率乘积之和称为该离散型

随机变量的数学期望[2] (若该求和绝对收敛），记为。它是简单算术平均的一种推广，类似加权平均。

公式

离散型随机变量X的取

为，为X对应取值的概率，可理解为数据出现的频率，则：

例子

某城市有10万个家庭，没有孩子的家庭有1000个，有一个孩子的家庭有9万个，有两个孩子的家庭有6000个，有3个孩子的家庭有3000个。则此城市中任一个家庭中孩子的数目是一个随机变量，记为X。它可取值0，1，2，3。其中，X取0的概率为0.01，取1的概率为0.9，取2的概率为0.06，取3的概率为0.03。则，它的数学期望

，即此城市一个家庭平均有小孩1.11个。

定理：

设Y是随机变量X的函数：（是连续函数）它的分布律为

若

绝对收敛，则有:

3、连续性数学期望

设连续性随机变量X的概率密度函数为f(x)，若积分绝对收敛，则称积分的值为随机变量的数学期望，记为E(X)。[2]

若随机变量X的分布函数F(x)可表示成一个非负可积函数f(x)的积分，则称X为连续性随机变量，f(x)称为X的概率密度函数（分布密度函数）。

数学期望完全由随机变量X的概率分布所确定。若X服从某一分布，也称是这一分布的数学期望。

定理

若随机变量Y符合函数，且绝对收敛，则有：[2]

该定理的意义在于：我们求时不需要算出Y的分布律或者概率密度，只要利用X的分布律或概率密度即可。上述定理还可以推广到两个或以上随机变量的函数情况。设Z是随机变量X、Y的函数（g是连续函数），Z是一个一维随机变量，二维随机变量（X，Y）的概率密度为，则有：

4、性质：

设C为一个常数，X和Y是两个随机变量。以下是数学期望的重要性质：[2]

1.

2.

3.

4.当X和Y相互独立时，