一元二次方程求根公式.
一元二次方程求根公式c++
一元二次方程求根公式c++一元二次方程的一般形式为：ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知的实数，且a不等于0。
求解一元二次方程的根可以使用求根公式：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)该公式中的±表示两个解，即方程可能有两个不同的实数根，重根（重复根）或无实数根。
计算这两个根的公式中包括平方根，需要注意判别式b^2 - 4ac是否大于等于0。
如果判别式大于等于0，则该方程有两个不同的实数根，若等于0，则有两个重根，否则没有实数根。
以下是一个使用C++编写的一元二次方程求根函数的示例：```cpp#include <iostream>#include <cmath>void solveQuadraticEquation(double a, double b, double c) {double discriminant = b * b - 4 * a * c;if (discriminant >= 0) {double root1 = (-b + sqrt(discriminant)) / (2 * a);double root2 = (-b - sqrt(discriminant)) / (2 * a);std::cout << "Two roots: " << root1 << " and " << root2 << std::endl;} else {std::cout << "No real roots." << std::endl;}}int main() {double a, b, c;std::cout << "Enter the coefficients of the quadratic equation (ax^2 + bx + c = 0):" << std::endl;std::cout << "a: ";std::cin >> a;std::cout << "b: ";std::cin >> b;std::cout << "c: ";std::cin >> c;solveQuadraticEquation(a, b, c);return 0;}```使用该程序，用户可以输入一元二次方程的系数，然后程序会计算并输出方程的根。
一元二次方程求根公式总结
一元二次方程求根公式是数学中的一个重要知识点，下面总结了一元二次方程求根公式，供大家参考。
一元二次方程求根公式当Δ=b^2-4ac≥0时,x=[-b±(b^2-4ac)^(1/2)]/2a当Δ=b^2-4ac＜0时,x={-b±[(4ac-b^2)^(1/2)]i}/2a只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。
它的标准形式为:ax²+bx+c=0（a≠0）其中ax²叫作二次项，a是二次项系数；bx叫作一次项，b是一次项系数；c叫作常数项。
一元二次方程的解法（一）开平方法形如(X-m)²=n (n≥0)一元二次方程可以直接开平方法求得解为X=m±√n。
①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个常数。
②降次的实质是由一个一元二次方程转化为两个一元一次方程。
③方法是根据平方根的意义开平方。
（二）配方法用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为一般形式；②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤进一步通过直接开平方法求出方程的解，如果右边是非负数，则方程有两个实根；如果右边是一个负数，则方程有一对共轭虚根。
（三）求根公式用求根公式法解一元二次方程的一般步骤为：①把方程化成一般形式aX²+bX+c=0，确定a,b,c的值（注意符号）；②求出判别式△=b²-4ac的值，判断根的情况.若△<0原方程无实根;若△>0，X=((-b)±√(△))/(2a)。
一元二次方程求根公式推导过程
一元二次方程求根公式推导过程
一元二次方程求根是数学中的一个常见问题，它的数学表达式为
ax²+bx+c=0，这里a、b、c是未知数，且a≠0。
要求解这个方程，就要根据a、b、c来求解二次方程的两个根。
解求方法增添一个变量Δ，Δ=b²-4ac，可以有三种不同的情况。
第一种是，Δ>0，此时二次方程有两个不相等的实数根，其求根
