【红对勾】人教A版高中数学选修2-1单元综合测试二
最新人教A版高中数学选修2-1测试题全套含答案解析
18.(本小题满分12分)指出下列命题中，p是q的什么条件？
(1)p：{x|x>－2或x<3}；q：{x|x2－x－6<0}；
(2)p：a与b都是奇数；q：a＋b是偶数；
(3)p：0<m<；q：方程mx2－2x＋3＝0有两个同号且不相等的实根.
【解】(1)因为{x|x2－x－6<0}＝{x|－2<x<3}，
所以{x|x>－2或x<3}{x|－2<x<3}，
而{x|－2<x<3}⇒{x|x>－2或x<3}.
所以p是q的必要不充分条件.
(2)因为a，b都是奇数⇒a＋b为偶数，而a＋b为偶数a，b都是奇数，所以p是q的充分不必要条件.
(3)mx2－2x＋3＝0有两个同号不等实根⇔⇔⇔⇔.
【解析】当x＝2且y＝－1时，满足方程x＋y－1＝0,即点P(2，－1)在直线l上.点P′(0,1)在直线l上，但不满足x＝2且y＝－1，∴“x＝2且y＝－1”是“点P(x，y)在直线l上”的充分不必要条件.
【答案】A
5.“关于x的不等式f(x)＞0有解”等价于()
A.∃x0∈R，使得f(x0)＞0成立
【答案】B
3.已知抛物线C1：y＝2x2的图象与抛物线C2的图象关于直线y＝－x对称，则抛物线C2的准线方程是()
A.x＝－B.x＝
C.x＝D.x＝－
【解析】抛物线C1：y＝2x2关于直线y＝－x对称的C2的表达式为－x＝2(－y)2，即y2＝－x，其准线方程为x＝.
【答案】C
4.已知点F，A分别为双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左焦点、右顶点，点B(0，b)满足·＝0，则双曲线的离心率为()
高中数学人教A版选修2-1 模块综合测评 Word版含答案
模块综合测评(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．命题“a ∉A 或b ∉B ”的否定形式是( ) A ．若a ∉A ，则b ∉B B ．a ∈A 或b ∈B C ．a ∉A 且b ∉BD ．a ∈A 且b ∈B【解析】 “p 或q ”的否定为“綈p 且綈q ”，D 正确． 【答案】 D2．已知a ∈R ，则“a ＜2”是“a 2＜2a ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 ∵a 2＜2a ⇔a (a －2)＜0⇔0＜a ＜2. ∴“a ＜2”是“a 2＜2a ”的必要不充分条件． 【答案】 B3．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，则双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为( )A.54B.52C.32D.54【解析】 由题意，1－b 2a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝34，∴b 2a 2＝14，而双曲线的离心率e 2＝1＋b 2a 2＝1＋14＝54，∴e ＝52.【答案】 B4．已知空间向量a ＝(t ，1，t )，b ＝(t －2，t ，1)，则|a －b |的最小值为( )A. 2B. 3 C ．2D ．4【解析】 |a －b |＝2（t －1）2＋4≥2，故选C. 【答案】 C5．椭圆x 225＋y 29＝1与椭圆x 2a 2＋y 29＝1有( ) A ．相同短轴 B ．相同长轴 C ．相同离心率D ．以上都不对【解析】 对于x 2a 2＋y 29＝1，因a 2>9或a 2<9，因此这两个椭圆可能长轴相同，也可能短轴相同，离心率是不确定的，因此A ，B ，C 均不正确，故选D.【答案】 D6．长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，AD ＝AA 1＝1，则二面角C 1AB C 为( )A.π3B.2π3C.3π4 D.π4【解析】 以A 为原点，直线AB ，AD ，AA 1分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则平面ABC 的一个法向量为AA 1→＝(0，0，1)，平面ABC 1的一个法向量为A 1D →＝(0，1，－1)，∴cos 〈AA 1→，A 1D →〉＝－12＝－22，∴〈AA 1→，A 1D →〉＝3π4，又二面角C 1AB C 为锐角，即π－34π＝π4，故选D.【答案】 D7．(2016·湖北省黄冈市质检)命题“∀x ∈[1，2]，x 2－a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( )A ．a ≥4B ．a ≤4C ．a ≥5D ．a ≤5【解析】 ∵∀x ∈[1，2]，1≤x 2≤4，∴要使x 2－a ≤0为真，则a ≥x 2，即a ≥4，本题求的是充分不必要条件，结合选项，只有C 符合，故选C.【答案】 C8．已知p ：1x ＋2<0，q ：lg(x ＋2)有意义，则綈p 是q 的( )【导学号：18490126】 A ．充分不必要条件 B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 不等式1x ＋2<0的解集为{x |x <－2}，则綈p ：x ≥－2.q ：x >－2.故綈p ⇒/ q ，q ⇒綈p ，故选C.【答案】 C9.如图1，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线，分别交抛物线的准线l 、y 轴、抛物线于A ，B ，C 三点，若AB →＝3BC →，那么直线AF 的斜率是( )图1A ．－ 3B ．－33 C ．－22D ．－1【解析】 过点B ，C 分别作准线l 的垂线，垂足分别为B 1，C 1，设|BC |＝a .因为O 是EF 的中点，BO ∥AE ，所以|AB |＝|BF |＝3a ，|CF |＝|CC 1|＝2a ，在△ACC 1中，|AC 1|＝23a ，tan ∠AFO ＝tan ∠ACC 1＝3，故直线AF 的斜率是－3，故选A.【答案】 A10．过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左顶点A 的斜率为k 的直线交椭圆C 于另一点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F ，若椭圆的离心率为23，则k 的值为( )A ．－13 B.13 C ．±13D ．±12【解析】 由题意知点B 的横坐标是c ，故点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，±b 2a ，则斜率k ＝±b 2ac ＋a ＝±b 2ac ＋a 2＝±a 2－c 2ac ＋a 2＝±1－e 2e ＋1＝±(1－e )＝±13，故选C. 【答案】 C11．若直线y ＝kx －2与抛物线y 2＝8x 交于A ，B 两个不同的点，抛物线的焦点为F ，且|AF |，4，|BF |成等差数列，则k ＝( )A ．2或－1B ．－1C ．2D ．1± 5【解析】 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －2，y 2＝8x ，消去y ，得k 2x 2－4(k ＋2)x ＋4＝0，故Δ＝16(k ＋2)2－16k 2＝64(1＋k )>0，解得k >－1，且x 1＋x 2＝4（k ＋2）k 2.由|AF |＝x 1＋p 2＝x 1＋2，|BF |＝x 2＋p2＝x 2＋2，且|AF |，4，|BF |成等差数列，得x 1＋2＋x 2＋2＝8，得x 1＋x 2＝4，所以4（k ＋2）k 2＝4，解得k ＝－1或k ＝2，又k >－1，故k ＝2，故选C.【答案】 C12．(2016·上海杨浦模考)若F 1，F 2为双曲线C ：x 24－y 2＝1的左、右焦点，点P 在双曲线C 上，∠F 1PF 2＝60°，则点P 到x 轴的距离为( )A.55B.155C.2155D.1520【解析】 设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，点P 到x 轴的距离为|y P |，则S △F 1PF 2＝12r 1r 2sin 60°＝34r 1r 2，又4c 2＝r 21＋r 22－2r 1r 2cos 60°＝(r 1－r 2)2＋2r 1r 2－r 1r 2＝4a 2＋r 1r 2，得r 1r 2＝4c 2－4a 2＝4b 2＝4，所以S △F 1PF 2＝12r 1r 2sin 60°＝3＝12·2c ·|y P |＝5|y P |，得|y P |＝155，故选B.【答案】 B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．已知空间三点的坐标为A (1，5，－2)，B (2，4，1)，C (p ，3，q ＋2)，若A ，B ，C 三点共线，则p ＋q ＝________．【解析】 由已知，得AC →＝kAB →，所以(p －1，－2，q ＋4)＝k (1，－1，3)，得到p ＝3，q ＝2，p ＋q ＝5.【答案】 514．已知命题p ：∃x 0∈R ，ax 20＋x 0＋12≤0.若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围是________．【解析】 因为命题p 为假命题，所以命题“∀x ∈R ，ax 2＋x ＋12>0”为真命题．当a ＝0时，取x ＝－1，则不等式不成立； 当a ≠0时，要使不等式恒成立，令ax 2＋x ＋12＝0，则有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝1－2a <0，所以⎩⎨⎧a >0，a >12，即实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 15．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，若点A ，B 是该抛物线上的点，∠AFB ＝π2，线段AB 的中点M 在抛物线的准线上的射影为N ，则|MN ||AB |的最大值为______. 【导学号：18490127】【解析】 如图所示，设|AF |＝a ，|BF |＝b ，则|AB |＝a 2＋b 2，而根据抛物线的定义可得|MN |＝a ＋b 2，又a ＋b2≤a 2＋b 22，所以|MN ||AB |＝a ＋b2a 2＋b2≤22，当且仅当a ＝b 时，等号成立，即|MN ||AB |的最大值为22.【答案】 2216．四棱锥P -ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是正方形，且PD ＝AB ＝1，G 为△ABC 的重心，则PG 与底面ABCD 所成的角θ的正弦值为________．【解析】 如图，分别以DA ，DC ，DP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，由已知P (0，0，1)，A (1，0，0)，B (1，1，0)，C (0，1，0)，则重心G ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，0，因此DP →＝(0，0，1)，GP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，－23，1，所以sin θ＝|cos 〈DP →，GP →〉|＝|DP →·GP →||DP →|·|GP →|＝31717.【答案】31717三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)设集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |ax ＝1}．“x ∈B ”是“x ∈A ”的充分不必要条件，试求满足条件的实数a 组成的集合．【解】 ∵A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}＝{1，2}， 由于“x ∈B ”是“x ∈A ”的充分不必要条件．∴B A .当B ＝∅时，得a ＝0；当B ≠∅时，由题意得B ＝{1}或B ＝{2}．则当B ＝{1}时，得a ＝1；当B ＝{2}时，得a ＝12. 综上所述，实数a 组成的集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，1，12.18. (本小题满分12分)如图2，四边形MNPQ 是圆C 的内接等腰梯形，向量CM→与PN →的夹角为120°，QC →·QM →＝2.图2(1)求圆C 的方程；(2)求以M ，N 为焦点，过点P ，Q 的椭圆方程．【解】 (1)连结CQ ，建立如图坐标系，由题意得△CQM 为正三角形．∴QC →·QM →＝r 2·cos 60°＝2， ∴r ＝2，∴圆C 的方程为x 2＋y 2＝4.(2)易知M (2，0)，N (－2，0)，Q (1，3)， 2a ＝|QN |＋|QM |＝23＋2.∴c ＝2，a ＝3＋1，b 2＝a 2－c 2＝2 3. ∴椭圆的方程为x 24＋23＋y 223＝1.19. (本小题满分12分)如图3，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是矩形，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝AD ＝2，AB ＝1，BM ⊥PD 于点M .图3(1)求证：AM ⊥PD ；(2)求直线CD 与平面ACM 所成的角的余弦值．【解】 (1)证明：∵P A ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，∴P A ⊥AB .∵AB ⊥AD ，AD ∩P A ＝A ，∴AB ⊥平面P AD . ∵PD ⊂平面P AD ，∴AB ⊥PD .∵BM ⊥PD ，AB ∩BM ＝B ，∴PD ⊥平面ABM . ∵AM ⊂平面ABM ，∴AM ⊥PD .(2)如图所示，以点A 为坐标原点，建立空间直角坐标系Axyz ，则A (0，0，0)，P (0，0，2)，B (1，0，0)，C (1，2，0)，D (0，2，0)，M (0，1，1)，于是AC→＝(1，2，0)，AM →＝(0，1，1)，CD →＝(－1，0，0)． 设平面ACM 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，由n ⊥AC →，n ⊥AM →可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝0，y ＋z ＝0. 令z ＝1，得x ＝2，y ＝－1，于是n ＝(2，－1，1)． 设直线CD 与平面ACM 所成的角为α， 则sin α＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪CD →·n |CD →||n |＝63，cos α＝33. 故直线CD 与平面ACM 所成的角的余弦值为33.20. (本小题满分12分)如图4，在四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，侧棱AA 1⊥底面ABCD ，AB ∥DC ，AA 1＝1，AB ＝3k ，AD ＝4k ，BC ＝5k ，DC ＝6k (k ＞0)．图4(1)求证：CD ⊥平面ADD 1A 1；(2)若直线AA 1与平面AB 1C 所成角的正弦值为67，求k 的值． 【解】 (1)证明：取CD 的中点E ，连接BE ，如图(1)．图(1)∵AB ∥DE ，AB ＝DE ＝3k ， ∴四边形ABED 为平行四边形，∴BE ∥AD 且BE ＝AD ＝4k .在△BCE 中，∵BE ＝4k ，CE ＝3k ，BC ＝5k ， ∴BE 2＋CE 2＝BC 2，∴∠BEC ＝90°，即BE ⊥CD . 又∵BE ∥AD ，∴CD ⊥AD .∵AA 1⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，∴AA 1⊥CD . 又AA 1∩AD ＝A ，∴CD ⊥平面ADD 1A 1.(2)以D 为原点，DA →，DC →，DD 1→的方向为x ，y ，z 轴的正方向建立如图(2)所示的空间直角坐标系，则A (4k ，0，0)，C (0，6k ，0)，B 1(4k ，3k ，1)，A 1(4k ，0，1)，图(2)∴AC →＝(－4k ，6k ，0)，AB 1→＝(0，3k ，1)，AA 1→＝(0，0，1)． 设平面AB 1C 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则由⎩⎨⎧AC→·n ＝0，AB 1→·n ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－4kx ＋6ky ＝0，3ky ＋z ＝0.取y ＝2，得n ＝(3，2，－6k )． 设AA 1与平面AB 1C 所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈AA 1→，n 〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪AA 1→·n |AA 1→||n |＝6k 36k 2＋13＝67，解得k ＝1，故所求k 的值为1.21. (本小题满分12分)如图5，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作一条倾斜角为π4的直线与抛物线相交于A ，B 两点．图5(1)用p 表示|AB |；(2)若OA→·OB →＝－3，求这个抛物线的方程． 【解】 (1)抛物线的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，过点F 且倾斜角为π4的直线方程为y ＝x －p2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧y 2＝2px ，y ＝x －p 2，得x 2－3px ＋p 24＝0， ∴x 1＋x 2＝3p ，x 1x 2＝p 24， ∴|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝4p .(2)由(1)知，x 1x 2＝p 24，x 1＋x 2＝3p ，∴y 1y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－p 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－p 2＝x 1x 2－p 2(x 1＋x 2)＋p 24＝p 24－3p 22＋p24＝－p 2，∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝p 24－p 2＝－3p 24＝－3，解得p 2＝4，∴p ＝2. ∴这个抛物线的方程为y 2＝4x .22. (本小题满分12分)如图6，在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，顶点B 的坐标为(0，b )，连接BF 2并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连接F 1C .图6(1)若点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13，且BF 2＝2，求椭圆的方程；【导学号：18490128】(2)若F 1C ⊥AB ，求椭圆离心率e 的值．【解】 (1)∵BF 2＝2，而BF 22＝OB 2＋OF 22＝b 2＋c 2＝2＝a 2， ∵点C 在椭圆上，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13，∴169a 2＋19b 2＝1，∴b 2＝1，∴椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(2)直线BF 2的方程为x c ＋y b ＝1，与椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1联立方程组，解得A 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2c a 2＋c 2，－b 3a 2＋c 2， 则C 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2c a 2＋c 2，b 3a 2＋c 2，又F1为(－c，0)，kF1C＝b3a2＋c22a2ca2＋c2＋c＝b33a2c＋c3，又k AB＝－bc，由F1C⊥AB，得b33a2c＋c3·⎝⎛⎭⎪⎫－bc＝－1，即b4＝3a2c2＋c4，所以(a2－c2)2＝3a2c2＋c4，化简得e＝ca＝5 5.。
【红对勾】人教A版高中数学选修2-1课件：1-1-1 命题
思考感悟 一个命题写成“若 p，则 q”的形式后，如何判 断该命题的真假呢？ 提示： 当一个命题改写成“若 p，则 q”的形式 后，判断这种命题真假的方法是：若由 p 经过逻辑推 理推出 q，则该命题为真；若判定该命题为假，只需 举出一个反例即可．
(1) 一般来说，疑问句、祈使句和感叹句都不是命
题，如：“y＝x2，x∈R是偶函数吗？”“但愿每一个 三次方程都有三个实数根．”“函数在生活中应用真 广泛啊！”等都不是命题；
(2)一个陈述句可以判断真假即可，不是说判断为 真的语句才是命题，如“5>7”虽然是错的，但仍是
命题且是假命题．
2．判断一个命题的真假的方法 一个命题要么是真的，要么是假的，但不能同时
答案：A
2．下列语句中不是命题的是(
)
π 3 A．y＝sinx(x∈R)是奇函数 B．tan ＝ 4 3 C．这是一条大河 D．x2＋2x＋1≥0
解析：选项C，“这是一条大河”不是命题，因为 “大河”没有界定标准，故不能判断“这是一条大河”
的真假．
答案：C
3．下列命题是真命题的是( A．所有质数都是奇数
)
C．3
D． 4
解析：①②③④都不正确．
答案：D
类型三
命题的结构
[例 3] 把下列命题改写成“若 p， 则 q”的形式， 并判断命题的真假． (1)周长相等的三角形面积相等； (2)已知 x， y 为正整数，当 y＝ x＋ 1 时， y＝ 3， x＝ 2； 1 (3)当 m> 时， mx2－ x＋ 1＝ 0 无实根； 4 (4)当 abc＝ 0 时， a＝ 0 且 b＝ 0 且 c＝ 0.
