三角形的内角和与外角和

合集下载

三角形的外角与内角和计算技巧

三角形的外角与内角和计算技巧一、三角形的外角1.定义：三角形的一个外角是指与三角形的一个内角不在同一直线上的角。

a)三角形的外角等于它不相邻的两个内角之和。

b)三角形的外角大于任何一个不相邻的内角。

c)外角与它相邻的内角互补（即外角加相邻内角等于180°）。

2.计算方法：a)已知三角形的两个内角，求第三个内角的外角：用180°减去这两个内角的和。

b)已知三角形的一个内角和一个外角，求另一个内角：用180°减去这个外角。

二、三角形的内角和1.定理：三角形的三个内角和等于180°。

a)画出任意一个三角形，将其分为两个三角形。

b)每个小三角形的内角和都是180°，因此，整个三角形的内角和是360°。

c)由于两个小三角形的公共角被计算了两次，所以将其减去一次，得到三角形的内角和为180°。

2.计算方法：a)已知三角形的两个内角，求第三个内角：用180°减去这两个内角的和。

b)已知三角形的三个内角，验证内角和是否等于180°。

三、外角与内角和的联系1.每个三角形的三个外角和等于360°。

2.三角形的外角与它相邻的内角互补，即外角加相邻内角等于180°。

3.利用外角可以转换求解内角，利用内角和定理可以验证外角的计算结果。

四、应用拓展1.利用三角形外角性质解决几何问题，如证明线段平行、求解三角形面积等。

2.利用内角和定理求解三角形的问题，如求解三角形的角度、边长等。

3.外角与内角和的知识在实际生活中的应用，如测量土地面积、建筑物的设计等。

通过以上知识点的学习，学生可以掌握三角形外角与内角和的计算技巧，并能运用到实际问题中。

习题及方法：1.习题：已知三角形ABC的内角A、B分别为90°和45°，求三角形ABC的外角D的度数。

答案：外角D的度数为180° - 90° - 45° = 45°。

三角形的内角和和外角和关系(教师)