公式为x₁= [-b+√Δ]/2a、x₂= [-b-√Δ]/2a。
第二种情况下，Δ=0，此时二次方程有一个重根，求根公式为x= -b/2a 。
第三种情况，Δ<0，此时二次方程没有任何实数根，只有复根，
即无解。
因此，一元二次方程求根公式就是这样的，当Δ>0时，根为
x₁=[-b+√Δ]/2a、x₂=[-b-√Δ]/2a；当Δ=0时，根为x=-b/2a；
当Δ<0时，方程无实数根。
通过改变a、b、c的值，可以实际求解一
元二次方程的根。
一元二次方程的解法求根公式的使用技巧
一元二次方程的解法求根公式的使用技巧一元二次方程的解法是数学中的基础知识，在解决实际问题时起到了重要的作用。
其中，求根公式是一种常见的解法，它可以帮助我们快速求解一元二次方程的根。
本文将介绍一元二次方程的求根公式的使用技巧。
一、一元二次方程的形式一元二次方程通常具有以下形式：ax^2 + bx + c = 0其中，a、b、c为实数，并且a ≠ 0。
根据这个方程的形式，我们可以使用求根公式来求解方程的根。
二、一元二次方程的求根公式一元二次方程的求根公式如下：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)其中，±表示两个根，√表示开方运算。
这个公式中的分子部分可以分为两个部分，分别是-b和√(b^2 - 4ac)。
根据这个公式，我们可以通过将方程中的系数代入公式中，快速求得方程的根。
三、使用技巧在使用一元二次方程的求根公式时，有一些技巧可以帮助我们更加高效地求解方程的根。
1. 化简方程在应用求根公式之前，我们可以先对方程进行化简。
例如，如果方程的系数存在公因子，我们可以将其提取出来，以简化计算过程。
2. 辨别方程的根的性质根据一元二次方程的判别式Δ=b^2-4ac的值，我们可以判断方程的根的性质。
- 当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；- 当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；- 当Δ<0时，方程没有实数根，但存在两个共轭复数根。
通过辨别方程的根的性质，我们可以在求根过程中有所侧重，提高求解的效率。
3. 使用解根公式的步骤使用一元二次方程的求根公式时，可以按照以下步骤进行：Step 1: 计算判别式Δ的值。
Δ = b^2 - 4acStep 2: 根据Δ的值进行分类讨论。
- 当Δ>0时，应用求根公式计算两个不相等的实数根；- 当Δ=0时，应用求根公式计算两个相等的实数根；- 当Δ<0时，应用求根公式计算两个共轭复数根。
Step 3: 将方程系数代入求根公式，计算出根的近似值。
计算一元二次方程的公式
计算一元二次方程的公式
一元二次方程是指含有一个未知数,并且未知数的最高次数为2的方程。
一般形式为:
ax^2 + bx + c = 0
其中,a、b、c为已知实数系数,且a≠0。
根据一元二次方程的根与系数的关系,我们可以得到求根公式:
x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)
这个公式被称为"一元二次方程的求根公式"或"二次公式"。
要求解一元二次方程,我们需要将给定方程的系数代入公式中,然后计算出方程的两个根。
例如,对于方程2x^2 - 3x + 1 = 0,我们有:
a = 2
b = -3
c = 1
将这些值代入公式,我们得到:
x = (-(-3) ± √((-3)^2 - 4*2*1)) / (2*2)
x = (3 ± √(9 - 8)) / 4
x = (3 ± √1) / 4
x = (3 ± 1) / 4
该方程的两个根是:
x1 = 4/4 = 1
x2 = 2/4 = 1/2
需要注意的是,根据判别式值b^2 - 4ac的不同,方程可能没有实数根、有一个实数根或有两个不同的实数根。
高中数学一元二次方程求根公式是什么
高中数学一元二次方程求根公式是什么高中数学一元二次方程求根公式一、一元二次方程的概述1、定义：等号两边都是等式，只含有一个未知数，未知数的最高次数是2且最高次项的系数不为0，这样的整式方程叫做一元二次方程.2、求根公式：x=?b±b2?4ac√2a(b2?4ac≥0)x=?b±b2?4ac2a(b2?4ac≥0)。
