条件数学期望及其应用
数学期望及其应用
本科生毕业论文题目: 数学期望的计算方法与实际应用专业代码: 070101原创性声明本人郑重声明: 所提交的学位论文是本人在导师指导下, 独立进行研究取得的成果. 除文中已经注明引用的内容外, 论文中不含其他人已经发表或撰写过的研究成果, 也不包含为获得聊城大学或其他教育机构的学位证书而使用过的材料. 对本文的研究做出重要贡献的个人和集体, 均已在文中以明确方式标明. 本人承担本声明的相应责任.学位论文作者签名: 日期指导教师签名: 日期目录1.引言 (1)2. 数学期望的定义及其性质 (2)2.1数学期望的定义 (2)2.2数学期望的基本性质 (2)2.3数学期望的计算方法 (3)3 数学期望在实际生活中的应用 (7)3.1在医学疾病普查中的应用 (7)3.2数学期望在体育比赛中应用 (8)3.3数学期望在经济问题中的应用 (10)3.3.1 免费抽奖问题 (10)3.3.2 保险公司获利问题 (11)3.3.3 决定生产批量问题 (11)3.3.4 机器故障问题 (12)3.3.5 最佳进货量问题 (13)3.3.6 求职决策问题 (14)4 结论 (15)参考文献 (16)致谢 (17)摘要数学期望简称期望，又称均值，是概率论中一项重要的数字特征，它代表了随机变量总体取值的平均水平。
数学期望的涉及面非常之大，广泛应用于实际生活中的各个领域。
在实际生活中，有许多问题都可以直接或间接的利用数学期望来解决。
其意义是运用对实践中抽象出来的数学模型进行分析的方法，从而达到认识客观世界规律的目的，为进一步的决策分析等提供准确的理论依据。
本文从数学期望的内涵出发，介绍了数学期望的定义、性质，介绍了数学期望的几种计算方法并举以实例，通过数学期望在医学疾病普查、体育比赛和经济问题中的应用的探讨。
特别是在经济问题方面，本文又详细分为免费抽奖问题、保险公司获利问题、决定生产批量问题、机器故障问题、最佳进货量问题和求职决策问题，试图初步说明数学期望在实际生活中的重要作用，几个例子将数学期望与实际问题结合，用具体实例说明利用数学期望方法解决实际问题的可行性，体现了数学期望在生活中的应用。
条件期望资料
析等。
• 可以基于矩生成函数进行求解，如政策效果最大化分析等。
⌛️
方法的优缺点
• 优点：有助于中央银行更好地评估政策工具的效果和风险，从而制定更有效 Nhomakorabea货币政策。
• 缺点：计算过程可能较为复杂，且需要已知货币政策的政策效果分
布。
05
条件期望在其他领域的应用
心理和行为规律。
• 缺点：计算过程可能较为复杂，且需要已知消费者的偏好分布。
消费者行为分析的基本问题
• 消费者行为分析是研究消费者在购买、使用和处理商品及服务过程中
的心理和行为规律的方法。
• 条件期望在消费者行为分析中的应用主要是计算消费者在已知某个条
件下，对商品或服务的期望效用。
条件期望在消费者行为分析中的求解方法
知某个条件下，对投资项目的期望收益。
02
条件期望在企业投资决策中的求解方法
• 可以基于概率分布进行求解，如风险调整收益分析、概
率调整收益分析等。
• 可以基于矩生成函数进行求解，如收益最大化分析等。
03
方法的优缺点
• 优点：有助于企业更好地评估投资项目的风险和收益，
从而做出更合理的投资决策。
• 缺点：计算过程可能较为复杂，且需要已知投资项目的
02
条件期望的计算方法
• 当Y是离散随机变量时，条件期望可以通过求和计算：
E(Y|X=x) = ∑y * P(Y=y|X=x)
• 当Y是连续随机变量时，条件期望可以通过积分计算：
E(Y|X=x) = ∫y * P(Y=y|X=x) dy
03
条件期望的性质
• 非负性：E(Y|X) ≥ 0，因为Y的平均值总是非负的。
概率中数学期望的变式应用
概率中数学期望的变式应用概率在数学中占据着重要的地位，而概率中的数学期望则是其中最基础的概念之一。
数学期望是描述随机变量平均取值的概念，它在很多实际问题中都有着重要的应用。
除了在基础的概率理论中的应用外，数学期望还有许多变式的应用，下面我们将介绍一些关于概率中数学期望的变式应用。
1. 条件数学期望在概率中，条件数学期望是一种非常重要的概念。
它描述的是在某一特定条件下的数学期望值。
假设有两个随机变量X和Y，我们可以通过条件数学期望来描述在Y取某个值的条件下，X的平均取值。
条件数学期望的计算公式为：E(X|Y) = ∑x P(X=x|Y) * xE(X|Y)表示在Y的条件下X的数学期望，P(X=x|Y)表示在Y的条件下X取值为x的概率，而x则表示X的可能取值。
条件数学期望的应用非常广泛，比如在统计学中用于描述在某一特定情况下的平均值；在经济学中用于分析在特定市场条件下的收益期望值等等。
2. 复合概率中的数学期望在复合概率中，数学期望同样有着重要的应用。
复合概率是指对多个概率事件同时发生的情况进行分析，而数学期望在复合概率中通常用于描述整体事件的平均结果。
在复合概率中，数学期望的计算方法与简单概率中类似，只是需要将多个随机变量的情况考虑进去。
假设有m个随机变量X1,X2,...,Xm，它们的概率分布函数为P(X1=x1,X2=x2,...,Xm=xm)，则它们的复合数学期望为：E(X1,X2,...,Xm) = ∑x1 ∑x2... ∑xm P(X1=x1,X2=x2,...,Xm=xm) * x1 * x2 * ... * xm复合概率中的数学期望可以应用于许多实际问题中，比如在工程中用于计算多变量系统的平均性能；在市场分析中用于描述多变量条件下的总体效益等等。
3. 离散分布中的数学期望概率中的数学期望通常用于描述随机变量的平均取值，而对于离散分布中的数学期望，则关注于描述离散型随机变量的平均结果。
随机过程中的条件期望应用
随机过程中的条件期望应用随机过程是随机事件随着时间变化的数学模型。
它是概率论与统计学中的重要概念，被广泛应用于各个领域。
在随机过程中，条件期望是一个有用的工具，用来描述在给定一些条件的情况下，某个事件的平均值或期望值。
1. 条件期望的定义在随机过程中，条件期望是指在给定一些条件时，某个事件的平均值。
设X是一个随机变量，Y是另一个随机变量。
那么给定随机变量Y=y的条件下，X的条件期望E(X|Y=y)是在Y=y的条件下，X的平均值。