三角形的内角和与外角和关系一、考点、热点回顾：要点一、三角形的内角和1.三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．2.结论：直角三角形的两个锐角互余.要点诠释：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题：①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数；②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数；③求一个三角形中各角之间的关系．要点二、三角形的外角1．定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．如图，∠ACD是△ABC的一个外角.要点诠释：(1)外角的特征：①顶点在三角形的一个顶点上；②一条边是三角形的一边；③另一条边是三角形某条边的延长线．（2）三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角．所以三角形共有六个外角，通常每个顶点处取一个外角，因此，我们常说三角形有三个外角．2．性质：（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．（2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．要点诠释：三角形内角和定理和三角形外角的性质是求角度及与角有关的推理论证明经常使用的理论依据．另外，在证角的不等关系时也常想到外角的性质．3.三角形的外角和：三角形的外角和等于360°.要点诠释：因为三角形的每个外角与它相邻的内角是邻补角，由三角形的内角和是180°，可推出三角形的三个外角和是360°．二、典型例题+拓展训练：【典型例题】类型一、三角形的内角和1．在△ABC中，若∠A＝12∠B＝13∠C，试判断该三角形的形状．【思路点拨】由∠A＝12∠B＝13∠C，以及∠A+∠B+∠C＝180°，可求出∠A、∠B和∠C的度数，从而判断三角形的形状．【答案与解析】解：设∠A＝x，则∠B＝2x，∠C＝3x．由于∠A+∠B+∠C＝180°，即有x+2x+3x＝180°．解得x＝30°．故∠A＝30°．∠B＝60°，∠C＝90°．故△ABC是直角三角形．【总结升华】本题利用设未知数的方法求出三角形三个内角的度数，解法较为巧妙．举一反三：【变式1】三角形中至少有一个角不小于________度．【答案】60【高清课堂：与三角形有关的角练习（3）】【变式2】如图，AC⊥BC,CD⊥AB,图中有对互余的角？有对相等的锐角？【答案】4，2．2.在△ABC中，∠ABC＝∠C，BD是AC边上的高，∠ABD＝30°，则∠C的度数是多少? 【思路点拨】按△ABC为锐角三角形和钝角三角形两种情况，分类讨论．【答案与解析】解：分两种情况讨论：（1）当△ABC为锐角三角形时，如图所示，在△ABD中，∵ BD是AC边上的高(已知)，∴∠ADB＝90°(垂直定义)．又∵∠ABD＝30°(已知)，∴∠A＝180°-∠ADB-∠ABD＝180°-90°-30°＝60°．又∵∠A+∠ABC+∠C＝180°(三角形内角和定理)，∴∠ABC+∠C＝120°，又∵∠ABC＝∠C，∴∠C＝60°．(2)当△ABC为钝角三角形时，如图所示．在直角△ABD中，∵∠ABD＝30°(已知)，所以∠BAD＝60°．∴ ∠BAC ＝120°．又∵ ∠BAC+∠ABC+∠C ＝180°(三角形内角和定理)，∴ ∠ABC+∠C ＝60°．∴ ∠C ＝30°．综上，∠C 的度数为60°或30°．【总结升华】在解决无图的几何题的过程中，只有正确作出图形才能解决问题．这就要求解答者必须具备根据条件作出图形的能力；要注意考虑图形的完整性和其他各种可能性，双解和多解问题也是我们在学习过程中应该注意的一个重要环节．类型二、三角形的外角【高清课堂：与三角形有关的角例4、】3.如图，在△ABC 中，AE ⊥BC 于E ，AD 为∠BAC 的平分线，∠B=50º，∠C=70º，求∠DAE ．【答案与解析】解：∠A ＝180°－∠B －∠C ＝180°－50°－70°＝60°又AD 为∠BAC 的平分线所以∠BAD ＝12BAC ∠＝30° ∠ADE ＝∠B ＋∠BAD ＝50º＋30°＝80°又 AE ⊥BC 于E所以∠DAE ＝90°－∠ADE ＝90°－80°＝10°举一反三：【变式】如图，在△ABC 中，AB ＞AC ，AE ⊥BC 于E ，AD 为∠BAC 的平分线，则∠DAE 与∠C －∠B 的数量关系 .【答案】2C B DAE ∠-∠∠=4.如图所示，已知CE 是△ABC 外角∠ACD 的平分线，CE 交BA 延长线于点E.求证：∠BAC >∠B.【答案与解析】证明：在△ACE中，∠BAC >∠1（三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角）.同理在△BCE中，∠2 >∠B，因为∠1=∠2，所以∠BAC >∠B.【总结升华】涉及角的不等关系的问题时，经常用到三角形外角性质：“三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角”.举一反三：【变式】如图所示，用“<”把∠1、∠2、∠A联系起来________.【答案】∠A <∠2 <∠1类型三、三角形的内角外角综合5.如图所示，试求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数．【思路点拨】本题中∠A、∠B、∠C、∠D、∠E不能单个地求出．因此，需进行整体求值．【答案与解析】解：连BC，由三角形的内角和为180°不难得到∠E+∠D＝∠1+∠2．∵∠A+∠ABD+∠ACE+∠1+∠2＝180°，∴∠A+∠ABD+∠ACE+∠D+∠E＝180°．【总结升华】解多个角的度数和问题可以结合三角形的内角和与三角形的外角，将所求角转化到一个或几个三角形中，从而求得多个角的和．举一反三：【变式1】如图所示，五角星ABCDE中，试说明∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.【答案】解：因为∠AGF是△GCE的外角，所以∠AGF=∠C+∠E.同理∠AFG=∠B+∠D.在△AFG中，∠A+∠AFG+∠AGF=180°.所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.【变式2】一个三角形的外角中，最多有锐角 ( )A．1个 B．2个 C．3个 D．不能确定【答案】A (提示：由于三角形最多有一个内角是钝角，故最多有一个外角是锐角．) 三、总结：四、课堂练习：一、选择题1. (湖北荆州)如图所示，一根直尺EF压在三角板30°的角∠BAC上，与两边AC，AB交于M，N．那么∠CME+∠BNF是( )A．150° B．180° C．135° D．不能确定2．若一个三角形的三个内角互不相等，则它的最小角必小于( )A．30° B．45° C．60° D．55°3．下列语句中，正确的是( )A．三角形的外角大于任何一个内角B．三角形的外角等于这个三角形的两个内角之和C．三角形的外角中，至少有两个钝角D．三角形的外角中，至少有一个钝角4．如果一个三角形的两个外角之和为270°，那么这个三角形是( )A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定5．如图，已知AB∥CD，则( )A．∠1＝∠2+∠3 B．∠1＝2∠2+∠3C．∠1＝2∠2-∠3 D．∠1＝180°-∠2-∠36.(福建漳州)如图所示，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC的纸片，点D、E分别是边AB、AC上，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A′重合，若∠A＝70°，则∠1+∠2＝( ) A．140° B．130° C．110° D．70°二、填空题7．在△ABC中，若∠A-2∠B＝70°，2∠C-∠B＝10°，则∠C＝________．8．如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O．(1)若∠A＝76°，则∠BOC＝________；(2)若∠BOC＝120°，则∠A＝_______；(3)∠A与∠BOC之间具有的数量关系是_______．9. 已知等腰三角形的一个外角等于100°，则它的底角等于________．10．(河南)将一副直角三角板如图所示放置，使含30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为________．11．(湖北鄂州)如图所示，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC＝40°，则∠CAP＝_______．12.如图，O是△ABC外一点，OB，OC分别平分△ABC的外角∠CBE，∠BCF.若∠A＝n°，则∠BOC＝（用含n的代数式表示）.三、解答题13.如图，求证：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.14．如图所示，BE与CD交于A，CF为∠BCD的平分线，EF为∠BED的平分线．(1)试探求：∠F与∠B、∠D之间的关系；(2)若∠B:∠D:∠F＝2:4:x，求x的值．15．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与外角∠ACE的平分线交于点D．试说明12D A ∠=∠．16．如图所示，在△ABC中，∠1＝∠2，∠C＞∠B，E为AD上一点，且EF⊥BC于F．(1)试探索∠DEF与∠B，∠C的大小关系；(2)如图(2)所示，当点E在AD的延长线上时，其余条件都不变，你在(1)中探索到的结论是否还成立?【答案与解析】一、选择题1. 【答案】A【解析】(1)由∠A＝30°，可得∠AMN+∠ANM＝180°-30°＝150°又∵∠CME＝∠AMN，∠BNF＝∠ANM，故有∠CME+∠BNF＝150°．2. 【答案】C；【解析】假如三角形的最小角不小于60°，则必有大于或等于60°的，因为该三角形三个内角互不相等，所以另外两个非最小角一定大于60°，此时，该三角形的三个内角和必大于180°，这与三角形的内角和定理矛盾，故假设不可能成立，即它的最小角必小于60°．3. 【答案】C ；【解析】因为三角形的内角中最多有一个钝角，所以外角中最多有一个锐角，即外角中至少有两个钝角.4. 【答案】B；【解析】因为三角形的外角和360°，而两个外角的和为270°，所以必有一个外角为90°，所以有一个内有为90°.5. 【答案】A；6. 【答案】A；【解析】连接AA′，则∠1＝∠EAA′+∠EA′A，∠2＝∠DAA′+∠DA′A所以∠1+∠2＝∠EAA′+∠EA′A+∠DAA′+∠DA′A＝∠EAD+∠EA′D＝70°+70°＝140°．二、填空题7. 【答案】20°；【解析】联立方程组：A-2B=702C-10180BA B C∠∠︒⎧⎪∠∠=︒⎨⎪∠+∠+∠=︒⎩，解得20C∠=︒．8.【答案】128°, 60°，∠BOC＝90°+12∠A；9. 【答案】80°或50°；【解析】100°的补角为80°，(1)80°为三角形的顶角；（2）80°为三角形底角时，则三角形顶角为50°.10．【答案】75°；11.【答案】50°；【解析】∠PCD＝∠PBC+40°，即∠PCD－∠PBC＝40°，又PA是△ABC中∠A的外角的平分线，点P是旁心（旁心是一个三角形内角平分线与其不相邻的两个外角平分线的交点）所以180°－2∠PCD+2∠PBC+180°－2∠PAC＝180°，所以∠PAC＝50°.12.【答案】1902n︒-︒；【解析】∵∠COB=180︒-（∠OBC+∠OCB ），而BO ，CO 分别平分∠CBE ，∠BCF ，∴∠OBC ＝1122n ACB ︒+∠，∠OCB ＝1122n ABC ︒+∠. ∴∠COB=180°－[(180)2n n ︒+︒-︒]＝1902n ︒-︒. 三、解答题13.【解析】解：延长BE ，交AC 于点H,易得∠BFC=∠A+∠B+∠C再由∠EFC=∠D+∠E ，上式两边分别相加，得：∠A+∠B+∠C ＋∠D+∠E ＝∠BFC ＋∠EFC ＝180°。