高中数学人教A版选修2-1 章末综合测评2 Word版含答案
章末综合测评(二) 圆锥曲线与方程(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．双曲线3x 2－y 2＝9的焦距为( ) A. 6 B ．26 C ．23D ．4 3【解析】 方程化为标准方程为x 23－y 29＝1， ∴a 2＝3，b 2＝9.∴c 2＝a 2＋b 2＝12，∴c ＝23，∴2c ＝4 3. 【答案】 D2．对抛物线y ＝4x 2，下列描述正确的是( ) A ．开口向上，焦点为(0，1) B ．开口向上，焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116 C ．开口向右，焦点为(1，0)D ．开口向右，焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116 【解析】 抛物线可化为x 2＝14y ，故开口向上，焦点为⎝⎛⎭⎪⎫0，116.【答案】 B3．抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－y23＝1的渐近线的距离是( ) 【导学号：18490079】A.12B.32 C ．1D. 3【解析】 抛物线y 2＝4x 的焦点为(1，0)，到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线3x －y ＝0的距离为|3×1－1×0|（3）2＋12＝32，故选B. 【答案】 B4．已知抛物线C 1：y ＝2x 2的图象与抛物线C 2的图象关于直线y ＝－x 对称，则抛物线C 2的准线方程是( )A ．x ＝－18 B ．x ＝12 C ．x ＝18D ．x ＝－12【解析】 抛物线C 1：y ＝2x 2关于直线y ＝－x 对称的C 2的表达式为－x ＝2(－y )2，即y 2＝－12x ，其准线方程为x ＝18.【答案】 C5．已知点F ，A 分别为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点、右顶点，点B (0，b )满足FB→·AB →＝0，则双曲线的离心率为( ) A. 2 B. 3 C.1＋32D.1＋52【解析】 ∵FB→·AB →＝0，∴FB ⊥AB ，∴b 2＝ac ，又b 2＝c 2－a 2，∴c 2－a 2－ac ＝0，两边同除以a 2，得e 2－1－e ＝0，∴e ＝1＋52.【答案】 D6．(2013·全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±14x B ．y ＝±13x C ．y ＝±12xD ．y ＝±x【解析】 由e ＝52，得c a ＝52， ∴c ＝52a ，b ＝c 2－a 2＝12a .而x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为y ＝±b a x ， ∴所求渐近线方程为y ＝±12x . 【答案】 C7.如图1，已知F 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点，P 是椭圆上的一点，PF ⊥x 轴，OP ∥AB (O 为原点)，则该椭圆的离心率是( )图1A.22B.24C.12D.32【解析】 因为PF ⊥x 轴，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a . 又OP ∥AB ，所以b a ＝b 2ac ，即b ＝c . 于是b 2＝c 2，即a 2＝2c 2，所以e ＝c a ＝22. 【答案】 A8．若点O 和点F (－2，0)分别为双曲线x 2a 2－y 2＝1(a >0)的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则OP →·FP→的取值范围为( ) A ．[3－23，＋∞)B ．[3＋23，＋∞)C. ⎣⎢⎡⎭⎪⎫－74，＋∞ D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫74，＋∞ 【解析】 因为双曲线左焦点的坐标为F (－2，0)， 所以c ＝2.所以c 2＝a 2＋b 2＝a 2＋1， 即4＝a 2＋1，解得a ＝ 3.设P (x ，y )，则OP→·FP →＝x (x ＋2)＋y 2， 因为点P 在双曲线x 23－y 2＝1上，所以OP →·FP →＝43x 2＋2x －1＝43⎝⎛⎭⎪⎫x ＋342－34－1.又因为点P 在双曲线的右支上，所以x ≥ 3. 所以当x ＝3时，OP→·FP →最小，且为3＋23，即OP →·FP →的取值范围是[3＋23，＋∞)． 【答案】 B9．已知定点A ，B 满足|AB |＝4，动点P 满足|P A |－|PB |＝3，则|P A |的最小值是( )A.12B.32C.72D ．5【解析】 已知定点A ，B 满足|AB |＝4，动点P 满足|P A |－|PB |＝3，则点P 的轨迹是以A ，B 为左、右焦点的双曲线的右支，且a ＝32，c ＝2.所以|P A |的最小值是点A 到右顶点的距离，即为a ＋c ＝2＋32＝72，选C.【答案】 C10．若焦点在x 轴上的椭圆x 22＋y 2n ＝1的离心率为12，则n ＝( ) A. 3 B.32 C.23D.83【解析】 依题意知，a ＝2，b ＝n ， ∴c 2＝a 2－b 2＝2－n ， 又e ＝12，∴c 2a 2＝2－n 2＝14，∴n ＝32.【答案】 B11．已知直线y ＝k (x ＋2)与双曲线x 2m －y 28＝1，有如下信息：联立方程组⎩⎨⎧y ＝k （x ＋2），x 2m －y 28＝1，消去y 后得到方程Ax 2＋Bx ＋C ＝0，分类讨论：(1)当A ＝0时，该方程恒有一解；(2)当A ≠0时，Δ＝B 2－4AC ≥0恒成立．在满足所提供信息的前提下，双曲线离心率的取值范围是( )A ．(1, 3]B ．[3，＋∞)C ．(1，2]D ．[2，＋∞)【解析】 依题意可知直线恒过定点(－2，0)，根据(1)和(2)可知直线与双曲线恒有交点，故需要定点(－2，0)在双曲线的左顶点上或左顶点的左边，即－2≤－m ，即0<m ≤4，又e ＝1＋b 2a 2＝1＋8m ，所以e ≥ 3.【答案】 B12．已知点P 为抛物线y 2＝2px (p >0)上的一点，F 为抛物线的焦点，直线l 过点P 且与x 轴平行，若同时与直线l 、直线PF 、x 轴相切且位于直线PF 左侧的圆与x 轴切于点Q ，则点Q ( )A ．位于原点的左侧B ．与原点重合C ．位于原点的右侧D ．以上均有可能【解析】 设抛物线的准线与x 轴、直线l 分别交于点D ，C ，圆与直线l 、直线PF 分别切于点A ，B .如图，由抛物线的定义知|PC |＝|PF |，由切线性质知|P A |＝|PB |，于是|AC |＝|BF |.又|AC |＝|DO |，|BF |＝|FQ |，所以|DO |＝|FQ |，而|DO |＝|FO |，所以O ，Q 重合，故选B.【答案】 B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．(2013·江苏高考)双曲线x 216－y 29＝1的两条渐近线的方程为________．【解析】 由双曲线方程可知a ＝4，b ＝3， 所以两条渐近线方程为y ＝±34x . 【答案】 y ＝±34x14．(2016·东城高二检测)已知F 1，F 2为椭圆x 225＋y 29＝1的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点．若|F 2A |＋|F 2B |＝12，则|AB |＝________．【解析】 由题意，知(|AF 1|＋|AF 2|)＋(|BF 1|＋|BF 2|)＝|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝2a ＋2a ，又由a ＝5，可得|AB |＋(|BF 2|＋|AF 2|)＝20，即|AB |＝8.【答案】 815.如图2所示，已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为K ，点A 在抛物线C 上，且在x 轴的上方，过点A 作AB ⊥l于B ，|AK |＝2|AF |，则△AFK 的面积为________. 【导学号：18490080】图2【解析】 由题意知抛物线的焦点为F (2，0)，准线l 为x ＝－2，∴K (－2，0)，设A (x 0，y 0)(y 0＞0)，∵过点A 作AB ⊥l 于B ，∴B (－2，y 0)，∴|AF |＝|AB |＝x 0－(－2)＝x 0＋2， |BK |2＝|AK |2－|AB |2，∴x 0＝2，∴y 0＝4，即A (2，4)，∴△AFK 的面积为12|KF |·|y 0|＝12×4×4＝8. 【答案】 816．设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过点P (－1，0)的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，点Q 为线段AB 的中点，若|PQ |＝2，则直线l 的斜率等于________．【解析】 设直线l 的方程为 y ＝k (x ＋1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝k （x ＋1），联立得k 2x 2＋2(k 2－2)x ＋k 2＝0， ∴x 1＋x 2＝－2（k 2－2）k 2， ∴x 1＋x 22＝－k 2－2k 2＝－1＋2k 2， y 1＋y 22＝2k ，即Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋2k 2，2k .又|FQ |＝2，F (1，0)， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋2k 2－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2＝4，解得k ＝±1. 【答案】 ±1三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为63，短轴的一个端点到右焦点的距离为 3.求椭圆C 的方程．【解】 设椭圆的半焦距为c ，依题意， 得a ＝3且e ＝c a ＝63， ∴a ＝3，c ＝2， 从而b 2＝a 2－c 2＝1，因此所求椭圆的方程为x 23＋y 2＝1.18．(本小题满分12分)已知F 1，F 2分别为椭圆x 2100＋y 2b 2＝1(0＜b ＜10)的左、右焦点，P 是椭圆上一点．(1)求|PF 1|·|PF 2|的最大值；(2)若∠F 1PF 2＝60°，且△F 1PF 2的面积为6433，求b 的值．【解】 (1)|PF 1|·|PF 2|≤⎝⎛⎭⎪⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝100(当且仅当|PF 1|＝|PF 2|时取等号)，∴|PF 1|·|PF 2|的最大值为100.(2)S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|sin 60°＝6433， ∴|PF 1|·|PF 2|＝2563， ①由题意知：⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|＝4a 2，|PF 1|2＋|PF 2|2－4c 2＝2|PF 1|·|PF 2|cos 60°， ∴3|PF 1|·|PF 2|＝400－4c 2. ②由①②得c ＝6，∴b ＝8.19．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆心在x 轴上，半径为4的圆C 位于y 轴右侧，且与y 轴相切．(1)求圆C 的方程；(2)若椭圆x 225＋y 2b 2＝1的离心率为45，且左、右焦点为F 1，F 2.试探究在圆C 上是否存在点P ，使得△PF 1F 2为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由．【解】 (1)依题意，设圆的方程为(x －a )2＋y 2＝16(a >0)． ∵圆与y 轴相切，∴a ＝4， ∴圆的方程为(x －4)2＋y 2＝16. (2)∵椭圆x 225＋y 2b 2＝1的离心率为45， ∴e ＝c a ＝25－b 25＝45，解得b 2＝9. ∴c ＝a 2－b 2＝4，∴F 1(－4，0)，F 2(4，0)，∴F 2(4，0)恰为圆心C ，(ⅰ)过F 2作x 轴的垂线，交圆于点P 1，P 2，则∠P 1F 2F 1＝∠P 2F 2F 1＝90°，符合题意；(ⅱ)过F 1可作圆的两条切线，分别与圆相切于点P 3，P 4， 连接CP 3，CP 4，则∠F 1P 3F 2＝∠F 1P 4F ＝90°，符合题意． 综上，圆C 上存在4个点P ，使得△PF 1F 2为直角三角形．20．(本小题满分12分)(2016·江南十校联考)已知双曲线的中心在原点，焦点F 1、F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点P (4，－10)．(1)求双曲线的方程；(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证：MF 1→·MF 2→＝0； (3)求△F 1MF 2的面积．【解】 (1)∵e ＝2，∴可设双曲线方程为x 2－y 2＝λ.∵过点P (4，－10)，∴16－10＝λ，即λ＝6.∴双曲线方程为x 2－y 2＝6.(2)法一 由(1)可知，双曲线中a ＝b ＝6，∴c ＝23，∴F 1(－23，0)，F 2(23，0)，∴kMF 1＝m 3＋23，kMF 2＝m 3－23，kMF 1·kMF 2＝m 29－12＝－m 23. ∵点(3，m )在双曲线上，∴9－m 2＝6，m 2＝3，故kMF 1·kMF 2＝－1，∴MF 1⊥MF 2.∴MF 1→·MF 2→＝0. 法二 ∵MF 1→＝(－23－3，－m )，MF 2→＝(23－3，－m )， ∴MF 1→·MF 2→＝(3＋23)×(3－23)＋m 2＝－3＋m 2， ∵M 点在双曲线上，∴9－m 2＝6，即m 2－3＝0，∴MF 1→·MF 2→＝0. (3)△F 1MF 2的底边|F 1F 2|＝43，△F 1MF 2的高h ＝|m |＝3，∴S △F 1MF 2＝6.21．(本小题满分12分)(2013·北京高考)已知A ，B ，C 是椭圆W ：x 24＋y 2＝1上的三个点，O 是坐标原点．(1)当点B 是W 的右顶点，且四边形OABC 为菱形时，求此菱形的面积；(2)当点B 不是W 的顶点时，判断四边形OABC 是否可能为菱形，并说明理由．【解】 (1)椭圆W ：x 24＋y 2＝1的右顶点B 的坐标为(2，0)．因为四边形OABC 为菱形，所以AC 与OB 相互垂直平分．所以可设A (1，m )，代入椭圆方程得14＋m 2＝1，即m ＝±32.所以菱形OABC 的面积是12|OB |·|AC |＝12×2×2|m |＝ 3.(2)四边形OABC 不可能为菱形．理由如下：假设四边形OABC 为菱形．因为点B 不是W 的顶点，且直线AC 不过原点，所以可设AC 的方程为y ＝kx ＋m (k ≠0，m ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝kx ＋m ，消去y 并整理得 (1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0.设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则x 1＋x 22＝－4km 1＋4k 2， y 1＋y 22＝k ·x 1＋x 22＋m ＝m1＋4k 2.所以AC 的中点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4km 1＋4k 2，m 1＋4k 2. 因为M 为AC 和OB 的交点，所以直线OB 的斜率为－14k .因为k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－14k ≠－1， 所以AC 与OB 不垂直．所以OABC 不是菱形，与假设矛盾．所以当点B 不是W 的顶点时，四边形OABC 不可能是菱形．22．(本小题满分12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，以原点O 为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x －y ＋6＝0相切．(1)求椭圆C 的标准方程； 【导学号：18490081】(2)若直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且k OA ·k OB ＝－b 2a 2.求证：△AOB 的面积为定值．【解】 (1)由题意得，b ＝|0－0＋6|2＝3，c a ＝12， 又a 2＋b 2＝c 2，联立解得a 2＝4，b 2＝3，∴椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 的坐标满足⎩⎨⎧x 24＋y 23＝1，y ＝kx ＋m ，消去y 化简得，(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0.∴x 1＋x 2＝－8km 3＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－123＋4k 2， 由Δ>0得4k 2－m 2＋3>0，y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝k 24m 2－123＋4k 2＋km ⎝ ⎛⎭⎪⎫－8km 3＋4k 2＋m 2＝3m 2－12k 23＋4k 2. ∵k OA ·k OB ＝－34，y 1y 2x 1x 2＝－34，即y 1y 2＝－34x 1x 2，∴3m 2－12k 23＋4k 2＝－34·4m 2－123＋4k 2，即2m 2－4k 2＝3， ∵|AB |＝（1＋k 2）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2] ＝（1＋k 2）·48（4k 2－m 2＋3）（3＋4k 2）2 ＝48（1＋k 2）（3＋4k 2）2·3＋4k 22＝24（1＋k 2）3＋4k 2. 又O 到直线y ＝kx ＋m 的距离d ＝|m |1＋k2. ∴S △AOB ＝12d |AB |＝12|m |1＋k 224（1＋k 2）3＋4k 2＝12m 21＋k 2·24（1＋k 2）3＋4k 2 ＝123＋4k 22·243＋4k 2 ＝3，为定值．。
【红对勾】高中数学 单元综合测试一 新人教A版选修2-1(1)