2. 条件期望的性质条件期望具有以下性质：- 线性性质：设a和b是实数，X和Y是随机变量，那么E(aX+bY|Y=y) = aE(X|Y=y) + bE(Y|Y=y)。
- 独立性质：如果X和Y是相互独立的随机变量，那么E(X|Y=y) = E(X)。
- 保持性质：如果X是一个可测函数，那么E(f(X)|Y=y) =f(E(X|Y=y))。
3. 条件期望在随机过程中的应用条件期望在随机过程中有广泛的应用，以下是其中的一些例子：3.1. 马尔可夫链马尔可夫链是一种随机过程，具有马尔可夫性质，即给定了前一个状态，下一个状态只依赖于当前状态。
在马尔可夫链中，条件期望可以用来计算给定当前状态的条件下，下一个状态的期望。
3.2. 随机游走随机游走是一种随机过程，表示随机漫步的模型。
在随机游走中，条件期望可以用来计算在给定当前位置的条件下，下一步移动的期望。
3.3. 排队论排队论是研究等待行列和相互竞争的问题的数学理论。
在排队论中，条件期望可以用来计算在给定一些条件下，等待时间、系统负载等指标的期望。
3.4. 信号处理在信号处理中，条件期望可以用来计算在给定一些条件下，信号的平均能量、功率等指标的期望。
4. 实际应用举例条件期望在实际应用中有着广泛的应用，以下是一些例子：4.1. 股票市场在股票市场中，投资者可以使用条件期望来估计某只股票未来的收益。
根据给定的一些条件，比如公司的财务状况、行业发展趋势等，可以计算出某只股票未来的收益的期望值。
数学期望的计算方法及其应用
可得
由于上式右端第一个积分的被积函数为奇函数，鼓起积分为0，第二个积分恰为，故得．
2.3 利用特征函数
特征函数的定义：设是一个随机变量，称 , ，为的特征函数，设连续随机变量有密度函数，则的特征函数为
根据上式，我们可以求出随机变量分布的特征函数，然后利用特征函数的性质：求出数学期望，即．
关键词：离散型随机变量 连续型随机变量 数学期望 计算方法
ABSTRACT：
离散型随机变量数学期望的计算方法及应用
利用数学期望的定义，即定义法
定义：设离散型随机变量Ｘ分布列为
则随机变量Ｘ的数学期望 QUOTE E(ξ)=np E(X)=
注意：这里要求级数绝对收敛，若级数不收敛，则随机变量Ｘ的数学期望不存在
例11 设随机变量，求．
解 因为随机变量，则的特征函数为
其一阶导数为
则
由特征函数的性质得
注：此题关键是球正态分布的特征函数，我们可以先求出标准正态分布的特征函数，在利用特征函数的性质求出正态分布的特征函数。
2.4 逐项微分法
这种方法同样适用于密度函数中含有参数的连续型随机变量分布，也是对两边对参数求导数来解出数学期望。
例14 设电力公司每月可以供应某工厂的电力服从上的均匀分布，而该工厂每月实际需要的电力服从上的均匀分布。如果工厂能从电力公司得到足够的电力，则每电可以创造30万元的利润，若工厂得不到足够的电力，则不足部分由工厂通过其他途径解决，由其他途径得到的电力每获利10万元，失球该厂每个月的平均利润。
解 从题意知，每月供应电力,而工厂实际需要电力。若设工厂每月的利润为万元，则按题意可得
例19 若正的独立随机变量，服从相同的发布，是证明
证明 由分布的对称性知 同分布，故
概率论中的条件期望计算公式
概率论中的条件期望计算公式概率论是数学中的重要分支，研究随机事件和概率规律的数学理论。
条件期望是概率论中的一个重要概念，用于描述在给定条件下的期望值。
本文将介绍条件期望的计算公式及其应用。
一、条件期望的定义及性质条件期望是在给定条件下的期望值，记作E(X|Y)，其中X和Y为随机变量。
条件期望于普通期望相似，区别在于条件期望要求在给定条件下对随机变量进行求平均。
条件期望的计算公式如下：E(X|Y) = ∑[x P(X=x|Y)] （离散变量）E(X|Y) = ∫[x f(x|Y) dx] （连续变量）其中，P(X=x|Y)表示在给定随机变量Y的条件下，随机变量X取值为x的概率；f(x|Y)表示随机变量X在给定Y的条件下的概率密度函数。
条件期望的性质：1. 条件期望是随机变量Y的函数，它是Y的函数的期望；2. 如果X和Y相互独立，则条件期望等于普通期望，即E(X|Y) =E(X)；3. 若Z=g(X,Y)，则E(Z|Y) = E(g(X,Y)|Y)。
二、条件期望的计算举例为了帮助读者更好地理解条件期望的计算公式及应用，以下将通过两个具体的案例来说明。
案例一：假设有一批产品，其质量可以用随机变量X表示，X的取值范围为[1, 10]，代表产品的质量评分。
同时，还有一个随机变量Y表示产品的价格，Y的取值范围为[100, 1000]。
现在要求在给定产品价格的条件下，计算产品质量的条件期望。
解决方法如下：根据条件期望的计算公式，我们需要计算P(X=x|Y)。
假设随机变量Y的取值为y，则产品质量为x的条件概率为P(X=x|Y=y)。
如果我们已知产品价格与质量的关系，可以通过分析或者实验得到条件概率的分布。
然后，根据条件概率计算条件期望即可。
案例二：现假设随机变量X和Y相互独立，且它们都服从正态分布。
我们要计算X与Y的乘积Z的条件期望E(Z|Y)。
解决方法如下：根据条件期望的性质，当X和Y相互独立时，条件期望等于普通期望，即E(Z|Y) = E(Z)。
概率论中的条件期望计算公式
概率论中的条件期望计算公式概率论是数学的一个分支，研究的是随机事件发生的概率及其规律。
条件期望是概率论中的一个重要概念，它描述了在某个条件下随机变量的平均取值。
本文将介绍概率论中的条件期望计算公式及其应用。
一、条件期望的定义考虑一个随机试验，其中有两个随机变量 X 和 Y。
条件期望 E(X|Y) 表示在给定 Y 的条件下，随机变量 X 的平均取值。
条件期望可以看作是在 Y 取某个特定值时，X 的期望。
二、条件期望的计算公式在计算条件期望时，我们需要使用条件概率的概念。
设事件 A 和 B 是两个随机事件，且 P(B) > 0，则 A 关于 B 的条件概率记为 P(A|B)。
根据条件概率的性质，我们可以得到条件期望的计算公式如下：E(X|Y) = ∑[x * P(X = x|Y)] （离散情况）E(X|Y) = ∫[x * f(x|Y)] dx （连续情况）其中，x 是随机变量 X 取的值，P(X = x|Y) 是 X 在给定 Y 条件下的概率密度函数（离散情况下为概率质量函数），f(x|Y) 是 X 在给定 Y条件下的概率密度函数（连续情况下为条件密度函数）。
