11条件数学期望(北大)
条件期望资料
析等。
• 可以基于矩生成函数进行求解，如政策效果最大化分析等。
⌛️
方法的优缺点
• 优点：有助于中央银行更好地评估政策工具的效果和风险，从而制定更有效 Nhomakorabea货币政策。
• 缺点：计算过程可能较为复杂，且需要已知货币政策的政策效果分
布。
05
条件期望在其他领域的应用
心理和行为规律。
• 缺点：计算过程可能较为复杂，且需要已知消费者的偏好分布。
消费者行为分析的基本问题
• 消费者行为分析是研究消费者在购买、使用和处理商品及服务过程中
的心理和行为规律的方法。
• 条件期望在消费者行为分析中的应用主要是计算消费者在已知某个条
件下，对商品或服务的期望效用。
条件期望在消费者行为分析中的求解方法
知某个条件下，对投资项目的期望收益。
02
条件期望在企业投资决策中的求解方法
• 可以基于概率分布进行求解，如风险调整收益分析、概
率调整收益分析等。
• 可以基于矩生成函数进行求解，如收益最大化分析等。
03
方法的优缺点
• 优点：有助于企业更好地评估投资项目的风险和收益，
从而做出更合理的投资决策。
• 缺点：计算过程可能较为复杂，且需要已知投资项目的
02
条件期望的计算方法
• 当Y是离散随机变量时，条件期望可以通过求和计算：
E(Y|X=x) = ∑y * P(Y=y|X=x)
• 当Y是连续随机变量时，条件期望可以通过积分计算：
E(Y|X=x) = ∫y * P(Y=y|X=x) dy
03
条件期望的性质
• 非负性：E(Y|X) ≥ 0，因为Y的平均值总是非负的。
3-1 数学期望11111111111#
实例２ 如何确定投资决策方向?
某人有10万元现金，想投资于某项目，预 估成功的机会为 30%，可得利润8万元 ， 失败 的机会为70%，将损失 2 万元．若存入银行， 同期间的利率为5% ，问是否作此项投资?
解 设 X 为投资利润，则
X 8 2 p 0.3 0.7
E (X ) 8 0 .3 2 0 .7 1 (万 )存,入元 银行的利息:
g(x)f(x)dx, X连续型
推广 设随机变量Z 是随机变量X,Y 的连续函数Ｚ=g(X,Y)，
则
g(xi,yj)pij,
联合分布律(X,Y)离 散
E (Z)E[g(X,Y)]j1 i1
g(x,y)f(x,y)dd x,y联合(X 密度,Y)连 续
9
0.05
0.10 0.35
10
0
0.20 0.10
33
(2) E [mX a,Y x ) ](
maxx(i, yj)pij
j1 i1
7 0.05 9 0.05 10 0.10
9 0.05 9 0.10 10 0.35
10 0 10 0.20 10 0.10
E (Y )E [g (X ) ] g (x )f(x )d.x
例7 设随机变量X 的分布律为
X -1 0 1 2 pk 0.1 0. 2 0.4 0.3
求 E(2X - 1), E(X 2).
解 E(2X -1) = [2(1)1]0. 1 + + (211)0. 4 +
试验次数很大时,
频率会接近于概率pk
函数期望例题
法一：g x 0, x 0, Y g X
1, x 0.
E
g
X
g
x
f
x dx
2
1
g
x
1 3
dx
0 1 1 dx
2
1
1 dx
1
1
3
03
3
Chap4.1 数学期望
1, X 0,
例3 X U 1, 2, Y g X 0, X 0,
EY
解：
f
X
x
1
3
,
1 x 2, 1,
x2 f
x dx
x2
1
x
e dx
0
0
x2d
e
x
0
x2
x
e
2
1
x
xe dx
2 2
0
0
Chap4.1 数学期望
1, X 0,
例3 X U 1, 2, Y g X 0, X 0,
EY
解：f
X
x
1
3
,
1 x 2,
0, 其他
1, X 0.
E
g
X
g
x
f
x
dx
1, x 0,
例1
Y X
1
②
2
0 0.2 0.3
1 0.4 0.1
EY, E(XY)
E g X ,Y g xi , yj pi j ij
解： Y
1
0.6
2 0.4 ,
XY
0 1 2
0.5
0.4
0.1
EY 1 0.6 2 0.4 1.4
E XY 0 0.5 1 0.4 2 0.1 0.6 或 E XY 010.2 0 20.3
11条件数学期望(北大)
fY
(
y)
=
⎪⎧3(1 ⎨ ⎪⎩0,
−
y ),
0< y<1 其他
当0<y<1时
⎧1 fX|Y ( x | y) = ⎪⎨1 −
, y
⎪⎩0,
y< x<1 其他
mX|Y ( y)
=
E(X
|Y
=
y)
=
1 2
(1 +
y)
得 E( X |Y ) = 1 (1 + Y ) 2
9
二. 性质
根据随机变量函数的期望公式, 有 离散型
(1) E(c|X)=c
(2) E(aY1+bY2|X)=aE(Y1|X)+bE(Y2|X) (3) 若X与Y相互独立, 则E(Y|X)=E(Y)
(4) E[E(g(X,Y)|X)]=E[g(X,Y)] 特别地, E[E(Y|X)]=E(Y)
(5) E[g(X)Y|X)]=g(X)E(Y|X) (6) 对任意的g(⋅), E{[Y-E(Y|X)]2}≤ E{[Y-g(X)]2}
+∞ +∞
∫ ∫ = (ay1 + by2 ) f(Y1,Y2 )|X ( y1, y2 | x)dy1dy2 −∞−∞
∫ ∫ =
+∞+∞
(ay1
−∞−∞
+ by2 )
f
(
x, fX
y1, y2 (x)
)
dy1dy2
12
∫ ∫ ∫ ∫ +∞+∞
= a y1
−∞−∞
f
(
x, fX
y1, y2 (x)
y) dy
数学期望与方差的计算
数学期望与方差的计算引言数学期望与方差是统计学中两个重要的概念。
它们是描述一个随机变量分布特征的常用指标，对于理解和分析数据具有重要意义。
本文将介绍数学期望与方差的概念、计算方法以及它们的应用。
数学期望数学期望又称平均值，是描述一个随机变量的平均水平的指标。
对于离散型随机变量，数学期望的计算公式为：$$ E(X)=\\sum_{i=1}^n x_i p_i $$其中，X为随机变量，x i为随机变量可能取的值，p i为随机变量取每个值的概率。
对于连续型随机变量，数学期望的计算公式为：$$ E(X)=\\int_{-\\infty}^{+\\infty} x f(x) dx $$其中，f(x)为随机变量的概率密度函数。
数学期望可以理解为在大量重复实验中，随机变量平均取值的水平。
方差方差是描述一个随机变量分散程度的统计指标。
方差越大，随机变量的取值越分散；方差越小，随机变量的取值越集中。
方差的计算公式为：Var(X)=E[(X−E(X))2]方差可以理解为每个随机变量与其期望的偏差的平方的加权平均。
数学期望与方差的计算方法离散型随机变量对于离散型随机变量，计算数学期望的方法如下：1.计算每个随机变量取值对应的概率。
2.将随机变量取值与对应的概率相乘。
3.将所有结果相加，得到数学期望。
计算方差可以使用以下方法：1.计算数学期望。
2.将每个随机变量取值与数学期望的差值的平方相乘。
3.将所有结果相加，得到方差。
连续型随机变量对于连续型随机变量，计算数学期望的方法如下：1.计算随机变量的概率密度函数。
2.将随机变量的取值与概率密度函数相乘。
3.对结果进行积分，得到数学期望。
计算方差可以使用以下方法：1.计算数学期望。
2.将随机变量的取值与数学期望的差值的平方与概率密度函数相乘。
3.对结果进行积分，得到方差。
数学期望与方差的应用数学期望与方差作为描述随机变量特征的指标，在统计学和概率论中有重要的应用。
数学期望在实际问题中可以用于计算平均值，如统计学中的样本均值就是数学期望的一种估计。
数学期望的性质与条件期望
1 4 4 12 4 1 1 1 E 0 1 2 E 0 1 2 1 9 9 9 9 3 4 2 4 7 E ( ) E E , 由于 与 独立， 所以 43 E( 2 ) E( ) E E 1 E ( ) E E 32 1 1 1 3 2 2 2 2 求E ( ) ? E ( ) 0 1 2 4 2 4 2
j
的条件期望, 记作
E{ xi },
有
同样可以定义给定的 y j 时关于 的条件期望为
E y j xi P{ xi yi }
i
E xi y j P{ y j xi }
对于二元连续型随机变量 ( , ), 定义
i , E E ( i ) E i ma mb(1 p)1 .