单元综合测试一时刻：120分钟分值：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)1．以下语句不是命题的有( )①x2－3＝0；②与一条直线相交的两直线平行吗？；③3＋1＝5；④5x－3>6.A．①③④B．①②③C．①②④D．②③④答案：C2．命题“假设A⊆B，那么A＝B”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是( ) A．0 B．2C．3 D．4解析：可设A＝{1,2}，B＝{1,2,3}，知足A⊆B，但A≠B，故原命题为假命题，从而逆否命题为假命题．易知否命题、逆命题为真．答案：B3．给定空间中的直线l及平面α，条件“直线l与平面α内两条相交直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的( )A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件解析：直线l与平面α内两相交直线垂直⇔直线l与平面α垂直，应选C.答案：C4．已知p：假设a∈A，那么b∈B，那么命题綈p是( )A．假设a∈A，那么b∉B B．假设a∉A，那么b∉BC．假设b∉B，那么a∉A D．假设b∈B，那么a∈A解析：命题“假设p，那么q”的否定形式是“假设p，那么綈q”．答案：A5．命题“p且q”与命题“p或q”都是假命题，那么以下判定正确的选项是( )A．命题“非p”与“非q”真假不同B．命题“非p”与“非q”最多有一个是假命题C．命题“非p”与“q”真假相同D．命题“非p且非q”是真命题解析：p且q是假命题⇒p和q中至少有一个为假，那么非p和非q至少有一个是真命题．p或q是假命题⇒p和q都是假命题，那么非p和非q都是真命题．答案：D6．已知a，b为任意非零向量，有以下命题：①|a|＝|b|；②(a)2＝(b)2；③(a)2＝a·b，其中能够作为a＝b的必要非充分条件的命题是( )A．①B．①②C．②③D．①②③解析：由向量的运算即可判定．答案：D7．已知A和B两个命题，若是A是B的充分没必要要条件，那么“綈A”是“綈B”的( )A．充分没必要要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也没必要要条件解析：由于“A⇒B，A⇐/ B”等价于“綈A⇐綈B，綈A⇒/ 綈B”，故“綈A”是“綈B”的必要不充分条件．答案：B8．假设向量a＝(x,3)(x∈R)，那么“x＝4”是“|a|＝5”的( )A．充分而没必要要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也没必要要条件解析：由“x＝4”，得a＝(4,3)，故|a|＝5；反之，由|a|＝5，得x＝±4.因此“x＝4”是“|a|＝5”的充分而没必要要条件．答案：A9．以下全称命题中，正确的选项是( ) A ．∀x ，y ∈{锐角}，sin(x ＋y )>sin x ＋sin y B ．∀x ，y ∈{锐角}，sin(x ＋y )>cos x ＋cos y C ．∀x ，y ∈{锐角}，cos(x ＋y )<sin x ＋cos y D ．∀x ，y ∈{锐角}，cos(x －y )<cos x ＋sin y解析：由于cos(x －y )＝cos x cos y ＋sin x sin y ，而当x ，y ∈{锐角}时，0<cos y <1,0<sin x <1， 因此cos(x －y )＝cos x cos y ＋sin x sin y <cos x ＋sin y ，应选项D 正确． 答案：D10．以下判定正确的选项是( )A ．命题“负数的平方是正数”不是全称命题B ．命题“∀x ∈Z ，x 3>x 2”的否定是“∃x ∈Z ，x 3<x 2”C ．“φ＝π2”是“函数y ＝sin(x ＋φ)为偶函数”的充要条件D ．“b ＝0”是“关于x 的二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 是偶函数”的充要条件解析：A 为全称命题；B 中否定应为∃x 0∈Z ，x 30≤x 20；C 中应为充分没必要要条件．答案：D11．已知命题p ：函数f (x )＝log 0.5(3－x )的概念域为(－∞，3)；命题q ：假设k <0，那么函数h (x )＝k x在(0，＋∞)上是减函数，对以上两个命题，以下结论中正确的选项是( )A ．命题“p 且q ”为真B ．命题“p 或綈q ”为假C ．命题“p 或q ”为假D ．命题“綈p ”且“綈q ”为假 解析：由题意知p 真，q 假．再进行判定． 答案：D12．已知向量a ＝(x ，y )，b ＝(cos α，sin α)，其中x ，y ，α∈R ，假设|a |＝4|b |，那么a ·b <λ2成立的一个必要不充分条件是( )A ．λ>3或λ<－3B ．λ>1或λ<－1C ．－3<λ<3D ．－1<λ<1解析：由已知|b |＝1，∴|a |＝4|b |＝4.又∵a ·b ＝x cos α＋y sin α＝x 2＋y 2sin(α＋φ)＝4sin(α＋φ)≤4，由于a ·b <λ2成立，那么λ2>4，解得λ>2或λ<－2，这是a ·b <λ2成立的充要条件，因此a ·b <λ2成立的一个必要不充分的条件是λ>1或λ<－1.应选B.答案：B第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(每题5分，共20分)13．“对顶角相等”的否定为________，否命题为________．解析：“对顶角相等”的否定为“对顶角不相等”，否命题为“假设两个角不是对顶角，那么它们不相等”． 答案：对顶角不相等 假设两个角不是对顶角，那么它们不相等14．令p (x )：ax 2＋2x ＋1>0，若是对∀x ∈R ，p (x )是真命题，那么a 的取值范围是________．解析：由已知∀x ∈R ，ax 2＋2x ＋1>0恒成立．显然a ＝0不合题意，因此⎩⎪⎨⎪⎧a >0Δ＝4－4a <0⇒a >1.答案：a >115．试写出一个能成为(a －2)2(a －1)>0的必要不充分条件________．解析：(a －2)2(a －1)>0的解集记为B ＝{a |a >1且a ≠2}，所找的记为集合A ，那么B A . 答案：a >1(不惟一) 16．给定以下结论：①已知命题p ：∃x ∈R ，tan x ＝1；命题q ：∀x ∈R ，x 2－x ＋1>0.那么命题“p ∧綈q ”是假命题； ②已知直线l 1：ax ＋3y －1＝0，l 2：x ＋by ＋1＝0，那么l 1⊥l 2的充要条件是ab＝－3；③假设sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，那么tan α＝5tan β；④圆x 2＋y 2＋4x －2y ＋1＝0与直线y ＝12x ，所得弦长为2.其中正确命题的序号为________(把你以为正确的命题序号都填上)．解析：关于①易知p 真，q 真，故命题p ∧綈q 假，①正确；关于②l 1与l 2垂直的充要条件应为a ＋3b ＝0；关于③利用两角和与差的正弦公式展现整理即得；关于④可求得弦长为455，④错．答案：①③三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)17．(10分)已知命题p ：∀非零向量a 、b 、c ，假设a ·(b －c )＝0，那么b ＝c .写出其否定和否命题，并说明真假．解：綈p ：∃非零向量a 、b 、c ，假设a ·(b －c )＝0，使b ≠c .綈p 为真命题． 否命题：∀非零向量a 、b 、c ，假设a ·(b －c )≠0，那么b ≠c .否命题为真命题．18．(12分)给定两个命题P ：对任意实数x 都有ax 2＋ax ＋1>0恒成立；Q ：关于x 的方程x 2－x ＋a ＝0有实数根．若是P ∧Q 为假命题，P ∨Q 为真命题，求实数a 的取值范围．解：命题P ：对任意实数x 都有ax 2＋ax ＋1>0恒成立，那么“a ＝0”，或“a >0且a 2－4a <0”．解得0≤a <4. 命题Q ：关于x 的方程x 2－x ＋a ＝0有实数根，那么Δ＝1－4a ≥0，得a ≤14.因为P ∧Q 为假命题，P ∨Q 为真命题，那么P ，Q 有且仅有一个为真命题，故綈P ∧Q 为真命题，或P ∧綈Q 为真命题，那么⎩⎪⎨⎪⎧ a <0或a ≥4a ≤14或⎩⎪⎨⎪⎧0≤a <4a >14.解得a <0或14<a <4.因此实数a 的取值范围是(－∞，0)∪(14，4)．19．(12分)求证：一元二次方程ax 2＋2x ＋1＝0(a ≠0)有一个正根和一个负根的充分没必要要条件是a <－1.证明：一元二次方程ax 2＋2x ＋1＝0(a ≠0)有一个正根和一个负根的充要条件是：Δ＝4－4a >0⇔a <1，而且a <0，从而a <0.有一个正根和一个负根的充分没必要要条件应该是{a |a <0}的真子集，a <－1符合题意．因此结论得证．20．(12分)已知p ：2x 2－9x ＋a <0，q ：⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3<0，x 2－6x ＋8<0，且綈p 是綈q 的充分条件，求实数a 的取值范围．解：由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－4x ＋3<0，x 2－6x ＋8<0，得⎩⎪⎨⎪⎧1<x <3，2<x <4，即2<x <3.∴q ：2<x <3.设A ＝{x |2x 2－9x ＋a <0}，B ＝{x |2<x <3}，∵綈p ⇒綈q ，∴q ⇒p .∴B ⊆A .∴2<x <3包括于集合A ，即2<x <3知足不等式2x 2－9x ＋a <0.∴2<x <3知足不等式a <9x －2x 2.∵当2<x <3时，9x －2x 2＝－2(x 2－92x ＋8116－8116)＝－2(x －94)2＋818∈(9，818]，即9<9x －2x 2≤818，∴a ≤9. 21．(12分)给出命题p ：“在平面直角坐标系xOy 中，已知点P (2cos x ＋1,2cos2x ＋2)和Q (cos x ，－1)，∀x ∈[0，π]，向量OP →与OQ →不垂直．”试判定该命题的真假，并证明．解：命题p 是假命题，证明如下：由OP →和OQ →不垂直，得cos x (2cos x ＋1)－(2cos2x ＋2)≠0，变形得：2cos 2x －cos x ≠0，因此cos x ≠0或cos x ≠12.而当x ∈[0，π]时，cos π2＝0，cos π3＝12，故存在x ＝π2或x ＝π3，使向量OP→⊥OQ →成立，因此p 是假命题．22．(12分)已知ab ≠0，求证：a ＋b ＝1的充要条件是a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0. 证明：必要性：∵a ＋b ＝1，∴b ＝1－a ， ∴a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝a 3＋(1－a )3＋a (1－a )－a 2－(1－a )2＝a 3＋1－3a ＋3a 2－a 3＋a －a 2－a 2－1＋2a －a 2＝0.充分性：∵a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0，即(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)－(a 2－ab ＋b 2)＝0， ∴(a 2－ab ＋b 2)(a ＋b －1)＝0， 又ab ≠0，即a ≠0且b ≠0，∴a 2－ab ＋b 2＝(a －b2)2＋3b 24≠0，只有a ＋b ＝1.综上可知，当ab ≠0时，a ＋b ＝1的充要条件是a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0.。
【红对勾】高中数学 2-2-2-2 椭圆几何性质的应用课时作业 新人教A版选修2-1
课时作业12 椭圆几何性质的应用时间：45分钟 分值：100分一、选择题(每小题6分，共36分)1．线段|AB|＝4，N 为AB 的中点，动点P 满足条件|PA|＋|PB|＝6，当P 点在同一平面内运动时，|PN|的最大值M ，最小值m 分别是( )A ．M ＝4，m ＝ 3B ．M ＝3，m ＝ 5C ．M ＝5，m ＝ 5D ．M ＝3，m ＝ 3解析：由|PA|＋|PB|＝6>|AB|＝4，∴P 的轨迹是以A 、B 为焦点，N 为中心的椭圆．则M ＝|PN|max ＝a ＝3，m ＝|PN|min ＝b ＝a 2－c 2＝9－4＝ 5. 答案：B2．已知点(m ，n)在椭圆8x 2＋3y 2＝24上，则2m ＋4的取值范围是( )A ．[4－23，4＋23]B ．[4－3，4＋3]C ．[4－22，4＋22]D ．[4－2，4＋2]解析：由8x 2＋3y 2＝24，得x 23＋y28＝1.∴－3≤m≤3.∴4－23≤2m＋4≤4＋2 3.答案：A3．已知椭圆x 24＋y 2＝1的焦点为F 1、F 2，点M 在该椭圆上，且MF 1→·MF 2→＝0，则点M 到y轴的距离为( )A .233B .263 C .33D . 3 解析：由题意知，F 1(－3，0)，F 2(3，0)．设M(x 0，y 0)，由MF 1→·MF 2→＝0，可得x 0＝±263.故选B .答案：B4．若AB 为过椭圆x 225＋y216＝1中心的线段，F 1为椭圆的焦点，则△F 1AB 面积的最大值为( )A ．6B ．12C ．24D ．48图1解析：如图1，S△ABF 1＝S△AOF 1＋S△BOF 1 ＝2S△AOF 1.又∵OF 1＝c ＝3为定值，∴点A 与(0,4)重合时，OF 1边上的高最大， 此时S△AOF 1的面积最大为12×4×3＝6.∴S△ABF 1的最大值为12. 答案：B5．椭圆x 216＋y24＝1上的点到直线x ＋2y －2＝0的最大距离是( )A ．3B .11C ．2 2D .10图2解析：设与直线x ＋2y －2＝0平行的直线为x ＋2y ＋m ＝0与椭圆联立得， (－2y －m)2＋4y 2－16＝0， 即4y 2＋4my ＋4y 2－16＋m 2＝0得 2y 2＋my －4＋m24＝0.Δ＝m 2－8(m24－4)＝0，即－m 2＋32＝0， ∴m＝±4 2.∴两直线间距离最大是当m ＝42时， d max ＝|2＋42|5＝10.答案：D6．过点M(－2,0)的直线m 与椭圆x 22＋y 2＝1交于P 1，P 2，线段P 1P 2的中点为P ，设直线m 的斜率为k 1(k 1≠0)，直线OP 的斜率为k 2，则k 1k 2的值为( )A ．2B ．－2C .12D ．－12图3解析：设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，P(x 0，y 0) 则x 212＋y 21＝1 ① x 222＋y 22＝1 ② ①－②得x 1＋x 2x 1－x 22＝－(y 1＋y 2)(y 1－y 2)∴y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 22y 1＋y 2＝－x 02y 0. ∵k 1＝y 1－y 2x 1－x 2，k 2＝y 0x 0，∴k 1＝－12k 2.∴k 1·k 2＝－12.答案：D二、填空题(每小题8分，共24分)7．过椭圆x 25＋y24＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为________．解析：由已知可得直线方程为y ＝2x －2，联立方程得方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 25＋y 24＝1，y ＝2x －2，解得A(0，－2)，B(53，43)．∴S △AOB ＝12|OF||y A －y B |＝53.答案：538．若F 1，F 2是椭圆C ：x 28＋y24＝1的焦点，则在C 上满足PF 1⊥PF 2的点P 的个数为________．解析：∵椭圆C ：x 28＋y24＝1，∴c ＝2.∴F 1(－2,0)，F 2(2,0)，其短轴的端点为 B(0,2)，A(0，－2)，∴∠F 1BF 2＝∠F 1AF 2＝90°.又短轴端点与F 1，F 2连线所成的角是椭圆上动点P 与F 1，F 2连线所成角中的最大角，∴在C 上满足PF 1⊥PF 2的点有2个． 答案：29．若直线mx ＋ny ＝4与圆x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P(m ，n)的直线与椭圆x 29＋y24＝1的交点个数为________．解析：∵直线mx ＋ny ＝4与圆x 2＋y 2＝4没有交点 ∴|－4|m 2＋n2>2∴m 2＋n 2<4即点P(m ，n)在以原点为圆心，以2为半径的圆内，故直线mx ＋ny ＝4与椭圆x 29＋y24＝1也有两个交点．答案：2三、解答题(共40分)10．(10分)已知椭圆4x 2＋y 2＝1及直线y ＝x ＋m ， (1)当直线和椭圆有公共点，求实数m 的取值范围． (2)求被椭圆截得的最长线段所在的直线方程．解：(1)联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x 2＋y 2＝1，y ＝x ＋m ，消去y ，整理得5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0(*)．若直线和椭圆有公共点，则Δ＝(2m)2－20(m 2－1)≥0，即m 2≤54，解得－52≤m≤52.(2)设直线y ＝x ＋m 与椭圆4x 2＋y 2＝1交于A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)两点，对方程(*)，由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2m5，x 1x 2＝m 2－15.|AB|＝＋k 21＋x 22－4x 1x 2] ＝－2m52－2－5]＝2510－8m 2.当m ＝0时，线段|AB|取最大值2105，此时直线方程为y ＝x.11．(15分)已知中心在原点的椭圆C 的两个焦点和椭圆C 1：4x 2＋9y 2＝36的两个焦点是一个正方形的四个顶点，且椭圆C 经过点A(2，－3)．(1)求椭圆C 的方程；(2)若PQ 是椭圆C 的所截线段，O 是坐标原点，OP ⊥OQ 且P 点的坐标为(2，23)，求点Q 的坐标．解：(1)由已知C 1：x 29＋y24＝1得焦点F 1′(－5，0)，F 2′(5，0)．又椭圆C 与C 1的焦点F 1，F 2，F 1′，F 2′是一个正方形的四个顶点，椭圆的中心在原点， ∴F 1，F 2关于原点对称． ∴F 1(0，－5)，F 2(0，5)． 故设C ：x 2b 2＋y2a 2＝1(a>b>0)，∵椭圆C 过点A(2，－3)， ∴4b 2＋9a 2＝1且a 2－b 2＝5. 解出a 2＝15，b 2＝10. ∴椭圆C 的方程为x 210＋y215＝1.(2)设Q(x 0，y 0)，则由OP ⊥OQ 得k OP ·k OQ ＝232·y 0x 0＝－1，即y 0＝－16x 0.又∵x 2010＋y 215＝1，3x 20＋2(－16x 0)2＝30，∴x 0＝±3，点Q 的坐标为(3，－62)或(－3，62)．12．(15分)(2011·北京高考)已知椭圆G ：x 24＋y 2＝1.过点(m,0)作圆x 2＋y 2＝1的切线l 交椭圆G 于A ，B 两点．(1)求椭圆G 的焦点坐标和离心率；(2)将|AB|表示为m 的函数，并求|AB|的最大值． 解：(1)由已知得a ＝2，b ＝1， 所以c ＝a 2－b 2＝ 3.所以椭圆G 的焦点坐标为(－3，0)，(3，0)，离心率为e ＝c a ＝32.(2)由题意知，|m|≥1.当m ＝1时，切线l 的方程为x ＝1，点A ，B 的坐标分别为(1，32)，(1，－32)． 此时|AB|＝ 3.当m ＝－1时，同理可得|AB|＝ 3.当|m|>1时，设切线l 的方程为y ＝k(x －m)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－，x 24＋y 2＝1，得(1＋4k 2)x 2－8k 2mx ＋4k 2m 2－4＝0.设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8k 2m 1＋4k 2，x 1x 2＝4k 2m 2－41＋4k 2.又由l 与圆x 2＋y 2＝1相切，得|km|k 2＋1＝1，即m 2k 2＝k 2＋1.所以|AB|＝2－x 12＋2－y 12＝＋k21＋x 22－4x 1x 2]＝＋k264k 4m2＋4k22－2m 2－1＋4k2]＝43|m|m 2＋3. 由于当m ＝±1时，|AB|＝3，所以|AB|＝43|m|m 2＋3，m∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)．因为|AB|＝43|m|m 2＋3＝43|m|＋3|m|≤2， 且当m ＝±3时，|AB|＝2，所以|AB|的最大值为2.。