3、一元二次方程的一般形式：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0)ax2+bx+c=0(a≠0).其中ax2ax2是二次项，aa 是二次项系数;bxbx 是一次项，bb 是一次项系数;cc 是常数项.4、一元二次方程的根：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.5、一元二次方程的常见解法：(1)直接开平方法(2)配方法(3)公式法(4)因式分解法(5)利用根与系数的关系高三提高数学成绩的窍门1、培养良好的学习兴趣常言到：兴趣是最好的老师，有兴趣才能产生爱好，爱好它才会去实践它，达到乐在其中，才会形成学习的主动性和积极性就自然的会立志学好数学，成为数学学习的成功者就连孔子不是也说过：知之者不如好之者，好之者不如乐之者“好”和“乐”就是愿意学，喜欢学，这就是兴趣2、培养良好的学习习惯很多数学成绩不好或是基础差的同学都没有好的学习习惯良好的学习习惯会让你的学习感到有序和轻松，高中数学良好的学习习惯应该是：多质疑、勤思考、好动手、重归纳、注意应用在跟着老师脚步学习的过程中应该养成把老师讲的知识翻译成自己的特殊语言，并永久记忆在自己的脑海中高考数学备战攻略每一个知识点都应该被认真对待。
在数学复习中，一个常见情况是同学们更关注相对较难的知识点，而对选择，填空题中的知识点相对放松。
然而，这些知识点的重要性并不亚于难点。
同样的，强点上的精益求精值得追求，但这更应该建立在消除弱点的基础上。
强点的巩固有时意味着从九到十，而弱点的加强则是从零到一。
1元2次方程求根公式
1元2次方程求根公式1元2次方程求根公式是解决一元二次方程的常用方法之一，它可以帮助我们快速地求出方程的解。
在此，我们将详细介绍1元2次方程求根公式的原理和应用。
一元二次方程是指只有一个未知数，且该未知数的最高次数为2的方程。
一般地，它的表达式为ax²+bx+c=0，其中a、b、c都是实数且a≠0。
如果我们知道了a、b、c的值，那么如何求方程的解呢？根据1元2次方程求根公式，我们可以得到方程的两个解为x1=(-b+√(b²-4ac))/(2a)和x2=(-b-√(b²-4ac))/(2a)。
其中，±符号表示可以取正号或负号，√符号表示开方。
1元2次方程求根公式的原理是基于配方法和求根公式相结合的。
通过配方法，我们可以将一元二次方程转化为一个完全平方式，然后再通过求根公式来求出方程的解。
具体来说，我们可以按照以下步骤来求解一元二次方程：步骤1：将方程变形为标准形式，即ax²+bx+c=0。
步骤2：根据求根公式，计算出判别式D=b²-4ac的值。
步骤3：根据判别式的值，判断方程的解的情况。
如果D>0，则方程有两个不等实数解；如果D=0，则方程有两个相等实数解；如果D<0，则方程有两个共轭复数解。
步骤4：根据求根公式，计算出方程的解x1和x2。
需要注意的是，1元2次方程求根公式只适用于标准形式的一元二次方程。
如果方程不在标准形式下，我们需要先通过移项、因式分解等方法将其转化为标准形式，然后再使用求根公式来求解。
1元2次方程求根公式在实际应用中非常广泛。
例如，在物理学和工程学中，经常需要求解一些复杂的方程来描述物理现象和工程问题。
通过使用1元2次方程求根公式，我们可以快速地求解这些方程，从而得到准确的结果。
此外，在数学竞赛和考试中，1元2次方程求根公式也是一个非常重要的知识点，掌握它可以帮助我们更好地解决各种数学问题。
1元2次方程求根公式是解决一元二次方程的重要方法之一，它的原理简单易懂，应用广泛。
一元二次方程的求根公式
教学目标：
1、会用配方法解方程ax2+bx+c=0 （a≠0）
2、理解方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式
复习： 用配方法解方程2x -5x+2=0
2
5 解：两边都除以2，得 x x 1 0 2
2
系数化为1 移项 配方
5 移项，得 x x 1 2 2
2
2
5 25 5 配方，得 x x 1 2 16 4
5 9 x 即 4 16
2
5 3 开方，得 x 4 4
，x2=2
开方
1 x2 2
∴ x1 2
定解
概括总结
1.对于二次项系数不为1的一元二次方程， 用配方法求解时首先要怎样做 ？
首先要把二次项系数化为1
2.用配方法解一元二次方程的一般步骤：
（1）系数化为1 （2）移项 （3）配方 （4）开方 （5）求解 （6）定根
=
用配方法解一般形式的一元二次方程 ax2+bx+c=0
(a≠0)
∵a≠0 4a2＞0 ∴当b2-4ac≥0 时
用配方法解一般形式的一元二次方程 ax2+bx+c=0
(a≠0)
∵a≠0 当b2-4ac≥0 时
一元二次方程的求根公式： 一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)的求根公式为：