求和或积分是在所有可能的取值上进行的。
三、条件期望的应用举例1. 投掷两个骰子的情况。
设 X 和 Y 分别表示第一个骰子和第二个骰子的点数。
我们希望求解在第一个骰子的点数已知的条件下，第二个骰子的点数的期望。
根据条件期望的计算公式，我们可以得到：E(Y|X = x) = ∑[y * P(Y = y|X = x)]具体计算过程如下：当 X = 1 时，E(Y|X = 1) = 1 * 1/6 + 2 * 1/6 + 3 * 1/6 + 4 * 1/6 + 5 * 1/6 + 6 * 1/6 = 3.5当 X = 2 时，E(Y|X = 2) = 1 * 1/6 + 2 * 1/6 + 3 * 1/6 + 4 * 1/6 + 5 * 1/6 + 6 * 1/6 = 3.5当 X = 3 时，E(Y|X = 3) = 1 * 1/6 + 2 * 1/6 + 3 * 1/6 + 4 * 1/6 + 5 * 1/6 + 6 * 1/6 = 3.5当 X = 4 时，E(Y|X = 4) = 1 * 1/6 + 2 * 1/6 + 3 * 1/6 + 4 * 1/6 + 5 * 1/6 + 6 * 1/6 = 3.5当 X = 5 时，E(Y|X = 5) = 1 * 1/6 + 2 * 1/6 + 3 * 1/6 + 4 * 1/6 + 5 * 1/6 + 6 * 1/6 = 3.5当 X = 6 时，E(Y|X = 6) = 1 * 1/6 + 2 * 1/6 + 3 * 1/6 + 4 * 1/6 + 5 * 1/6 + 6 * 1/6 = 3.5根据计算结果可以看出，无论第一个骰子的点数是多少，第二个骰子的点数的期望都是3.5。
条件期望的求法及应用
条件期望的求法及应用
条件期望（有时也称为期望条件）是中统计学中有关概率论的一个概念，它通常被用
来衡量在给定条件下一个变量的预期值。
条件期望可以用来计算和解释变量之间的相关性，以及指导预测和决策。
在统计学中，条件期望是一个期望值，它用来衡量一个事件的期望值在一个指定的条
件下。
期望值用来表示一个事件在某个条件下的平均结果，并用来衡量这个事件的期望行为。
例如，条件期望可以用来衡量一个股票的期望获利率或一个国家的期望经济增长率。
条件期望是一个重要的统计概念，它可以在多种应用场景中被用来求解问题。
例如，
条件期望可以用来计算及时生成应用java程序中多变量之间的相关性。
它也可以用来分
析不同投资组合的预期收益率，并使用条件期望来指导决策。
此外，它还可以用来研究不
确定性环境和风险管理等问题，以及比较不同市场和经济系统下的投资组合表现。
此外，条件期望还可以用来预测和估计概率分布中的未知参数，从而推断不同情形下
的预期结果。
它还可以用来比较条件概率分布模型，以及预测经济衰退和增长及其他经济
指标的变化情况。
总之，条件期望是一个重要的概念，它被广泛用于数据挖掘、机器学习和模式分析等
领域，其应用可以极大地改善决策和预测的准确性，并有助于提高经济效益。
数学期望的原理及应用
数学期望的原理及应用1. 原理数学期望是概率论中的一个重要概念，用于描述随机变量的平均值。
在概率论中，随机变量是指在一个随机实验中，可以随机地取不同值的变量。
数学期望可以看作是随机变量的平均取值，它是对随机变量可能取值的加权平均。
数学期望的计算公式为:$$E(X) = \\sum_{i=1}^{n} X_i \\cdot P(X_i)$$其中，X i是随机变量的某个取值，P(X i)是X i对应的概率。
数学期望的求解步骤如下：1.确定随机变量的全部可能取值；2.计算每个取值的概率；3.计算每个取值与其对应概率的乘积；4.将上述乘积相加即得到数学期望。
2. 应用数学期望在各个领域都有广泛的应用，以下是数学期望在一些具体问题中的应用案例：2.1 统计学在统计学中，数学期望是一个重要的统计指标，用于衡量一个随机变量的中心位置。
例如，在对一个随机样本的分析过程中，可以通过计算样本的数学期望来了解样本的平均水平。
数学期望还被广泛应用于估计总体的参数，例如通过样本的平均值来估计总体的均值。
2.2 金融学在金融学中，数学期望在投资组合的管理中发挥重要作用。
通过计算各个投资标的的数学期望，可以评估投资标的的预期收益。
基于这些数学期望，投资者可以根据自己的风险偏好进行资产配置，以达到最优的投资组合。
2.3 工程学在工程学中，数学期望可以应用于各种实际问题的分析。
例如，在电力系统中，可以通过计算电力负荷的数学期望来确定电力系统的设计容量。
在工程项目的成本估算中，也可以通过计算工程成本的数学期望来进行成本控制和决策。
2.4 计算机科学在计算机科学中，数学期望被广泛用于分析算法的性能。
通过计算算法的平均运行时间的数学期望，可以评估算法的效率和性能。
数学期望还被用于建模和优化网络传输的时延和吞吐量。
3. 总结数学期望作为概率论中的一个重要概念，具有广泛的应用领域。
它是随机变量的平均取值，描述了随机变量的中心位置。
通过计算随机变量的数学期望，可以用于统计分析、金融投资、工程项目和计算机科学等领域的问题解决。
条件数学期望
F(x| y)
x
P(X xi |Yy)
xi x
p(t| y)dt x p(t, y)dt
p(y)
大家好
18
二、条件数学期望
定义：若随机变量X在Y=yj条件下的条件分 布列为 pi j ,又
xi pi j ，
i1
则称
xi pi j
i 1
为X在Y=yj条件下的数学期望，简称条件期望，
3、随机变量X对Y求条件期望后再求期望，等于
对这个随机变量直接求期望。
大家好
31
条件分布数学期望的性质
4.若X与Y独立，则 EXYyEX
5.条件期望有所谓平滑性：
E E X X Y y d Y y F E E X Y
6.对随机变量X，Y的函数 X,Y恒有：
E X , Y Y y E X ,y Y y
记为 E{XYyj}
大家好
19
例1设(X,Y)的联合分布律为
YX 1
2
3
-1 0.2 0.1
0
0 0.1 0
0.3
1 0.1 0.1
0.1
（ 1 ） E { Y |X 求 2 } ( 2 ) E ; { X |Y 0 }.