三角形的内角和与外角和

三角形的内角和与外角和三角形是几何学中最基本的图形之一，它由三条线段组成，每两条线段之间的夹角称为三角形的内角。

而与每个内角相对的外角则是与之相补的角度。

本文将探讨三角形的内角和与外角和的相关性质。

一、三角形的内角和在一个三角形中，三个内角的和总是等于180度。

这个性质被称为三角形内角和定理。

假设三角形的三个内角分别为A、B、C，则有以下关系成立：A +B +C = 180度这个定理有时也可以通过三角形内角和的定义来理解。

根据定义，三角形的每个内角都是由两个边所形成的夹角。

因此，三角形的三个内角将形成一条直线，而直线角度总和为180度。

二、三角形的外角和在三角形中，每个内角的补角称为外角。

即与内角相对的直线之间的夹角。

我们可以推论出，三角形的三个外角的和总是等于360度。

这个性质被称为三角形外角和定理。

三、内角和与外角和的关系我们可以通过三角形的内角和与外角和的关系来推导出三角形的外角和定理。

我们知道三角形的三个内角和为180度。

以一个内角为例，假设该内角的度数为x度，则其补角的度数为180减去x度。

由于三角形的三个内角的补角的度数总和等于360度，因此有：(180 - A) + (180 - B) + (180 - C) = 360度化简得：540 - (A + B + C) = 360度由于A + B + C = 180度，代入上式得：540 - 180 = 360度因此，我们可以得出结论，三角形的外角和总是等于360度。

这一结论也可以通过实际验证来证明。

我们可以通过绘制一张三角形的示意图，并在每个内角旁边标记其补角的度数。

通过测量这些度数，我们可以发现三个补角的度数总和为360度。

总结：三角形的内角和与外角和的关系是：1. 三角形的内角和等于180度。

2. 三角形的外角和等于360度。

这些性质在解决三角形相关问题时非常有用。

对于任意的三角形，我们都可以利用这些性质计算其内角和与外角和，从而帮助我们更好地理解和分析三角形的特性和性质。

三角形的内角和与外角性质

三角形的内角和与外角性质三角形是几何学中最基本的形状之一，由三条边和三个内角组成。

本文将探讨三角形的内角和与外角性质。

一、三角形的内角和性质三角形的内角和指的是三个内角的度数之和。

根据平面几何的基本原理，任何三角形的内角和都等于180度，即∠A + ∠B + ∠C = 180°。

根据三角形的内角和定理，我们可以得出以下结论：1. 锐角三角形：三个内角都小于90度的三角形属于锐角三角形。

对于锐角三角形，∠A + ∠B + ∠C = 180°，且三个内角的度数之和小于180度。

2. 直角三角形：直角三角形的其中一个内角是90度，剩余两个内角的度数之和等于90度。

即∠A + ∠B + ∠C = 180°，其中∠C = 90°。

3. 钝角三角形：三个内角中至少有一个大于90度的三角形属于钝角三角形。

对于钝角三角形，∠A + ∠B + ∠C = 180°，且三个内角的度数之和大于180度。

以上是关于三角形的内角和性质的基本原理。

接下来，我们将讨论与之相对应的三角形的外角性质。

二、三角形的外角性质三角形的外角是指一个三角形的任意一个内角的补角。

根据三角形的内角和性质，我们可以得出如下结论：1. 锐角三角形的外角性质：对于锐角三角形ABC，三个外角的度数之和等于360度，即∠D + ∠E + ∠F = 360°。