最新-【红对勾】人教A版高中数学选修2-1单元综合测试一1 精品
【红对勾】人教A版高中数学选修2-1单元综合测试一篇一：【红对勾】人教版高中数学选修2-1单元综合测试二单元综合测试二时间：120分钟分值：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)1．椭圆2＋42＝1的离心率为()33242223133解析：∵＝1，＝＝－＝，∴＝＝，故选222答案：2．(2019·新课标全国卷)已知双曲线的中心为原点，(3,0)是的焦点，过的直线与相交于，两点，且的中点为(－12，－15)，则的方程为()2222＝1＝136452222＝1＝16354解析：∵(3,0)，的中点(－12，－15)，－15－0∴＝1－12－322又∵(3,0)，可设双曲线的方程为＝1，易知2＋2＝9①再设(1，1)，(2，2)，则有22－1②22－1③22221－21－2由②－③可得＝?1－2??1＋2??1＋2??1－2?即＝1－221＋2∴＝＝11－21＋21＋21＋2又∵12＝－15，22∴2－12式可化为(＝1，－1525∴＝④4由①和④可知2＝5，2＝4，22∴双曲线的方程为－＝1，故选择45答案：223．双曲线1的离心率∈(1,2)，则的取值范围是()4．(－∞，0)．(－12,0)．(－3,0)．(－60，－12)24－解析：∵＝4，＝－，∴＝4－∵∈(1,2)，∴∈4222(1,4)，∈(－12,0)．答案：4．若点到直线＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点的轨迹为()．圆．椭圆．双曲线．抛物线解析：设(2,0)，由题设可知，把直线＝－1向左平移一个单位即为直线＝－2，则点到直线＝－2的距离等于||，所以动点的轨迹为抛物线，故选答案：15．已知两定点1(－1,0)，2(1,0)，且|12|是|1|与|2|的等2差中项，则动点的轨迹是()．椭圆．双曲线．抛物线．线段解析：依题意知|1|＋|2|＝|12|＝2，作图可知点的轨迹为线段，故选答案：6．(2019·课标全国高考)设直线过双曲线的一个焦点，且与的一条对称轴垂直，与交于，两点，||为的实轴长的2倍，则的离心率为()23．2．322解析：不妨设双曲线为－＝1(>0，>0)，并设过2(,0)2222且垂直于轴，则易求得||＝，∴＝2×2，2＝22，∴离心率＝答案：1＋＝3，故选7．过抛物线2＝4的焦点作一条直线与抛物线相交于、两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线()．有且仅有一条．有且仅有两条．有无穷多条．不存在解析：由定义||＝5＋2＝7，∵||＝4，∴这样的直线有且仅有两条．答案：228．已知(4,2)是直线被椭圆1所截得的线段的中点，则369的方程是()．－2＝0．＋2－4＝0．2＋3＋4＝0．＋2－8＝0221－2解析：设与椭圆的两交点分别为(1，1)、(2，2)，则得21－221－291，所以＝－3621－21故方程为－2＝－(－4)，即＋2－8＝02答案：229．过椭圆＝1的右焦点作轴的垂线交椭圆于、两点，42已知双曲线的焦点在轴上，对称中心在坐标原点且两条渐近线分别过、两点，则双曲线的离心率为()1222632222解析：2，1)，(2，－1)，设双曲线为＝1(>0，>0)，2渐近线方程为＝，因为、在渐近线上，所以1＝2＝2，＝＋＝621＋?＝2答案：2210．双曲线＝1(≠0)有一个焦点与抛物线2＝4的焦点重合，则＋的值为()．3．2．1．以上都不对22解析：抛物线＝4的焦点为(1,0)，故双曲线－＝1中>0，2>0，且＋＝2＝1答案：2211．设1，2是双曲线－1(>0，<0)的左、右焦点，点→·→＝0，且|→|·→|＝2(＝＋)，则双在双曲线上，若|1212曲线的离心率为()1＋51＋3221＋2．22→·→解析：由则由勾股定理，12＝0可知△12为直角三角形，→|2＋|→|2＝42，①得|12→|－|→|)2＝42，②由双曲线的定义，得(|12→|·→又|1|2|＝2，③由①②③得2－－2＝0，即2－－1＝0，篇二：【红对勾】人教版高中数学选修2-1单元综合测试三单元综合测试三时间：120分钟分值：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)→＝，→＝，→＝，则→1．直三棱柱－111，若11＝()．＋－．－＋．－＋＋．－＋－→→→→解析：结合图形，得1＝1＋＋＝－－＋＝－＋－，故选答案：2．已知＝(－5,6,1)，＝(6,5,0)，则与()．垂直．不垂直也不平行．平行且同向．平行且反向答案：3．已知＝(2，－1,3)，＝(－4,2，)，＝(1，－,2)，若(＋)⊥，则等于()．4．－41．－62解析：＋＝(－2,1,3＋)，由(＋)⊥，∴(＋)·＝0∴－2－＋2(3＋)＝0，得＝－4答案：4．若＝(1，λ，2)，＝(2，－1,2)，且，的夹角的余弦值为8λ等于()9．2．－222．－2或．2或－555582解析：·＝2－λ＋4＝6－λ＝5＋λ×3×解得λ＝－2或955答案：5．已知空间四边形每条边和对角线长都等于，点、、分别是、、的中点，则2是下列哪个选项的计算结果()→·→．2→·→．2→·→．2→·→．2→·→＝－2，错；2→·→＝－2，错；2→·→＝解析：212－，错；只有对．2答案：→|取最小值时，6．若(,5－,2－1)，(1，＋2,2－)，当|的值等于()8．19．－7819714→＝(1－,2－3，－3＋3)，则|→|＝解析：?1－?＋?2－3?＋?－3＋3?＝14－32＋19＝858→|取最小值，故选14?－2＋，故当＝|777答案：7．已知，是边长为1的正方形，⊥平面，则异面直线与所成的角为()．30°．45°．60°．90°解析：如图1，由于∥且∠＝45°，所以异面直线与所成的角为45°，故选答案：图1图28．如图2所示，正方体－′′′′中，是→→〉的值为()的中点，则〈′，1210215211315解析：以，，′所在的直线分别为，，轴建立直角坐标系－，设正方体棱长为1，则(0,0,0)，′(1,1,1)，(0,1,0)，?1??1?→→→→〉???120，则′＝(1,1,1)，＝1，－2，0?，〈′，????15→→〉＝210〈′，1515答案：图39．如图3，＝＝＝1，?面，⊥面，⊥，与面成30°角，则、间的距离为()．1．223→|2＝|→＋→＋→|2＝|→|2＋|→|2＋|→|2＋2→·→＋解析：|→·→＋2→·→＝1＋1＋1＋0＋0＋2×1×1×120°→|2＝2∴|2答案：10．在以下命题中，不正确的个数为()①||－||＝|＋|是、共线的充要条件；②若∥，则存在唯一的实数λ，使＝λ；→＝2→－③对空间任意一点和不共线的三点、、，若→－→，则、、、四点共面；2④若{，，}为空间的一个基底，则{＋，＋，＋}构成空间的另一个基底；⑤|(·)·|＝||·||·||．2．3．4．5解析：①错，应为充分不必要条件．②错，应强调≠0③错，∵2－2－1≠1⑤错，由数量积的运算性质判别．答案：11．在三棱锥－中，△为等边三角形，⊥平面，且＝，则二面角－－的平面角的正切值为()636662解析：设＝＝2，建立空间直角坐标系，平面的一个法向量是＝(1,0,0)，平面的一个法向量是＝(3，1,1)．33333·7则〈，＝＝∴正切值〈，||||||||2171×3〉＝6答案：图412．(2019·辽宁高考)如图4，四棱锥－的底面为正方形，⊥底面，则下列结论中不正确的是()．．．．⊥篇三：新人教版高中数学选修2-2综合测试题【1】及答案高中新课标数学选修（2-2）综合测试题一、选择题1．在数学归纳法证明“1???的左边为（）Ａ．1答案：ＣＢ．1?Ｃ．1?Ｄ．1?221??1??(?1，??)”时，验证当?1时，等式1?1?∞)上是增函数，2．已知三次函数()?3?(4?1)2?(152?2?7)?2在?(?∞，则3的取值范围为（）Ａ．?2或?4Ｂ．?4???2Ｃ．2??4Ｄ．以上皆不正确答案：Ｃ3．设()?(?)?(?)，若?()?，则，，，的值分别为（）Ａ．1，1，0，0答案：ＤＢ．1，0，1，0Ｃ．0，1，0，1Ｄ．1，0，0，1，，且在点(2，?1)处的切线平行于直线??3，4．已知抛物线?2??通过点(11)则抛物线方程为（）Ａ．?32?11?9Ｃ．?32?11?9答案：Ａ5．数列??满足?11?2，0≤≤，?6?2??若1?，则2019的值为（）17?2?1≤?1，??2Ｂ．?32?11?9Ｄ．??32?11?9Ａ．67Ｂ．57Ｃ．37Ｄ．17答案：Ｃ6．已知，是不相等的正数，?，?，则，的关系是（）Ａ．?答案：ＢＢ．?Ｃ．?Ｄ．不确定?2(?)不可能在（）1?2Ａ．第一象限Ｂ．第二象限Ｃ．第三象限答案：Ａ，?的运算分别对应下图中的8．定义?，?，?7．复数?Ｄ．第四象限（1），（2），（3），（4），那么，图中（Ａ），（Ｂ）可能是下列（）的运算的结果（）Ａ．?，?Ｂ．?，?Ｃ．?，?Ｄ．?，?答案：Ｂ9．用反证法证明命题“，?，如果可被5整除，那么，至少有1个能被5整除．”则假设的内容是（）Ａ．，都能被5整除Ｂ．，都不能被5整除Ｃ．不能被5整除Ｄ．，有1个不能被5整除答案：Ｂ10．下列说法正确的是（）Ａ．函数?有极大值，但无极小值Ｂ．函数?有极小值，但无极大值Ｃ．函数?既有极大值又有极小值Ｄ．函数?无极值答案：Ｂ11．对于两个复数????11?，???，有下列四个结论：①???1；②?1；③?1；?22?④?3??3?1．其中正确的个数为（）Ａ．1Ｂ．2Ｃ．3Ｄ．4答案：Ｂ12．设()在[，]上连续，则()在[，]上的平均值是（）Ａ．()?()2Ｂ．?()Ｃ．1()?2Ｄ．1()??答案：Ｄ二、填空题13．若复数?2(2?3?3)?2(?3)为实数，则的值为答案：414．一同学在电脑中打出如下图形（○表示空心圆，●表示实心圆）○●○○●○○○●○○○○●若将此若干个圆依此规律继续下去，得到一系列的圆，那么前2019年圆中有实心圆的个数为．答案：61，2]上的最大值为3，最小值为?29，则，的15．函数()?3?62?(?0)在区间[?1值分别为．答案：2，316．由2?4与直线?2?4所围成图形的面积为答案：9三、解答题17．设??且???1，求?，2，3，4时的值，归纳猜测的值．（先观察?1?的值．）解：当?1时，???1；当?2时，有2?2?1；当?3时，有3?3?(?)(2?2?)，而???1，∴1?2?1，?0．∴3?3??1．当?4时，有4?4?(2?2)2?222?1．由以上可以猜测，当??时，可能有??(?1)成立．18．设关于的方程2?(??)?(2?)?0，（1）若方程有实数根，求锐角?和实数根；π（2）证明：对任意??π?(?)，方程无纯虚数根．2解：（1）设实数根为，则2?(??)?(2?)?0，即(2???2)?(?1)?0．，?2???2?0，???1由于，??，那么?????1．?1?1??又0???π，2，???1?得?π??．??4（2）若有纯虚数根?(??)，使(?)2?(??)(?)?(2?)?0，即(??2???2)?(???1)?0，???2???2?0，由?，??，那么????1?0，?由于??2???2?0无实数解．π故对任意??π?(?)，方程无纯虚数根．20)是函数()?3?与()?2?的图象的一个公共点，两函数的19．设?0，点(，图象在点处有相同的切线．（1）用表示，，；，3)上单调递减，求的取值范围．（2）若函数?()?()在(?10)，所以()?0，即3??0．解：（1）因为函数()，()的图象都过点(，因为?0，所以??2．()?0，即2??0，所以?．0)处有相同的切线，又因为()，()在点(，所以?()??()，而?()?32?，?()?2，所以32??2．将??2代入上式得?．因此???3．故??2，?，??3．（2）?()?()?3?2?2?3，??32?2?2?(3?)(?)．当??(3?)(?)?0时，函数?()?()单调递减．由??0，若?0，则???；3若?0，则???．3????，3)???，?或(?1，3)??，??．，3)上单调递减，则(?1由题意，函数?()?()在(?13??3??所以≤?9或≥3．，3)上不是单调递减的．又当?9??3时，函数?()?()在(?1?9?所以的取值范围为??∞，?∞?．?3，20．下列命题是真命题，还是假命题，用分析法证明你的结论．命题：若??，且???0?解：此命题是真命题．∵???0，??，∴?0，?0．?，即证2??32，也就是证(?)2??32，。
高中数学人教A版选修2-1模块综合测评 选修2-1(A版).docx
模块综合测评 选修2－1(A 版)(时间：90分钟 满分：120分) 第Ⅰ卷(选择题，共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．1．已知命题p ：若x 2＋y 2＝0(x ，y ∈R )，则x ，y 全为0；命题q ：若a ＞b ，则1a ＜1b .给出下列四个复合命题：①p 且q ；②p 或q ；③綈p ；④綈q .其中真命题的个数是( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：命题p 为真，命题q 为假，故p ∨q 真，綈q 真． 答案：B2．“α＝π6＋2k π(k ∈Z )”是“cos2α＝12”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 解析：当α＝π6＋2k π(k ∈Z )时，cos2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4k π＋π3＝cos π3＝12. 反之当cos2α＝12时，有2α＝2k π＋π3(k ∈Z )⇒α＝k π＋π6(k ∈Z )，故应选A.答案：A3．若直线l 的方向向量为b ，平面α的法向量为n ，则可能使l ∥α的是( )A ．b ＝(1,0,0)，n ＝(－2,0,0)B ．b ＝(1,3,5)，n ＝(1,0,1)C ．b ＝(0,2,1)，n ＝(－1,0，－1)D ．b ＝(1，－1,3)，n ＝(0,3,1)解析：若l ∥α，则b·n ＝0.将各选项代入，知D 选项正确． 答案：D4．已知a ＝(cos α，1，sin α)，b ＝(sin α，1，cos α)，则向量a ＋b 与a －b 的夹角是( )A ．90°B ．60°C ．30°D ．0°解析：∵|a |＝|b |＝2，∴(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝0.故向量a ＋b 与a －b 的夹角是90°.答案：A5．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，那么|AB |等于( )A ．10B ．8C ．6D ．4解析：由抛物线的定义得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝6＋2＝8.答案：B6．如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝1，则BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为()A.63B.255C.155D.105解析：建立如图所示空间直角坐标系，得D (0,0,0)，B (2,2,0)，C 1(0,2,1)，B 1(2,2,1)，D 1(0,0,1)，则DB →＝(2,2,0)，DD 1→＝(0,0,1)，BC 1→＝(－2,0,1)． 设平面BD 1的法向量n ＝(x ，y ，z )．∴⎩⎪⎨⎪⎧n ·DB →＝2x ＋2y ＝0，n ·DD 1→＝z ＝0，∴取n ＝(1，－1,0)．设BC 1与平面BD 1所成的角为θ，则sin θ＝cos 〈n ，BC 1→〉＝|BC 1→·n ||BC 1→|·|n |＝25·2＝105.答案：D7．设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程是( )A ．y 2＝±4xB ．y 2＝±8xC ．y 2＝4xD ．y 2＝8x解析：y 2＝ax 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，0，过焦点且斜率为2的直线方程为y ＝2⎝⎛⎭⎪⎫x －a 4，令x ＝0得y ＝－a2. ∴12×|a |4×|a |2＝4，∴a 2＝64，∴a ＝±8. 答案：B8．三棱锥A -BCD 中，AB ＝AC ＝AD ＝2，∠BAD ＝90°，∠BAC ＝60°，则AB →·CD →等于( )A ．－2B ．2C ．－2 3D ．2 3解析：AB →·CD →＝AB →·(AD →－AC →)＝AB →·AD →－AB →·AC →＝|AB →||AD →|cos90°－2×2×cos60°＝－2.答案：A9．设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线与抛物线y ＝x 2＋1相切，则该双曲线的离心率等于( )A. 3 B ．2 C. 5D. 6解析：双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±b a x ，∵y ＝x 2＋1与渐近线相切，故x 2＋1±b a x ＝0只有一个实根，∴b 2a 2－4＝0，∴c 2－a 2a 2＝4，∴c 2a 2＝5，∴e ＝ 5. 答案：C10．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1与椭圆x 2m 2＋y 2b 2＝1(a ＞0，m ＞b ＞0)的离心率互为倒数，那么以a 、b 、m 为边长的三角形一定是( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形解析：双曲线的离心率e 21＝a 2＋b 2a 2，椭圆的离心率e 22＝m 2－b 2m 2，由已知e 21e 22＝1，即a 2＋b 2a 2×m 2－b 2m2＝1，化简，得a 2＋b 2＝m 2.∴以a 、b 、m 为边长的三角形为直角三角形．答案：C第Ⅱ卷(非选择题，共70分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 11．双曲线x 2m 2＋12－y 24－m 2＝1的焦距是__________．解析：依题意a 2＝m 2＋12，b 2＝4－m 2，所以c 2＝a 2＋b 2＝16，c ＝4,2c ＝8.答案：812．