解题思路： （ 1）写X 出 2的 在条Y 件 的下 概率分布即 ，可 再求 按得 定； 义 （ 2）写 Y 出 0的 在 条 X 的 件概 下率分即 布可 ，求 再得 按
大家好
小结
• 1、条件分布 • 2、条件数学期望及运算 • 3、条件数学期望性质及证明
大家好
33
谢谢
大家好
34
条件密度
fY
X
x
y
f x,y fX x
数学期望性质与应用举例
5.数学期望的基本性质利用数学期望的定义可以证明，数学期望具有如下基本性质：设ξ, η为随机变量，且E(ξ)，E(η)都存在，a，b，c为常数，则性质1.E(c)=c；性质2.E(aξ)=aE(ξ)；性质3.E(a+ξ)=E(ξ)+a；性质4.E(aξ+b)=aE(ξ)+b；性质5. E(ξ+η)=E(ξ)+E(η)．例3.5.7设随机变量X的概率分布为:P(X =k)=0.2 k =1,2,3,4,5.求E(X),E(3X+2)．解. ∵P(X=k)=0.2 k=1,2,3,4,5∴由离散型随机变量的数学期望的定义可知E(X)=1×0.2+2×0.2+3×0.2+4×0.2+5×0.2=3，E(3X+2)=3E(X)+2=11．例3.5.8. 设随机变量X的密度函数为:求E(X),E(2X-1)．解.由连续型随机变量的数学期望的定义可知=-1/6+1/6=0．∴E(2X-1)=2E(X)-1=-1．我们已经学习了离散型随机变量和连续型随机变量的数学期望,在随机变量的数字特征中,除数学期望外,另一重要的数字特征就是方差.4.1.2 数学期望的性质（1）设是常数，则有。
证把常数看作一个随机变量，它只能取得唯一的值，取得这个值的概率显然等于1。
所以，。
（2）设是随机变量，是常数，则有。
证若是连续型随机变量，且其密度函数为。
当是离散型随机变量的情形时，将上述证明中的积分号改为求和号即得。
（3）设都是随机变量，则有。
此性质的证明可以直接利用定理4.1.2，我们留作课后练习。
这一性质可以推广到有限个随机变量之和的情况，即。
（4）设是相互独立的随机变量，则。
证仅就与都是连续型随机变量的情形来证明。
设的概率密度分别为和，的联合概率密度为，则因为与相互独立，所以有。
由此得此性质可以推广到有限个相互独立的随机变量之积的情况。
例4.1.2 倒扣多少分？李老师喜欢在考试中出选择题，但他知道有些学生即使不懂哪个是正确答案也会乱撞一通，随便选一个答案，以图侥幸。
条件数学期望的定义归纳及其应用
条件数学期望的定义归纳及其应用
条件数学期望是经济学中非常重要的一个概念，它是由条件随机变量和另一个随机变量共同给定而定义的期望值。
它的推导是基于概率的条件化思想，用于识别和研究一个特殊的随机变量，用于分析条件概率性质。
举个例子，假设人们想知道一个投资者每年的资产的期望值，其中资产是根据投资者的经验决定的。
则可以使用条件数学期望模型，满足以下条件：A_i表示投资者经验等级，B_i表示投资者投资获得的资产期望值，则有:
E(B_i|A_i)=∑e^(A_i)P(B_i|A_i)
因此，这里A_i作为条件，条件数学期望是基于满足A_i条件，B_i期望值的和。
条件数学期望有很多应用，主要有以下几类：
- 风险分析：对不同的风险类型分析，如投资风险、经济风险、市场风险等，去除偏差；
- 预测模型：预测投资者的收入水平、未来的资产价值，以及股票的价格等；
- 理财决策：驱动投资者的理财决策，预估收入，确定风险、收益比等；
- 统计学：应用在数据可视化、样条建模、多元回归等；
总而言之，条件数学期望是一种重要的经济学指标，能够有效地分析和探索市场现象，为经济与投资的健康发展提供重要的指导方向及数据支撑。
概率论中的条件期望应用案例研究
概率论中的条件期望应用案例研究概率论作为一门数学分支，运用于许多实际问题的解决中。
其中，条件期望是一个重要的概念，可以用于解释和计算随机变量在给定条件下的期望值。
本文将通过几个案例研究，详细探讨概率论中的条件期望的应用。
案例一：经济预测在经济学中，条件期望广泛应用于经济预测。
假设我们要预测某国家下一年的GDP增长率。
通过历史数据分析，我们可以发现GDP增长率与通货膨胀率、国内生产总值等因素存在一定的关联性。
利用条件期望的方法，我们可以在给定条件下计算GDP增长率的期望值，从而进行经济预测和决策。
案例二：投资风险评估在金融领域中，条件期望有助于评估投资的风险和回报。
以股票市场为例，假设我们要评估某只股票的收益情况。
通过研究历史数据，我们可以发现该股票的收益率与市场整体情况、行业发展等条件相关。
利用条件期望，我们可以在给定条件下计算该股票的预期收益率，从而对投资进行风险评估和决策。
案例三：医学诊断在医学领域中，条件期望被广泛应用于帮助医生进行诊断和预测疾病风险。
以乳腺癌为例，医生常常需要根据病人的个体特征、家族病史等因素来评估其患癌风险。
通过应用条件期望的技术，我们可以在给定条件下计算患癌风险的期望值，并作出相应的医疗建议。
案例四：天气预测概率论中的条件期望被广泛应用于天气预测领域。
通过收集大量的天气数据和相关条件参数如温度、湿度、气压等，天气预测模型可以计算在给定条件下某种天气事件（如降雨概率）的期望值。
这种技术有助于提高天气预报的准确性，促进人们做出相应的生活和工作安排。
通过以上案例分析，我们可以看到条件期望在不同领域中的广泛应用。
无论是经济学、金融学、医学还是气象学等，概率论的条件期望都能为问题的解决提供有效的工具和方法。
通过合理地进行条件期望的计算和分析，我们可以更准确地预测和评估随机事件的结果，为决策和规划提供科学的依据。
综上所述，条件期望在概率论中的应用案例非常丰富。
通过合理地运用条件期望的概念和方法，我们可以更好地理解和解决各种实际问题，为社会和经济的发展做出贡献。
3.5条件数学期望ppt课件
25
设一个人身高为 X ,脚印长度为Y .