i 1 i 1 i 1
m
m
§3.3 条件期望 对于二元离散型随机变量 ( , ), 在 取某一个定值, 的数学期望, 称此期望为 比如 xi 的条件下, 求 给定 xi 时关于
n
n
i 1
6 若与独立，则 E ( ) E E
证 假设 , 是离散型随机变量， 由于 与 独立
(1) i ( 2) j
所以pij p p , E ( ) xi y j pij xi y j p(i 1) p(j2)
i j i j
于是E ( ) E E 0.
随机变量函数的期望 : 定理:设为r .v, f ( ),并且E[ f ( )]存在, 则
(1)若
是离散型随机变量， 其概率分布为
【素材】高中数学北师大版选修11第一章教材点拨充分条件与必要条件word素材
【关键字】素材充分条件与必要条件教材点拨一、充分条件命题的条件和结论是构成命题的两个部分，并且条件和结论可以互相转化。
当一个命题为假命题时，可以说条件不能推出结论；而当命题为真命题时，可以说由此条件能推出结论。
所以一个命题从条件和结论的角度看，条件与结论有着一定的关系，即：由条件能否推出结论？如果由命题的条件能推出结论，那么命题就是真命题，此时条件就叫结论的充分条件。
物理模型的直观解释：如图电路图，当开关A紧闭时，灯泡B亮，而当灯泡B亮时，开关A却不一定是紧闭的；即要使灯泡B亮，只要开关A紧闭着一个条件就够了，我们就称“开关A紧闭”是“灯泡B亮”的充分条件。
一般地，“若，则”是一个真命题，是指由通过推理可以得出，即由可推出，记作，那么，就称条件是结论的充分条件（sufficient condition）。
“若，则”是一个真命题，是指由通过推理可以得出，即由可推出，记作，那么，就称是的充分条件（sufficient condition）。
例如：①，那么，“”是“”成立的充分条件；②，那么，“”是“”成立的充分条件；③三边对应相等的两个三角形全等：“三边对应相等”是“两个三角形全等”的充分条件；④“”是函数为幂函数的充分条件；警示：充分条件就是某一个结论成立应该具备的条件，当命题具备此条件时，就可以得出此结论，或者要是此结论成立，只要具备此条件就够了，而当命题不具备此条件时，结论也有可能成立。
例如，当时，成立，但是，当时，也可以成立，即时，也成立，所以，是成立的充分条件，也是成立的充分条件。
【例】仿照示例改写下列命题，并判断条件是否为充分条件：示例：若，则，可以改写成：；是充分条件；（1）个位数字是0的自然数能被5整除；（2）对角线相等的四边形是矩形；（3）与同一平面所成的角相等的两条直线平行；（4）若定义域为的函数为奇函数，则解：（1）个位数字是0的自然数这个自然数能被5整除；是充分条件；（2）四边形的对角线相等这个四边形是矩形；不是充分条件；（3）两条直线与同一平面所成的角相等这两条直线平行；不是充分条件；（4）定义域为的函数为奇函数；是充分条件。
1.1-1.2随机变量的定义及条件数学期望PPT优秀课件
则称n个随机变量是相互独立的。
随机变量的独立性
设 X1,X2, ,Xn 的分布函数分别为 F 1 (x )F ,2 (x ) ,,F n (x )， 它们的联合分布函数为 F(x1,x2, ,xn)，则上式等 价于
F ( x 1 , x 2 , , x n ) F 1 ( x ) F 2 ( x ) F n ( x )矩函数一个来自机变量矩函数原点距
中心距
n
mk E X K xik PX xi 离散型 i1
x
k
fX
x dx
k E X EX k
连续型
n
xi EX k PX xi i1
设离散型随机变量X，一切可能值为x1,x2, ,xn，记
PnP(Xxn)
称 P1,P2, ,Pn 为X的分布列，也称为X的概率函数。
连续型随机变量
定义：对于随机变量X，若存在非负函数 f( x )，
且 f(x)dx ，使X取值于任意区间的概率 b Pa Xbf(x)dx a
称X为连续型随机变量。
随机向量及其分布
定义：
设 是一样本空间， X 1 ()X ,2 () ,,X n ()
是定义在这个样本空间上的n个随机变量，称
X () X 1 () ,X 2 () , ,X n () 为 上的一个n维
随机向量。
随机向量的联合分布函数
设 X (X 1 ,X 2 , ,X n)是样本空间 上的n维随机 向量。称n元函数
描述概率分布的离散程度。
矩函数
⑤ 相关函数 ⑥ 协方差
条件数学期望及其应用
条件数学期望及其应用The ways of finding the inverse matrix and it ’s applicationAbstract ：The passage lists the ways of calculating the first type of curvilinear integral,and discusses it ’s application in geometry and in physical.Keywords ：Curvilinear integral;Continuous;Integrable; Lateral area.0前言在曲线积分中，被积函数可以是标量函数或向量函数.积分的值是路径各点上的函数值乘上相应的权重（一般是弧长，在积分函数是向量函数时，一般是函数值与曲线微元向量的标量积）后的黎曼和.带有权重是曲线积分与一般区间上的积分的主要不同点.物理学中的许多公式在推广之后都是以曲线积分的形式出现.曲线积分是物理学中重要的工具.1条件数学期望1.1条件数学期望的定义定义1 设X 是一个离散型随机变量，取值为},,{21 x x ，分布列为},,{21 p p .又事件A 有0)(>A P ，这时为在事件A 发生条件下X 的条件分布列.如果有 则称A i ii p x A X E |]|[∑=．为随机变量X 在条件A 下的条件数学期望（简称条件期望）．定义2 设X 是一个连续型随机变量，事件A 有0)(>A P ，且X 在条件A 之下的条件分布密度函数为)|(A x f ．若⎰∞∞-∞<dx A X xf )|(称为随机变量X 在条件A 下的条件数学期望．定义3 设),(Y X 是离散型二维随机变量，其取值全体为 },2,1,),,{( =j i y x i i ， 联合分布列为,2,1,),,(====j i y Y x X P p i i ij ，在i y Y =的条件下X 的条件分布列为 ,2,1),|(|====i y Y x X P p i i j i 若 ∞<∑j i iip x|，则为随机变量X 在i y Y =条件下的条件数学期望．定义 4 设),(Y X 是连续型二维随机变量，随机变量X 在y Y =的条件下的条件密度函数为)|(|y x p Y X ，若∞<⎰∞∞-dx y x p x Y X )|(|，则称为随机变量X 在}{y Y =条件下的条件数学期望． 