利用这个求根公式可 以求出所有一元二次 方程的根。
总结：
1、配方法解方程：ax2+bx+c=0 (a≠0)
2、一元二次方程的求根公式的推导。
一元二次方程两根的关系公式
一元二次方程两根的关系公式一元二次方程是数学中的一个基本概念，它在许多实际问题中有着广泛的应用。
其中，求解一元二次方程的根是一个重要的问题，因为它涉及到了方程的解的数量和性质。
在本文中，我们将介绍一元二次方程两根的关系公式，以及如何利用这个公式来求解方程的根。
一元二次方程的一般形式为 ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c 为常数，x为未知数。
这个方程的根可以用下面的公式来求解：x1 = (-b + √(b^2 - 4ac)) / 2ax2 = (-b - √(b^2 - 4ac)) / 2a其中，x1和x2分别表示方程的两个根。
这个公式也被称为一元二次方程的求根公式。
我们可以通过这个公式来判断一元二次方程的根的数量和性质。
首先，如果 b^2 - 4ac > 0，那么方程有两个不同的实数根；如果 b^2 - 4ac = 0，那么方程有两个相等的实数根；如果 b^2 - 4ac < 0，那么方程没有实数根，但是有两个复数根。
下面我们来看一个例子，来说明如何利用一元二次方程的求根公式来求解方程的根。
例子：求解方程 x^2 - 2x - 3 = 0 的根。
这个方程的系数为 a = 1，b = -2，c = -3。
将这些值代入一元二次方程的求根公式，得到：x1 = (-(-2) + √((-2)^2 - 4×1×(-3))) / 2×1 = (2 + √16) / 2 = 2 + 2 = 4x2 = (-(-2) - √((-2)^2 - 4×1×(-3))) / 2×1 = (2 - √16) / 2 = 2 - 2 = 0因此，方程 x^2 - 2x - 3 = 0 的两个根分别为 x1 = 4 和 x2 = 0。
在实际问题中，一元二次方程的应用非常广泛。
例如，我们可以利用一元二次方程来解决物理、经济等领域的问题。
在物理学中，一元二次方程可以用来描述抛体运动的轨迹，以及弹性碰撞等问题；在经济学中，一元二次方程可以用来描述成本、收益等关系，以及市场需求等问题。
一元二次方程求根公式
一、一周知识概述1、一元二次方程的求根公式将一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)进行配方，当b2－4ac≥0时的根为．该式称为一元二次方程的求根公式，用求根公式解一元二次方程的方法称为求根公式法，简称公式法．说明：(1)一元二次方程的公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)；(2)由求根公式可知，一元二次方程的根是由系数a、b、c的值决定的；(3)应用求根公式可解任何一个有解的一元二次方程，但应用时必须先将其化为一般形式.2、一元二次方程的根的判别式（1）当b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；（2）当b2－4ac=0时，方程有两个相等的实数根；（3）当b2－4ac＜0时，方程没有实数根．二、重难点知识1、对于一元二次方程的各种解法是重点，难点是对各种方法的选择，突破这一难点的关键是在对四种方法都会使用的基础上，熟悉各种方法的优缺点。
(1) “开平方法”一般解形如“”类型的题目，如果用“公式法”就显得多余的了。
(2)“因式分解法”是一种常用的方法，一般是首先考虑的方法。
(3) “配方法”是一种非常重要的方法，一般不使用，但若能恰当地使用，往往能起到简化作用，思考于“因式分解法”之后，“公式法”之前。
如方程；用因式分解，则6391这个数太大，不易分解；用公式法，也太繁；若配方，则方程化为，就易解，若一次项系数中有偶因数，一般也应考虑运用。
(4)“公式法”是一般方法，只要明确了二次项系数、一次项系数及常数项，若方程有实根，就一定可以用求根公式求出根，但因为要代入(≥0)求值，所以对某些特殊方程，解法又显得复杂了。