显然，两者之间是有统计关系的，故
应作为二维随机变量 (X ,Y )来研究. 由于影响人类身高与脚印的随机
因素是大量的、相互独立的，且各因 素的影响又是微小的,可以叠加的. 故
由中心极限定理知 (X ,Y )可以近似看
3.5 条件数学期望
条件分布 条件数学期望 条件数学期望的性质
1
回顾上节课知识点
• 1、n维随机变量函数的数学期望及求解 • 2、最值数学期望的求解 • 3、 n维随机变量函数的数学期望的性质
及应用 • 4、相关系数及性质
2
1、n维随机变量函数的数学期望及求解
3
2、最值数学期望的求解
4
3、 n维随机变量函数的 数学期望的性质及应用
可得出以脚印长度作自变量的身高近似公式.
思考：例3.5.2
28
连续型与离散型条件数学期望性质
定义
E ( X
|Y
y)
i
xi P( X xi | Y y)
xp(x | y)dx
29
注意点
E(X| Y=y) 是 y 的函数.
所以记 g(y) = E(X| Y=y). 进一步记 g(Y) = E(X| Y).
5
4、相关系数及性质回顾
6
相关矩阵
7
相关系数的性质
8
习题讲解
9
10
11
回顾条件分布
对二维随机变量(X, Y), ➢ 在给定Y取某个值的条件下, X的分布; ➢ 在给定X取某个值的条件下, Y的分布.
12
13
一、回顾条件分布
（1）、事件
条件期望的性质与应用
条件期望的性质和应用摘要：条件数学期望（以下简称条件期望）是随机分析理论中十分重要的概念，在理论实际上都有很重要的应用。
本文首先分析了条件期望的几种定义和性质，进而研究了条件期望的求法，最后举例分析条件期望在实际问题中的应用。
关键词：条件期望；定义；性质；应用条件期望是现代概率体系中的一个重要概念。
近年来，随着人们对随机现象的不断观察和研究，条件期望已经被广泛的利用到日常生活中，尤其值得注意的是条件期望在最优预测中的应用。
现代概率论总是从讲述条件期望开始的。
鉴于此，在分析条件期望的几种定义时，通过比较它们的优缺点，使初学者在充分认识条件期望的基础上，由非条件期望的性质学习顺利过渡到条件期望性质的学习，实现知识的迁移。
通过研究条件期望的求法，从而提高计算能力与解题技巧。
条件期望不仅在数学上有重要的价值与意义，还在生物、统计、运筹和经济管理等方面有着重要的作用与贡献。
总之，研究条件期望的性质和应用不仅有助于学生对数学的学习，而且还有利于进一步探索科学的其它领域。
1 条件期望的几种定义1.1 条件分布角度出发的条件期望定义从条件分布的角度出发，条件分布的数学期望称为条件期望。
由离散随机变量和连续随机变量条件分布的定义，引出条件期望的定义。
定义1 离散随机变量的条件期望设二维离散随机变量(X,Y)的联合分布列为(),ij j i p P X x Y y ===，1,2,,1,2,.i j =⋅⋅⋅=⋅⋅⋅，对一切使()10j j ij i P Y y p p +∞⋅====>∑的j y ，称()()|,(),1,2,j ij i i j i j jj P X x Y y p p P X x Y y i p P Y y ⋅========⋅⋅⋅=为给定j Y y =条件下X 的条件分布列。
此时条件分布函数为 ()()i i j i j i j x xx xF x y P X x Y y p ≤≤====∑∑；同理，对一切使()10i i ij j P X x p p +∞⋅====>∑的i x ，称()()()j|i ,,1,2,j ij i j i i j P X x Y y p p P Y y X x j p P X x ⋅========⋅⋅⋅=为给定i X x =条件下Y 的条件分布列。
条件期望的性质及应用论文
条件期望的性质及应用论文条件期望是概率论中的重要概念，它描述了在给定某一事件发生的条件下，另一事件的平均值。
条件期望具有以下的性质：1. 线性性质：条件期望具有线性性质，即对于任意的常数a和b，以及任意的两个随机变量X和Y，有E(aX+bY Z) = aE(X Z) + bE(Y Z)。
这意味着条件期望与线性运算是相容的。
2. 不等式性质：条件期望也满足不等式性质。
如果随机变量X和Y满足X ≤Y，那么在给定另一个随机变量Z的条件下，有E(X Z) ≤E(Y Z)。
这表明条件期望保持了不等式的顺序。
3. 独立性质：如果两个随机变量X和Y在给定另一个随机变量Z的条件下是相互独立的，那么有E(XY Z) = E(X Z)E(Y Z)。
这个性质用于计算条件方差。
条件期望在概率论和数理统计中有广泛的应用。
下面介绍一些相关的应用领域和经典研究论文：1. 金融领域：条件期望在金融领域中应用广泛，例如在期权定价和投资组合管理中。
Fama和Bliss（1987）的论文"The information in long-maturity forward rates"中使用条件期望构建了一种利率模型，用于预测未来利率。
2. 经济学：条件期望在经济学中的应用涉及到最优决策和预测。
Hansen和Jagannathan（1991）的论文"The implications of security market data for models of dynamic economies"中利用条件期望分析了经济模型中的风险溢价。
3. 机器学习：条件期望在机器学习中广泛应用于回归模型。
Brecklinghaus （1990）的论文"Least squares regression with a quadratic loss function for stochastic processes"中利用条件期望解决了随机过程的最小二乘回归问题。
条件数学期望的定义归纳及其应用
第22卷第4期2019年7月高等数学研究STUDIES IN COLLEGE MATHEMATICSVol.22,No.4July,2019doi:10.3969/j.issn.1008-1399.2019.04.024条件数学期望的定义归纳及其应用冯明勇(天津财经大学珠江学院,天津301811)摘要给出条件数学期望的一般定义、经典定义6及随机变量关于一般5代数的条件数学期望的几何定义，并举例说明条件数学期望在均值回归中的应用.关键词条件数学期望&最佳预测；最佳均方逼近中图分类号O211文献标识码A文章编号1008-1399(2019)04-0091-02Definition and Application of Conditional ExpectationFENG Mingyong(Pearl River College,Tianjin University of Finance and Economics,Tianjin301811)Abstract This paper discusses the general definition,classic definition,and geometric definition of the conditional expectation.Two examples are given for the application of the conditional expectation in the mean reversion.Keywords conditional expectation,optimum prediction,square approximation1条件数学期望的定义定义1设X是一随机变量，事件A有P(A) >0,称E)A*-#4,P(X=(；)6(，-1,2,…为一维离散型随机变量X在条件(下的条件数学期望•称E[X A*-j—4f4|A)dz为一维连续型随机变量X在条件(下的条件数学期望•其中f4\A)为随机变量X在条件(之下的条件分布概率密度•当这里的随机事件(变成另一随机变量Y时,条件数学期望就变成以下便于计算的定义方式•定义2称E(X|Y=y)=#4i P(.X-4i Y=7为一维离散型随机变量x'y==条件下的条件数学期望•称ELX\Y==*-收稿日期：2018-12-15修改日期：2019-01-08作者简介：冯明勇0981—),女，山东聊城人，硕士，讲师，研究方向：应用数学,Email：tjfengmingyong@ £4*x\y4|=)dz连续型随机变量X'Y==条件下的条件数学期望.