1.2条件数学期望的性质定理1 条件期望具有下面的性质：（1） )|()|()|(G bE G aE G b a E ηξηξ+=+， 其中R b a ∈,，且假定)|(G b a E ηξ+存在；（2） )()]|([ξξE G E E =；（3） 如果ξ为G 可测，则ξξ=)|(G E ； （4） 如果ξ与σ代数G 独立，则ξξE G E =)|(;（5） 如果1G 是σ代数G 的子σ代数，则)|(]|))|([(11G E G G E E ξξ=； （6） )(不等式Jensen 如果f 是R 上的下凸函数，则)|)(())|((G f E G E f ξξ=；定理2 条件期望的极限定理：（1）单调收敛定理：若s a n ..ξξ↑，则在})|({-∞>G E ξ上，则)|(lim )|(G E G E n n ξξ∞→=．（2）Fatou 引理：若s a Y n .,≤ξ，则在})|({-∞>G E ξ上，则)|(sup lim )|sup (lim G E G E n n ξξ=．（3） 控制收敛定理：若Y s a Y n ,.,≤ξ可积，且P s a n 或.,ξξ→，则0)|(lim =-∞→G E n n ξξ．1.3条件数学期望的求法在现代概率论体系中，条件期望的概念只是一种理论上的工具，在其定义中没有包含算法，所以求条件期望概率往往很难，需要技巧．本文对两种不同情形下的条件期望的求法做出讨论．方法一：利用问题本身所具有的某种对称性求解．例1设n ξξξ,,,21 时独立同分布随机变量．∞<ξE ，记∑==nk k S 1ξ，求n k S E k ,,2,1,|( =ξ．解 易证j i S E S E j i ≠=),|()|(ξξ．则 即方法二：利用线性变换将随机变量分解为关于作为条件的σ域可测或独立的随机变量之和，利用条件期望的性质求和．例 2 设有正态样本n X X ,,1 ),0(2σN ，统计量∑==ni k X T 1，求)|(2T X E k ．解 令∑==nk k X S 12，则)|(1)|(2T S E n T X E k =．作正交变换：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n X X X C Y Y Y Y 2121，其中C 为正交阵，第一行为)1,,1(nn ，则有n TI CC Y X Cov EY ===),(,0，即∑=nk k Y T 22与独立，k Yn k N ,,2),,0(2=σ，从而∑∑∑===+===nk k nk knk kY n T Y X S 2221212，2T 关于)(T σ可测，所以 由以上例题可以看出，条件期望的求法是一个复杂的问题，我们必须从问题本身出发化简，将其转化为可测或独立于σ代数的随机变量，然后运用条件期望的性质求解． 1.4全期望公式设事件n B B B ,,,21 是一完备事件组，即n B B B ,,,21 互不相交，n k B P k ≤≤>1,0)(，且Ω=⋃=k nk B 1，由全概率公式有这时若∞<X E ,则有如同全概率公式一样，上式可称为全期望公式．若n B B B ,,,21 是一个完备事件组，则也有全期望公式 （注意，X 的密度有公式))()|()(1k nk k B P B x f x f ∑==．2条件数学期望的应用2.1条件数学期望在实际问题中的应用条件数学期望在概率论与数理统计中有重要的作用，在实际问题中也有大量应用．例如人们常说体育要从娃娃抓起．某少体校要在小学中选拔一批小学生进行重点培养，为我国篮球，排球运动准备后备力量．对一个运动员来说，他（她）的身高显然是一个非常重要的因素．于是问题产生了，在一大群各项素质（包括目前的身高）都差不多的七八岁的小朋友中，用什么办法来选拔一批将来（十年以后）身材会比较高的幼苗进行重点培养呢？科学工作者发现了小孩的足长与他（她）长大后的身高之间有密切的关系．我国的体育科研人员对16个省市的几万名青少年儿童进行了观测，建立了下述预测公式：成年身高=⨯k （少儿当年足长） （单位：cm ）其中系数k 对不同性别，不同年龄组的儿童有不同的数值，其具体数值如下表：你大概很想知道上述预测公式是如何建立的？理论依据是什么？其实这正是现在所讨论的条件数学期望，对n （n 取定）岁的少年儿童来说，成年后的身高为X ，当年足长为Y 则),(Y X 是一个二维随机变量．一般认为他们的联合分布是正态分布．如果我们已知Y 的值，可以近似地以Y 的条件下X 的条件数学期望来估计X 的值，即用]|[Y X E 作X 的预测值．这时]|[Y X E 是Y 的线性函数，这就是成年身高的预测公式．例3 一全自动流水线正常生产时，产品中的一等品率为1p ，二等品率为2p ，等外品（即次品）率为3p ，1321=++p p p ．为保证产品质量，厂方规定当生产出一件等外品时，该流水线即停工检修一次．已知首次检修之前共生产了n 件产品，求n 件产品中一等品件数的数学期望．解 设X 表示前n 件产品中一等品的件数，令}{件产品首次出现等外品第n A =．据题意是要求]|[A X E ．因为在条件A 下，前1-n 件产品中没有等外品，这时1-n 件产品中的一等品率是211p p p +，而二等品率是212p p p +，因此这是参数为),1(211p p p n +-的二项分布．即2111|)1(]|[p p p n kp A X E n k A k +-==∑-=．实际上我们认为在条件A 下，前1-n 次试验是1-n 重贝努里试验，试验成功（取到一等品）的概率是211/p p p +．从直观意义看这是明显的，这也正是直接讨论条件分布的简捷之处． 2.2全期望公式的应用例4 在贝努里试验中，每次试验成功的概率为p ，试验进行到出现首次成功时停止．求平均需试验多少次？解 设X 为首次成功需做试验的次数，问题是求EX ．定义 由全期望公式)0(]0|[)1(]1|[==+===Y P Y X E Y P Y X E EX ，已知p Y P p Y P -====1)0(,)1(，在1=Y ，即首次试验成功的条件下，自然有1=X ，因此1]1|[==Y X E ．在0=Y 即首次首次实验失败的条件下，从第二次实验开始可以看作重新开始，因此，EX Y X E +==1]0|[．第一项的1是已经试验了一次，以后的情况与从头开始一样．所以 )1)(1(EX p p EX +-+=， pEX 1=． 原来求数学期望需要知道分布，但在上例的做法中可以不必知道分布，充分利用了随机变量的特性，并借助全期望公式，简化了计算，这是真正有概率特点的做法．例5 设电力公司每月可以供应某电厂的电力服从]30,10[（单位：万度）上的均匀分布，而该工厂每月实际生产所需要的电力服从]20,10[上的均匀分布．如果工厂能从电力公司得到足够的电力，则每一万度电可以创造30万元利润，若工厂从电力公司得不到足够的电力，则不足部分由工厂通过其他途径自行解决，每一万度电只有10万元利润．问该厂每月的平均利润为多大？解 设电力公司每月供应电厂的电力为X （万度），工厂每月实际需要的电力为Y （万度），工厂每月的利润为T （万元）．由题设条件知 于是当3020≤≤x 时，有 由式所以该工厂平均每月的利润为433万元． 2.3预测与回归对于二维随机变量),(Y X ，如果已知其中一个随机变量Y 的值，要根据这一信息对另一个随机变量X 的取值作出预测，这样的问题在人们的实践中可以说是比比皆是，常称它们为“预测问题”．前面我们提议用]|[Y X E 作为X 的预测值，这样做的依据是什么呢？