其中∠D = 180° - ∠A，∠E = 180° - ∠B，∠F = 180° - ∠C。

2. 直角三角形的外角性质：对于直角三角形ABC，三个外角的度数之和等于360度，即∠D + ∠E + ∠F = 360°。

其中∠D = 90° - ∠A，∠E = 90° - ∠B，∠F = 90° - ∠C。

3. 钝角三角形的外角性质：对于钝角三角形ABC，三个外角的度数之和等于360度，即∠D + ∠E + ∠F = 360°。

三角形的内角和与外角和关系(基础)知识讲解

三角形的内角和与外角和关系（基础）知识讲解【学习目标】1．理解三角形内角和定理的证明方法；2．掌握三角形内角和定理及三角形的外角性质；3．能够运用三角形内角和定理及三角形的外角性质进行相关的计算，证明问题.【要点梳理】要点一、三角形的内角和1.三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．2.结论：直角三角形的两个锐角互余.要点诠释：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题：①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数；②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数；③求一个三角形中各角之间的关系．要点二、三角形的外角1．定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．如图，∠ACD是△ABC的一个外角.要点诠释：（1）外角的特征：①顶点在三角形的一个顶点上；②一条边是三角形的一边；③另一条边是三角形某条边的延长线．（2）三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角．所以三角形共有六个外角，通常每个顶点处取一个外角，因此，我们常说三角形有三个外角．2．性质：（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．（2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．要点诠释：三角形内角和定理和三角形外角的性质是求角度及与角有关的推理、证明经常使用的理论依据．另外，在证明角的不等关系时也常想到外角的性质．3.三角形的外角和：三角形的外角和等于360°.要点诠释：因为三角形的每个外角与它相邻的内角是邻补角，由三角形的内角和是180°，可推出三角形的三个外角和是360°．【典型例题】类型一、三角形的内角和1．证明：三角形的内角和为180°.【答案与解析】解：已知：如图，已知△ABC，求证：∠A+∠B+∠C＝180°.证法1：如图1所示，延长BC 到E ，作CD ∥AB ．∵ AB ∥CD （已作），∴ ∠1=∠A （两直线平行，内错角相等），∠B=∠2（两直线平行，同位角相等）．又∵∠ACB+∠1+∠2=180°（平角定义），∴∠ACB+∠A+∠B=180°（等量代换）．证法2：如图2所示，在BC 边上任取一点D ，作DE ∥AB ，交AC 于E ，DF ∥AC ，交AB 于点F ．∵DF ∥AC （已作），∴∠1=∠C （两直线平行，同位角相等），∠2=∠DEC （两直线平行，内错角相等）．∵DE ∥AB （已作）．∴∠3=∠B ，∠DEC=∠A （两直线平行，同位角相等）．∴∠A=∠2（等量代换）．又∵∠1+∠2+∠3=180°（平角定义），∴∠A+∠B+∠C=180°（等量代换）．证法3：如图3所示，过A 点任作直线1l ，过B 点作2l ∥1l ，过C 点作3l ∥1l ，∵1l ∥3l （已作）．∴∠l=∠2（两直线平行，内错角相等）．同理∠3=∠4．又∵1l ∥2l （已作），∴∠5+∠1+∠6+∠4=180°（两直线平行，同旁内角互补）．∴∠5+∠2+∠6+∠3=180°（等量代换）．又∵∠2+∠3=∠ACB ，∴∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°（等量代换）．【总结升华】三角形内角和定理的证明方法有很多种，无论哪种证明方法，都是应用的平行线的性质.2.在△ABC 中，已知∠A+∠B ＝80°，∠C ＝2∠B ，试求∠A ，∠B 和∠C 的度数．【思路点拨】题中给出两个条件：∠A+∠B ＝80°，∠C ＝2∠B ，再根据三角形的内角和等于180°，即∠A+∠B+∠C ＝180°就可以求出∠A ，∠B 和∠C 的度数．【答案与解析】解：由∠A+∠B ＝80°及∠A+∠B+∠C ＝180°，知∠C ＝100°．又∵ ∠C ＝2∠B ，∴ ∠B ＝50°．∴ ∠A ＝80°-∠B ＝80°-50°＝30°．【总结升华】解答本题的关键是利用隐含条件∠A+∠B+∠C ＝180°．本题可以设∠B ＝x ，则∠A ＝80°-x ，∠C ＝2x 建立方程求解．【高清课堂：与三角形有关的角例1、】举一反三：【变式】已知，如图，在△ABC 中，∠C=∠ABC=2∠A ，BD 是AC 边上的高，求∠DBC 的度数.【答案】解：已知△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A设∠A=x则∠C=∠ABC=2xx+2x+2x=180°解得：x=36°∴∠C=2x=72°在△BDC中， BD是AC边上的高，∴∠BDC=90°∴∠DBC=180°－90°-72°=18°类型二、三角形的外角【高清课堂：与三角形有关的角例2、】3.（1）如图，AB和CD交于点O，求证：∠A＋∠C＝∠B＋∠D ．（2）如图，求证：∠D=∠A＋∠B +∠C．【答案与解析】解：（1）如图，在△AOC中，∠COB是一个外角，由外角的性质可得：∠COB＝∠A＋∠C，同理，在△BOD中，∠COB＝∠B＋∠D，所以∠A＋∠C＝∠B＋∠D．（2）如图，延长线段BD交线段与点E，在△ABE中，∠BEC＝∠A＋∠B ①；在△DCE中，∠BDC＝∠BEC＋∠C ②，将①代入②得，∠BDC＝∠A＋∠B＋∠C，即得证．【总结升华】重要结论：（1）“8”字形图：∠A＋∠C＝∠B＋∠D；（2）“燕尾形图”：∠D=∠A＋∠B +∠C．举一反三：【变式1】如图，AB∥CD，AD和BC相交于点O，∠A＝40°，∠AOB＝75°，则∠C等于（）A、40°B、65°C、75°D、115°【答案】B【变式2】如图，在△ABC中，∠A＝70°，BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，则∠BOC的度数为 .【答案】125°类型三、三角形的内角、外角综合4.如图所示，已知DE分别交△ABC的边AB、AC于D、E，交BC的延长线于F，∠B＝67°，∠ACB＝74°，∠AED＝48°，求∠BDF的度数．【思路点拨】要求∠BDF的度数，应从三角形内角和与三角形的外角出发，若将∠BDF看成△BDF的内角，只需求∠F的度数即可．【答案与解析】解：∵∠CEF＝∠AED＝48°，∠BCA＝∠CEF+∠F，∴∠F＝∠BCA-∠CEF＝74°-48°＝26°，∴∠BDF＝180°-∠B-∠F＝180°-67°-26°＝87°．【总结升华】三角形内角和与外角是进行与角有关的计算或证明的重要工具，本题也可将∠BDF看成△ADE的外角来求解．举一反三：【变式】如图所示，已知△ABC中，P为内角平分线AD、BE、CF的交点，过点P作PG⊥BC 于G，试说明∠BPD与∠CPG的大小关系并说明理由．【答案】解：∠BPD＝∠CPG；理由如下：∵ AD、BE、CF分别是∠BAC、∠ABC、∠ACB的角平分线，∴∠1＝12∠ABC，∠2＝12∠BAC，∠3＝12∠ACB，∴∠1+∠2+∠3＝12(∠ABC+∠BAC+∠ACB)＝90°，又∵∠4＝∠1+∠2，∴∠4+∠3＝90°，又∵ PG⊥BC，∴∠3+∠5＝90°，∴∠4＝∠5，即∠BPD＝∠CPG．。

三角形的内角和与外角和

C. ∠A >∠2 >∠1 D. ∠2 >∠A >∠1
课堂小结
1.通过本节课的学习，你有哪些收获？（从知识、技能、思想方法）
2.对于本节课的内容，你还有哪些困惑？
课后作业
必做题：
基础题：课本82页：习题9.1第2、3、4题. 提升题：
一个零件的形状如图所示，按规定∠BAC = 90°，∠B = 21°，∠C = 20°. 检验工人量得∠BDC = 130°，就断定这个零件不合格，你
A
B
C
三角形的内角和定理
文字语言：三角形的内角和等于180° 符号语言： ∵ ∠A、∠B、∠C是△ABC的三个内角
直角三角形的两个锐角又有怎样的数
量关系呢？
A
∴ ∠A＋∠B＋∠C＝180°
B
C
推论：直角三角形的两个锐角互余.
你能用说理的方法说明吗？
A
证明：∵∠A+∠B+∠C=180°
∠C=90°
95° 85°
2.（1）如图①，试比较∠2 、∠1的大小； ∠2 >∠1 （2）如图②，试比较∠3 、∠2、 ∠1的大小．∠3 >∠2 >∠1
典例解析
例1.D是△ABC的BC边上的一点，∠B=∠BAD，
∠ADC=80°，∠BAC=70°，
求：（1）∠B的度数;（2）∠C的度数.
解:（1）∵∠ADC是△ABD的外角（已知） ∴∠B+∠BAD=∠ADC=80°(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角
能运用所学的知识说出其中的道理吗？
选做题：
课本95页复习题C组第14题.
剪拼法
探究一：三角形的内角和定理及其证明
拼一拼：