2、在运用b2－4ac的符号判断方程的根的情况时，应注意以下三点：（1）b2－4ac是一元二次方程的判别式，即只有确认方程为一元二次方程时，才能确定a、b、c，求出b2－4ac；（2）在运用上述结论时，必须先将方程化为一般形式，以便确认a、b、c；（3）根的判别式是指b2－4ac，而不是三、典型例题讲解例1、解下列方程：(1)；(2)；(3).分析：用求根公式法解一元二次方程的关键是找出a、b、c的值，再代入公式计算，解：(1)因为a=1，，c=10所以所以(2)原方程可化为因为a=1，，c=2所以所以.(3)原方程可化为因为a=1，，c=－1 所以所以；所以．总结：(1)用求根公式法解一元二次方程首先将方程化为一般形式；如果二次项系数为负数，通常将其化为正数；如果方程的系数含有分母，通常先将其化为整数，求出的根要化为最简形式；(2)用求根公式法解方程按步骤进行．例2、用适当方法解下列方程：①②③④⑤⑥⑦分析：要合理地选用适当的方法解一元二次方程，就必须熟悉各种方法的优缺点，处理好特殊方法和一般方法的关系。
一元二次方程式的公式法
一元二次方程式的公式法一元二次方程式指的是形如ax²+bx+c=0的方程式，其中a、b、c为已知常数，x为未知数。
解决这种方程式的方法有多种，其中一种常用的方法是公式法。
公式法的原理是通过求根公式，计算出方程式的根。
一元二次方程式的求根公式为：x = (-b ±√(b²-4ac)) / 2a其中，±表示两个根，分别为正根和负根；b²-4ac为判别式，用来判断方程式的根的个数和类型；2a为系数。
下面是使用公式法解决一元二次方程式的步骤：1. 将方程式化为标准形式将方程式的各项系数按照ax²+bx+c=0的顺序排列，即将x²项的系数设为a，x 项的系数设为b，常数项设为c。
2. 计算判别式计算判别式的值b²-4ac。
如果判别式大于0，则方程式有两个不相等的实数根；如果判别式等于0，则方程式有一个实数根；如果判别式小于0，则方程式无实数根，但有两个共轭复数根。
3. 计算根根据求根公式，计算出方程式的根。
如果判别式大于0，则有两个根，分别为：x1 = (-b + √(b²-4ac)) / 2ax2 = (-b - √(b²-4ac)) / 2a如果判别式等于0，则有一个根，为：x = -b / 2a如果判别式小于0，则有两个共轭复数根，分别为：x1 = (-b + i√(4ac-b²)) / 2ax2 = (-b - i√(4ac-b²)) / 2a其中，i表示虚数单位。
综上所述，通过公式法可以解决一元二次方程式，步骤包括将方程式化为标准形式、计算判别式、计算根。
一元二次方程求根公式推导
一元二次方程求根公式推导一元二次方程求根公式推导：1.介绍一元二次方程指的是常数都为某个实数的二次函数，可以用$ax^2 +bx + c = 0$的形式表达，其中的$a,\ b,\ c$均为实数，但是$a$不能为零。
求解一元二次方程在数学中是十分重要的，它可以用一元二次方程求根公式进行求解。
2.一元二次方程的公式一元二次方程有两个解，可以用下面的公式求解：$$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}} {2a}$$其中，$a,\ b,\ c$分别为二次项系数，一次项系数和常数项，$\pm$表示有两个解，$\sqrt{b^2-4ac}$表示二次式的判别式。
3.判别式的性质$$b^2-4ac=0$$如果判别式$b^2-4ac$等于零，则一元二次方程有一个重根，它的解为： $$x=-\frac{b}{2a}$$如果判别式$b^2-4ac$大于零，则一元二次方程有两个不同实数解，它们的解可以用上面的公式求出。
如果判别式$b^2-4ac$小于零，则一元二次方程没有实数解。
4.推导过程已知：一元二次方程可以表示为：$ax^2 + bx + c = 0$。
要求：求出它的解$x$把方程两边同时乘以$2a$得：$2ax^2 + 2bx + 2c = 0$再把方程两边同时同中间项抵消，就有：$2ax^2 - 2bx + 2c = 0$，可以看到这个方程是一元二次方程 ax² + (2c-2b)x + 2c = 0，可以发现X= $-\frac{2c-2b}{2a}$，把它代入到原方程，有：$a(2c-2b)^2 + b(2c-2b) + c = 0$，化简得：$4ac^2-4abc+b^2 = 0$，而$b^2-4ac=0$就是我们需要的判别式，而上述的解$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}} {2a}$就是我们的一元二次方程的求根公式。
5.总结回顾一元二次方程求根公式的推导：我们分别通过把两边乘以2a，以及把中间项抵消来把原方程化简，得出$b^2-4ac=0$即一元二次方程的判别式，依据这个解法，就可以求得一元二次方程的求根公式：$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}} {2a}$。
一元二次方程求根公式
一元二次方程求根公式人们从古埃及的数学纸草书和古巴比伦的数学泥版书上了解到，大约在距今三千七八百年以前，人类就会解一元一次方程。