命题p ：若a ，b ∈R ，则ab ＝0是a ＝0的充分条件，命题q ：函数y ＝x －3的定义域是[3，＋∞)，则“p ∨q ”“p ∧q ”“綈p ”中是真命题的有__________．解析：依题意可知p 假，q 真，所以“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，“綈p ”为真．答案：“p ∨q ” “綈p ”13．已知A (0，－4)，B (3,2)，抛物线x 2＝y 上的点到直线AB 的最短距离为__________．解析：直线AB 为2x －y －4＝0，设抛物线y 2＝x 上的点P (t ，t 2)， d ＝|2t －t 2－4|5＝t 2－2t ＋45＝(t －1)2＋35≥35＝355.答案：35 5.14．在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 和N 分别是A 1B 1和BB 1的中点，那么直线AM 与CN 所成角的余弦值为__________．解析：建立空间直角坐标系如图，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，1，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，12，A (1,0,0)，C (0,1,0)，∴AM →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，12，1，CN →＝⎝⎛⎭⎪⎫1，0，12.∴cos 〈AM →，CN →〉＝AM →·CN →|AM →||CN →|＝1254＝25.即直线AM 与CN 所成角的余弦值为25. 答案：25三、解答题：本大题共4小题，满分50分．15．(12分)已知命题p ：方程x 22m ＋y 29－m＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，命题q ：双曲线y 25－x 2m ＝1的离心率e ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫62，2，若命题p 、q 中有且只有一个为真命题，求实数m 的取值范围．解：若p 真，则有9－m ＞2m ＞0， 即0＜m ＜3.若q 真，则有m ＞0， 且e 2＝1＋b 2a 2＝1＋m 5∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2，即52＜m ＜5. 若p 、q 中有且只有一个为真命题， 则p 、q 一真一假．(4分) ①若p 真、q 假，则0＜m ＜3，且m ≥5或m ≤52，即0＜m ≤52；(6分) ②若p 假、q 真，则m ≥3或m ≤0，且52＜m ＜5， 即3≤m ＜5.(8分)故所求m 的范围为：0＜m ≤52或3≤m ＜5.(12分)16．(12分)设圆C 与两圆(x ＋5)2＋y 2＝4，(x －5)2＋y 2＝4中的一个内切，与另一个外切．(1)求圆C 的圆心轨迹L 的方程；(2)已知点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫355，455，F (5，0)，且P 为L 上一动点，求||MP |－|FP ||的最大值及此时点P 的坐标．解：(1)设圆C 的圆心坐标为(x ，y )，半径为r . 圆(x ＋5)2＋y 2＝4的圆心为F 1(－5，0)，半径为2， 圆(x －5)2＋y 2＝4的圆心为F (5，0)，半径为2.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ |CF 1|＝r ＋2，|CF |＝r －2或⎩⎪⎨⎪⎧|CF 1|＝r －2，|CF |＝r ＋2，∴||CF 1|－|CF ||＝4. ∵|F 1F |＝25＞4，∴圆C 的圆心轨迹是以F 1(－5，0)，F (5，0)为焦点的双曲线，其方程为x 24－y 2＝1.(6分)(2)由图知，||MP |－|FP ||≤|MF |，∴当M ，P ，F 三点共线，且点P 在MF 延长线上时， |MP |－|FP |取得最大值|MF |， 且|MF |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫355－52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫455－02＝2. 直线MF 的方程为y ＝－2x ＋25，与双曲线方程联立得⎩⎨⎧y ＝－2x ＋25，x 24－y 2＝1，整理得15x 2－325x ＋84＝0.解得x 1＝14515(舍去)，x 2＝655. 此时y ＝－255.∴当||MP |－|FP ||取得最大值2时，点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫655，－255.(12分)17．(12分)如图，点F 1(－c,0)，F 2(c,0)分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，过点F 1作x 轴的垂线交椭圆C 的上半部分于点P ，过点F 2作直线PF 2的垂线交直线x ＝a 2c 于点Q .(1)如果点Q 的坐标是(4,4)，求此时椭圆C 的标准方程； (2)证明：直线PQ 与椭圆C 只有一个交点． 解：(1)方法一：由条件知，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a .故直线PF 2的斜率为 kPF 2＝b 2a －0－c －c ＝－b 22ac .∵PF 2⊥F 2Q .∴直线F 2Q 的方程为y ＝2ac b 2x －2ac 2b 2.故Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c ，2a . 由题设知，a 2c ＝4,2a ＝4，解得a ＝2，c ＝1. 则b 2＝a 2－c 2＝3.故椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(6分)方法二：设直线x ＝a 2c 与x 轴交于点M .由条件知，P ⎝⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a . ∵△PF 1F 2∽△F 2MQ ，∴|PF 1||F 2M |＝|F 1F 2||MQ |. 即b 2a a 2c －c＝2c |MQ |，解得|MQ |＝2a .∴⎩⎨⎧a 2c ＝4，2a ＝4.解得a ＝2，c ＝1.则b 2＝3.故椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(6分)(2)直线PQ 的方程为y －2a b 2a －2a ＝x －a 2c －c －a 2c，即y ＝c a x ＋a .将上式代入椭圆方程得，x 2＋2cx ＋c 2＝0，解得x ＝－c ，y ＝b 2a .∴直线PQ 与椭圆C 只有一个交点．(12分)18．(14分)如图，在五面体ABCDEF 中，F A ⊥平面ABCD ，AD ∥BC∥FE ，AB ⊥AD ，M 为EC 的中点，AF ＝AB ＝BC ＝FE ＝12AD .(1)求异面直线BF 与DE 所成的角的大小；(2)证明平面AMD ⊥平面CDE ；(3)求二面角A -CD -E 的余弦值．解：如图所示，建立空间直角坐标系，点A 为坐标原点．设AB ＝1，依题意得B (1,0,0)，C (1,1,0)，D (0,2,0)，E (0,1,1)，F (0,0,1)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，12. (1)BF →＝(－1,0,1)，DE →＝(0，－1,1)，于是cos 〈BF →，DE →〉＝BF →·DE →|BF →||DE →|＝0＋0＋12×2＝12.∴异面直线BF 与DE 所成的角的大小为60°.(4分)(2)证明：由AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，12，CE →＝(－1,0,1)， AD →＝(0,2,0)，可得CE →·AM →＝0，CE →·AD →＝0.因此，CE ⊥AM ，CE ⊥AD .又AM ∩AD ＝A ，故CE ⊥平面AMD .而CE ⊂平面CDE ，所以平面AMD ⊥平面CDE .(8分)(3)设平面CDE 的法向量为u ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧ u ·CE →＝0，u ·DE →＝0.于是⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋z ＝0，－y ＋z ＝0. 令z ＝1，可得u ＝(1,1,1)．又∵由题设，平面ACD 的一个法向量为v ＝(0,0,1)．∴cos 〈u ，v 〉＝u·v |u |·|v |＝0＋0＋13×1＝33. ∵二面角A -CD -E 为锐角，∴其余弦值为33.(14分)。
【红对勾】高中数学 模块综合测试 新人教A版选修2-1(1)
模块综合测试时刻：120分钟 分值：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)1．已知命题p ：“x ∈R 时，都有x 2－x ＋14<0”；命题q ：“存在x ∈R ，使sin x ＋cos x ＝2成立”．那么以下判定正确的选项是( )A ．p ∨q 为假命题B ．p ∧q 为真命题C ．綈p ∧q 为真命题D ．綈p ∨綈q 是假命题 解析：易知p 假，q 真，从而可判定得C 正确． 答案：C2．已知a ，b ∈R ，那么“ln a >ln b ”是“(13)a <(13)b ”的( ) A ．充分没必要要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也没必要要条件解析：∵ln a >ln b ⇔a >b >0，(13)a <(13)b ⇔a >b .而a >b >0是a >b 的充分而没必要要条件． ∴“ln a >ln b ”是“(13)a <(13)b ”的充分而没必要要条件． 答案：A3．已知抛物线C ：y 2＝x 与直线l ：y ＝kx ＋1，“k ≠0”是“直线l 与抛物线C 有两个不同交点”的( ) A ．充分没必要要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又没必要要条件 答案：B4．以双曲线x 24－y 212＝－1的核心为极点，极点为核心的椭圆方程为( )A.x 216＋y 212＝1 B.x 212＋y 216＝1 C.x 216＋y 24＝1 D.x 24＋y 216＝1 解析：由x 24－y 212＝－1，得y 212－x 24＝1.∴双曲线的核心为(0,4)、(0，－4)，极点坐标为(0,23)、(0，－23)．∴椭圆方程为x 24＋y 216＝1. 答案：D5．以双曲线x 24－y 25＝1的中心为极点，且以该双曲线的右核心为核心的抛物线方程是( )A ．y 2＝12xB ．y 2＝－12xC ．y 2＝6xD ．y 2＝－6x解析：由x 24－y 25＝1，得a 2＝4，b 2＝5，∴c 2＝a 2＋b 2＝9.∴右核心的坐标为(3,0)，故抛物线的核心坐标为(3,0)，极点坐标为(0,0)． 故p2＝3.∴抛物线方程为y 2＝12x . 答案：A6．已知椭圆x 23m 2＋y 25n 2＝1和双曲线x 22m 2－y 23n 2＝1有公共的核心，那么双曲线的渐近线方程是( )A ．x ＝±152y B ．y ＝±152xC ．x ＝±34y D ．y ＝±34x解析：由已知椭圆与双曲线有公共核心得3m 2－5n 2＝2m 2＋3n 2，∴m 2＝8n 2.而由双曲线x 22m 2－y 23n 2＝1，得渐近线为y ＝±3n 22m 2x ＝±34x .答案：D7．关于空间任意一点O 和不共线的三点A 、B 、C ，有如下关系：6OP →＝OA →＋2OB →＋3OC →，那么( )A ．四点O 、A 、B 、C 必共面 B ．四点P 、A 、B 、C 必共面 C ．四点O 、P 、B 、C 必共面D ．五点O 、P 、A 、B 、C 必共面解析：由已知得OP →＝16OA →＋13OB →＋12OC →，而16＋13＋12＝1，∴四点P 、A 、B 、C 共面．答案：B 图18．如图1，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 别离为A 1B 1、CC 1的中点，P 为AD 上一动点，记α为异面直线PM 与D 1N 所成的角，那么α的集合是( )A ．{π2}B ．{α|π6≤α≤π2}C ．{α|π4≤α≤π2} D ．{α|π3≤α≤π2} 解析：取C 1D 1的中点E ，PM 必在平面ADEM 上，易证D 1N ⊥平面ADEM .此题也可成立空间直角坐标系用向量求解．答案：A 图29．如图2，将边长为1的正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角，假设点P 知足BP →＝12BA →－12BC →＋BD →，那么|BP →|2的值为( )A.32 B ．2 C.10－24D.94解析：由题可知|BA →|＝1，|BC →|＝1，|BD →|＝2.〈BA →，BD →〉＝45°，〈BD →，BC →〉＝45°，〈BA →，BC →〉＝60°.∴|BP →|2＝(12BA →－12BC →＋BD →)2＝14BA 2→＋14BC 2→＋BD 2→－12BA →·BC →＋BA →·BD →－BC →·BD → ＝14＋14＋2－12×1×1×12＋1×2×22－1×2×22＝94.答案：D10．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，直线BC 1与平面A 1BD 所成角的余弦值为( ) A.24 B.23 C.33 D.32解析：成立如图3所示的空间直角坐标系．设正方体的棱长为1， 则D (0,0,0)，A 1(1,0,1)，B (1,1,0)，C 1(0,1,1)． ∴DA 1→＝(1,0,1)，DB →＝(1,1,0)，BC 1→＝(－1,0,1)．设平面A 1BD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，那么n ·DA 1→＝0，n ·DB →＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋z ＝0，x ＋y ＝0.令x ＝1，那么n ＝(1，－1，－1)， 图3∴cos 〈n ，BC 1→〉＝n ·BC 1→|n ||BC 1→|＝－23·2＝－63.∴直线BC 1与平面A 1BD 所成角的正弦值为63.∴直线BC 1与平面A 1BD 所成角的余弦值为33.答案：C 11．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个核心为F 1、F 2，假设P 为其上一点，且|PF 1|＝2|PF 2|，那么双曲线离心率的取值范围为( )A ．(1,3)B ．(1,3]C ．(3，＋∞) D．[3，＋∞) 图4解析：由题意知在双曲线上存在一点P ，使得|PF 1|＝2|PF 2|，如图4. 又∵|PF 1|－|PF 2|＝2a ，∴|PF 2|＝2a ，即在双曲线右支上恒存在点P 使得|PF 2|＝2a ，即|AF 2|≤2a . ∴|OF 2|－|OA |＝c －a ≤2a .∴c ≤3a . 又∵c >a ，∴a <c ≤3a . ∴1<ca≤3，即1<e ≤3.答案：B12．(2020·全国高考)已知平面α截一球面得圆M ，过圆心M 且与α成60°二面角的平面β截该球面得圆N .假设该球面的半径为4，圆M 的面积为4π，那么圆N 的面积为( )A ．7πB ．9πC ．11πD ．13π 图5解析：由圆M 的面积知圆M 的半径为2，|OM |＝42－22＝23.|ON |＝|OM |·sin30°＝3.从而圆N 的半径r ＝42－3＝13，因此圆N 的面积S ＝πr 2＝13π.应选D.答案：D第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(每题5分，共20分) 图613．在四面体O —ABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，那么OE →＝________.(用a ，b ，c 表示)解析：OE →＝12(OA →＋OD →)＝12OA →＋12(12OB →＋12OC →)＝12OA →＋14OB →＋14OC →＝12a ＋14b ＋14c .答案：12a ＋14b ＋14c14．假设命题p ：一元一次不等式ax ＋b >0的解集为{x |x >－b a}，命题q ：关于x 的不等式(x －a )(x －b )<0的解集为{x |a <x <b }，那么“p ∧q ”“p ∨q ”及“綈p ”形式的复合命题中的真命题是________．解析：p 为假命题，因为a 符号不定，q 为假命题，因为a 、b 大小不确信．因此p ∧q 假，p ∨q 假，綈p 真．答案：綈p15．已知点P 是抛物线y 2＝4x 上一点，设P 到此抛物线准线的距离为d 1，到直线x ＋2y －12＝0的距离为d 2，那么d 1＋d 2的最小值是________．图7解析：如图7，依照概念，d 1即为P 到核心(1,0)的距离，∴d 1＋d 2的最小值也确实是核心到直线的距离． ∴(d 1＋d 2)min ＝|1＋2×0－12|5＝1155.答案：115516．有以下命题：①双曲线x 225－y 29＝1与椭圆x 235＋y 2＝1有相同的核心；②“－12<x <0”是“2x 2－5x －3<0”的必要不充分条件；③若a 与b 共线，那么a ，b 所在直线平行；④若a ，b ，c 三向量两两共面，那么a ，b ，c 三向量必然也共面；⑤∀x ∈R ，x 2－3x ＋3≠0.其中正确的命题有________．(把你以为正确的命题的序号填在横线上)解析：①中，双曲线c 21＝25＋9＝34，椭圆c 22＝35－1＝34，故①正确；②中，∵2x 2－5x －3<0，∴－12<x <3.又－12<x <0⇒－12<x <3，小范围推出大范围，而大范围推不出小范围，∴是充分而没必要要条件，故②错；③中，a 和b 所在直线可能重合，故③错；④中，a ，b ，c 能够不共面，例如平行六面体以一个极点为起点引出的三个向量，故④错； ⑤中，Δ＝9－12<0，故对∀x ∈R ，x 2－3x ＋3≠0成立． 答案：①⑤三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)17．(10分)已知p ：“直线x ＋y －m ＝0与圆(x －1)2＋y 2＝1相交”；q ：“mx 2－x ＋m －4＝0有一正根和一负根”．假设p ∨q 为真，綈p 为真，求m 的取值范围．解：对p ：∵直线与圆相交， ∴d ＝|1－m |2<1.∴－2＋1<m <2＋1.对q ：方程mx 2－x ＋m －4＝0有一正根一负根， ∴令f (x )＝mx 2－x ＋m －4.∴⎩⎪⎨⎪⎧ m >0，f 0<0或⎩⎪⎨⎪⎧m <0，f 0>0.解得0<m <4. 又∵綈p 为真，∴p 假．又∵p ∨q 为真，∴q 为真． 由数轴可得2＋1≤m <4.故m 的取值范围是2＋1≤m <4.18．