概率论与数理统计实验报告

概率论与数理统计实验报告

应物12班郭帅 2110903026 一、实验内容:用蒙特卡洛方法估计积分值

,，,2222xy，xxxdxsinedx1用蒙特卡洛方法估计积分，和edxdy的值，并将估计值与真,,,,2200xy1，,

值进行比较。

121xdxdy2用蒙特卡洛方法估计积分edx和的值，并对误差进行估

计。 ,,,4422，，xy10xy，,1

二、要求:(1)针对要估计的积分选择适当的概率分布设计蒙特卡洛方法;

(2)利用计算机产生所选分布的随机数以估计积分值;

(3)进行重复试验，通过计算样本均值以评价估计的无偏性;通过计算均方误差(针对第1类题)或样本方差(针对第2类题)以评价估计结果的精度。

1)能通过 MATLAB 或其他数学软件了解随机变量的概率密度、分布三、目的:(

函数及其期望、方差、协方差等;

(2) 熟练使用 MATLAB 对样本进行基本统计，从而获取数据的基本信息;

(3) 能用 MATLAB 熟练进行样本的一元回归分析。

蒙特卡洛方法:当所求解问题是某种随机事件出现的概率，或者是某个随机变量的期望值时，通过某种“实验”的方法，以这种事件出现的频率估计这一随机事件的概率，或者得到这个随机变量的某些数字特征，并将其作为问题的解。

四、实验步骤:

,2

xxdxsin(1) ,0

方法:x在0至pi/2区间上随机取10000个数为均匀分布的简单随机样本,然后计算y的值一共计算二十次,即可用样本均值作为积分的估计值.

Y=pi/2*x.*sin(x) y*f(x)即为被积函数

2,,,,x[0,],fx(),2,,

,其他0,,

clc

clear

x=rand(20,10000)*pi/2

y=(pi/2)*x.*sin(x)

a=sum(y,2)/10000

u=sum(a,1)/20

H=1

E=abs(H-u)

b=abs(H-u)^2

D=sum(b,1)/19 结果样本均值为u= 0.9987 E = 0.0013

D =8.971e-008=0.00000008971

真值计算:

clc

clear

symsx

f='x*sin(x)'

int(f,x,0,pi/2)

结果真值为1

，,2xedx(2),0

方法:x在负无穷到正无穷之间按标准正态分布取10000个样本，然后计算y值二十次，即可

用样本均值估计积分值。

clc

clear

x=randn(20,10000) y=exp((-x.^2)/2)*sqrt(2*pi)

a=sum(y,2)/10000 b=sum(a,1)/20 u=b/2

H=1/2*pi^(1/2) E=abs(H-u)

c=abs(H-u)^2

D=sum(c,1)/19 结果样本均值为: 0.8870

误差=0.00076131

样本方差=3.0505e-008=0.0000000.0505

真值:

syms x

f='exp(-x^2)' int(f,x,0,inf) 真值为:1/2*pi^(1/2)

22xy，(3) edxdy,,22xy1，,

21,2,原积分=edd,,, ,,00

,方法:把看做x,使x在0到1之间取10000个值坐在0至1区间上的均匀分布的随机简单

2,,样本,计算样本对应的y值,因为y与无关,所以第二重积分可直接乘以得样本均值,一共

计算二十次,即可用样本均值作为积分的估计值.

y=exp(x^2)*x

1,[0,1]x,

fx(),,其他0,

clc

clear

x=rand(20,10000) g=x.*exp(x.^2)

a=sum(g,2)/10000 b=sum(a,1)/20

u=2*pi*b

H=pi*(exp(1) - 1) E=abs(H-u)

c=abs(H-u)^2

D=sum(c,1)/19

结果样本均值为5.4140

误差= 0.0159

样本方差= 1.3294e-005=0.000013294

真值计算:

clc

clear

symsxy

f='exp(x^2)*x'

int(int(f,x,0,1),y,0,2*pi)

结果pi*(exp(1) - 1)=5.3981

二

12xedx(1) ,

0方法:x在0至1区间上随机取10000个数为均匀分布的简单随机样本,然后计算y的值一共

计算二十次,即可用样本均值作为积分的估计值. Y=exp(x^2)

1,[0,1]x,

fx(),,其他0,

clc

clear

x=rand(20,10000)

y=exp(x.^2)

a=sum(y,2)/10000

u=sum(a,1)/20

b=(a-u).^2

D=sum(b,1)/19

U为样本均值,计算结果样本均值= 1.4627 D为样本方差,样本方差= 1.0156e-005=0.000010156

1dxdy(2),,4422，，xy1xy，,1

方法:随机产生20组数据每组10000个,保证这些数据为均匀分布在单位园内

的简单随机样

本,然后计算z的值,即可用z在单位圆上均匀分布的期望值对积分制进行估计.

Z=pi/(sqrt(1+x^4+y^4))

1,22，,,1xy,,fx(),,

,其他0,,

clc

clear

m=rand(20,10000)

n=rand(20,10000)

a=rand(20,10000)*2*pi

b=rand(20,10000)*2*pi

x=m.*cos(a)