三角形的内角和与外角和课件

三角形的内角和与外角和课件一、教学内容本节课的教学内容来自于人教版小学数学四年级下册第107页至108页，主要讲述三角形的内角和与外角和。

学生将通过学习，了解三角形的内角和总是180度，以及外角与相邻内角的关系。

二、教学目标1. 学生能够通过实际操作，探究并证明三角形的内角和总是180度。

2. 学生能够理解三角形外角与相邻内角的关系，并能运用这一关系解决实际问题。

3. 培养学生的观察能力、操作能力和逻辑思维能力。

三、教学难点与重点重点：三角形内角和总是180度，外角与相邻内角的关系。

难点：如何引导学生通过实际操作发现并证明三角形的内角和，以及如何理解外角与相邻内角的关系。

四、教具与学具准备教具：三角板、量角器、直尺。

学具：每个学生准备一个三角形模型，以及用于画图的铅笔和橡皮。

五、教学过程1. 实践情景引入：让学生拿出自己的三角形模型，观察并描述三角形的特征。

3. 理解外角和：让学生用自己的三角形模型，尝试测量每个三角形的外角，并记录下来。

然后，引导学生发现并理解外角与相邻内角的关系。

4. 例题讲解：出示一些有关三角形内角和与外角的例题，让学生们运用所学知识解决问题。

5. 随堂练习：让学生独立完成一些有关三角形内角和与外角的练习题，巩固所学知识。

六、板书设计三角形的内角和：总是180度外角与相邻内角的关系：外角等于不相邻的两个内角之和七、作业设计1. 请用你所学的知识，画出一个任意的三角形，并测量其内角和。

答案：三角形的内角和总是180度。

2. 请用你所学的知识，解释下面这个问题：一个三角形的两个内角分别是60度和70度，求第三个内角的度数。

答案：第三个内角的度数是50度。

八、课后反思及拓展延伸本节课通过实际操作，让学生们发现了三角形的内角和总是180度，以及外角与相邻内角的关系。

在教学过程中，学生们积极参与，课堂氛围良好。

但在今后的教学中，还需要注意引导学生更好地理解外角与相邻内角的关系，并能够灵活运用这一关系解决实际问题。

三角形的内角和与外角和的计算

三角形的内角和与外角和的计算三角形是几何学中的基本图形，由三条边组成，每个角落对应着一个角。

三角形的内角和与外角和是我们学习三角形性质时常常涉及的重要概念。

本文将详细介绍三角形内角和与外角和的计算方法。

一、三角形的内角和计算方法对于任意一般三角形ABC，我们可以用角度的方式来描述这个三角形。

设三角形的三个内角分别为∠A、∠B和∠C，我们有以下定理：定理1：三角形的内角和等于180°。

也就是说，∠A + ∠B + ∠C = 180°。

这个定理是非常重要的，因为只要知道三个内角中的任意两个角度，就可以通过计算得到第三个角度的值。

例如，如果我们已知∠A = 30°，∠B = 45°，那么根据定理1，我们可以计算出∠C的值：∠C = 180° - ∠A - ∠B = 180° - 30° - 45° = 105°。

由此可见，三角形的内角和是固定的，不受三角形大小和形状的影响。

无论是等边三角形、等腰三角形还是一般三角形，它们的内角和都是180°。

二、三角形外角和计算方法三角形的每个内角都有一个对应的外角，它们之间的关系如下：定理2：三角形的一个内角的对应外角等于其他两个内角的和。

也就是说，对于三角形ABC，∠A的对应外角等于∠B和∠C的和，∠B的对应外角等于∠A和∠C的和，∠C的对应外角等于∠A和∠B的和。

设∠A的对应外角为∠D，∠B的对应外角为∠E，∠C的对应外角为∠F，我们有以下等式：∠D = ∠B + ∠C,∠E = ∠A + ∠C,∠F = ∠A + ∠B.三角形的外角和是指三个外角的和，即∠D + ∠E + ∠F。

根据定理2，我们可以将其表示为：∠D + ∠E + ∠F = (∠B + ∠C) + (∠A + ∠C) + (∠A + ∠B) = 2(∠A + ∠B + ∠C) = 2(180°) = 360°.这意味着，无论是何种三角形，其外角和都等于360°。

三角形的内角和定理与外角性质

三角形的内角和定理与外角性质三角形是几何学中最基本的图形之一，其内角和定理与外角性质是我们在学习三角形时必须了解和掌握的重要概念。

本文将详细介绍三角形的内角和定理以及外角性质，帮助读者建立对三角形性质的深入理解。

一、三角形的内角和定理在讨论三角形的内角和定理之前，首先需要了解一个基本概念，即内角。

三角形的内角是指三条边所夹的角，分别记为角A、角B和角C，对应三条边分别为边a、边b和边c。

根据三角形的定义，三个内角的和总是等于180度，即有以下内角和定理：角A + 角B + 角C = 180度这一定理是三角形性质的基础，通过它我们可以推导出其他三角形性质和定理。

二、三角形的外角性质除了内角和定理，三角形还具有一些重要的外角性质。

三角形的外角是指一个三角形的一个内角的补角，即与之相邻的两个内角的和等于180度。

下面我们将介绍三角形外角性质的几个重要定理：1. 外角定理三角形的任一外角等于其不相邻的两个内角的和。

设三角形的一个外角为角D，则有以下等式成立：角D = 角A + 角B 或角D = 角A + 角C 或角D = 角B + 角C通过外角定理，我们可以通过已知的内角信息推导出三角形的外角。