(12分)已知椭圆D ：x 250＋y 225＝1与圆M ：x 2＋(y －m )2＝9(m ∈R)，双曲线G 与椭圆D 有相同的核心，它的两条渐近线恰好与圆M 相切．当m ＝5时，求双曲线G 的方程．解：椭圆D ：x 250＋y 225＝1的两核心为F 1(－5,0)、F 2(5,0)，故双曲线的中心在原点，核心在x 轴上，且c ＝5.设双曲线G 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，那么G 的渐近线方程为y ＝±bax ，即bx ±ay ＝0，且a 2＋b 2＝25.当m ＝5时，圆心为(0,5)，半径为r ＝3. ∴|5a |a 2＋b 2＝3⇒a ＝3，b ＝4.∴双曲线G 的方程为x 29－y 216＝1. 19．(12分)已知ABCD －A ′B ′C ′D ′是平行六面体， (1)化简12AA ′→＋BC →＋23AB →，并在图中标出其结果；(2)设M 是底面ABCD 的中心，N 是侧面BCC ′B ′对角线BC ′上的34分点，设MN →＝αAB →＋βAD →＋γAA ′→，试求α，β，γ的值．图8解：(1)如图8，取AA ′的中点E ，D ′F ＝2FC ′，EF →＝12AA ′→＋BC →＋23AB →.(2)MN →＝MB →＋BN →＝12DB →＋34BC ′→＝12(DA →＋AB →)＋34(BC →＋CC ′→) ＝12AB →＋14AD →＋34AA ′→， ∴α＝12，β＝14，γ＝34.20．(12分)已知f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象过点(－1,0)，是不是存在常数a 、b 、c ，使不等式x ≤f (x )≤1＋x 22对一切实数x 均成立？解：假设存在常数a 、b 、c 使不等式x ≤f (x )≤1＋x 22对一切实数x 均成立，∵f (x )的图象过点(－1,0)， ∴a －b ＋c ＝0.①∵x ≤f (x )≤1＋x 22对一切x ∈R 均成立，∴当x ＝1时，也成立，即1≤f (1)≤1， ∴f (1)＝a ＋b ＋c ＝1，②由①②得b ＝12，故原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧ax 2－12x ＋12－a ≥0，1－2a x 2－x ＋2a ≥0恒成立．当a ＝0或1－2a ＝0时，上述不等式组可不能恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧Δ1≤0，Δ2≤0，a >0，1－2a >0，即⎩⎪⎨⎪⎧14－4a 12－a ≤0，1－8a 1－2a ≤0，a >0，1－2a >0.∴a ＝14.∴c ＝12－a ＝14.∴存在一组常数：a ＝14，b ＝12，c ＝14，使不等式x ≤f (x )≤1＋x 22对一切实数x 均成立．图921．(12分)(2020·辽宁高考)如图9，四边形ABCD 为正方形，QA ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA ＝AB ＝12PD .(1)证明：平面PQC ⊥平面DCQ ； (2)求二面角Q －BP －C 的余弦值． 图10解：如图10，以D 为坐标原点，线段DA 的长为单位长，射线DA 为x 轴的正半轴成立空间直角坐标系D －xyz .(1)证明：依题意有Q (1,1,0)，C (0,0,1)，P (0,2,0)，那么DQ →＝(1,1,0)，DC →＝(0,0,1)，PQ →＝(1，－1,0)． 因此PQ →·DQ →＝0，PQ →·DC →＝0. 即PQ ⊥DQ ，PQ ⊥DC . 故PQ ⊥平面DCQ . 又PQ ⊂平面PQDC ， 因此平面PQC ⊥平面DCQ .(2)依题意有B (1,0,1)，CB →＝(1,0,0)，BP →＝(－1,2，－1)． 设n ＝(x ，y ，z )是平面PBC 的法向量，那么⎩⎨⎧n ·CB →＝0，n ·BP →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，－x ＋2y －z ＝0.因此可取n ＝(0，－1，－2)． 设m 是平面PBQ 的法向量，那么⎩⎨⎧m ·BP →＝0，m ·PQ →＝0.可取m ＝(1,1,1)， 因此cos 〈m ，n 〉＝－155. 故二面角Q －BP －C 的余弦值为－155. 22．(12分)已知椭圆C 的中心在座标原点，核心在x 轴上，椭圆C 上的点到核心距离的最大值为3，最小值为1.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)假设直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 相交于A ，B 两点(A ，B 不是左右极点)，且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右极点．求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．解：(1)由题意设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由已知得：a ＋c ＝3，a －c ＝1，∴a ＝2，c ＝1.∴b 2＝a 2－c 2＝3. ∴椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y23＝1，得(3＋4k 2)x 2＋8mkx ＋4(m 2－3)＝0，Δ＝64m 2k 2－16(3＋4k 2)(m 2－3)>0，即3＋4k 2－m 2>0，那么⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝－8mk 3＋4k 2，x 1·x 2＝4m 2－33＋4k 2.又y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m ) ＝k 2x 1x 2＋mk (x 1＋x 2)＋m 2＝3m 2－4k 23＋4k 2， ∵以AB 为直径的圆过椭圆的右极点D (2,0)， ∴k AD ·k BD ＝－1，即y 1x 1－2·y 2x 2－2＝－1.∴y 1y 2＋x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＝0. ∴3m 2－4k 23＋4k 2＋4m 2－33＋4k 2＋16mk3＋4k 2＋4＝0. ∴7m 2＋16mk ＋4k 2＝0.解得m 1＝－2k ，m 2＝－2k 7，且均知足3＋4k 2－m 2>0. 当m 1＝－2k 时，l 的方程为y ＝k (x －2)，直线过定点(2,0)，与已知矛盾．当m 2＝－27k 时，l 的方程为y ＝k (x －27)， 直线过定点(27，0)． ∴直线l 过定点，定点坐标为(27，0)．。
2020-2021学年人教A版数学选修2-1章末综合测评2 圆锥曲线与方程 Word版含解析
姓名，年级：时间：章末综合测评（二）圆锥曲线与方程(时间：120分钟满分：150分)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．双曲线3x2－y2＝9的焦距为（）A．错误!B．2错误!C．2 3 D．43D［方程化为标准方程为错误!－错误!＝1，∴a2＝3，b2＝9，∴c2＝a2＋b2＝12，∴c＝2错误!，∴2c＝4错误!．]2．抛物线y2＝4x的焦点到双曲线x2－错误!＝1的渐近线的距离是（）A．错误!B．错误!C．1 D．错误!B［抛物线y2＝4x的焦点为（1,0）,到双曲线x2－错误!＝1的渐近线错误!x－y＝0的距离为错误!＝错误!,故选B．］3．已知椭圆错误!＋错误!＝1（a〉b〉0）的左、右顶点分别为A,B，左、右焦点分别为F1,F2，若｜AF1｜，｜F1F2｜，|F1B|成等差数列，则此椭圆的离心率为( ) A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!－2A[由题意可得2|F1F2｜＝｜AF1|＋｜F1B｜，即4c＝a－c＋a＋c＝2a，故e＝错误!＝错误!．］4．双曲线错误!－错误!＝1（mn≠0）的离心率为2，有一个焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合,则mn的值为( )A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!A[抛物线的焦点为（1，0），由题意知错误!＝2．即m＝错误!，则n＝1－错误!＝错误!，从而mn＝错误!．]5．已知F1,F2为椭圆错误!＋错误!＝1（a>b>0）的两个焦点，过F2作椭圆的弦AB，若△AF1B的周长为16，椭圆的离心率e＝错误!，则椭圆的方程是( ) A．错误!＋错误!＝1 B．错误!＋错误!＝1C．x216＋错误!＝1 D．错误!＋错误!＝1D［由椭圆的定义知｜AF1|＋｜BF1|＋|AB|＝4a＝16,∴a＝4．又e＝ca＝错误!，∴c＝23,∴b2＝42－（2错误!)2＝4,∴椭圆的方程为错误!＋错误!＝1．] 6．过抛物线y2＝8x的焦点，作倾斜角为45°的直线,则被抛物线截得的弦长为( ）A．8 B．16C．32 D．64B［抛物线中2p＝8，p＝4，则焦点坐标为（2,0),过焦点且倾斜角为45°的直线方程为y＝x－2，由错误!得x2－12x＋4＝0，则x1＋x2＝12（x1，x2为直线与抛物线两个交点的横坐标）．从而弦长为x1＋x2＋p＝12＋4＝16．］7．已知双曲线错误!－错误!＝1(a〉0，b>0)的一条渐近线过点（2,错误!)，且双曲线的一个焦点在抛物线y2＝4错误!x的准线上，则双曲线的方程为（）A．错误!－错误!＝1 B．错误!－错误!＝1C．x23－错误!＝1 D．错误!－错误!＝1D［由双曲线的渐近线y＝错误!x过点（2，错误!)，可得错误!＝错误!×2．①由双曲线的焦点（－错误!，0）在抛物线y2＝4错误!x的准线x＝－错误!上，可得错误!＝7．②由①②解得a＝2，b＝错误!，所以双曲线的方程为错误!－错误!＝1．］8．已知定点A(2，0),它与抛物线y2＝x上的动点P连线的中点M的轨迹方程为( )A．y2＝2(x－1) B．y2＝4（x－1)C．y2＝x－1 D．y2＝错误!(x－1)D[设P（x0，y0），M（x，y），则错误!所以错误!由于y错误!＝x0,所以4y2＝2x－2,即y2＝错误!(x－1）．]9．已知θ是△ABC的一个内角，且sin θ＋cos θ＝错误!，则方程x2sin θ－y2cos θ＝1表示（）A．焦点在x轴上的双曲线B．焦点在y轴上的双曲线C．焦点在x轴上的椭圆D．焦点在y轴上的椭圆D［∵sin θ＋cos θ＝错误!，∴sin θcos θ＝－错误!．∵θ为△ABC的一个内角，∴sin θ〉0，cos θ<0,∴sin θ〉－cos θ>0，∴错误!>错误!〉0，∴方程x2sin θ－y2cos θ＝1是焦点在y轴上的椭圆．]10．设圆锥曲线Г的两个焦点分别为F1，F2．若曲线Г上存在点P满足｜PF1|∶|F1F2｜∶|PF2｜＝4∶3∶2，则曲线Г的离心率等于( ）A．错误!或错误!B．错误!或2C．错误!或2 D．错误!或错误!A[设圆锥曲线的离心率为e,由|PF1｜∶｜F1F2｜∶|PF2｜＝4∶3∶2,知①若圆锥曲线为椭圆,则由椭圆的定义，得e＝错误!＝错误!＝错误!;②若圆锥曲线为双曲线,则由双曲线的定义，得e＝|F1F2|｜PF1｜－|PF2｜＝错误!＝错误!．综上，所求的离心率为错误!或32．故选A．]11．已知点M（－3,0)，N(3，0)，B(1,0）,动圆C与直线MN相切于点B，过M，N与圆C相切的两直线相交于点P，则点P的轨迹方程为（)A．x2－错误!＝1(x〉1) B．x2－错误!＝1（x<－1）C．x2＋错误!＝1(x>0）D．x2－错误!＝1（x〉1)A [设圆与直线PM ，PN 分别相切于E ,F ，则|PE |＝｜PF ｜,｜ME ｜＝｜MB |，｜NB |＝｜NF |．∴|PM ｜－|PN ｜＝|PE ｜＋|ME |－(｜PF |＋|NF |)＝｜MB ｜－|NB |＝4－2＝2,∴点P 的轨迹是以M （－3，0），N （3，0）为焦点的双曲线的右支，且a ＝1，c ＝3，∴b 2＝8．故双曲线的方程是x 2－错误!＝1(x 〉1)．]12．已知椭圆C ：错误!＋错误!＝1(a >b 〉0)的离心率为错误!，双曲线x 2－y 2＝1的渐近线与椭圆C 有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为（ )A ．错误!＋错误!＝1B ．错误!＋错误!＝1C ．错误!＋错误!＝1D ．错误!＋错误!＝1D ［因为椭圆的离心率为错误!,所以e ＝错误!＝错误!，c 2＝错误!a 2＝a 2－b 2，所以b 2＝错误!a 2，即a 2＝4b 2．双曲线的渐近线方程为y ＝±x ,代入椭圆方程得错误!＋错误!＝1，即错误!＋错误!＝错误!＝1,所以x 2＝错误!b 2，x ＝±错误!b ．所以y ＝±错误!b ，则在第一象限，双曲线的渐近线与椭圆C 的交点坐标为错误!，所以四边形的面积为4×错误!b ×错误!b ＝错误!b 2＝16，所以b 2＝5，所以椭圆C 的方程为错误!＋错误!＝1，选D ．]二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上) 13．设F 1，F 2为椭圆错误!＋错误!＝1的两个焦点,点P 在椭圆上，若线段PF 1的中点在y 轴上，则|PF 2||PF 1|的值为________．错误![因为线段PF 1的中点在y 轴上,所以PF 2与x 轴垂直,且点P 的坐标为错误!，所以|PF 2|＝53，则｜PF 1｜＝2a －｜PF 2|＝133，错误!＝错误!．]14．如图所示，已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ,准线l 与x 轴的交点为K ，点A 在抛物线C 上,且在x 轴的上方，过点A 作AB ⊥l 于B ,|AK |＝错误!｜AF |,则△AFK 的面积为________．8 ［由题意知抛物线的焦点为F （2,0)，准线l 为x ＝－2，∴K (－2,0）,设A （x 0，y 0)(y 0＞0)，∵过点A 作AB ⊥l 于B ，∴B （－2，y 0）,∴|AF ｜＝|AB ｜＝x 0－(－2)＝x 0＋2， |BK ｜2＝｜AK |2－｜AB ｜2，∴x 0＝2，∴y 0＝4，即A （2，4)，∴△AFK 的面积为错误!｜KF |·｜y 0|＝错误!×4×4＝8．］ 15．如图所示，等边三角形OAB 的边长为83，且其三个顶点均在抛物线E ：x 2＝2py (p 〉0）上，则抛物线E 的方程为________．x 2＝4y [依题意知，|OB ｜＝8错误!,∠BOy ＝30°．设B （x ,y ),则x ＝|OB ｜sin 30°＝4错误!，y ＝|OB |cos 30°＝12．因为点B (4错误!，12)在抛物线E :x 2＝2py (p >0）上，所以（4错误!)2＝2p ×12,解得p ＝2．故抛物线E 的方程为x 2＝4y ．］16．如图所示，F 1和F 2分别是双曲线x 2a2－错误!＝1(a 〉0，b 〉0)的两个焦点，A 和B是以O 为圆心，｜OF 1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F 2AB 是等边三角形，则双曲线的离心率为________．错误!＋1 ［如图，连接AF 1,由△F 2AB 是等边三角形，知∠AF 2F 1＝30°．易知△AF 1F 2为直角三角形，则｜AF 1｜＝错误!｜F 1F 2｜＝c ,|AF 2｜＝错误!c ，∴2a ＝(错误!－1)c ，从而双曲线的离心率e ＝错误!＝1＋错误!．］三、解答题(本大题共6小题,共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分）已知直线y＝x－4被抛物线y2＝2mx（m≠0）截得的弦长为6错误!,求抛物线的标准方程．［解］设直线与抛物线的交点为A(x1，y1），B（x2，y2）．由错误!得x2－2(4＋m)x＋16＝0,所以x1＋x2＝2（4＋m)，x1x2＝16，所以弦长为错误!＝2[44＋m2－4×16]＝22m2＋8m．由22m2＋8m＝6错误!．解得m＝1或m＝－9．经检验，m＝1或m＝－9均符合题意．所以所求抛物线的标准方程为y2＝2x或y2＝－18x．18．（本小题满分12分）已知F1，F2分别为椭圆x2100＋错误!＝1(0＜b＜10)的左、右焦点,P是椭圆上一点．（1)求｜PF1|·｜PF2｜的最大值；(2)若∠F1PF2＝60°，且△F1PF2的面积为错误!，求b的值．［解] (1）|PF1｜·｜PF2｜≤错误!错误!＝100（当且仅当｜PF1|＝｜PF2|时取等号），∴|PF1｜·|PF2|的最大值为100．（2）S错误!＝错误!｜PF1｜·|PF2|sin 60°＝错误!，∴｜PF1｜·|PF2|＝错误!，①由题意知：错误!∴3|PF1｜·|PF2|＝400－4c2．②由①②得c＝6,∴b＝8．19．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，已知圆心在x轴上，半径为4的圆C位于y轴右侧,且与y轴相切．（1)求圆C的方程；(2）若椭圆错误!＋错误!＝1的离心率为错误!，且左、右焦点为F1，F2．试探究在圆C上是否存在点P，使得△PF1F2为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由．[解］（1)依题意，设圆的方程为（x－a)2＋y2＝16（a>0)．∵圆与y轴相切,∴a＝4，∴圆的方程为(x－4)2＋y2＝16．（2）∵椭圆x225＋错误!＝1的离心率为错误!，∴e＝错误!＝错误!＝错误!，解得b2＝9．∴c＝a2－b2＝4，∴F1（－4，0)，F2(4,0),∴F2（4,0)恰为圆心C，(ⅰ)过F2作x轴的垂线，交圆于点P1，P2(图略），则∠P1F2F1＝∠P2F2F1＝90°,符合题意；(ⅱ)过F1可作圆的两条切线，分别与圆相切于点P3，P4，连接CP3，CP4(图略)，则∠F1P3F2＝∠F1P4F2＝90°，符合题意．综上,圆C上存在4个点P，使得△PF1F2为直角三角形．20．（本小题满分12分)已知椭圆C:错误!＋错误!＝1(a>b>0）的离心率为错误!，点(2，错误!)在C上．（1)求C的方程；(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．[解] (1)由题意，得错误!＝错误!，又点（2，错误!）在C上，所以错误!＋错误!＝1，两方程联立,可解得a2＝8,b2＝4．所以C 的方程为错误!＋错误!＝1．(2）证明：设直线l ：y ＝kx ＋b （k ≠0,b ≠0），A (x 1，y 1）,B （x 2，y 2)，M （x M ，y M )． 将y ＝kx ＋b 代入错误!＋错误!＝1，得(2k 2＋1）x 2＋4kbx ＋2b 2－8＝0． 故x M ＝x 1＋x 22＝－2kb 2k 2＋1，y M ＝k ·x M ＋b ＝错误!．所以直线OM 的斜率k OM ＝错误!＝－错误!，所以k OM ·k ＝－错误!． 故直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值．21．(本小题满分12分）已知抛物线C ：y 2＝2px 过点P (1,1）．过点错误!作直线l 与抛物线C 交于不同的两点M ，N ，过点M 作x 轴的垂线分别与直线OP ,ON 交于点A ，B ，其中O 为原点．（1)求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； （2）求证:A 为线段BM 的中点．[解] (1）由抛物线C ：y 2＝2px 过点P （1，1)，得p ＝错误!． 所以抛物线C 的方程为y 2＝x ．抛物线C 的焦点坐标为错误!，准线方程为x ＝－错误!．(2)证明：由题意，设直线l 的方程为y ＝kx ＋错误!(k ≠0）,l 与抛物线C 的交点为M （x 1,y 1），N (x 2，y 2)．由错误!得4k 2x 2＋（4k －4)x ＋1＝0, 则x 1＋x 2＝错误!，x 1x 2＝错误!．因为点P 的坐标为（1,1）,所以直线OP 的方程为y ＝x ,点A 的坐标为（x 1，x 1）． 直线ON 的方程为y ＝错误!x ,点B 的坐标为错误!． 因为y 1＋错误!－2x 1＝错误! ＝错误! ＝错误! ＝错误!＝0，所以y 1＋错误!＝2x 1， 故A 为线段BM 的中点．22．（本小题满分12分)从椭圆错误!＋错误!＝1（a 〉b >0）上一点M 向x 轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F1,且它的长轴的一个端点A，短轴的一个端点B的连线AB平行于OM．(1）求椭圆的离心率；（2)设Q是椭圆上任一点，F2是椭圆的右焦点,求∠F1QF2的取值范围．［解] （1）依题意知F1点坐标为（－c，0)，设M点坐标为（－c，y）．若A点坐标为（－a,0），则B点坐标为（0，－b），则直线AB的斜率k＝错误!错误!．则有错误!＝错误!，∴y＝错误!．①又∵点M在椭圆错误!＋错误!＝1上，∴错误!＋错误!＝1．②由①②得错误!＝错误!，∴错误!＝错误!,即椭圆的离心率为错误!．(2）设|QF1｜＝m，|QF2|＝n，∠F1QF2＝θ,则m＋n＝2a，｜F1F2｜＝2c．在△F1QF2中，cos θ＝错误!＝m＋n2－2mn－2a22mn＝错误!－1≥错误!－1＝0．当且仅当m＝n时，等号成立，∴0≤cos θ≤1,∴θ∈错误!．即∠F1QF2的取值范围是错误!．。
