轴系扭转振动计算方法的研究与分析软件的开发

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这 种 类 型 的 固 有 频 率 "、 振 型 ! 的 求 解 方 法 与 无 分 支 无阻自由扭转振动系统的固 有 率 、 振 型 的 求 解 方 法 基 本 相 同 ， 不 同 的 是 方 程 2&3 1 （ (( ） 代 替 方 程 （ ! ） 1 （ 0 ） ，使
的列矢量， - 为激励力矩的列矢量。
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……
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!*$ 运动方程的求解
对于轴系扭振系统 的 运 动 方 程 的 求 解 方 法 ， 我 们 采 用 试算法。同时为了讨论的方 便 ， 根 据 当 量 系 统 的 结 构 类 型 和分析类型，我们把当量系 统 分 类 成 十 二 种 类 型 来 讨 论 其 求解算法，这十二种类型分 别 是 ： 无 分 支 无 阻 尼 自 由 扭 转 振动、无分支有阻尼自由扭 转 振 动 、 无 分 支 无 阻 尼 强 迫 扭 转振动、无分支有阻尼强迫 扭 转 振 动 、 带 一 节 点 的 多 分 支 无阻尼自由扭转振动、带一 节 点 的 多 分 支 有 阻 尼 自 由 扭 转 振动、带一节点的多分支无 阻 尼 强 迫 扭 转 振 动 、 带 一 节 点 的多分支有阻尼强迫扭转振 动 、 多 节 点 多 分 支 无 阻 尼 自 由 扭转振动、多节点多分支有 阻 尼 自 由 扭 转 振 动 、 多 节 点 多 分支无阻尼强迫扭转振动、 多 节 点 多 分 支 有 阻 尼 强 迫 扭 转 振动。 （( ）无分支无阻尼自由扭转振动系统的计算 通过对这种类型的 分 析 ， 它 在 各 转 盘 处 的 扭 矩 可 以 表 示成以下形式：
Leabharlann Baidu
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文献标识码： 0
文章编号： ’""(1(%(! 2!""#3 "&1""$’1"%
’ 引言
从轴系本身的特点 来 研 究 ， 可 知 轴 系 具 有 惯 性 、 弹 性 以及外加作用在轴系上周期变化的激振力矩等特点。惯性、 弹性使轴系具有自由扭转振 动 特 性 ， 而 激 振 力 矩 是 产 生 扭 振的能量来源。当轴系按激 振 的 频 率 进 行 强 制 振 动 ， 并 且 激 振 频 率 与 轴 系 固 有 频 率 相 同 时 ， 轴 系 就 会 产 生 “共 振 ” 现象；当扭振应力超过轴系 所 承 受 的 应 力 时 ， 轴 系 将 发 生 断裂。可见，动力装置轴系 的 扭 转 振 动 是 影 响 动 力 装 置 安 全和性能的重要因素之一
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集中质量，它们的惯量即为相应零部件的实际惯量，它 们之间连接轴的弹性值即为相应零部件间实际轴段的扭 转弹性值
［!］
。因此，简化后的当量系统是由若干刚性的
集中质量和连接它们的无惯量的弹性轴段组成。根据实 际系统的复杂程度，一般可以把实际系统简化成无分支 或 带 分 支 的 当 量 系 统 ， 其 示 意 图 如 图 ’、! 所 示 。 图 ’ 为 无 分 支 扭 转 振 动 模 型 ，! 为 当 量 系 统 集 中 的 质 量点个数，各物理参数的下标为质量点的顺序号， "# （#4’ ，
式 中 ： !%’、 !)’ 分 别 为 !’ 的 实 部 与 虚 部 ； $%、 ( %、 $)、 ( ) 都为 待 求 的 实 数 ； * +、 ,+ 是 相 应 于 系 统 外 部 激 励 力 矩 的 实 部和虚部。于是我们可以按以下步骤进行精确求解：
" 假定 !’)’*"(’ "*" ，系统无激励力矩，系统有阻尼的
无分支无阻尼强迫扭转振动类型的计算方程：
根据系统的特性，令 -’" ， ［+ ］ ’" ，对 （( ）式做一 些处理，最后能得到以下的表达式：
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……
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机电工程技术 !""# 年第 $% 卷第 & 期
研究与开 发
根据 !" 的表达式，可以把 !" 写成：
9:,*" 作 为 开 发 工 具 ， 编 制 了 轴 系 扭 振 计 算 通 用 软 件
（!" ）
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……
$
（& ）
式 中 ［ (］ 为 惯 量 矩 阵 ， ［ +］ 为 阻 尼 矩 阵 ， ［ , ］ 为 刚度矩阵，它们的值可由当 量 模 型 中 的 惯 量 、 刚 度 、 阻 尼
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（4 ） （(" ）
+ 、! - 、! 为 角 加 速 度 、 角 速 度 、 角 位 移 等 原 始 参 数 得 到 ；!