以下是店铺整理的关于一元二次方程求根公式，希望大家认真阅读!对于受过九年制义务教育的人来说，一元二次方程是非常熟悉的内容。
我们能解任何一个一元二次方程(包括判定一个一元二次方程没有实数根)，原因是我们掌握了一元二次方程的求根公式。
我们现在所学的一元二次方程求根公式，在一千多年漫长的历史中，曾经随着数的范围的扩大、概念的建立和严密而不断地演变和完善。
一元二次方程的出现，有很久的历史。
最早的记录是在公元前两千年左右的巴比伦泥版书中，其中有相当于解二次方程x2-5x+6=0的问题，并指出方程的两个根都是正整数。
这大概是世界上最古老的完全二次方程的实例之一。
据数学史记载，巴比伦人会求出方程x2+px=q(p、q为正数)的根为x=√[(p/2)+q]-p/2 。
在希腊的著作中也能见到有关二次方程解的记录。
二世纪的著名几何学家海伦已了解了数值处理的方法，海伦还用近似法求解方程。
由于古希腊人不承认负数，那时也没有发现复数，于是海伦所用过的是错误公式子x=√](4ac-b)-b]/2a。
我国古代数学家在一元二次方程和二次方程的解的方面有着突出的成果，作出过不朽的贡献。
公元三世纪数学家赵君卿注《周髀算经》时，不仅提出二次方程，而且在有关二次方程的解中，我们发现有求根公式的雏形。
赵君卿在《周髀算经》的注文中有一篇有名的论文“勾股圆方图注”，论文的内容主要是用几何方法证明勾股定理，但其中有一段是关于二次方程解法的论述：“其倍弦(2c1)为广袤合(x1+x2)，而令勾股见者自乘(x1x2=a12或x1x2=b2)为实，四实以减之(2c1)2-4a12开其余，所得为差√[(2c1)-4a1]=x2-x1，以差减合，半其余为广”，最后得公式x=[2c1-√[(2c1)-4a1]]/2，这是二次方程x2-2c1x+a12=0的一个根。
一元二次方程求根公式定理
一元二次方程求根公式定理一元二次方程求根公式定理，这可是数学学习中的一个重要“关卡”。
还记得我当年上中学的时候，数学老师在黑板上写下一个一元二次方程，然后神秘兮兮地告诉我们，有个神奇的公式能一下子求出它的根。
那时候的我，满心好奇，眼睛直勾勾地盯着黑板，等着老师揭开这个神秘的面纱。
一元二次方程的一般形式是：ax² + bx + c = 0（a ≠ 0）。
而求根公式就是：x = [-b ± √(b² - 4ac)] / （2a）。
这个公式看起来有点复杂，但是一旦你理解了它，就像是拥有了一把打开数学难题大门的万能钥匙。
先来说说这个公式里的每一项。
a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项。
那个“±”可有意思啦，它表示有两个根，一个是加上根号里的式子，一个是减去根号里的式子算出来的。
咱们来举个例子吧。
比如说方程 x² - 5x + 6 = 0 ，这里 a = 1 ，b = -5 ，c =6 。
把这些值代入求根公式，先算根号里的式子：b² - 4ac = （-5）² - 4×1×6 = 25 - 24 = 1 。
然后 x = [ -（-5）± √1 ] / （2×1），也就是x = （5 ± 1）/ 2 。
所以，x₁ = 3 ，x₂ = 2 。
是不是很神奇？不过，使用求根公式的时候，得先判断一下 b² - 4ac 的值。
如果它大于 0 ，那就有两个不同的实数根；要是等于 0 ，就有两个相同的实数根；要是小于 0 ，那就没有实数根，只有虚数根啦。
这就像是给方程做了一个“体检”，先看看它的“健康状况”。
在实际解题中，求根公式可是大显身手。
比如说，遇到那种不太容易因式分解的一元二次方程，求根公式就能轻松搞定。
有一次考试，就有一道特别难的题目，我绞尽脑汁用各种方法都解不出来，最后想到了求根公式，一下子就把答案算出来了，那种成就感，简直爆棚！其实，学习一元二次方程求根公式定理，不仅仅是为了解题，更是培养我们逻辑思维和解决问题能力的好途径。
一元二次方程求根公式证明
一元二次方程求根公式证明一元二次方程是初中数学中的重要内容，而求根公式更是解决这类方程的得力工具。
那咱们就来好好聊聊这个神奇的一元二次方程求根公式是怎么证明出来的。
先给大家复习一下一元二次方程的一般形式：ax² + bx + c = 0 （a ≠ 0）。
为了证明求根公式，咱们就来捣鼓捣鼓这个方程。
假设方程有两个根 x₁和 x₂，我们可以把方程写成：a(x - x₁)(x - x₂) = 0展开得到：ax² - a(x₁ + x₂)x + ax₁x₂ = 0对比一下一般形式，就有：-b/a = x₁ + x₂， c/a = x₁x₂接下来，咱们得想办法把 x₁和 x₂用 a、b、c 表示出来。