2. 外角和定理三角形的三个外角的和等于360度。

设三角形的外角分别为角D、角E和角F，则有以下等式成立：角D + 角E + 角F = 360度外角和定理是三角形外角性质的一个重要推论，通过它我们可以验证一个三角形是否是合理的。

三、应用举例为了更好地理解三角形的内角和定理与外角性质，下面我们来应用这些概念解决一个具体问题。

假设有一个三角形ABC，其角A为90度，角B为30度，我们需要求解角C和角D的度数。

根据内角和定理，我们知道角A + 角B + 角C = 180度，可以得出：90度 + 30度 + 角C = 180度，进一步计算可得角C = 60度。

接下来，我们根据外角和定理计算角D的度数。

由于三角形的三个外角的和等于360度，我们可以得出：角D + 90度 + 30度 = 360度，进一步计算可得角D = 240度。

三角形的内角和与外角

三角形的内角和与外角三角形是初中数学中一个重要的几何概念，它具有许多特性和性质。

其中，三角形的内角和与外角是一个常见而重要的问题。

在本文中，我将详细介绍三角形的内角和与外角的概念、性质和应用。

一、三角形的内角和三角形的内角和是指三角形内部的三个角的度数之和。

根据数学原理，任意一个多边形的内角和等于180°乘以该多边形的边数减去2。

因此，三角形的内角和等于180°。

我们可以通过一个简单的例子来说明这个性质。

假设我们有一个三角形ABC，其中∠A=60°，∠B=70°，∠C=50°。

我们可以计算出三角形的内角和为180°，即60°+70°+50°=180°。

这个例子证明了三角形的内角和等于180°。

三角形的内角和的性质有许多应用。

例如，我们可以通过已知的内角和来计算未知角的度数。

假设我们知道一个三角形的两个角的度数，我们可以通过计算三角形的内角和减去已知角的度数，来求得未知角的度数。

二、三角形的外角三角形的外角是指三角形内部的一个角与其相邻的两个内角的补角之和。

根据数学原理，三角形的外角等于360°减去三角形的内角和。

因此，三角形的外角和等于360°。

我们可以通过一个例子来说明三角形的外角的概念。

假设我们有一个三角形ABC，其中∠A=60°，∠B=70°，∠C=50°。

我们可以计算出三角形的内角和为180°，然后通过360°减去180°，得到三角形的外角和为180°。

这个例子证明了三角形的外角和等于180°。

三角形的外角的性质也有许多应用。

例如，我们可以通过已知的外角和来计算未知角的度数。

假设我们知道一个三角形的两个内角的度数，我们可以通过计算三角形的外角和减去已知角的度数，来求得未知角的度数。

初中数学知识点三角形的内角和与外角和

初中数学知识点三角形的内角和与外角和初中数学知识点——三角形的内角和与外角和三角形是初中数学中最基础且重要的几何图形之一。

在学习三角形的知识时，了解三角形的内角和与外角和是必不可少的。

本文将详细介绍三角形的内角和与外角和的概念、性质以及相关的定理和公式。

一、三角形的内角和三角形的内角和指的是三角形内部三个角的度数之和。

对于任意一个三角形ABC，其内角和为180度，即∠A + ∠B + ∠C = 180°。

这个性质是初中数学中最基本的三角形知识之一。

利用三角形内角和的性质，我们可以解决一系列与三角形有关的问题。

例如，已知两个角度，可以利用三角形内角和的性质求解第三个角的度数；已知三个角度，可以判断三角形的类型（锐角三角形、直角三角形、钝角三角形）等。

二、三角形的外角和三角形的外角和指的是三角形内部一个角的补角的度数之和。

对于任意一个三角形ABC，以角A为例，其外角和为360度，即∠D + ∠E + ∠F = 360°。

其中∠D，∠E，∠F 为角A的三个补角。

三角形的外角和是基于三角形内角和的概念进行推导得出的，它的计算方法非常简单。

我们只需利用补角的性质，将三个外角与其对应的内角相加即可得到外角和。

三、三角形内角和与外角和的定理和公式除了基本定义外，三角形的内角和与外角和还有一些重要的定理和公式。

1. 定理1：等腰三角形的内角和为180度若一个三角形两边的长度相等，则该三角形称为等腰三角形。

由等腰三角形的性质可知，等腰三角形的两个底角度数相等。

因此，一个等腰三角形的内角和可以表示为2x + y = 180°。

其中，x为等腰三角形的两个底角的度数，y为顶角的度数。

2. 定理2：直角三角形的内角和为180度直角三角形是指一个角为90度的三角形。

由直角三角形的性质可知，其直角角度固定为90度，而其余两个锐角的和为90度。

因此，直角三角形的内角和可以表示为90° + x + y = 180°。

三角形的内角和与外角和

太奇教育深圳分校沙井校区
• 例1、如图，直线DE交△ABC的边AB、AC 于D、E，交BC的延长线于F．若∠B=67°， ∠ACB=74°，∠AED=48°．求∠BDF的度数．
太奇教育深圳分校ห้องสมุดไป่ตู้井校区
• 例2、如图所示，将三角形纸片ABC的一个角折叠，折痕为EF，若∠A=80°， ∠B=68°，∠CFE=78°，求∠CEF的度数．
太奇教育深圳分校沙井校区
• 例3、在△ABC中，∠A=∠B=∠C，试判断 △ABC的形状．
太奇教育深圳分校沙井校区
• 例4、如图，△ABC中，∠1=∠2， ∠ABC=∠C，∠4=∠5．求∠5的度数．
太奇教育深圳分校沙井校区
• 例5、如图，在△ABC中，AD⊥BC于D， AE平分∠BAC（∠C>∠B）．试说明 ∠EAD=（∠C－∠B）．
三角形的内角和与外角和
太奇教育深圳分校沙井校区
• 一、三角形的内角和 • 三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°． • 三角形的内角和与三角形的大小、形状都没有关系．
太奇教育深圳分校沙井校区
• 二、三角形的外角和 • （1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和； • （2）三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角． • （3）三角形的外角和为360°．
太奇教育深圳分校沙井校区
• 例9、如图，已知DE分别交AB、AC于D、 E，交BC的延长线于F，∠B=67°， ∠ACB=74°，∠AED=48°，求∠BDF的度数．
太奇教育深圳分校沙井校区
太奇教育深圳分校沙井校区
• 例6、如图，∠B=45°，∠A=30°， ∠C=25°，求∠ADC的度数．
太奇教育深圳分校沙井校区