。因此，研究轴系的扭转振动
! ，……， ! ）表示第 # 个集中质量的当量惯量， $ # 表示第 #
问题具有重要的应用意义，它对轴系设计计算、校核计算、 事故分析以及轴系运行的安 全 性 有 实 际 指 导 意 义 。 而 研 究 轴系的扭振特性，需要进行 振 动 计 算 分 析 ， 但 轴 系 的 振 动 计算分析是一项十分复杂并且工作量较大的工作。不过， 现在可以在现有的计算机技 术 基 础 上 ， 发 展 轴 系 扭 振 计 算 程序来解决这问题 ，这就需 要 开 发 人 员 建 立 轴 系 扭 转 振 动 计算模型，并开发出具有界 面 友 好 、 功 能 完 善 、 计 算 速 度 快、系统资源消耗少、操作 简 便 易 行 、 通 用 性 好 的 计 算 软 件。我们基于这样的一种 需 求 ， 将 在 本 文探 讨 一 种 轴 系 扭 振计算的解决方案，并开发相应的计算软件。
&$ 为最小值的 " 值就是系统的固有频率，另外就是角位移
是复数。 （$ ）无分支强迫扭转振动系统的计算 同理，我们经过一 些 相 应 的 处 理 ， 可 以 得 到 下 面 两 种 类型的计算方程。 无分支有阻尼强迫扭转振动类型的计算方程：
&(’ （(("!0) "! (3 !(,-(
……
$
（(! ）
# 假定一个 " 值，并令 !(’( $ 根据 （! ）和 （# ）式可以得到 &( 和 !! 的值 % 根据 （$ ）和 203 式可以得到 &! 和 !$ 的值 & 重复上述步骤可以得到 &$.( 和 !$ 的值 ’ 根据 （% ）式计算 &$ 的值
选取不同的 " 值，重复 #1’ 步，使 &$ 等于 " 的 " 值 就是系统的固有频率，同时 与 固 有 频 率 相 应 的 值 也 就 相 应 地可以计算出来。 （! ）无分支有阻尼自由扭转振动系统的计算 同理，根据这种类型的特性，并对 （(）式做相应的处 理，可得一组无分支有阻尼自由扭转振动系统的计算方程：
得 !"#* +&’,+。
% 通过方程 （!" ）可得 !’。
再将 !’ 代入相应的类型计算方程中求出相应的强迫振 动振幅和扭矩。 （% ）多分支类型的计算方法 对于多分支类型的 计 算 方 法 ， 可 以 先 研 究 带 一 个 节 点 的多分支无阻尼自由扭转振 动 类 型 的 计 算 方 法 ， 然 后 在 这 个基础上研究一个节点的多 分 支 系 统 的 其 它 扭 转 振 动 类 型 的计算方法和多节点多分支 扭 转 振 动 系 统 的 各 种 类 型 的 计 算方法。对于带一个节点的 多 分 支 无 阻 尼 自 由 扭 转 振 动 类 型的固有频率和振型的求解可以通过以下方法来实现：
!!’!(. &( ,(
……
!$’!$.(. &$.( , $.(
过以下方法得到：
（0 ）
固 有 频 率 "， 振 型 !， 可 以 根 据 方 程 （ !） 1 （ 0） ，通
!$’!$.(. &$.( , $.(
的值可以通过以下方法得到：
（(4 ）
为了计算它们的振 幅 和 扭 矩 ， 需 要 计 算 出 !( 的 值 ， !(
;:<9’*"。 ;:<9’*" 能 够 完 成 上 述 十 二 种 类 型 中 任 意 一 种
的计算功能，而且软件的 输 出 既 有 较 详 尽 的 数 据 文 件 ， 又 有形象直观的图形文件，能较准确地反映轴系的扭振状态。 同时它还具有简单易懂、界面友好、易修改等特点。图 $ 为扭振系统的结构类型和分 析 类 型 的 选 择 界 面 ， 图 % 是 无 分支无阻尼自由扭转振动类 型 的 参 数 输 入 界 面 ， 其 它 类 型 的参数输入界面和结果显示界面由于篇幅有限不一一列出。