一般地，我们可以选取Y 的一个函数)(Y g 作为X 的预测值．这时预测的误差是)(Y g X -，由于绝对值运算在数学上处理不方便，我们用2)]([Y g X -代替它．自然应该使误差尽可能地小，但2)]([Y g X -是一个随机变量，因此很自然的要求它的平均值2)]([Y g X E -尽可能地小．这样的准则就称为均方误差最小准则．假设),(Y X 为连续型二维随机变量，密度函数为),(y x f ，则对每个y ，当]|[)(y Y X E y g ==时，能使dx y x f y g x Y X )|()]([|2⎰∞∞--达到最小．因此取]|[)(Y X E Y g =时，2)]([Y g X E -达到最小，这就证明了，按照均方误差最小准则，]|[Y X E 是X 的最佳预测．这就是选取条件数学期望作X 的预测值的理论依据．对离散型情形也可用相同的方法论证上述结论．函数]|[)(Y X E Y g =称为X 关于Y 的回归函数．一般情况下，求)(y g 是比较困难的．因此，把预测问题简化，选取Y 的线性函数b aY +作为X 的预测值．同样采用均方误差最小准则，选取常数b a ,使得取最小值．我们早已知道，若a 固定，时，2][b aY X E --取最小值][aY X D -.我们只需求a ，使DX Y X a DY a aY X D +-=-),cov(2)(2 达到最小值，即a 应取为DYY X a ),cov(=， 我们称为X 关于Y 的回归直线．参考文献:[1] 中山大学数学系.概率论与数理统计[M].高等教育出版社.2002. [2] 周概容.概率论与数理统计[M].高等教育出版社.1984.[3] 茆试松.程依明.濮晓龙.概率论与数理统计教程[M].高等教育出版社.2004. [4] 孙荣恒.应用概率论[M].科学出版社.2001.[5] 何声武.概率论与数理统计[M].经济科学出版社.1992.。
11讲数学期望及性质,函数的数学期望
E (X )np .
例2：某种产品次品率为 0.1。检验员每天检验 4 次, 每次随机抽取10件产品进行检验，如发现次品数大 于 1, 就调整设备。 若各件产品是否为次品相互独 立, 求一天中调整设备次数的期望。 解：用X 表示10件产品中的次品数，则 X~B(10, 0.1)， 每次检验后需要调整设备的概率为
dx 0 2 ye 2 y dy
1 1 4 2 1 . 8
4.1.4 期望的性质 (1). 设C是常数，则E(C)=C;
(2). 若k是常数，则E(kX)=kE(X); (3). E(X1+X2) = E(X1)+E(X2);
n n
注意:由E(XY)=E(X)E 不一定能推出X,Y独
[ X E (X 推广： E i ] i )；
i 1 i 1
(4). 设 X, Y 相互独立，则 E(XY)=E(X)E(Y);
[ X E (X 推广： E i] i)
i 1 i 1
n
n
(诸Xi 独立时)。
期望性质的应用
例9: 求二项分布的数学期望。
分析：若 X ~ B(n, p)，则 X 表示n重贝努 里试验中“成功”的次数。
pP {X 1 } 1 P{X 1 } 1 P{X 0} P {X 1 } 1 0.910 100.10.99 0.2639 .
用 Y 表示一天中调整设备的次数，则 Y~B(n, p)，其中n=4, p=0.2639。所求期望
E ( Y ) np 4 0 . 2639 1.0556 .
3 3 3 2 1 1 P { X 3 } 3 ,P { X 4 } . 3 4 4
于是，
4 3 3 2 2 1 1 E ( X ) 1 3 2 3 3 3 4 3 4 4 4 4 25 . 16
条件分布与条件数学期望
(X，Y )为一般二维随机向量
重要结论
如果 X，Y 相互独立，则 F Y | X ( y | x )= F Y ( y )。
证明
如果 X，Y 相互独立，则 F (x, y )= FX (x) FY ( y ), 进而， F (xε,y)-F (x ,y)
F Y |X(y|x)ε l 0 iF m (xε, )-F (x , ) lim F X(xε)F Y(y)-F X(x)F Y(y) ε 0 F X(xε)F Y( )-F X(x)F Y( )
.
例题 3
一个工人看管分布在一直线上的 n 台同 类型机床，相求工人两次
调整机床之间所走路程的数学期望。
设Y ：工人两次调整机床之间所走路程
X ：第一次调整的机床号码 Y | X=i (i -1)a … a 0 a … (n- i) a
P 1/n … 1/n 1/n 1/n … 1/n
条件分布函数
lim P{Yy|xXxε} ε 0
的
计算公式
F X |Y(x|y)ε l 0 iF m F (( x,,y y ε ε) )- -F F ( ( x,,y y ))
F Y |X(y|x . )ε l 0 iF m F ((x x ε ε,, y) )- -F F ( (x x,, y))
( 5 ) 全数学期望公式 E { E ( Y | X ) } = E ( Y )
(X,Y)连续 E (Y|： x) yY f|X(y|x)dy
-
全数学期望公式的证明：假设(X，Y )为二维连续型随机向量，得
E{E(Y|X)} E(Y|x)fX(x)dx {[yY f|X(y|x)d]yfX(x)} dx
若对于固定的 x ， f X ( x ) > 0，则
数学期望课件
lx
E ( X ) xf ( x)dx
0
lxe
dx
1
0
xdelx
[ xe
《概率统计》
lx 0
|
e
0
lx
dx ] e
0
lx
dx
l
.
下页 结束
第四章 随机变量的数字特征
何谓随机变量的数字特征？ 通常是指与随机变量有关的，虽然不能完整地 刻划随机变量，但却能较为集中地反映随机变量某 些方面的重要特征的一些数值.
1. 数学期望的概念及性质
2. 方差的概念及性质 3. 常见分布的数字特征 4. 协方差、相关系数的概念及性质
《概率统计》 返回 下页 结束
E (Z ) E[ g ( X , Y )]
特别 E ( X )
g ( x, y) f ( x, y)dxdy .
xf ( x, y)dxdy ; E (Y )
yf ( x, y)dxdy.
y
例8．设二维随机向量(X,Y)的概率密度为
§4.1 数学期望
一、离散型随机变量的数学期望 引例．有甲、乙两射手各射击100次，他们的射击技术用 下表给出：
击中环数 次 数 频 率 击中环数 次 数 频 率 8 30 0.3 8 20 0.2 甲射手射击情况 9 10 0.1 乙射手射击情况 9 50 0.5 10 60 0.6 10 30 0.3
E ( X ) xk pk .
k 1
高中数学 第1章 §2 第1课时充分条件与必要条件课件 北师大版选修11
典例探究学案
第十九页，共41页。
充分条件(chōnɡ fēn tiáo jiàn)
已知 p：2x＋m>0，q：x2－4x>0，若 p 是 q 的充 分条件，则实数 m 的取值范围是________．
[答案] (－∞，－8] [解析] p：x>－m2 ，q：x<0 或 x>4，由条件知 p⇒q， ∴－m2 ≥4，∴m≤－8.
