SAT

Components of DPLL
• 冲突分析和学习(Conflict Analysis and Learning)
• 冲突分析：找到导致冲突的原因并且试图去解决 冲突的过程。 • 冲突学习：冲突分析之后，对于当前冲突的信息 就会以子句的形式加入到子句数据空间中，这些 加进去的子句，虽然在一定程度上有些冗余，但 是不会改变原来问题的满足性，而且帮助可以减 少搜索空间。
DPLL Framework
• 迭代描述
status = preprocess(); if (status!=UNKNOWN) return status; while(true) { decide_next_branch(); while (true) { status = deduce(); if (status == CONFLICT) { blevel = analyze_conflict(); if (blevel == 0) return UNSATISFIABLE; else backtrack(blevel); } else if (status == SATISFIABLE) return SATISFIABLE; else break; } }
Components of DPLL
• 预处理：将SAT实例转换成CNF的过程
• 随机重启动：即在搜索的某一阶段放弃当 前所有变量的赋值，重新开始问题的搜索 。
• "A machine program for theorem proving," Communications of the ACM, vol. 5, pp. 394-397, 1962
SAT Solvers 最新进展
• 基于DPLL框架的解决SAT问题的代码，即 SAT解析器（SAT Solvers）
Components of DPLL
• 推导算法（Deduction algorithm ） • 优化当前问题
– 一元子句（Unit clause） 如果在子ห้องสมุดไป่ตู้中除了一个文字没有被赋值外，其他的文字赋值都是0， 那么这个子句就叫做一元子句。 – 一元子句规则（Unit clause rule） 对于一元子句中未被赋值的一个文字，必须赋值为1，这就叫做一 元子句规则。 – 布尔约束推导（BCP Mechanisms）
• SAT的应用范围
Introduction
• SAT问题属于布尔逻辑的范畴，绝大多数的 SAT都是以CNF（合取范式）的形式给出。
• CNF :有一个或者多个子句逻辑与组成。 • 子句：有一个或者多个变量的文字逻辑或组成 • 文字：一个变量有两个文字，正向位文字（X） 和反向位文字（~X）
Introduction
• 子句存储的数据结构(Data Structure for Storing Clause Database) • 子句链表存储。 好处：灵活，便于操作 缺点：内存使用效率不高 容易造成缓存缺失 • 子句数组存储 好处：内存使用高效，访问方便。 缺点： 不够灵活 • 数组的存储结构还是比较好的 • 其他的存储结构 Trie
• 每一个子句有两个计数器，分别用来记录子句中文字被赋值为0的个 数和赋值为1的个数。 • 每一个变量有两个链表，分别包含了变量正向文字存在的子句和反向 文字出现的子句。
BCP 的‘懒散’数据结构-头尾指针
• 第一个提出来针对BCP的懒散数据结构，最初应用在 SATO解析器中。 • 每个子句有两个指针，分别指向子句的头部和尾部文字。 子句的文字是以数组的形式存储的。 • 每一个变量v维护四个链表，包含指向子句的指针，分别 是： clause_of_pos_head(v),clause_of_neg_head(v), clause_of_pos_tail(v) 和clause_of_neg_tail(v).
DPLL Framework
• 递归描述
DPLL(formula, assignment){ necessary = deduction(formula, assignment); new_asgnmnt = union(necessary, assignment); if (is_satisfied(formula, new_asgnmnt)) return SATISFIABLE; else if (is_conflicting(formula, new_asgnmnt)) return CONFLICT; var = choose_free_variable(formula, new_asgnmnt); asgn1 = union(new_asgnmnt, assign(var, 1)); if (DPLL(formula, asgn1)==SATISFIABLE) return SATISFIABLE; else { asgn2 = union (new_asgnmnt, assign(var, 0)); return DPLL(formula, asgn2); } }
• Algorithms: – 1.完全算法: 算法结束时要么找到一组真值赋值，证明 可满足性。要么证明没有解存在。
– 2 不完全算法: 算法结束时若是能找到一组可满足的真 值赋值，则判定问题是可满足的。否则，不能判断问 题是否可满足。
DPLL Framework
Davis, Putnam, Logemann and Loveland • "A computing procedure for quantification theory," Journal of ACM, vol. 7, pp. 201-215, 1960.
DPLL-based SAT solvers
概念：
– 合取范式 – 子句、变量、文字 举例说明，比如，下式表示了一个CNF表达式。 F=(a+b+～c)(～b+e)(a+～f+c) 其中，变量集合V={a，b，c，c，f}，该CNF表达式由 三个子句组成，分别是 cI=(a+b+～c)，c2=(～b+e)和 c3=(a+～f+c)。 – 冲突子句: 一个子句它的所有变量文字的值都0
头尾指针（head-tail points ）
• 在搜索的过程中，如果碰到一个文字的赋值是1，那么这个子句就是 满足的. • 在搜索的过程中，碰一个文字L是没有被赋值的，而且该文字不是尾 文字，就把该子句从 clause_of_neg_head(v)删除加入到 以L为头指 针的链表中 • 所有在这两个指针之间的文字赋值都是0，但是尾指针指向的文字没 有被赋值，那么这个子句就是一元子句。未赋值的文字就是一元文字 。 • 如果在这两个指针之间的文字赋值都是0 ，尾指针指向的文字赋值也 是零，这个子句就是冲突子句。
冲突分析和学习
冲突分析和学习
• 同步回溯：当决策变量的某一个相位赋值 并执行BCP后发现了冲突，需要取消当前 的赋值并选择该变量的另一个相位赋值。 • 非同步回溯：通过分析断定该变量的另一 个相位也是存在冲突的，从而回溯到更高 的决策层中去。
同步回溯和非同步回溯
Components of DPLL
The Quest for Efficient Boolean Satisfiability Solvers with zchaff as an example
Introduction
• SAT: 给定一个命题逻辑，判断是否存在一组变量赋值，能够是 这个公式为真。这个问题就是布尔满足性问题。Boolean satisfiability problem，简称SAT • SAT问题是第一个NP完全问题。
Components of DPLL
• （启发式搜索）Branching Heuristics
Components of DPLL
• 基本的DPLL算法主要采用的是深度优先搜 索(DFS)的思想，即将搜索空间表示成由各 个变量所构成的搜索树，以传统的深度优 先搜索策略历遍所有的通路，找到能使问 题满足的真值赋值。 • 最短子句出现频率最大（MOM（高精度） ） • 独立下降式变量和（VSIDS）