其中f x\Y4|=)为随机变量X 在条件Y==之下的条件分布密度函数•下面给出随机变量关于一般.代数的条件数学期望的几何定义：定义3设随机变量(fx|Y(4=)可测函数)Y "L2(0,F,P),F1是F的一子.代数，用E f—(•)表示L z(n,F,P)到闭子空间L z(n,F,P|f t)上的正交投影算子,称E f$(•)为Y关于子.代数F t的条件数学期.定义3中，LJ(O,F,P|f t)与L⑵0,F,P)都是Hilbert空间，前者为后者的闭子空间，Hilbert空间上的正交投影定理保证E f：(•)的存在唯一性[1].2条件数学期望在回归分析中的应用条件数学期望主要应用在回归分析的最优估计或者预测中,应用比较广泛的结论为“均方误差最小”定理,其表述形式及如何应用解决估计或者预测问题,本文以下面两种形式展开讨论•命题1设有随机变量X与Y,g(,4)是Borel函92高等数学研究2019年7月数，则E)Y—gU)y*X E)Y—E(Y\X)y*.命题1说明，在均方意义下，随机变量X已知条件下，E(Y X)是Y的最佳预测.即若能观察变量X 的取值4则E(Y|X=4是所有对Y的估计值中均方误差最小的一个,一般称函数*4)D E(Y|X=4)是Y对X的回归函数(均值回归).例1设顾客到达银行某一窗口等待服务的人数为服从参数2的泊松过程，问题(1)：在时间段(0,t]内，已经到达顾客等待的所有时间和的平均值；问题(2)：假设每分钟有3个顾客到达该银行，该窗口每8分钟有一名顾客被接待服务，求一天银行工作时间(9小时)内在银行该窗口由于等待服务而浪费的平均时间和.解设Xt表示在(0,t*内到达银行窗口的顾客数，则｛X(t),t>00为参数入的泊松过程.W,是第2个顾客到达的时刻，T,是第2个顾客等待的时间，则T,-t—W,.(1)在X(t)-n的条件下,”个顾客的到达时刻W1,…,w”的联合密度函数等于”个独立的[0,t*均匀分布的随机变量的顺序统计量的概率密度⑵.即XtE[#(t—W,)]2=18X(-#E[#(t—W,)\X(t)-n]P(X()-n) n=12=1-E(#W,)P(X()-n)n=12=1-tt—2]E[X()-t2(2)由题意，知A=3人/分钟，从而一天8/)、时工作时间客等服务浪费的均时间和是X60X9-6480(分钟).28一般化的回归问题：设随机变量Y与X1,X2,…X,有一定的相关关系，但不是确定的关系，一■般称Y被解释变量,X1,X2,-X t为解释变量.给定X1, X2,--X t的取值分别为41,4,-4,借助条件数学期望的几何定义,有下列“最优均方逼近”的结论.命题2设随机变量X1,X,-X t"L2(Q,F,P),Y"L2(Q,F,P),且F1=.(X1,X2,-X t)是F的一子.代数，则Y关于.代数F1-.(X1,X,…X t)的条件数学期望E(Y|F1)满足E [E(Y|F1)—Y*&E(Z—Y),其中％"L2(0,F,P|f1)且等号当且仅当Z-E(Y|F1-.(X1,X1,…X t))时即*(X1,X1,…,X t)-E(Y|F1=.(X1,X1,…,X t)是Y在LU0,F,P|f1)中的最优均方逼近例2从《中国统计年鉴》中取得外汇管理体制改革后的1994&2011年中国出口货物总额Y(亿元)、工业增加值X1(亿元)、人民币对美元的汇率X2(100美元)等数据作为样本.已知Y与其相关的X1X!的关为Y=—18231.58+0.135474X]+18.85348X Z+s 且4〜N(0,.])-N(0,533821.067S),求在工业和人汇率为(00000615)时口货总的佳解利用Y与其相关的影响因素X1,X的关系及命题2,可知在工业增加值X1和人民币对美元的汇率X2为X-(200000,615)时,出口货物总额的佳为E(Y|X)-E(—18231.58+0.135474X1+18.85348X Z+s|X) =—$823$58+0$35474X200000+18.85348X615+E(|X)-2(45&11+E(s)=20458$$求得的条件期望函数为E(Y\X)=—18231.58+0.135474X1+1&85348X,,也就是预测方程.该方程又是在给出随机变量Y, X—(X1,X z,…,X2一系列数据(y41,…,4), (2=12,•••")的情形下，可利用最小二乘法确定与所给数据相容的回归方程AY=E(Y)=—18231.58+0.135474X：+1&85348X,,其中回归系数0-(Z'Z)-1Z=及误差方差.2的无偏估计.2-—都可相应求出.本例中若给出n—2—$1994-2011年中国出口货物总额等相关数据，就可得到预测方程⑷.参考文献于林.条件数学期望概念教学的若干问题探讨中国电力教育2010(30)：75-77刘嘉银，王公恕•应用随机过程[M*科学出版社，2004.严士键，王隽釀，刘秀芳•概率论基础[M*.北京：科学出版社1999.曾五一，肖红叶•统计学导论[M*.科学出版社2013.。
条件期望的性质与应用 (2)
条件期望的性质与应用摘要:条件数学期望(以下简称条件期望)就是随机分析理论中十分重要的概念,在理论实际上都有很重要的应用。
本文首先分析了条件期望的几种定义与性质,进而研究了条件期望的求法,最后举例分析条件期望在实际问题中的应用。
关键词:条件期望;定义;性质;应用条件期望就是现代概率体系中的一个重要概念。
近年来,随着人们对随机现象的不断观察与研究,条件期望已经被广泛的利用到日常生活中,尤其值得注意的就是条件期望在最优预测中的应用。
现代概率论总就是从讲述条件期望开始的。
鉴于此,在分析条件期望的几种定义时,通过比较它们的优缺点,使初学者在充分认识条件期望的基础上,由非条件期望的性质学习顺利过渡到条件期望性质的学习,实现知识的迁移。
通过研究条件期望的求法,从而提高计算能力与解题技巧。
条件期望不仅在数学上有重要的价值与意义,还在生物、统计、运筹与经济管理等方面有着重要的作用与贡献。
总之,研究条件期望的性质与应用不仅有助于学生对数学的学习,而且还有利于进一步探索科学的其它领域。
1 条件期望的几种定义1、1 条件分布角度出发的条件期望定义从条件分布的角度出发,条件分布的数学期望称为条件期望。
由离散随机变量与连续随机变量条件分布的定义,引出条件期望的定义。