必要条件(bìyào tiáo jiàn)
下列命题中是真命题的是( )
①“x>3”是“x>4”的必要条件；
②“x＝1”是“x2＝1”的必要条件；
③“a＝0”是“ab＝0”的必要条件；
④“函数 f(x)的定义域关于坐标原点对称”是“函数 f(x)为奇
函数”的必要条件．
A．①②
B．②③
C．②④
D．①④
A.
第二十七页，共41页。
充要条件
求证：关于 x 的方程 x2＋mx＋1＝0 有两个负实 根的充要条件是 m≥2.
[解析] (1)充分性：∵m≥2，∴Δ＝m2－4≥0， 方程 x2＋mx＋1＝0 有实根， 设 x2＋mx＋1＝0 的两根为 x1、x2， 由韦达定理知：x1x2＝1>0，∴x1、x2 同号， 又∵x1＋x2＝－m≤－2，∴x1、x2 同为负根．
第二十四页，共41页。
[方法规律总结] 1.判断p是q的必要条件(bì yào tiáo jiàn)， 就是判断命题“若q，则p”成立；
2．p是q的必要条件(bìyào tiáo jiàn)理解要点： ①有了条件p，结论q未必会成立，但是没有条件p，结论q 一定不成立．
第二十五页，共41页。
②如果(rúguǒ)p是q的充分条件，则q一定是p的必要条件． 真命题的条件是结论的充分条件；真命题的结论是条件的 必要条件．假命题的条件不是结论的充分条件，但是有可能是 必 要 条 件 ． 例 如 ： 命 题 “ 若 p ： x2 ＝ 4 ， 则 q ： x ＝ － 2” 是 假 命 题．p不是q的充分条件，但q⇒p成立，所以p是q的必要条件． 3．推出符号“⇒” 只有当命题“若p，则q”为真命题时，才能记作“p⇒q”．
概率论——数学期望
第四章 随机变量的特征数每个随机变量都有一个概率分布（分布函数，或分布律、概率密度），这个分布完整地刻画了随机变量的统计规律性。
然而在许多实际应用问题中，人们更关注这个概率分布的一些综合特征，这些综合特征是概率分布某方面信息的概括并且可用一个数值表示。
这种由随机的分布确定的，能刻画随机变量某方面特征的常数统称为数字特征或特征数。
例如，考虑某种元件的寿命，如果知道了其寿命X 的概率分布，那么就把握了元件寿命的所有概率信息。
比如可以计算出寿命在任一指定范围内的概率。
根据这一分布，还可以确定用以反映寿命平均水平的特征数-数学期望，以及用以刻画寿命值的散布程度（或稳定程度）的特征数-方差.这些特征数虽不能对寿命状况提供完整刻画,但却往往是人们最为关注的一个方面.无论在理论上还是在实用中，这些特征数都有着极重要的意义.尤其是实用中,概率分布虽很“完美”,但难以把握;而特征数则容易把握,并且特征数是以一个“醒目”的数值刻画随机变量的某种特征,这也使得应用方便. §4.1 随机变量的数学期望 一. 数学期望的定义定义 设离散型随机变量X 的分布律为i i p x X P ==}{， ,2,1=i如果∞<∑∞=1||i i ip x则称i i i x p ∑∞=1为X 的数学期望，记为)(X E ，即∑∞==1)(i i i x p X E若级数∑∞=1i i i x p 不绝对收敛，则称X 的数学期望不存在。
由以上定义可看出，若X 只取有限个值，则它的数学期望总是存在的。
而若X 取可列个值，则它的数学期望不一定存在，是否存在就看级数∑∞=1i ii px 是否绝对收敛，这个要求的目的在于使期望值唯一。
因为若无穷级数∑∞=1i ii px 只是条件收敛，则可通过改变这个级数各项的次序，使得改变后的级数不收敛或收敛到任意指定的值，这意味着这个级数的和存在与否，以及等于多少，与X 的取值的排列次序有关，而)(X E 作为刻画X 取值的平均水平的特征数，具有客观意义，不应与X 的取值的排列次序有关。
概率论 第六章条件数学期望和特征函数
1 ,y 1− x
∈ (x, 1), x ∈ (0, 1)
2 6.8 解 由定理 2.1 知 X |{Y = 63} ∼ N (µ1 + ρ(σ1 /σ2 )(63 − µ2 ), (1 − ρ2 )σ1 ), Y |{X = 1.7} ∼ 2 2 N (µ2 + ρ(σ2 /σ1 )(1.7 − µ1 ), (1 − ρ )σ2 ) 故 2 (a)EY |{X = 1.7} = µ2 + ρ(σ2 /σ1 )(1.7 − µ1 ), Y |{X = 1.7}的标准差为 (1 − ρ2 )σ2 ,
P (Y =y,N =n) P (N =n)
=
βα 1 Γ(n+α) n!Γ(α) (β +1)n+α
f (y,n)dy
=
(β +1)n+α y n+α−1 exp(−(β +1)y ) dy, Γ(α+1)
(β +1)n+α y n+α−1 exp(−(β +1)y ) . Γ(α+1)
6.16 解 (a) 设 Xi 为第 i 个人的等待时间, 则第一个电话的到达时间为 X(1) = min(X1 , X2 , . . . , Xn ), 最后一个电话的到达时间为 X(n) = max(X1 , X2 , · · · , Xn ), 对 ∀x > 0 有 P (X(1) ≤ x) = = = = = = 1 − P (X(1) > x) 1 − P (X1 > x, X2 > x, · · · , Xn > x) 1 − P (X1 > x)P (X2 > x) · · · P (Xn > x) 1 − P (X1 > x)n 1 − [1 − F (x)]n 1 − exp(−nxβ ),
《数学数学期望》ppt课件
1500x2 x3 15002
/
3
3000 1500
500 2000 1000 1500
例: 由5个相互独立工作的电子装置，它们的寿命 服从同一指数分布，其概率密度为
1) 若将5个装置串联成整机，求整机寿命N的数学期望； 2) 若将5个装置并联成整机，求整机寿命M的数学期望；
解： 的分布函数为
例4 设X~U(a, b), 求 E(X).
