三角形内角和与外角和的专题训练

三角形内角和与外角和的专题训练

一．有关角平分线

（一） 一条角平分线

1. 如图1，AD 是△ABC 的角平分线，则∠B+∠AD B 与∠ADC ＋∠C 的大小关系如何？

为什么？

① 根据“三角形的内角和等于180°”，得到∠B+∠AD B=∠ADC ＋∠C 。 ② 由上式变形得∠ADC －∠AD B=∠B －∠C 。

③ 因为∠ADC+∠AD B=180°，所以2∠ADC=180°+（∠B －∠C ）

即∠ADC=90°＋1

2（∠B －∠C ）

或2∠ADB=180°－（∠B －∠C ）即∠ADB=90°－1

2（∠B －∠C ）

可见大角∠ADC 比∠B 与∠C 的差的一半大90°；小角∠ADB 是∠B 与∠C 的差的一半的余角。

2. 直接写出图2中∠BEC 、∠BEA 分别与∠A －∠C 的关系式。

3. 直接写出图3中∠BFC 、∠AFC 分别与∠A －∠B 的关系式。

引伸题：AD 是△ABC 的角平分线。

1.如图4，点E 在AD 上，EF ⊥BC 于F ，试写出∠DEF 与∠C －∠B 的关系式：

2. 如图5，点E 在AD 上，EF ⊥AD 于E ，交BC 于点F ，试写出∠DFE 与∠ACB －∠B 的关系式：

3.试画图，当点E 在直线AD 上，EF ⊥BC 于F ，试写出∠DEF 与∠C －∠B 的关系式：

B

B

B

B

B

图1 图2

图3

图4

图5

4. 试画图，当点E 在直线AD 上，EF ⊥AD 于F ，交BC 于点F,试写出∠DFE 与∠C －∠B 的关系式：

(二)多条角平分线

1. 如图1，BD ，CE 分别是△ABC 的角平分线，相交于点F 。

（1） 根据“三角形的内角和等于180°”，得到∠ABC ＋∠ACB=180°－∠A ，

所以1

2（∠ABC ＋∠ACB ）=90°－1

2∠A ，又∠BFC=180°－1

2（∠ABC ＋∠ACB ），

所以∠BFC=180°－（90°－1

2∠A ） 即∠BFC=90°＋1

2

∠A 或∠BFE=90°－1

2

∠A

可见三角形的两条角平分线的夹角比第三个角的一半大90°，或是第三个

角一半的余角。

2. 如图2，△ABC 的三条角平分线AG ，BD ，CE 相交于点F ，试写出∠AFB, ∠BFG 分

别与∠ACB 的关系式；

B

C

B

A B

C

A

B

C

G

备用图1

备用图2

图1

图2

试写出∠AFC, ∠CFG 分别与∠ABC 的关系式。 引伸题：BD ，CE 是△ABC 的角平分线。

1. 如图3，EG ⊥BD ，垂足为G ，试说明∠GEF

与∠A 的关系式。

2. 如图4，DH ⊥BD ，垂足为D ，试说明∠DHF 与∠A 的关系式。

3．在备用图1上，画出一个与∠ACF 相等的角∠FDH. 4. 在备用图2上，画出一个与∠CBF 相等的角∠FHG

小练习：

1. 如图1，BD 是△ABC 的角平分线.

① 若∠A=100°，∠C=30°，则∠ADB=______;∠CDB=__________;

A B

C A

B

C

B

C

B

C

B 图3

图4

备用图1

备用图2

②若∠A-∠C=30°，则∠ADC=____ ∠CDB=_______; ③若∠ADC=60°，则∠A-∠C=____ ④若∠CDB=115°，则∠A-∠C=___

3. 如图3，①若∠ABC=30°，则∠AFE=__________.

② ∠BFG=30°，则∠ACB=_________.

4. 如图4，①若EH ⊥EF ，垂足为点E ，交BD 于H ，∠EHF=45°，则∠BAC=_________;

③ 若FM ⊥BC ，垂足为点M ，试说明∠CFM 与∠BFG 的大小关系。

二．有关外角平分线。

(一)一条外角平分线

1. 如图1，CE 是△ABC 的外角平分线，交BA 于点E 。

④ 由三角形的外角性质可知，∠DCE=∠B ＋∠BEC ，∠ACE=∠BAC －∠AEC ，

又∠DCE=∠ACE ；所以，∠B ＋∠BEC=∠BAC －∠AEC ，

变形得：∠AEC=1

2(∠BAC －∠B).

⑤ 若∠BAC=80°，∠B=30°，则∠AEC=_________.

D

B C

A B

C

G

H

M

B

图3

图4

图1 图2 2.如图2，AD,BE 分别是△ABC 的角平分线，相交于点F 。

①若∠C=45°，则∠AFB=____,∠BFD=______ ②若∠C=90°，则∠AFB=____,∠BFD=______ ③若∠C=100°则∠AFB=____,∠BFD=______ ④若∠BFD=30°则∠C=_____,

⑤若∠AFB=130°，则∠C=_________;

⑥若∠BFD=∠C,则∠C=____________; ⑦若∠AFB 与∠C 互补，则∠C=_______ ⑧若∠AFB+∠C=150°，则∠C=________.

图2