红对勾人教A版高中数学选修3
红对勾人教A版高中数学选修2篇一:【红对勾】人教A版高中数学选修2-1单元综合测试二单元综合测试二时间:_0分钟分值:_0分第Ⅰ卷(选择题,共60分)1．椭圆_2＋4y2＝1的离心率为( ) 33A.B. 24C._D.23_3c解析:∵a＝1,b＝c＝a－b＝,∴e＝a＝,故选_2A.答案:A2．(_·新课标全国卷)已知双曲线E的中心为原点,F(3,0)是E的焦点,过F 的直线l与E相交于A,B两点,且AB的中点为N(－_,－_),则E的方程为( ) _2y2_2y2A.＝1B.＝1 3645_2y2_2y2C.＝1D.＝1 6354解析:∵F(3,0),AB的中点N(－_,－_), －_－0∴kAB＝1.－_－3_2y2又∵F(3,0),可设双曲线的方程为＝1,ab易知a2＋b2＝9①再设A(_1,y1),B(_2,y2),则有 _2y2－1② ab_2y2－1③ ab__2y_－__－y2由②－③可得＝ab?_1－_2??_1＋_2??y1＋y2??y1－y2?即＝aby1－y2b2_1＋_2∴＝kAB＝1._1－_2ay1＋y2_1＋_2y1＋y2又∵_＝－_,_∴b2－_式可化为(＝1,a－_b25∴＝④ a4由①和④可知b2＝5,a2＝4,_2y2∴双曲线的方程为－＝1,故选择B.45答案:B_2y23．双曲线k1的离心率e∈(1,2),则k的取值范围是( )4A．(－∞,0) B．(－_,0) C．(－3,0) D．(－60,－_)c24－k解析:∵a＝4,b＝－k,∴c＝4－k.∵e∈(1,2),∴∈a4222(1,4),k∈(－_,0)．答案:B4．若点P到直线_＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1,则点P的轨迹为( )A．圆 B．椭圆 C．双曲线D．抛物线解析:设M(2,0),由题设可知,把直线_＝－1向左平移一个单位即为直线_＝－2,则点P到直线_＝－2的距离等于|PM|,所以动点P的轨迹为抛物线,故选D.答案:D15．已知两定点F1(－1,0),F2(1,0),且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等2差中项,则动点P的轨迹是( )A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线D．线段解析:依题意知|PF1|＋|PF2|＝|F1F2|＝2,作图可知点P的轨迹为线段,故选D.答案:D6．(_·课标全国高考)设直线l过双曲线C的一个焦点,且与C的一条对称轴垂直,l与C交于A,B两点,|AB|为C的实轴长的2倍,则C的离心率为( )A.2B.3 C．2 D．3_2y2解析:不妨设双曲线C为－＝1(a 0,b 0),并设l过F2(c,0)ab2b_b2且垂直于_轴,则易求得|AB|＝a,∴a＝2_2a,b2＝2a2,∴离心率e＝a答案:Bb1＋＝3,故选B.a7．过抛物线y2＝4_的焦点作一条直线与抛物线相交于A.B两点,它们的横坐标之和等于5,则这样的直线( )A．有且仅有一条B．有且仅有两条 C．有无穷多条 D．不存在解析:由定义|AB|＝5＋2＝7,∵|AB|min＝4,∴这样的直线有且仅有两条．答案:B_2y28．已知(4,2)是直线l被椭圆1所截得的线段的中点,则369l的方程是( )A．_－2y＝0 B．_＋2y－4＝0 C．2_＋3y＋4＝0D．_＋2y－8＝0_y1－y2解析:设l与椭圆的两交点分别为(_1,y1).(_2,y2),则得2_1－__y1－y291,所以＝－362_1－_21故方程为y－2＝－(_－4),即_＋2y－8＝0.2答案:D_2y29．过椭圆＝1的右焦点作_轴的垂线交椭圆于A.B两点,42已知双曲线的焦点在_轴上,对称中心在坐标原点且两条渐近线分别过A.B 两点,则双曲线的离心率e为( )_A. B. _63C. D.__2y2解析:A2,1),B(2,－1),设双曲线为＝1(a 0,b 0),ab2bbb渐近线方程为y＝_,因为A.B在渐近线上,所以1＝2＝aaa2,ce＝aa＋b＝a6b2 1＋?a＝.2答案:C_2y2_．双曲线mn＝1(mn≠0)有一个焦点与抛物线y2＝4_的焦点重合,则m＋n的值为( )A．3 B．2C．1 D．以上都不对_2y2解析:抛物线y＝4_的焦点为F(1,0),故双曲线m－n＝1中m 0,2n 0,且m＋n＝c2＝1.答案:C_2y2_．设F1,F2是双曲线－1(a 0,b 0)的左.右焦点,点Pab→·→＝0,且|PF→|·→|＝2ac(c＝a＋b),则双在双曲线上,若PFPF|PF__曲线的离心率为( )1＋51＋3A. B.2_＋2C．2 D.2→·→解析:由PF则由勾股定理,1PF2＝0可知△PF1F2为直角三角形,→|2＋|PF→|2＝4c2,① 得|PF_→|－|PF→|)2＝4a2,② 由双曲线的定义,得(|PF_→|·→又|PF1|PF2|＝2ac,③由①②③得c2－ac－a2＝0,即e2－e－1＝0,篇二:【红对勾】人教A版高中数学选修2-1单元综合测试三单元综合测试三时间:_0分钟分值:_0分第Ⅰ卷(选择题,共60分)→＝a,CB→＝b,CC→＝c,则A→1．直三棱柱ABC－A1B1C1,若CA_B＝( )A．a＋b－c B．a－b＋c C．－a＋b＋c D．－a＋b－c→→→→解析:结合图形,得A1B＝A1A＋AC＋CB＝－c－a＋b＝－a＋b－c,故选D.答案:D2．已知a＝(－5,6,1),b＝(6,5,0),则a与b( ) A．垂直 B．不垂直也不平行 C．平行且同向 D．平行且反向答案:A3．已知a＝(2,－1,3),b＝(－4,2,_),c＝(1,－_,2),若(a＋b)⊥c,则_等于( )A．4 B．－4 1C. D．－6 2解析:a＋b＝(－2,1,3＋_),由(a＋b)⊥c, ∴(a＋b)·c＝0.∴－2－_＋2(3＋_)＝0,得_＝－4.答案:B4．若a＝(1,λ,2),b＝(2,－1,2),且a,b的夹角的余弦值为8 λ等于( ) 9A．2B．－2 _C．－2或 D．2或－555582解析:a·b＝2－λ＋4＝6－λ＝5＋λ_3_解得λ＝－2或.955答案:C5．已知空间四边形ABCD每条边和对角线长都等于a,点 E.F.G分别是AB.AD.DC的中点,则a2是下列哪个选项的计算结果( )→·→ B．2AD→·→ A．2BCCADB→·→ D．2EF→·→ C．2FGACCB→·→＝－a2,A错;2AD→·→＝－a2,B错;2EF→·→＝解析:2BCCADBCB_ －,D错;只有C对． 2答案:C→|取最小值时,_6．若A(_,5－_,2_－1),B(1,_＋2,2－_),当|AB的值等于( ) 8A．_ B．－78_C.D.7_→＝(1－_,2_－3,－3_＋3),则|AB→|＝解析:AB?1－_?＋?2_－3?＋?－3_＋3?＝__－32_＋_＝858→|取最小值,故选C. _?_－2＋,故当_＝|AB777答案:C7．已知ABCD,ABEF是边长为1的正方形,FA⊥平面ABCD,则异面直线AC与EF 所成的角为( )A．30° B．45° C．60° D．90°解析:如图1,由于EF∥AB且∠BAC＝45°,所以异面直线AC与EF所成的角为45°,故选B.答案:B图1图28．如图2所示,正方体ABCD－A′B′C′D′中,M是AB→→〉的值为( ) 的中点,则sin〈DB′,CM__A. B.2_C.2_D.3_解析:以DA,DC,DD′所在的直线分别为_,y,z轴建立直角坐标系O－_yz,设正方体棱长为1,则D(0,0,0),B′(1,1,1),C(0,1,0),?1??1?→→→→〉???M_0,则DB′＝(1,1,1),CM＝1,－2,0?,cos〈DB′,CM????_→→〉＝2_sin〈DB′,CM__答案:B图39．如图3,AB＝AC＝BD＝1,AB?面M,AC⊥面M,BD⊥AB,BD与面M成30°角,则C.D间的距离为( )A．1 B．2 C.2 3→|2＝|CA→＋A B→＋BD→|2＝|CA→|2＋|AB→|2＋|BD→|2＋2CA→·→＋解析:|CDAB→·→＋2CA→·→＝1＋1＋1＋0＋0＋2_1_1_cos_0°→|2ABBDBD＝2.∴|CD2.答案:C_．在以下命题中,不正确的个数为( ) ①|a|－|b|＝|a＋b|是a.b共线的充要条件; ②若a∥b,则存在唯一的实数λ,使a＝λb;→＝2OA→－③对空间任意一点O和不共线的三点A.B.C,若OP→－OC→,则P.A.B.C四点共面; 2OB④若{a,b,c}为空间的一个基底,则{a＋b,b＋c,c＋a}构成空间的另一个基底;⑤|(a·b)·c|＝|a|·|b|·|c|. A．2 B．3 C．4 D．5解析:①错,应为充分不必要条件．②错,应强调b≠0.③错,∵2－2－1≠1.⑤错,由数量积的运算性质判别．答案:C_．在三棱锥P－ABC中,△ABC为等边三角形,PA⊥平面ABC,且PA＝AB,则二面角A－PB－C的平面角的正切值为( )A.6 3 66C. D.62解析:设PA＝AB＝2,建立空间直角坐标系,平面PAB的一个法向量是m＝(1,0,0),平面PBC的一个法向量是n＝(3,1,1)． 33333m·n7则cos〈m,n＝＝∴正切值tan〈m,|m||n||m||n|2_1_3n〉＝6.答案:A图4_．(_·辽宁高考)如图4,四棱锥S－ABCD的底面为正方形,SD⊥底面ABCD,则下列结论中不正确的是( ) ．．．A．AC⊥SB篇三:新人教A版高中数学选修2-2综合测试题【1】及答案高中新课标数学选修（2-2）综合测试题一.选择题1．在数学归纳法证明〝1?a?a?的左边为（）Ａ．1答案:ＣＢ．1?a Ｃ．1?a Ｄ．1?a2 _?an?1?a?(a?1,n?N?)〞时,验证当n?1时,等式1?an1?∞)上是增函数,2．已知三次函数f(_)?_3?(4m?1)_2?(_m2?2m?7)_?2在_?(?∞,则3m的取值范围为（）Ａ．m?2或m?4 Ｂ．?4?m??2Ｃ．2?m?4Ｄ．以上皆不正确答案:Ｃ3．设f(_)?(a_?b)sin_?(c_?d)cos_,若f?(_)?_cos_,则a,b,c,d的值分别为（）Ａ．1,1,0,0答案:ＤＢ．1,0,1,0 Ｃ．0,1,0,1 Ｄ．1,0,0,1,,且在点Q(2,?1)处的切线平行于直线y?_?3,4．已知抛物线y?a_2?b_?c通过点P(_)则抛物线方程为（）Ａ．y?3_2?__?9Ｃ．y?3_2?__?9答案:Ａ5．数列?an?满足an?_?2a,0≤a≤,nn?6?2??若a1?,则a_的值为（）_?2a?1≤a?1,nn??2Ｂ．y?3_2?__?9 Ｄ．y??3_2?__?9Ａ．6 7Ｂ．5 7Ｃ．3 7Ｄ．17答案:Ｃ6．已知a,b是不相等的正数,_?,y?,则_,y的关系是（）Ａ．_?y答案:ＢＢ．y?_Ｃ．_? Ｄ．不确定m?2i(m?R)不可能在（） 1?2iＡ．第一象限Ｂ．第二象限Ｃ．第三象限答案:Ａ,D?A的运算分别对应下图中的8．定义A?B,B?C,C?D7．复数z? Ｄ．第四象限（1）,（2）,（3）,（4）,那么,图中（Ａ）,（Ｂ）可能是下列（）的运算的结果（）Ａ．B?D,A?D Ｂ．B?D,A?CＣ．B?C,A?D Ｄ．C?D,A?D答案:Ｂ9．用反证法证明命题〝a,b?N,如果ab可被5整除,那么a,b至少有1个能被5整除．〞则假设的内容是（）Ａ．a,b都能被5整除Ｂ．a,b都不能被5整除Ｃ．a不能被5整除Ｄ．a,b有1个不能被5整除答案:Ｂ_．下列说法正确的是（）Ａ．函数y?_有极大值,但无极小值Ｂ．函数y?_有极小值,但无极大值Ｃ．函数y?_既有极大值又有极小值Ｄ．函数y?_无极值答案:Ｂ_．对于两个复数????_?,???,有下列四个结论:①???1;②?1;③?1;?_?④?3??3?1．其中正确的个数为（）Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4答案:Ｂ_．设f(_)在[a,b]上连续,则f(_)在[a,b]上的平均值是（）Ａ．f(a)?f(b) 2Ｂ．?f(_)d_ ab Ｃ．1bf(_)d_ ?a2Ｄ．1bf(_)d_ ?ab?a答案:Ｄ二.填空题_．若复数z?log2(_2?3_?3)?ilog2(_?3)为实数,则_的值为答案:4_．一同学在电脑中打出如下图形（○表示空心圆,●表示实心圆）○●○○●○○○●○○○○●若将此若干个圆依此规律继续下去,得到一系列的圆,那么前_年圆中有实心圆的个数为．答案:61,2]上的最大值为3,最小值为?29,则a,b的_．函数f(_)?a_3?6a_2?b(a?0)在区间[?1值分别为．答案:2,3_．由y2?4_与直线y?2_?4所围成图形的面积为答案:9三.解答题_．设n?N?且sin_?cos_??1,求sinn_?cosn,2,3,4时的值,归纳猜测_的值．（先观察n?1sinn_?cosn_的值．）解:当n?1时,sin_?cos_??1;当n?2时,有sin2_?cos2_?1;当n?3时,有sin3_?cos3_?(sin_?cos_)(sin2_?cos2_?sin_cos_), 而sin_?cos_??1,∴1?2sin_cos_?1,sin_cos_?0．∴sin3_?cos3_??1．当n?4时,有sin4_?cos4_?(sin2_?cos2_)2?2sin2_cos2_?1．由以上可以猜测,当n?N?时,可能有sinn_?cosn_?(?1)n成立．_．设关于_的方程_2?(tan??i)_?(2?i)?0,（1）若方程有实数根,求锐角?和实数根;π（2）证明:对任意??kπ?(k?Z),方程无纯虚数根． 2解:（1）设实数根为a,则a2?(tan??i)a?(2?i)?0,即(a2?atan??2)?(a?1)i?0．,?a2?atantan??2?0,?a??1由于a,tan??R,那么? ??tan??1．a?1?1??又0???π, 2,?a??1?得?π ??．??4（2）若有纯虚数根?i(??R),使(?i)2?(tan??i)(?i)?(2?i)?0, 即(??2???2)?(?tan??1)i?0,???2???2?0,由?,tan??R,那么? ?tan??1?0,?由于??2???2?0无实数解．π故对任意??kπ?(k?Z),方程无纯虚数根． 2 0)是函数f(_)?_3?a_与g(_)?b_2?c的图象的一个公共点,两函数的_．设t?0,点P(t,图象在点P处有相同的切线．（1）用t表示a,b,c;,3)上单调递减,求t的取值范围．（2）若函数y?f(_)?g(_)在(?10),所以f(t)?0,即t3?at?0．解:（1）因为函数f(_),g(_)的图象都过点(t,因为t?0,所以a??t2．g(t)?0,即bt2?c?0,所以c?ab．0)处有相同的切线, 又因为f(_),g(_)在点(t,所以f?(t)?g?(t),而f?(_)?3_2?a,g?(_)?2b_,所以3t2?a?2bt．将a??t2代入上式得b?t．因此c?ab??t3．故a??t2,b?t,c??t3．（2）y?f(_)?g(_)?_3?t2_?t_2?t3,y??3_2?2t_?t2?(3_?t)(_?t)．当y??(3_?t)(_?t)?0时,函数y?f(_)?g(_)单调递减．t由y??0,若t?0,则??_?t; 3t若t?0,则t?_??． 3t??t??,3)???,t?或(?1,3)??t,??． ,3)上单调递减,则(?1由题意,函数y?f(_)?g(_)在(?_??3??所以t≤?9或t≥3．,3)上不是单调递减的．又当?9?t?3时,函数y?f(_)?g(_)在(?1?9?所以t的取值范围为??∞,?∞?． ?3,_．下列命题是真命题,还是假命题,用分析法证明你的结论．命题:若a?b?c,且a?b?c?0?解:此命题是真命题．∵a?b?c?0,a?b?c,∴a?0,c?0．?, 即证b2?ac?3a2,也就是证(a?c)2?ac?3a2,。
【红对勾】高中数学 单元综合测试二 新人教A版选修2-1(1)