解
X的概率密度为
f
(x)
b
1
a
,a
x
b
0, 其它
E(X)
xf ( x)dx
b
x
dx a b
a ba
2
例5 设X服从指数分布，其概率密度为
ex ,
f (x) 0,
求 E(X )
x0
( 0)
x0
E(X)= 1/
例4.1.4 假定乘客在公交车站等车的 时间 X ( 分钟) 服从参数 0.2 的指数分布，
N
NN
N
由于概率是频率的稳定中心，以E( X甲）表示甲的平均击
中环数, 则 E（X甲） 8 0.3 9 0.110 0.6 9.3
E（X乙） 8 0２. 9 0５. 10 0３. 9.1,
由于 E（X甲）>E（X乙）, 故认为甲射手的水平较高。
可以看出：平均值是以分布概率为权重的加权平均。
定义 设离散型随机变量X的概率分布为
P{X = xk }= pk ， k =1,2,3…
若级数 xk pk ，则称级数和 xk pk
k 1
k 1
为随机变量 X 的数学期望（或均值），记作E（X）
E( X ) xk pk k 1
《数学数学期望》课件
CATALOGUE
目 录
• 数学期望的基本概念 • 数学期望的性质与定理 • 数学期望的应用 • 特殊随机变量的数学期望 • 数学期望的扩展与展望
01
CATALOGUE
数学期望的基本概念
定义与性质
定义
数学期望是随机试验在大量重复 下出现的频率的稳定值。
性质
数学期望具有可加性、可数性、 线性性质等。
分位数与分位数函数
分位数
分位数是概率论中的一个概念，用于描述数据分布的位置特征。常见的分位数包括中位 数、四分位数等。分位数的计算和应用对于统计分析、数据挖掘等领域具有重要意义。
分位数函数
分位数函数是描述分位数与概率之间关系的函数。通过分位数函数，可以更方便地理解 和应用分位数的概念，从而更好地分析数据的分布特征。
通过计算投资组合的数学期望， 投资者可以了解投资组合的预期
收益，并据此做出投资决策。
数学期望在金融学中还用于资产 定价、风险管理、资本预算和股
票期权定价等领域。
在决策理论中的应用
在决策理论中，数学期望被用来评估 不同决策方案的预期结果。
数学期望在决策理论中还用于风险决 策、不确定性决策和多目标决策等领 域，以帮助我们做出更加科学和合理 的决策。
大数定律与中心极限定理
大数定律
当试验次数趋于无穷时，随机事件的频率趋于该事件 发生的概率。即 limn→∞P(|En−E)/n→0P(|En−E)/n→0limn→∞P(|En −E)/n→0=1。
中心极限定理
无论随机变量X1,X2,…,XnnX_1, X_2, ldots, X_{nn}Xi1,Xi2,…,Xinn的分布如何，当它们的数量趋于 无穷时，它们的平均值的分布趋于正态分布。即 limn→∞P(|En−μ)/σ≤z)=1−12z2lim_{n to infty} P(|En−μ)/σ≤z|)=1−12z2limn→∞P(|En−μ)/σ≤z|)=1 −12z2，其中En=1n∑i=1nXiEn = frac{1}{n} sum_{i=1}^{n} X_iEn=n1∑i=1nXi，μ是随机变量的均 值，σ是标准差，z是正态分布的分位数。
条件数学期望的定义归纳及其应用
第22卷第4期2019年7月高等数学研究STUDIES IN COLLEGE MATHEMATICSVol.22,No.4July,2019doi:10.3969/j.issn.1008-1399.2019.04.024条件数学期望的定义归纳及其应用冯明勇(天津财经大学珠江学院,天津301811)摘要给出条件数学期望的一般定义、经典定义6及随机变量关于一般5代数的条件数学期望的几何定义，并举例说明条件数学期望在均值回归中的应用.关键词条件数学期望&最佳预测；最佳均方逼近中图分类号O211文献标识码A文章编号1008-1399(2019)04-0091-02Definition and Application of Conditional ExpectationFENG Mingyong(Pearl River College,Tianjin University of Finance and Economics,Tianjin301811)Abstract This paper discusses the general definition,classic definition,and geometric definition of the conditional expectation.Two examples are given for the application of the conditional expectation in the mean reversion.Keywords conditional expectation,optimum prediction,square approximation1条件数学期望的定义定义1设X是一随机变量，事件A有P(A) >0,称E)A*-#4,P(X=(；)6(，-1,2,…为一维离散型随机变量X在条件(下的条件数学期望•称E[X A*-j—4f4|A)dz为一维连续型随机变量X在条件(下的条件数学期望•其中f4\A)为随机变量X在条件(之下的条件分布概率密度•当这里的随机事件(变成另一随机变量Y时,条件数学期望就变成以下便于计算的定义方式•定义2称E(X|Y=y)=#4i P(.X-4i Y=7为一维离散型随机变量x'y==条件下的条件数学期望•称ELX\Y==*-收稿日期：2018-12-15修改日期：2019-01-08作者简介：冯明勇0981—),女，山东聊城人，硕士，讲师，研究方向：应用数学,Email：tjfengmingyong@ £4*x\y4|=)dz连续型随机变量X'Y==条件下的条件数学期望.其中f x\Y4|=)为随机变量X 在条件Y==之下的条件分布密度函数•下面给出随机变量关于一般.代数的条件数学期望的几何定义：定义3设随机变量(fx|Y(4=)可测函数)Y "L2(0,F,P),F1是F的一子.代数，用E f—(•)表示L z(n,F,P)到闭子空间L z(n,F,P|f t)上的正交投影算子,称E f$(•)为Y关于子.代数F t的条件数学期.定义3中，LJ(O,F,P|f t)与L⑵0,F,P)都是Hilbert空间，前者为后者的闭子空间，Hilbert空间上的正交投影定理保证E f：(•)的存在唯一性[1].2条件数学期望在回归分析中的应用条件数学期望主要应用在回归分析的最优估计或者预测中,应用比较广泛的结论为“均方误差最小”定理,其表述形式及如何应用解决估计或者预测问题,本文以下面两种形式展开讨论•命题1设有随机变量X与Y,g(,4)是Borel函92高等数学研究2019年7月数，则E)Y—gU)y*X E)Y—E(Y\X)y*.命题1说明，在均方意义下，随机变量X已知条件下，E(Y X)是Y的最佳预测.即若能观察变量X 的取值4则E(Y|X=4是所有对Y的估计值中均方误差最小的一个,一般称函数*4)D E(Y|X=4)是Y对X的回归函数(均值回归).例1设顾客到达银行某一窗口等待服务的人数为服从参数2的泊松过程，问题(1)：在时间段(0,t]内，已经到达顾客等待的所有时间和的平均值；问题(2)：假设每分钟有3个顾客到达该银行，该窗口每8分钟有一名顾客被接待服务，求一天银行工作时间(9小时)内在银行该窗口由于等待服务而浪费的平均时间和.解设Xt表示在(0,t*内到达银行窗口的顾客数，则｛X(t),t>00为参数入的泊松过程.W,是第2个顾客到达的时刻，T,是第2个顾客等待的时间，则T,-t—W,.