三角形的内角和与外角性质

三角形的内角和与外角性质三角形是平面几何中最基本的图形之一，它具有许多独特的性质和特点。

其中，三角形的内角和与外角性质是我们在研究三角形时非常重要的一个方面。

本文将探讨三角形的内角和与外角的性质及其应用。

一、三角形的内角和性质1. 定理1：三角形的内角和等于180度三角形的内角和是指三个内角的度数总和。

不论三角形的形状和大小如何，其三个内角的度数总和始终等于180度。

这是三角形的基本性质之一。

例如，对于任意一个三角形ABC，∠A + ∠B + ∠C = 180°。

2. 定理2：等腰三角形的内角和性质等腰三角形是指具有两条边长度相等的三角形。

在等腰三角形中，两个底角的度数相等，且和顶角的度数之和等于180度。

设等腰三角形的两个底角为∠A，顶角为∠B，则∠A + ∠A + ∠B = 180°，即2∠A + ∠B = 180°。

3. 定理3：等边三角形的内角和性质等边三角形是指具有三条边长度相等的三角形。

在等边三角形中，三个内角的度数都相等且等于60度。

设等边三角形的三个内角都为∠A，则∠A + ∠A + ∠A = 180°，即3∠A = 180°，∠A = 60°。

二、三角形的外角性质1. 定理4：三角形的外角性质三角形的每个外角等于它不相邻的两个内角的和。

设三角形的三个内角为∠A、∠B、∠C，对应的三个外角为∠D、∠E、∠F，则有∠D = ∠B + ∠C，∠E = ∠A + ∠C，∠F = ∠A + ∠B。

2. 定理5：三角形的外角和等于360度三角形的三个外角的度数总和始终等于360度。

不论三角形的形状和大小如何，其三个外角的度数总和始终等于360度。

这是三角形的另一个基本性质。

例如，对于任意一个三角形ABC，∠D + ∠E + ∠F= 360°。

三、三角形内角和与外角的应用1. 内角和与三角形类型的关系根据三角形的内角和性质，我们可以通过观察三个内角的度数总和来确定三角形的类型。

三角形的内角和与外角和

三角形的内角和与外角和在几何学中，三角形是研究的基本形状之一。

一个三角形由三条边和三个内角组成。

本文将介绍三角形的内角和与外角和的性质及相关定理。

一、三角形的内角和一个三角形的内角和是指三个内角的总和。

设三角形的三个内角分别为A、B、C，它们的度数分别为α、β、γ，则有以下定理：定理1：一个三角形的内角和等于180度。

证明：假设三角形的三个内角分别为A、B、C，它们的度数分别为α、β、γ。

根据角度的定义可知，α+β+γ=180度。

定理2：等边三角形的三个内角都是60度。

证明：设等边三角形的三个内角的度数分别为α、β、γ。

由于三角形的三边相等，根据三角形内角和的定理可得：α+α+α=180度，解方程得α=60度。

同理可得β=60度，γ=60度。

定理3：直角三角形的两个锐角之和等于90度。

证明：设直角三角形的一个锐角的度数为α，另一个锐角的度数为β。

根据三角形的内角和的定理可得：α+β+90度=180度，化简得α+β=90度。

二、三角形的外角和一个三角形的外角是指三个内角的补角。

设三角形的三个内角分别为A、B、C，它们的补角分别为α、β、γ，则有以下定理：定理4：一个三角形的外角和等于360度。

证明：设三角形的三个内角分别为A、B、C，它们的补角分别为α、β、γ。

根据角度的定义可知，α+β+γ=360度。

定理5：三角形的一个内角等于其与相对外角的补角。

证明：设三角形的一个内角的度数为α，其相对外角的度数为β。

根据角度的定义可知，α+β=180度。

综上所述，三角形的内角和等于180度，外角和等于360度。

三角形是几何学中非常重要的概念，它具有丰富的性质和定理，对于解题和理解空间关系具有重要作用。

通过研究三角形的内角和与外角和，我们可以深入理解三角形的性质及其应用。

《三角形的内角和与外角和》课件

06
练习题及拓展思考题
基础知识巩固练习题
已知三角形的两个内角分别为30°和60° ，求第三个内角的大小。
已知等腰三角形的一个底角为40°，求其顶角的大小。
一个三角形的内角和是多少度？请说明理由。
在直角三角形中，已知一个锐角为35°，求另一个锐角的大小。
提高能力拓展思考题
请用多种方法证明三角形的内角和为180°。
外角和为360度。
实际应用举例
例子一
在几何图形中，利用三角形外角和定理求解角度问题。例如，在一个五角星中，可以通过三角形外角和定理计算出五角星的内角和。
例子二
在实际生活中，利用三角形外角和定理解决一些与角度有关的问题。例如，在建筑设计中，可以利用三角形外角和定理来计算出建筑物的某些角度，以确保建筑物的稳定性和美观性。
连接三角形的一个顶点和它所对边的中点的线段。
三角形性质总结
三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
三角形的三个内角之和等于180度。
等腰三角形的两腰相等，两底角相等。
等边三角形的三边相等，三个内角都相等且每个角都是60度。
直角三角形的两个锐角互余，且斜边的平方等于两直角边的平方和（勾股定理）。
已知四边形ABCD中， ∠A=∠C，∠B=∠D，求证：四边形ABCD是平行四边形
。
在一个五边形中，已知四个内角的大小，求第五个内角
的大小。
已知一个多边形的边数增加 1，其内角和增加多少度？
请说明理由。
01
02
03
04
05
答案解析与讨论
01
基础知识巩固练习题答案解析
通过三角形内角和定理及等腰三角形、直角三角形的性质求解各题，强

