竞赛数学(张同君陈传理)代数1(多项式与方程)

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q t 1 q t , t 0,1, 2.
令 s x q x q 3,则s 3 q 3 q 3 0,
s 4 q 4 q 3 q 3 q 3 0, ,可 推 得 s n 0, n 3, 4,5, ,
即 多 项 式 s x 有 无 穷 多 个 根 ,由 定 理10推 论 2知 , s x 是 零 多 项 式 , 所 以 q x
例题
例1:二次三项式ax2bxc有实数根, 三项式a3x2b3xc3也有实数根吗?
因为ax2bxc有实数根,所以b2 4ac.如果ac0,
那么b6 4ac3 4a3c3.
如果ac0,那么b6 04a3c3,所以a3x2b3xc3的
根的判别式b3 24a3c3 0,故a3x2b3xc3也有实数根.
多项式的根
推论1:多项式f x与gx恒等的充分必要条件是: f xgx对x的无穷多个值成立.
推论2:若多项式有无穷多个不同的根,则f x是零
多项式.
例题
例 2: 试 确 定 所 有 的 实 系 数 多 项 式 Px, 使 得 tPt1t2Pt对 所 有 实 数 t均
成 立 .
取 t 2, 则 2 P 1 0, P 1 0, 即1是 P x 的 一 个 根 .取 t 1, 则
为1的多项式,简称首1多项式.
注意
❖ 零次多项式与零多项式的区别。
一元多项式
约定:在本节中,用大写字母N,Z,Q,R,C分别表示 正整数集、整数集、有理数集、实数集、复数集.
用Zx,Qx,Rx,Cx分别表示整系数、有理系
数、实系数、复系数的一元多项式的集合.
一元多项式
n
m
定义2:若多项式f xaixi与gxbixi的次数相同,
当 m n时 ,取 bm1 bm2 bn 0,则
f
x
g
x
nm
aib
j
x
k
.
k 0 i j k
多项式的根
定 义 9: 设 多 项 式 fxanxnan1xn1 a1xa0, 若 数 c适 合 fcancnan1cn1 a1ca00,那 么 称 c是 fx的 根 或 者 零 点 .
多项式的整除性
定理2:(带余除法定理)设f x与gx是多项式,且gx0, 那么存在惟一的一对多项式qx与rx, 使
f xgxqxrx, 这里rx0或者degrxdeggx.qx叫做以gx除f x所 得的商式,rx叫做余式.
多项式的整除性
定义4:在式f xgxqxrx中,当rx0时, 称gx整除f x,记为gx| f x,也称gx是f x的 因式,或f x是gx的倍式.若rx0,则称gx不整 除f x,记为gx|fx.
边的多项式的次数不等,与多项式相等的条件矛
盾.故g x hx 0,从而可得f x 0.
例题
例4:设Px是具有非负系数的二次三项式,
证明:对于任意实数x, y不等式
P2xyPx2Py2,
恒成立.
柯西不等式
n
ai2
n
bi2
n
2
aibi
i1 i1 i1
设 二 次 三 项 式 P t a0 a1t a2t 2 , 其 中 系 数 a0 , a1, a2为 非 负 数 .
q 3是 常 值 多 项 式,故 所 求 多 项 式 必 为 cx x 1的 形 式,其 中 c R.
另 一 方 面 , 若 c R , P x cx x 1 满 足 条 件 中 的 等 式 .因 此 所 求 的 多 项
式为
P x cx x 1,c R.
一元多项式
定理1:如果多项式f x0,gx0,那么
i0
i0
而且同次项的系数相等,即nm, 且
ai bi, i0,1,2, ,n,
则称f x与gx相等。
一元多项式
定 义 3: 两 个 多 项 式 的 和 、 差 、 积 定 义 为 :
n
m
设 f x aixi, g x bjx j,m n,则
i0
j0
n
f x g x ak bk xk , k0
则由柯西不等式,有
P
2
xy
a
0Leabharlann Baidu
a1 x y
a2
xy
2
2
a0 a0 a1 x a1 y a2 x 2
2
a2 y2
2
a0
2
a1 x
a2 x2
2
2
a0
2
a1 y
a2 y2
代数
多项式与方程
一元多项式
定义1:设n是非负整数,a0,a1,a2, ,an是数, x是未定元,则表达式
n
f x anxn an1xn1 a1xa0 aixi i0
称为关于x的多项式(一元多项式),aixi i 0,1,2, ,n称为f x的i次 项,ai称为i次项的系数.如果系数an,an1, ,a1,a0全为零,则称f x为零 多项式,记作O,如果an 0,则称f x为n次多项式,n称为f x的次数,记 作deg f x n.零多项式不定义次数.an称为f x的首项系数.首项系数
P 0 P 1 0,即 0也 是 P x 的 一 个 根 .由 因 式 定 理 , P x 可 写 成 x ( x
1)q x 的 形 式 , 其 中 q x 是 实 系 数 多 项 式 .将 P t t t 1 q t 代 入 条 件
中的等式得
t t 1t 2q t 1 t 2t t 1q t,
degf xgxmaxdegf x,deggx,
其中f xgx0;
degf xgxdegf xdeggx.
例题
例 3: 设 fx,gx,hx为 实 系 数 多 项 式 ,且 适 合 f2xxg2xxh2x.
求 证 : fxgxhx0.
假设g x与hx中至少有一个非零多项式, 由于所给多项式都是实系数多项式,从而xg2 x xh2 x 0,且是奇次的.而f 2 x或偶次多项式 或为零多项式,这表明f 2 x xg2 x xh2 x两
多项式的整除性
定 理 4: ( 因 式 定 理 ) 多 项 式 fx有 因 式 xa的 充 要 条 件 是 fa0.
多项式的根
定理10:(多项式恒等定理)设f x,gx是两个
次数不大于n的多项式.如果有n1个不同的数x0,x1,
x2, ,xn,使f xigxi,i0,1,2, ,n,则 f xgx.
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