(1)在X(t)-n的条件下,”个顾客的到达时刻W1,…,w”的联合密度函数等于”个独立的[0,t*均匀分布的随机变量的顺序统计量的概率密度⑵.即XtE[#(t—W,)]2=18X(-#E[#(t—W,)\X(t)-n]P(X()-n) n=12=1-E(#W,)P(X()-n)n=12=1-tt—2]E[X()-t2(2)由题意，知A=3人/分钟，从而一天8/)、时工作时间客等服务浪费的均时间和是X60X9-6480(分钟).28一般化的回归问题：设随机变量Y与X1,X2,…X,有一定的相关关系，但不是确定的关系，一■般称Y被解释变量,X1,X2,-X t为解释变量.给定X1, X2,--X t的取值分别为41,4,-4,借助条件数学期望的几何定义,有下列“最优均方逼近”的结论.命题2设随机变量X1,X,-X t"L2(Q,F,P),Y"L2(Q,F,P),且F1=.(X1,X2,-X t)是F的一子.代数，则Y关于.代数F1-.(X1,X,…X t)的条件数学期望E(Y|F1)满足E [E(Y|F1)—Y*&E(Z—Y),其中％"L2(0,F,P|f1)且等号当且仅当Z-E(Y|F1-.(X1,X1,…X t))时即*(X1,X1,…,X t)-E(Y|F1=.(X1,X1,…,X t)是Y在LU0,F,P|f1)中的最优均方逼近例2从《中国统计年鉴》中取得外汇管理体制改革后的1994&2011年中国出口货物总额Y(亿元)、工业增加值X1(亿元)、人民币对美元的汇率X2(100美元)等数据作为样本.已知Y与其相关的X1X!的关为Y=—18231.58+0.135474X]+18.85348X Z+s 且4〜N(0,.])-N(0,533821.067S),求在工业和人汇率为(00000615)时口货总的佳解利用Y与其相关的影响因素X1,X的关系及命题2,可知在工业增加值X1和人民币对美元的汇率X2为X-(200000,615)时,出口货物总额的佳为E(Y|X)-E(—18231.58+0.135474X1+18.85348X Z+s|X) =—$823$58+0$35474X200000+18.85348X615+E(|X)-2(45&11+E(s)=20458$$求得的条件期望函数为E(Y\X)=—18231.58+0.135474X1+1&85348X,,也就是预测方程.该方程又是在给出随机变量Y, X—(X1,X z,…,X2一系列数据(y41,…,4), (2=12,•••")的情形下，可利用最小二乘法确定与所给数据相容的回归方程AY=E(Y)=—18231.58+0.135474X：+1&85348X,,其中回归系数0-(Z'Z)-1Z=及误差方差.2的无偏估计.2-—都可相应求出.本例中若给出n—2—$1994-2011年中国出口货物总额等相关数据，就可得到预测方程⑷.参考文献于林.条件数学期望概念教学的若干问题探讨中国电力教育2010(30)：75-77刘嘉银，王公恕•应用随机过程[M*科学出版社，2004.严士键，王隽釀，刘秀芳•概率论基础[M*.北京：科学出版社1999.曾五一，肖红叶•统计学导论[M*.科学出版社2013.。
数学期望E(x)D(x)
E(X)
2
,
E(siX n)
2
,
E ( X 2 ) x 2 f( x ) d x x 2 1 d x 2 ,
0
3
E [XE (X)2]E X2 2 0x221dx
2 12
.
完
例1: 有5个相互独立工作的电子装置，它们的寿命Xk(k=1， 2，3，4，5)服从同一指数分布，其概率密度为(θ>0)
随机变量X的数学期望，记为E(X)，即
注释
E(X) xk pk k1
(1)X的期望E(X)是一个数，它形式上是X的可能值
的加权平均，其权重是其相应的概率，实质上它
体现了X取值的真正平均，为此我们又称它为X的
均值。因为它完全由X的分布所决定，所以又称
为分布的平均值。
(2)E(X)作为刻划X的某种特性的数值，不应与各项的排列
例14ห้องสมุดไป่ตู้
解
即 P {X i 0 } (9 /1)2 0 ,0P {X i 1 } 1 (9 /1)20 ,0 i 1 ,2 , ,1.0
由此 进而
E (X i) 1 (9 /1)2 0 ,0i 1 ,2 , ,1.0
E ( X ) E ( X 1 X 2 X 1 ) 0 E ( X 1 ) E ( X 2 ) E ( X 1 ) 0
这里设上式右边的级数绝对收敛。
例 设随机变量 X在 [0,] 上服从均匀分布, 求
E (X )E ,(sX i)E n ,(X 2 )及 E [XE(X)2].
解 根据随机变量函数数学期望的计算公式, 有
E ( X ) x ( x ) f d x x 1 d x ,
0
2
E (sin X ) sin x f(x )d xsin x 1d x
3.5条件数学期望ppt课件
25
设一个人身高为 X ,脚印长度为Y .
显然，两者之间是有统计关系的，故
应作为二维随机变量 (X ,Y )来研究. 由于影响人类身高与脚印的随机
因素是大量的、相互独立的，且各因 素的影响又是微小的,可以叠加的. 故
由中心极限定理知 (X ,Y )可以近似看
3.5 条件数学期望
条件分布 条件数学期望 条件数学期望的性质
1
回顾上节课知识点
• 1、n维随机变量函数的数学期望及求解 • 2、最值数学期望的求解 • 3、 n维随机变量函数的数学期望的性质
及应用 • 4、相关系数及性质
2
1、n维随机变量函数的数学期望及求解
3
2、最值数学期望的求解
4
3、 n维随机变量函数的 数学期望的性质及应用
可得出以脚印长度作自变量的身高近似公式.
思考：例3.5.2
28
连续型与离散型条件数学期望性质
定义
E ( X
|Y
y)
i
xi P( X xi | Y y)
xp(x | y)dx
29
注意点
E(X| Y=y) 是 y 的函数.
所以记 g(y) = E(X| Y=y). 进一步记 g(Y) = E(X| Y).
5
4、相关系数及性质回顾
6
相关矩阵
7
相关系数的性质
8
习题讲解
9
10
11
回顾条件分布
对二维随机变量(X, Y), ➢ 在给定Y取某个值的条件下, X的分布; ➢ 在给定X取某个值的条件下, Y的分布.
12
13
一、回顾条件分布
（1）、事件
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
(4) E[E(g(X,Y)|X)]=E[g(X,Y)] 证
f ( x, y) = ∫ g ( x , y ) fY | X ( y | x )dy = ∫ g ( x , y ) dy fX ( x) −∞ −∞
+∞
+∞
m(x)=E[g(X,Y)|X=x]
+∞
E[E(g(X,Y)|X)]=E[m(X)] =
X关于Y的条件期望 E(X|Y)=mX|Y(Y)
7
例3 设(X,Y)服从D={(x,y)|0<x<1,0<y<x2}上的均匀分布
⎧ 3, 0 < x < 1,0 < y < x 2 f ( x , y) = ⎨ ⎩0, 其他 ⎧3 x 2 , 0 < x < 1 fX ( x) = ⎨ 其他 ⎩ 0,
16
作业
1. 设Xi ~P (λi), i=1,2,…,N且相互独立, 记Yk= X1+ X2+ … +Xk, Y=YN , 求E(Yk|Y). 2. 设X~U(0,1), Y~U(X,1), 求E(Y|X). 3. 证明: E[g(X)⋅Y]=E[g(X)⋅E(Y|X)].