这时候，咱们可以用完全平方公式来搞事情。
先把方程 ax² + bx + c = 0 两边同时除以 a ，得到：x² + (b/a)x + c/a = 0然后配方：x² + (b/a)x + (b/2a)² - (b/2a)² + c/a = 0也就是：(x + b/2a)² - (b² - 4ac)/4a² = 0移项得到：(x + b/2a)² = (b² - 4ac)/4a²两边开平方：x + b/2a = ±√(b² - 4ac)/2a最后就得到求根公式：x = [-b ± √(b² - 4ac)] / 2a我记得我当初教学生这个求根公式的时候，有个小同学总是记不住，还闹了个笑话。
那天上课，我刚讲完求根公式，让大家做几道练习题巩固一下。
结果这个小同学一脸迷茫，我走到他旁边，发现他在本子上写的不是算式，而是在画小人，嘴里还嘟囔着：“这公式太难记啦，我要画个魔法小人帮我记住。
”我又好气又好笑，耐心地给他重新讲了一遍，还教给他一些记忆的小窍门。
一元二次方程式的求根公式
一元二次方程式的求根公式
【实用版】
目录
一、一元二次方程式的基本概念
二、一元二次方程式的求根公式
三、求根公式的推导过程
四、求根公式的应用实例
正文
一、一元二次方程式的基本概念
一元二次方程式是指形如 ax^2 + bx + c = 0 的方程，其中 a、b、c 是已知常数，且 a≠0。
在这个方程中，x 是未知数，我们需要找到满足方程的 x 的值，这个过程称为求根。
二、一元二次方程式的求根公式
一元二次方程式的求根公式是：
x1,2 = (-b ±√(b^2 - 4ac)) / (2a)
其中，x1 和 x2 分别是方程的两个根，±表示加减两个方案，√表示平方根运算。
三、求根公式的推导过程
为了推导一元二次方程式的求根公式，我们可以使用代数方法。
首先，将一元二次方程式 ax^2 + bx + c = 0 改写为 a(x - x1)(x - x2) = 0 的形式，然后通过展开和比较系数，可以得到 x1 和 x2 的表达式。
最后，将表达式化简，就可以得到求根公式。
第1页共1页。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
主讲：黄冈中学高级教师
一、一周知识概述
1、一元二次方程的求根公式
将一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)进行配方，当b2－4ac≥0时的根为．
该式称为一元二次方程的求根公式，用求根公式解一元二次方程的方法称为求根公式法，简称公式法．
说明：(1)一元二次方程的公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)；
(2)由求根公式可知，一元二次方程的根是由系数a、b、c的值决定的；
(3)应用求根公式可解任何一个有解的一元二次方程，但应用时必须先将其化为一般形式.
2、一元二次方程的根的判别式
（1）当b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；
（2）当b2－4ac=0时，方程有两个相等的实数根；
（3）当b2－4ac＜0时，方程没有实数根．
二、重难点知识
1、对于一元二次方程的各种解法是重点，难点是对各种方法的选择，突破这一难点的关键是在对四种方法都会使用的基础上，熟悉各种方法的优缺点。
(1) “开平方法”一般解形如“”类型的题目，如果用“公式法”就显得多余的了。
(2)“因式分解法”是一种常用的方法，一般是首先考虑的方法。
(3) “配方法”是一种非常重要的方法，一般不使用，但若能恰当地使用，往往能起到简化作用，思考于“因式分解法”之后，“公式法”之前。
如方程；用因式分解，则6391这个数太大，不易分解；用公式法，也太繁；若配方，则方程化为，就易解，若一次项系数中有偶因数，一般也应考虑运用。
(4)“公式法”是一般方法，只要明确了二次项系数、一次项系数及常数项，若方
程有实根，就一定可以用求根公式求出根，但因为要代入(≥0)求值，所以对某些特殊方程，解法又显得复杂了。
2、在运用b2－4ac的符号判断方程的根的情况时，应注意以下三点：
（1）b2－4ac是一元二次方程的判别式，即只有确认方程为一元二次方程时，才能确定a、b、c，求出b2－4ac；
（2）在运用上述结论时，必须先将方程化为一般形式，以便确认a、b、c；
（3）根的判别式是指b2－4ac，而不是
三、典型例题讲解
例1、解下列方程：
(1)；
(2)；
(3).