三角形内角和,外角和定理

三角形内角和，外角和定理三角形是我们初中数学学习的重点，而三角形内角和，外角和定理是我们学习三角形时需要掌握的基础知识。

本文将详细介绍三角形内角和，外角和定理，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这一知识点。

首先，让我们来看一下三角形内角和定理。

三角形的内角和是指一个三角形内部所有角度之和。

对于任意一个三角形ABC，它的内角和可以表示为：∠A+∠B+∠C=180°。

这个定理也可以写成：一个三角形的任意两个内角的和等于第三个内角的补角。

那么如何证明这个定理呢？这里我们来介绍一种简单的证明方法。

首先，我们假设在三角形ABC中，有一条线段DE平行于BC，如下题所示。

因为DE || BC，所以∠CDE=∠B。

又因为三角形ADE和三角形ABC中有两个角相等（∠A和∠D），所以它们的第三个角也相等（∠E和∠C）。

同理，三角形AED和三角形ABC中的第三个角也相等（∠A和∠E）。

因此，我们可以得出以下结论：∠A+∠B+∠C=∠A+∠D+∠E+∠C=180°因此，一个三角形的任意两个内角的和等于第三个内角的补角，也就是三角形内角和定理。

接下来，让我们来看一下三角形外角和定理。

一个三角形的外角是指这个三角形中任意一个顶点所对的补角。

例如，在下题中，∠D是三角形ABC中顶点A所对的外角。

对于任意一个三角形ABC，它的外角和可以表示为：∠A'+∠B'+∠C'=360°。

这个定理也可以写成：一个三角形的任意一个外角等于其它两个内角之和。

同样地，我们也可以通过证明来理解这个定理。

假设在三角形ABC中，有一条线段DE平行于BC，并且交于顶点A处，如下题所示。

因为DE || BC，所以∠CDE=∠B。

又因为∠A'是∠D的补角，所以∠D=180°-∠A'。

同理，我们可以得到以下结论：∠A'+∠B'+∠C'=∠D+∠E+∠C'=180°+180°-∠A'=360°-∠A'因此，一个三角形的任意一个外角等于其它两个内角之和，也就是三角形外角和定理。

三角形的内角和与外角和

2013—2014年下期七年级数学导学案第 3 课时编案教师：邓建利审核：徐建全审批：钟晓授课教师：初一全体数学教师授课时间：班级：姓名：教师评价：第1页/（共4页）第2页/（共4页）导学案装定线§9.1.2 三角形的内角和与外角的性质【学习目标】1.能证明三角形内角和定理，并能简单运用；2．能证明并运用三角形外角的性质；3.通过内角和定理与外角的性质的证明，提高学生的动手能力和思维能力. 【教学重、难点】重点：内角和定理与外角的性质的证明及运用. 难点：内角和定理证明的探究. 【课堂教学导学】探究点一:三角形内角和定理三角形的内角和定理: . 推理过程：小组合作交流：推理过程：试一试1. 根据下图填空：(1)n = ；（2）y = ；（3）x = . 2.在直角△ABC 中，90C ∠=，A B ∠+∠= .推论： .探究点二：三角形外角的性质 3．填空:α∠= , B ∠= , C ∠= .从上面计算结果可以得出α∠与A ∠、B ∠大小之间有什么规律？推导过程：三角形的外角性质：1. ；2. . 试一试1.判断并说明理由.(1)钝角三角形的内角和大于锐角三角形的内角和.（） (2)三角形的一个外角与它相邻的内角互补.( ) (3)三角形的外角一定大于不相邻的内角（） (4)三角形的外角一定大于相邻的内角（） 2.说出下列各图中∠1的度数.【例题讲解】例1 如图，已知 1=2∠∠，70BAC ∠=,求DEF ∠的度数.第3页/共4页第4页/共4页导学案装定线练习: 求图中A B C D E ∠+∠+∠+∠+∠的度数.变式：求图中A B C E F ∠+∠+∠+∠+∠的度数【随堂练习】 1.选择题.1.若一个三角形三个内角度数的比为1:2:3，那么这个三角形的最大角的度数为（）A.90B.105C.120D.150 2.如图，已知A ∠=60°，B ∠=70,=68C ∠,那么D ∠的度数是（） A.60 B.62 C.70 D.78（第二题）（第三题） 3.如图，C ∠、1∠、2∠的大小关系是（） A.12C ∠>∠>∠ B.12C ∠>∠>∠ C.21C ∠>∠>∠ D.21C ∠>∠>∠4.如果三角形的一个外角和它不相邻的两个内角和为180，那么与这个外角相邻的内角的度数为（）A.30B.60C.90D.120 5.如图，已知10,20,110B C BOC ∠=∠=∠=,求A ∠的度数.7.现有一较大的四边形模板，技术要求是：AB 与DC 所成的角是20，DA 与CB 所成的角是30.假设你是检验员，你怎样检验是否合格？。

三角形的内角和与外角和之比

三角形的内角和与外角和之比三角形是平面几何中最基本的图形之一，具有丰富的性质和定理。

其中一个有趣的性质是三角形的内角和与外角和之比。

本文将探讨这一性质，并通过举例和证明来加深我们对这一比例关系的理解。

在开始讨论之前，我们先回顾一下三角形的定义。

三角形是由三条边连接起来的闭合图形，其中每条边的两个端点都与其他两条边的端点相连。

三角形中的角是由两条边所夹的空间部分，它们的度量用角的大小来表示。

对于任意一个三角形，它的三个内角的和总是等于180度。

首先，我们来研究三角形的内角和。

设三角形的三个内角分别为A、B和C，则它们的和可以表示为A + B + C = 180度。

这是一个被广泛接受和应用的三角形性质，对于任意三角形都成立。

接下来，我们将介绍三角形的外角。

外角是指一个三角形的某个内角与其相邻的另外一个内角的补角构成的角。

换句话说，外角等于与之相邻的两个内角的和。

以三角形ABC为例，如果我们把角A延长，构成外角D，则外角D等于角B和角C的和，即D = B + C。

同样地，我们可以得到三角形的另外两个外角E和F，分别等于B + A和C + A。

接下来，我们来探索三角形的内角和与外角和之间的关系。

假设三角形的内角和为180度，同时记扩展后的三个外角和为D'、E'和F'。

根据我们之前的讨论，我们可以得到以下等式：D' = B + CE' = A + CF' = A + B现在，我们来比较内角和与外角和之间的比例关系。

根据我们的设定，内角和为180度，即A + B + C = 180度。

而外角和的总和则是D' + E' + F' = (B + C) + (A + C) + (A + B) = 2(A + B + C) = 360度。

综上所述，我们可以得到内角和与外角和之比的关系：内角和与外角和的比值为1：2，即180度：360度。

也就是说，无论三角形的形状和大小如何，其内角和与外角和之比始终如一。