定义1 离散随机变量的条件期望设二维离散随机变量(X,Y)的联合分布列为(),ij j i p P X x Y y ===,1,2,,1,2,.i j =⋅⋅⋅=⋅⋅⋅,对一切使()10j j ij i P Y y p p +∞⋅====>∑的j y ,称()()|,(),1,2,j ij i i j i j jj P X x Y y p p P X x Y y i p P Y y ⋅========⋅⋅⋅=为给定j Y y =条件下X 的条件分布列。
此时条件分布函数为 ()()i i j i j i j x x x xF x y P X x Y y p ≤≤====∑∑;同理,对一切使()10i i ij j P X x p p +∞⋅====>∑的i x ,称()()()j|i ,,1,2,j ij i j i i j P X x Y y p p P Y y X x j p P X x ⋅========⋅⋅⋅=为给定i X x =条件下Y 的条件分布列。
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条件数学期望及其应用The ways of finding the inverse matrix and it ’sapplicationAbstract ：The passage lists the ways of calculating the first type of curvilinear integral,and discusses it ’s application in geometry and in physical.Keywords ：Curvilinear integral;Continuous;Integrable; Lateral area. 0前言在曲线积分中，被积函数可以是标量函数或向量函数.积分的值是路径各点上的函数值乘上相应的权重（一般是弧长，在积分函数是向量函数时，一般是函数值与曲线微元向量的标量积）后的黎曼和.带有权重是曲线积分与一般区间上的积分的主要不同点.物理学中的许多公式在推广之后都是以曲线积分的形式出现.曲线积分是物理学中重要的工具.1条件数学期望1.1条件数学期望的定义定义1 设X 是一个离散型随机变量，取值为},,{21 x x ，分布列为},,{21 p p .又事件A 有0)( A P ，这时 ,2,1,)()}({)|(| i A P A x X P A x X P P i i A i 为在事件A 发生条件下X 的条件分布列.如果有A i i i p x|则称A i ii p x A X E |]|[ ．为随机变量X 在条件A 下的条件数学期望（简称条件期望）．定义2 设X 是一个连续型随机变量，事件A 有0)( A P ，且X 在条件A 之下的条件分布密度函数为)|(A x f ．若dx A X xf )|(称为随机变量X 在条件A 下的条件数学期望．定义3 设),(Y X 是离散型二维随机变量，其取值全体为},2,1,),,{( j i y x i i ，联合分布列为,2,1,),,( j i y Y x X P p i i ij ，在i y Y 的条件下X 的条件分布列为 ,2,1),|(| i y Y x X P p i i j i 若 j i ii p x |，则j i ii i p x y Y X E |]|[为随机变量X 在i y Y 条件下的条件数学期望．定义4 设),(Y X 是连续型二维随机变量，随机变量X 在y Y 的条件下的条件密度函数为)|(|y x p Y X ，若dx y x p x Y X )|(|， 则称dx y x xp y Y X E Y X )|(]|[|为随机变量X 在}{y Y 条件下的条件数学期望．1.2条件数学期望的性质定理1 条件期望具有下面的性质：（1） )|()|()|(G bE G aE G b a E ，其中R b a ,，且假定)|(G b a E 存在；（2） )()]|([ E G E E ；（3） 如果 为G 可测，则 )|(G E ；（4） 如果 与 代数G 独立，则 E G E )|(;（5） 如果1G 是 代数G 的子 代数，则)|(]|))|([(11G E G G E E ；（6） )(不等式Jensen 如果f 是R 上的下凸函数，则)|)(())|((G f E G E f ；定理2 条件期望的极限定理：（1）单调收敛定理：若s a n .. ，则在})|({ G E 上，则)|(lim )|(G E G E n n． （2）Fatou 引理：若s a Y n ., ，则在})|({ G E 上，则)|(sup lim )|sup (lim G E G E n n ．（3） 控制收敛定理：若Y s a Y n ,., 可积，且P s a n 或., ，则0)|(limG E n n ． 1.3条件数学期望的求法在现代概率论体系中，条件期望的概念只是一种理论上的工具，在其定义中没有包含算法，所以求条件期望概率往往很难，需要技巧．本文对两种不同情形下的条件期望的求法做出讨论．方法一：利用问题本身所具有的某种对称性求解．例1设n ,,,21 时独立同分布随机变量． E ，记 nk k S 1 ，求n k S E k ,,2,1,|( ．解 易证j i S E S E j i ),|()|( ．则n i S S nE S S E i ,,2,1,)|()|(即 n k s a nS S E k ,,2,1,.,)|( 方法二：利用线性变换将随机变量分解为关于作为条件的 域可测或独立的随机变量之和，利用条件期望的性质求和．例 2 设有正态样本n X X ,,1 ),0(2 N ，统计量 ni k X T 1，求)|(2T X E k ． 解 令 n k k X S 12，则)|(1)|(2T S E nT X E k．作正交变换：n n X X X C Y Y Y Y 2121，其中C 为正交阵，第一行为)1,,1(n n ，则有n T I CC Y X Cov EY ),(,0，即 nk k Y T 22与独立，k Y n k N ,,2),,0(2 ，从而 n k k n k kn k k Y n T Y X S 2221212，2T 关于)(T 可测，所以 2222222)11(]|)[(1)|(1)|( n n T T Y n T E n T S E nT X E n k k k由以上例题可以看出，条件期望的求法是一个复杂的问题，我们必须从问题本身出发化简，将其转化为可测或独立于 代数的随机变量，然后运用条件期望的性质求解．1.4全期望公式设事件n B B B ,,,21 是一完备事件组，即n B B B ,,,21 互不相交，n k B P k 1,0)(，且 k nk B 1，由全概率公式有,2,1),()()|()(1|1i B P p B P B x X P x X P p k n k B i k k n k i i i k 这时若 X E ,则有)()|[)()())((1|11|k n k k k B i i i n k k nk B i i i i i i B P B X E B P p x B P p x p x EX k k 如同全概率公式一样，上式可称为全期望公式．