17
1/5 2/5 2/5 3/5 1/5 1/5
E(Y|X) 6/5 3/5 p 0.5 0.5
E(Y|X) 6/5 3/5 p 0.5 0.5
4
例2 设射手的命中率为p, 进行到击中2次为止. 记 X为击中第一次时的射击次数, Y为击中第二次时 的射击次数. P{X=i, Y=j}=p2qj-2, i=1,2,…, j=i+1,i+2, … P{X=i}=pqi-1, i=1,2,… P{Y=j|X=i}=pqj-i-1, j=i+1,i+2,…, i=1,2,…
11
(1) E(c|X)=c 证 P{Y=c}=1 P{Y=c|X=x}=1 E(Y|X=x)=c (2) E(aY1+bY2|X)=aE(Y1|X)+bE(Y2|X) 证 设X,Y1,Y2的联合密度为f(x,y1,y2) E(aY1+bY2|X=x)
+∞ +∞
=
− ∞− ∞ + ∞+ ∞
∫ ∫ ( ay
(5) E[g(X)Y|X]=g(X)E(Y|X) 证 E[g(X)Y|X=x]= g ( x ) yfY | X ( y | x )dy ∫
+∞ −∞
= g ( x ) E (Y | X = x )
(6) E{[Y-E(Y|X)]2}≤ E{[Y-g(X)]2} 证 记 m(X)=E(Y|X) E{[Y-g(X)]2}=E{[Y-m(X)+m(X)-g(X)]2} = E{[Y-m(X)]2}+ E{[(m(X)-g(X)]2} +2 E{[(Y-m(X)][(m(X)-g(X)]}
6
连续型 设(X,Y)的密度为f(x,y)
+∞
mY | X ( x ) =
−∞ +∞
∫ yf
Y |X
( y | x )dy
f ( x, y) = ∫y dy fX ( x) −∞
Y关于X的条件期望 E(Y|X)=mY|X(X)
+∞
f ( x, y) m X |Y ( y ) = ∫ x dx fY ( y ) −∞
4.5 条件期望
一. 定义 设二维随机变量(X,Y), 把在X=x条件下Y的条件分 布的期望记作mY|X(x)=E(Y|X=x). 称mY|X(X)为Y关 于X的条件期望, 记作E(Y|X). 即 E(Y|X)= mY|X(X) 注意:E(Y|X)是一个随机变量, 它是X的函数. 类似地, mX|Y(y)=E(X|Y=y) X关于Y的条件期望 E(X|Y)= mX|Y(Y) 它是Y的函数.
1
离散型 设(X,Y)的分布律为P{X=ai,Y=bj}=pij, i,j=1,2,… 在X=ai (pi•>0)条件下Y的条件分布律 P{Y=bj|X=ai}=pij/pi•, j=1,2,… 在X=ai (pi•>0)条件下Y的条件期望 mY|X(ai)=Σj bj pij/pi• Y关于X的条件期望E(Y|X)的可能取值为 mY|X(ai)=Σj bj pij/pi•, mX|Y(bj)=Σi ai pij/p•j, i=1,2,… j=1,2,…
−∞ −∞
= aE (Y1 | X = x ) + bE (Y2 | X = x )
(3) 若X与Y相互独立, 则E(Y|X)=E(Y) 证 fY|X(y|x)=f(x,y)/fX(x)=fY(y)
+∞
E (Y | X = x ) =
−∞
∫ yf
+∞
Y |X
( y | x )dy =
−∞
∫ yf
Y
( y )dy = E (Y )
2
类似地, X关于Y的条件期望E(X|Y)的可能取值为
例1
X 0 1
Y
0
1
2
pi• 0.5 0.5 1.0 X关于Y条件期望
0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1
p•j 0.4 0.3 0.3 X的条件分布律 X Y 0 1 0 1 2
Y
0
1
2
1/4 2/3 2/3 3/4 1/3 1/3
5
P{Y=j}=(j-1)p2qj-2, j=2,3, … P{X=i|Y=j}=1/(j-1), i=1,2,…,j-1, j=2,3,…
E( X | Y = j) = ∑
i =1 j −1
i j = , j −1 2
j = 2, 3, L
得 E(X|Y)=Y/2 P{E(X|Y)=j/2}=(j-1)pqj-2, j=2,3,…
+∞ +∞
−∞
∫ m( x ) f
X
( x )dx
⎡ f ( x, y) ⎤ = ∫ ⎢ ∫ g ( x , y) dy⎥ f X ( x )dx fX ( x) ⎦ − ∞⎣ − ∞
+ ∞+ ∞
=
− ∞− ∞
∫ ∫ g ( x, y) f ( x, y)dydx = E[ g ( X ,Y )]
14
E (Y | X = i ) =
∞
j = i +1
jpq j − i −1 ∑
∞ ∞
∞
令k=j-i
= ∑ ( k + i ) pq k −1 = ∑ kpq k −1 + i ∑ pq k −1 = i + 1 k =1 k =1 k =1 p
得 E(Y|X)=X+1/p P{E(Y|X)=i+1/p}=pqi-1, i=1,2,…
E(X|Y) 3/4 1/3 1/3 p E(X|Y) p 0.4 0.3 0.3 3/4 1/3 0.4 0.6
3
X 0 1
Y
0
1
2
pi• 0.5 0.5 1.0
Y的条件分布律 X Y 0 1 0 1 2
0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1
p•j 0.4 0.3 0.3 Y关于X条件期望 X 0 1
1
+ by2 ) f(Y1 ,Y2 )| X ( y1 , y2 | x )dy1dy2
f ( x , y1 , y2 ) = ∫ ∫ ( ay1 + by2 ) dy1dy2 fX ( x) − ∞− ∞
12
f ( x , y1 , y2 ) f ( x , y1 , y2 ) = a ∫ ∫ y1 dy1dy2 + b ∫ ∫ y2 dy1dy2 fX ( x) fX ( x) − ∞− ∞ − ∞− ∞ = a ∫ y1
当0<x<1时
y
y=x2
0
1 x
⎧1 2 ⎪ 2, 0< y< x fY | X ( y | x ) = ⎨ x ⎪ 0,=x2/2 得
1 2 E (Y | X ) = X 2
8
⎧ 3(1 − y ), 0 < y < 1 ⎪ fY ( y ) = ⎨ ⎪ 0, 其他 ⎩
15
E{(Y-m(X))(m(X)-g(X))} =E{E[(Y-m(X))(m(X)-g(X))|X]} =E{(m(X)-g(X))E[(Y-m(X))|X]} E[(Y-m(X))|X]=E(Y|X)-E(m(X)|X) =m(X)-m(X)E(1|X)=0 得 E{[Y-g(X)]2}= E{[Y-m(X)]2}+ E{[(m(X)-g(X)]2} ≥ E{[Y-m(X)]2} 性质(4) 性质(5) 性质(2) 性质(5),(1)
−∞ +∞ +∞
+∞ +∞
+∞ +∞
f( X ,Y1 ) ( x , y1 ) fX ( x)
dy1 + b ∫ y2
−∞ +∞
+∞
f( X ,Y2 ) ( x , y2 ) fX ( x)
dy2
= a ∫ y1 fY1 | X ( y1 | x )dy1 + b ∫ y2 fY2 | X ( y2 | x )dy2
f ( x, y) E ( g (Y ) | X = x ) = ∫ g ( y ) dy fX ( x) −∞ f ( x , y) E ( g ( X ) | Y = y) = ∫ g ( x ) dx fY ( y ) −∞
10
+∞
+∞
性质: (1) E(c|X)=c (2) E(aY1+bY2|X)=aE(Y1|X)+bE(Y2|X) (3) 若X与Y相互独立, 则E(Y|X)=E(Y) (4) E[E(g(X,Y)|X)]=E[g(X,Y)] 特别地, E[E(Y|X)]=E(Y) (5) E[g(X)Y|X)]=g(X)E(Y|X) (6) 对任意的g(⋅), E{[Y-E(Y|X)]2}≤ E{[Y-g(X)]2} 含义: 在最小二乘意义下, m(X)=E(Y|X)是Y的最 佳预测.