!,’ 当量系统的换算
当量系统的换算就是把实际的复杂的轴系换算成振 动特性与其相同的简化的当量系统。其换算方法是把实 际系统里惯量较大又较集中的零部件换算成相应个数的
收稿日期： !""# — "$ — ’% 图! 分支模型
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研 究与开发
机电工程技术 !""# 年第 $% 卷第 & 期
个 轴 段 当 量 刚 度 ，!" 表 示 第 " 个 集 中 质 量 点 的 绝 对 阻 尼 系 数 ， #" 表 示 相 邻 两 质 量 点 间 相 对 阻 尼 系 数 。 图 ! 为 分 支 模 型， $ 为当量系统的 分 支 数 ， % 为 当 量 系 统 的 分 支 节 点 数 ，
机电工程技术 !""# 年第 $% 卷第 & 期
研究与开 发
轴系扭转振动计算方法的研究与分析软件的开发
庾应文，袁清珂
（广东工业大学机电学院， 广东广州
#’""(" ）
摘要：扭转振动是具有旋转部件的机械系统普遍存在的力学物理现象，研究共振动特征具有重要的现实价值和现实意义 。 本 文 研究建立了轴系多分支扭转振动计算模型，并利用 )*+," 开发了相应的计算软件，所开发的应用软件具有界面友好、功能完善、 操作简便易行、通用性好 等 特 点 。 为 验 证 模 型 和 软 件 的 正 确 性 ， 通 过 应 用 实 例 进 行 验 证 ， 结 果 表 明 模 型 和 软 件 是 正 确 可 行 的 ， 对轴系扭振分析计算有很大的应用价值。 关键词：轴系；扭转振动；计算模型；当量系统 中图分类号： -.’!$
图’ 无分支扭转振动模型
! 轴系扭转振动计算模型的建立
轴系扭转振动计算模型一般可以通过三个步骤来建 立 ： ’） 当 量 系 统 的 换 算 ； !） 建 立 当 量 系 统 的 运 动 方 程 ；
$） 构 建 运 动 方 程 的 求 解 方 法 。 因 此 ， 我 们 也 将 遵 循 这 样
的步骤来建立轴系扭转振动计算模型。
&" （"’( ， ! ，……， $ ）表示第 " 分支上的集中质量点个数， ’" （)’( ， ! ，……， %）表示第 " 个分支节点上的分支数， (")
（"’( ， ! ，……， $ ； ) ’( ， ! ，…… ， &"） 表 示 第 " 分 支 的 第
) 个集中质量的当量惯量， * ") 表示第 " 分支的第 ) 个 轴 段 当
量 刚 度 ， ! ") 表 示 第 " 分 支 的 第 ) 个 集 中 质 量 点 的 绝 对 阻 尼 系数， #") 表示相邻两质量点间相对阻尼系数。
!*! 运动方程的建立
当量系统的一般扭转振动方程可以表示成以下形式：
+ , ［+ ］ ! - , ［, ］ !’［( ］ !
（( ）
&(’ （(("!0) "! (3 !(
按 （’! ） + （’# ）式计算，无 阻 尼 的 按 （’, ） + （’- ） 式 计 算，计算可得 !"#$%&’( %，可得 $%、 ( %。
# 令 !’)"*"(’ ’*" ，系统无激励力矩，同上步一样，按
计算类型选择计算方程，可得 !"#$)&’( )。
$ 令 !’)"*"(’ "*" ，对系统加上激励力矩的作用，计算
" 假定系统有 " 支分支，并对这 " 支分支按顺序编
号，选分支 ’ 为基本分支，分支 " 为 最 后 分 支 。 前 ".’ 支 分支的计算方向是从外端点 到 节 点 ， 最 后 分 支 的 计 算 方 向 是从节点到外端点。