分析：用求根公式法解一元二次方程的关键是找出a、b、c的值，再代入公式计算，解：(1)因为a=1，，c=10
所以
所以
(2)原方程可化为
因为a=1，，c=2
所以
所以.
(3)原方程可化为
因为a=1，，c=－1
所以
所以；
所以．
总结：
(1)用求根公式法解一元二次方程首先将方程化为一般形式；如果二次项系数为负数，通常将其化为正数；如果方程的系数含有分母，通常先将其化为整数，求出的根要化为最简形式；
(2)用求根公式法解方程按步骤进行．
例2、用适当方法解下列方程：
① ②
③ ④
⑤ ⑥
⑦
分析：
要合理地选用适当的方法解一元二次方程，就必须熟悉各种方法的优缺点，处理好特殊方法和一般方法的关系。
就直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法这四种方法而言，配方法、公式法是一般方法，而开平方法、因式分解法是特殊方法。
⑴ 公式法是最一般的方法，只要明确了二次项系数、一次项系数和常数项，若方程有实根，就一定可以用求根公式求出根，但因为要代入一元二次方程的求根公式
求值，所以对某些方程，解法又显得复杂了。
如①，可以直接开平方，就能马上得出解；若此时还用求根公式就显得繁琐了。
⑵ 配方法是一种非常重要的方法，在解一元二次方程时，一般不使用，但并不是一定不用，若能合理地使用，也能起到简便的作用。
若方程中的一次项系数有因数是偶数，则可使用，计算量也不大。
如②，因为224比较大，分解时较繁，此题中一次项系数是-2。
可以利用用配方法来解，经过配方之后得到
，显得很简单。
⑶ 直接开平方法一般解符合型的方程，如第①小题。
⑷ 因式分解法是一种常用的方法，它的特点是解法简单，故它是解题中首先考虑的方法，若一元二次方程的一般式的左边不能分解为整数系数因式或系数较大难以分解时，应考虑变换方法。
解：①
两边开平方，得
所以
②
配方，得
所以
所以
③
配方，得
所以
所以
④
因为
所以 =4＋20=24 所以
所以
⑤
配方：
所以
所以
⑥
整理，得
所以
⑦
移项，提公因式，得
所以
小结：
以上各题请同学们用其他方法做一做，再比较各种方法的优缺点，体会如何选用合适的方法，下面给出常规思考方法，仅作参考。
例3、已知关于x的方程ax2－3x＋1=0有实根，求a的取值范围.
解：当a=0时，原方程有实根为
若a≠0时，当原方程有两个实根.
故，综上所述a的取值范围是.
小结：
此题要分方程ax2－3x＋1=0为一元一次方程和一元二次方程时讨论，即分当a=0与a≠0两种情况．
例4、已知一元二次方程x2－4x＋k=0有两个不相等的实数根.
(1)求k的取值范围；
(2)如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程x2－4x＋k=0与x2＋mx－1=0有一个相同的根，求此时m的值.
解：(1)因为方程x2－4x＋k=0有两个不相等的实数根，
所以b2－4ac=16－4k>0，得k<4.
(2)满足k<4的最大整数，即k=3.
此时方程为x2－4x＋3=0，解得x1=1，x2=3.
①当相同的根为x=1时，则1＋m－1=0，得m=0；
②当相同的根为x=3时，则9＋3m－1=0，得
所以m的值为0或
例5、设m为自然数，且3<m<40，方程有两个整数根求m的值及方程的根。
解：，
∵方程有整数根，
∴4（2m＋1）是完全平方数。
∵3<m<40∴7<2m＋1<81
∴2m＋1值可以为9，25，49
∴m的值可以为4，12，24。
当m=4时方程为解得x=2或x=8
当m=12时方程为解得x=26或x=16
当m=24时方程为解得x=52或x=38
总结：
本题先由整数根确定2m＋1是完全平方数，再由3<m<40中m为整数确定m的值，再分别试验求x，是本题特点。