若n B B B ,,,21 是一个完备事件组，则也有全期望公式)(]|[1 nk k k B P B X E EX（注意，X 的密度有公式))()|()(1k nk k B P B x f x f ．2条件数学期望的应用2.1条件数学期望在实际问题中的应用条件数学期望在概率论与数理统计中有重要的作用，在实际问题中也有大量应用．例如人们常说体育要从娃娃抓起．某少体校要在小学中选拔一批小学生进行重点培养，为我国篮球，排球运动准备后备力量．对一个运动员来说，他（她）的身高显然是一个非常重要的因素．于是问题产生了，在一大群各项素质（包括目前的身高）都差不多的七八岁的小朋友中，用什么办法来选拔一批将来（十年以后）身材会比较高的幼苗进行重点培养呢？科学工作者发现了小孩的足长与他（她）长大后的身高之间有密切的关系．我国的体育科研人员对16个省市的几万名青少年儿童进行了观测，建立了下述预测公式：成年身高= k （少儿当年足长） （单位：cm ）其中系数k 对不同性别，不同年龄组的儿童有不同的数值，其具体数值如下表：你大概很想知道上述预测公式是如何建立的？理论依据是什么？其实这正是现在所讨论的条件数学期望，对n （n 取定）岁的少年儿童来说，成年后的身高为X ，当年足长为Y 则),(Y X 是一个二维随机变量．一般认为他们的联合分布是正态分布．如果我们已知Y 的值，可以近似地以Y 的条件下X 的条件数学期望来估计X 的值，即用]|[Y X E 作X 的预测值．这时]|[Y X E 是Y 的线性函数，这就是成年身高的预测公式．例3 一全自动流水线正常生产时，产品中的一等品率为1p ，二等品率为2p ，等外品（即次品）率为3p ，1321 p p p ．为保证产品质量，厂方规定当生产出一件等外品时，该流水线即停工检修一次．已知首次检修之前共生产了n 件产品，求n 件产品中一等品件数的数学期望．解 设X 表示前n 件产品中一等品的件数，令}{件产品首次出现等外品第n A ．据题意是要求]|[A X E ．因为在条件A 下，前1 n 件产品中没有等外品，这时1 n 件产品中的一等品率是211p p p ，而二等品率是212p p p ，因此 10,1)|(1212211| n k p p p p p p k n A k X P p k n k A k 这是参数为),1(211p p p n 的二项分布．即 21110|)1(]|[p p p n kp A X E n k A k． 实际上我们认为在条件A 下，前1 n 次试验是1 n 重贝努里试验，试验成功（取到一等品）的概率是211/p p p ．从直观意义看这是明显的，这也正是直接讨论条件分布的简捷之处．2.2全期望公式的应用例4 在贝努里试验中，每次试验成功的概率为p ，试验进行到出现首次成功时停止．求平均需试验多少次？解 设X 为首次成功需做试验的次数，问题是求EX ．定义.,0,1第一次试验失第一次试验成功，Y 由全期望公式)0(]0|[)1(]1|[ Y P Y X E Y P Y X E EX ，已知p Y P p Y P 1)0(,)1(，在1 Y ，即首次试验成功的条件下，自然有1 X ，因此1]1|[ Y X E ．在0 Y 即首次首次实验失败的条件下，从第二次实验开始可以看作重新开始，因此，EX Y X E 1]0|[．第一项的1是已经试验了一次，以后的情况与从头开始一样．所以)1)(1(EX p p EX ， pEX 1 ． 原来求数学期望需要知道分布，但在上例的做法中可以不必知道分布，充分利用了随机变量的特性，并借助全期望公式，简化了计算，这是真正有概率特点的做法．例5 设电力公司每月可以供应某电厂的电力服从]30,10[（单位：万度）上的均匀分布，而该工厂每月实际生产所需要的电力服从]20,10[上的均匀分布．如果工厂能从电力公司得到足够的电力，则每一万度电可以创造30万元利润，若工厂从电力公司得不到足够的电力，则不足部分由工厂通过其他途径自行解决，每一万度电只有10万元利润．问该厂每月的平均利润为多大？解 设电力公司每月供应电厂的电力为X （万度），工厂每月实际需要的电力为Y （万度），工厂每月的利润为T （万元）．由题设条件知X Y X Y X X Y Y T 当当),(1030,30 于是当3020 x 时，有 dy x y dy y x X T E xx 1020101)2010(10130]|[22224050)20(2)20(21)100(23x x x x x x由式]}|[{X T E E ET 4332251006730025450201)4050(201302020102dx dx x x 所以该工厂平均每月的利润为433万元．2.3预测与回归对于二维随机变量),(Y X ，如果已知其中一个随机变量Y 的值，要根据这一信息对另一个随机变量X 的取值作出预测，这样的问题在人们的实践中可以说是比比皆是，常称它们为“预测问题”．前面我们提议用]|[Y X E 作为X 的预测值，这样做的依据是什么呢？一般地，我们可以选取Y 的一个函数)(Y g 作为X 的预测值．这时预测的误差是)(Y g X ，由于绝对值运算在数学上处理不方便，我们用2)]([Y g X 代替它．自然应该使误差尽可能地小，但2)]([Y g X 是一个随机变量，因此很自然的要求它的平均值2)]([Y g X E 尽可能地小．这样的准则就称为均方误差最小准则．假设),(Y X 为连续型二维随机变量，密度函数为),(y x f ，则dydx y x f y g x y f dxdy y x f Y g x Y g X E Y X Y ))|()]([)((),()]([)]([|222对每个y ，当]|[)(y Y X E y g 时，能使dx y x f y g x Y X )|()]([|2达到最小．因此取]|[)(Y X E Y g 时，2)]([Y g X E 达到最小，这就证明了，按照均方误差最小准则，]|[Y X E 是X 的最佳预测．这就是选取条件数学期望作X 的预测值的理论依据．对离散型情形也可用相同的方法论证上述结论．函数]|[)(Y X E Y g 称为X 关于Y 的回归函数．一般情况下，求)(y g 是比较困难的．因此，把预测问题简化，选取Y 的线性函数b aY 作为X 的预测值．同样采用均方误差最小准则，选取常数b a ,使得22][)]([b aY X E b aY X E取最小值．我们早已知道，若a 固定，aEY EX aY X E b )(时，2][b aY X E 取最小值][aY X D .我们只需求a，使DX Y X a DY a aY X D ),cov(2)(2达到最小值，即a 应取为 DY Y X a ),cov( ，我们称 EX EY Y DY Y X )(),cov(为X 关于Y 的回归直线．参考文献:[1] 中山大学数学系.概率论与数理统计[M].高等教育出版社.2002.[2] 周概容.概率论与数理统计[M].高等教育出版社.1984.[3] 茆试松.程依明.濮晓龙.概率论与数理统计教程[M].高等教育出版社.2004.[4] 孙荣恒.应用概率论[M].科学出版社.2001.[5] 何声武.概率论与数理统计[M].经济科学出版社.1992.欢迎您的下载，资料仅供参考！致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习资料等等打造全网一站式需求。