单元综合测试二时刻：120分钟 分值：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)1．椭圆x 2＋4y 2＝1的离心率为( ) A.32 B.34 C.22 D.23解析：∵a ＝1，b ＝12，∴c ＝a 2－b 2＝32，∴e ＝c a ＝32，应选A. 答案：A2．(2020·新课标全国卷)已知双曲线E 的中心为原点，F (3,0)是E 的核心，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，那么E 的方程为( )A.x 23－y 26＝1B.x 24－y 25＝1C.x 26－y 23＝1D.x 25－y 24＝1 解析：∵F (3,0)，AB 的中点N (－12，－15)， ∴k AB ＝－15－0－12－3＝1.又∵F (3,0)，可设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，易知a 2＋b 2＝9①再设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么有x 21a 2－y 21b 2＝1②x 22a 2－y 22b 2＝1③由②－③可得x 21－x 22a 2＝y 21－y 22b 2，即x 1－x 2x 1＋x 2a 2＝y 1＋y 2y 1－y 2b 2∴y 1－y 2x 1－x 2＝b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2＝k AB ＝1.*又∵x 1＋x 22＝－12，y 1＋y 22＝－15，∴*式可化为b 2a 2×(－12－15)＝1，∴b 2a 2＝54④由①和④可知b 2＝5，a 2＝4， ∴双曲线的方程为x 24－y 25＝1，应选择B.答案：B3．双曲线x 24＋y 2k ＝1的离心率e ∈(1,2)，那么k 的取值范围是( )A ．(－∞，0)B ．(－12,0)C ．(－3,0)D ．(－60，－12)解析：∵a 2＝4，b 2＝－k ，∴c 2＝4－k .∵e ∈(1,2)，∴c 2a2＝4－k4∈(1,4)，k ∈(－12,0)．答案：B4．假设点P 到直线x ＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1，那么点P 的轨迹为( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线解析：设M (2,0)，由题设可知，把直线x ＝－1向左平移一个单位即为直线x ＝－2，那么点P 到直线x ＝－2的距离等于|PM |，因此动点P 的轨迹为抛物线，应选D.答案：D5．已知两定点F 1(－1,0)，F 2(1,0)，且12|F 1F 2|是|PF 1|与|PF 2|的等差中项，那么动点P 的轨迹是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．线段解析：依题意知|PF 1|＋|PF 2|＝|F 1F 2|＝2，作图可知点P 的轨迹为线段，应选D. 答案：D6．(2020·课标全国高考)设直线l 过双曲线C 的一个核心，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |为C 的实轴长的2倍，那么C 的离心率为( )A.2 B.3C ．2D ．3解析：不妨设双曲线C 为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，并设l 过F 2(c,0)且垂直于x 轴，那么易求得|AB |＝2b 2a，∴2b 2a＝2×2a ，b 2＝2a 2，∴离心率e ＝ca＝1＋b 2a 2＝3，应选B.答案：B7．过抛物线y 2＝4x 的核心作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于5，那么如此的直线( )A ．有且仅有一条B ．有且仅有两条C ．有无穷多条D ．不存在解析：由概念|AB |＝5＋2＝7，∵|AB |min ＝4，∴如此的直线有且仅有两条． 答案：B8．已知(4,2)是直线l 被椭圆x 236＋y 29＝1所截得的线段的中点，那么l 的方程是( )A ．x －2y ＝0B ．x ＋2y －4＝0C ．2x ＋3y ＋4＝0D ．x ＋2y －8＝0解析：设l 与椭圆的两交点别离为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，那么得y 21－y 22x 21－x 22＝－936，因此y 1－y 2x 1－x 2＝－12.故方程为y －2＝－12(x －4)，即x ＋2y －8＝0.答案：D9．过椭圆x 24＋y 22＝1的右核心作x 轴的垂线交椭圆于A 、B 两点，已知双曲线的核心在x 轴上，对称中心在座标原点且两条渐近线别离过A 、B 两点，那么双曲线的离心率e 为( )A.12B.22C.62D.32解析：A (2，1)，B (2，－1)，设双曲线为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，渐近线方程为y ＝±bax ，因为A 、B在渐近线上，因此1＝b a·2，b a＝22，e ＝c a＝a 2＋b 2a 2＝1＋b a2＝62. 答案：C10．双曲线x 2m－y 2n＝1(mn ≠0)有一个核心与抛物线y 2＝4x 的核心重合，那么m ＋n 的值为( )A ．3B ．2C ．1D ．以上都不对解析：抛物线y 2＝4x 的核心为F (1,0)，故双曲线x 2m－y 2n＝1中m >0，n >0，且m ＋n ＝c 2＝1.答案：C11．设F 1，F 2是双曲线x 2a2－y 2b2＝1(a >0，b <0)的左、右核心，点P 在双曲线上，假设PF 1→·PF 2→＝0，且|PF 1→|·|PF 2→|＝2ac (c ＝a 2＋b 2)，那么双曲线的离心率为( )A.1＋52B.1＋32C ．2 D.1＋22解析：由PF 1→·PF 2→＝0可知△PF 1F 2为直角三角形，那么由勾股定理，得|PF 1→|2＋|PF 2→|2＝4c 2，①由双曲线的概念，得(|PF 1→|－|PF 2→|)2＝4a 2，② 又|PF 1→|·|PF 2→|＝2ac ，③由①②③得c 2－ac －a 2＝0，即e 2－e －1＝0， 解得e ＝1＋52或e ＝1－52(舍去)．答案：A12．已知F 1，F 2别离为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右核心，P 为双曲线右支上的任意一点，假设|PF 1|2|PF 2|的最小值为8a ，那么双曲线的离心率e 的取值范围是( )A ．(1，＋∞) B．(1,2] C ．(1，3] D ．(1,3] 解析：|PF 1|2|PF 2|＝2a ＋|PF 2|2|PF 2|＝4a 2|PF 2|＋|PF 2|＋4a ≥4a ＋4a ＝8a ，当且仅当4a 2|PF 2|＝|PF 2|，即|PF 2|＝2a 时取等号．这时|PF 1|＝4a .由|PF 1|＋|PF 2|≥|F 1F 2|，得6a ≥2c ，即e ＝ca≤3，得e ∈(1,3]，应选D.答案：D第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(每题5分，共20分)13．假设双曲线的渐近线方程为y ＝±13x ，它的一个核心是(10，0)，那么双曲线的标准方程是________．解析：由双曲线的渐近线方程为y ＝±13x ，知b a ＝13，它的一个核心是(10，0)，知a 2＋b 2＝10，因此a ＝3，b ＝1，故双曲线的方程是x 29－y 2＝1.答案：x 29－y 2＝114．椭圆x 29＋y 22＝1的核心为F 1，F 2，点P 在椭圆上，假设|PF 1|＝4，那么|PF 2|＝__________，∠F 1PF 2的大小为________．解析：由椭圆的概念知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝2×3＝6，因为|PF 1|＝4，因此|PF 2|＝2. 在△PF 1F 2中，cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝－12.∴∠F 1PF 2＝120°. 答案：2 120°15．已知F 1、F 2是椭圆x 2a2＋y 2b 2＝1的左、右核心，点P 是椭圆上任意一点，从F 1引∠F 1PF 2的外角平分线的垂线，交F 2P 的延长线于M ，那么点M 的轨迹方程是________．解析：由题意知|MP |＝|F 1P |， ∴|PF 1|＋|PF 2|＝|MF 2|＝2a . ∴点M 到点F 2的距离为定值2a .∴点M 的轨迹是以点F 2为圆心，以2a 为半径的圆，其方程为(x －a 2－b 2)2＋y 2＝4a 2.答案：(x －a 2－b 2)2＋y 2＝4a 216．(2020·浙江高考)设F 1，F 2别离为椭圆x 23＋y 2＝1的左，右核心，点A ，B 在椭圆上，假设F 1A →＝5F 2B →，那么点A 的坐标是________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由F 1(－2，0)，F 2(2，0)且F 1A →＝5F 2B →得x 2＝15(x 1＋62)，y 2＝15y 1.又A 、B 两点在椭圆上，故有⎩⎪⎨⎪⎧x 213＋y 21＝1，x 1＋622－x 2175＋y 2125＝1，消去y 1得x 1＋622－x 213＝24，有x 1＝0，从而y 1＝±1，故点A 的坐标为(0,1)和(0，－1)．答案：(0，±1)三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)17．(10分)求与椭圆x 29＋y 24＝1有公共核心，而且离心率为52的双曲线方程．解：由椭圆方程x 29＋y 24＝1，知长半轴a 1＝3，短半轴b 1＝2，焦距的一半c 1＝a 21－b 21＝5，∴核心是F 1(－5，0)，F 2(5，0)，因此双曲线的核心也是F 1(－5，0)，F 2(5，0)，设双曲线方程为x 2a2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，由题设条件及双曲线的性质，得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝5，c 2＝a 2＋b 2，c a ＝52，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.故所求双曲线的方程为x 24－y 2＝1.18．(10分)(2020·天津高考)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝32，连接椭圆的四个极点取得的菱形的面积为4.(1)求椭圆的方程；(2)设直线l 与椭圆相交于不同的两点A ，B .已知点A 的坐标为(－a,0)，点Q (0，y 0)在线段AB 的垂直平分线上，且QA →·QB →＝4，求y 0的值．解：(1)由e ＝ca ＝32，得3a 2＝4c 2.再由c 2＝a 2－b 2，得a ＝2b . 由题意可知12×2a ×2b ＝4，即ab ＝2.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ，ab ＝2，得a ＝2，b ＝1.因此椭圆的方程为x 24＋y 2＝1.(2)由(1)可知A (－2,0)．设B 点的坐标为(x 1，y 1)，直线l 的斜率为k ，那么直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)．于是A ，B 两点的坐标知足方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋2，x24＋y 2＝1.由方程组消去y 并整理，得(1＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋(16k 2－4)＝0. 由－2x 1＝16k 2－41＋4k 2，得x 1＝2－8k 21＋4k 2.从而y 1＝4k1＋4k 2. 设线段AB 的中点为M ，则M 的坐标为(－8k 21＋4k 2，2k1＋4k 2)．以下分两种情形：①当k ＝0时，点B 的坐标为(2,0)，线段AB 的垂直平分线为y 轴，于是QA →＝(－2，－y 0)，QB →＝(2，－y 0)． 由QA →·QB →＝4，得y 0＝±22.②当k ≠0时，线段AB 的垂直平分线方程为 y －2k1＋4k 2＝－1k (x ＋8k 21＋4k 2)．令x ＝0，解得y 0＝－6k1＋4k 2.由QA →＝(－2，－y 0)，QB →＝(x 1，y 1－y 0)．QA →·QB →＝－2x 1－y 0(y 1－y 0)＝－22－8k 21＋4k 2＋6k1＋4k 2(4k1＋4k 2＋6k1＋4k 2) ＝416k 4＋15k 2－11＋4k 22＝4， 整理得7k 2＝2，故k ＝±147.因此y 0＝±2145.综上，y 0＝±22或y 0＝±2145.19．(12分)已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的核心F 的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点．求证： (1)x 1x 2为定值； (2)1|FA |＋1|FB |为定值．证明：(1)抛物线y 2＝2px的核心为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，设直线AB 的方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2(k ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，y 2＝2px ，消去y ，得k 2x 2－p (k 2＋2)x ＋k 2p 24＝0.由根与系数的关系，得x 1x 2＝p 24(定值)．当AB ⊥x 轴时，x 1＝x 2＝p 2，x 1x 2＝p 24，也成立．(2)由抛物线的概念，知|FA |＝x 1＋p2，|FB |＝x 2＋p2.1|FA |＋1|FB |＝1x 1＋p2＋1x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p p2x 1＋x 2＋x 1x 2＋p 24＝x 1＋x 2＋pp2x 1＋x 2＋p 22＝x 1＋x 2＋pp2x 1＋x 2＋p＝2p(定值)．当AB ⊥x 轴时，|FA |＝|FB |＝p ，上式仍成立． 20．(12分)已知A (2，0)、B (－2，0)两点，动点P 在y 轴上的射影为Q ，PA →·PB →＝2PQ →2.(1)求动点P 的轨迹E 的方程；(2)设直线m 过点A ，斜率为k ，当0<k <1时，曲线E 的上支上有且仅有一点C 到直线m 的距离为2，试求k 的值及现在点C 的坐标．解：(1)设动点P 的坐标为(x ，y )，那么点Q (0，y )，PQ →＝(－x,0)，PA →＝(2－x ，－y )，PB →＝(－2－x ，－y )，PA →·PB →＝x 2－2＋y 2.∵PA →·PB →＝2PQ →2，∴x 2－2＋y 2＝2x 2， 即动点P 的轨迹方程为y 2－x 2＝2. (2)设直线m ：y ＝k (x －2)(0<k <1)，依题意，点C 在与直线m 平行且与m 之间的距离为2的直线上，设此直线为m 1：y ＝kx ＋b .由|2k ＋b |k 2＋1＝2，即b 2＋22kb ＝2.①把y ＝kx ＋b 代入y 2－x 2＝2，整理，得(k 2－1)x 2＋2kbx ＋(b 2－2)＝0， 则Δ＝4k 2b 2－4(k 2－1)(b 2－2)＝0， 即b 2＋2k 2＝2.② 由①②，得k ＝255，b ＝105. 现在，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝255x ＋105，y 2－x 2＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22，y ＝10，即C (22，10)．21．(14分)(2020·江西高考) 图2设椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，抛物线C 2：x 2＋by ＝b 2.(1)假设C 2通过C 1的两个核心，求C 1的离心率； (2)设A (0，b )，Q (33，54b )，又M ，N 为C 1与C 2不在y 轴上的两个交点，假设△AMN 的垂心为B (0，34b )，且△QMN 的重心在C 2上，求椭圆C 1和抛物线C 2的方程．解：(1)因为抛物线C 2通过椭圆C 1的两个核心F 1(－c,0)，F 2(c,0)，可得c 2＝b 2.由a 2＝b 2＋c 2＝2c 2，有c 2a 2＝12， 因此椭圆C 1的离心率e ＝22. (2)由题设可知M ，N 关于y 轴对称，设M (－x 1，y 1)，N (x 1，y 1)，(x 1>0)，那么由△AMN 的垂心为B ，有BM →·AN →＝0，因此－x 21＋(y 1－34b )(y 1－b )＝0① 由于点N (x 1，y 1)在C 2上，故有x 21＋by 1＝b 2② 由①②得y 1＝－b 4，或y 1＝b (舍去)， 因此x 1＝52b ，故M (－52b ，－b 4)，N (52b ，－b4)， 因此△QMN 的重心为(3，b4)， 由重心在C 2上得：3＋b 24＝b 2，因此b ＝2，M (－5，－12)，N (5，－12)， 又因为M ，N 在C 1上，因此±52a 2＋－1224＝1，得a 2＝163.因此椭圆C 1的方程为：x 2163＋y 24＝1， 抛物线C 2的方程为：x 2＋2y ＝4.22．(12分)(2020·江西高考)P (x 0，y 0)(x 0≠±a )是双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上一点，M ，N 别离是双曲线E 的左、右极点，直线PM ，PN 的斜率之积为15. (1)求双曲线的离心率；(2)过双曲线E 的右核心且斜率为1的直线交双曲线交于A ，B 两点，O 为坐标原点，C 为双曲线上一点，知足OC →＝λOA →＋OB →，求λ的值．解：(1)点P (x 0，y 0)(x 0≠±a )在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1上，有x 20a 2－y 20b 2＝1.由题意又有y 0x 0－a ·y 0x 0＋a ＝15，可得a 2＝5b 2，c 2＝a 2＋b 2＝6b 2，那么e ＝c a ＝305. (2)联立⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－5y 2＝5b 2y ＝x －c 得4x 2－10cx ＋35b 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝5c 2，x 1x 2＝35b 24.①设OC →＝(x 3，y 3)，OC →＝λOA →＋OB →，即⎩⎪⎨⎪⎧x 3＝λx 1＋x 2，y 3＝λy 1＋y 2. 又C 为双曲线上一点，即x 23－5y 23＝5b 2， 有(λx 1＋x 2)2－5(λy 1＋y 2)2＝5b 2，化简得λ2(x 21－5y 21)＋(x 22－5y 22)＋2λ·(x 1x 2－5y 1y 2)＝5b 2.②又A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在双曲线上，因此x 21－5y 21＝5b 2，x 22－5y 22＝5b 2.由①式又有x 1x 2－5y 1y 2＝x 1x 2－5(x 1－c )·(x 2－c )＝－4x 1x 2＋5c (x 1＋x 2)－5c 2＝10b 2，得：λ2＋4λ＝0，解出λ＝0或λ＝－4.。
【红对勾】人教A版高中数学选修2-1课件：1-1-2、3 四种命题与四种命题间的相互关系
典例精析
类型一 [ 例 1] 题． 四种命题之间的转换 写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命
(1)垂直于同一平面的两直线平行．
(2)若m·n<0，则方程mx2－x＋n＝0有实数根．
[分析] 由题目可以获取以下主要信息： ①第一个命题的条件是垂直于同一平面的两条直
线，结论是两直线平行；
②第二个命题的条件和结论非常清楚．
5．把命题“当x＝2时，x2－3x＋2＝0”写成“若p， 则q”的形式，并写出它的逆命题、否命题与逆否命题，
并判断它们的真假．
解：原命题：若x＝2，则x2－3x＋2＝0，真命题． 逆命题：若x2－3x＋2＝0，则x＝2，假命题． 否命题：若x≠2，则x2－3x＋2≠0，假命题． 逆否命题：若x2－3x＋2≠0，则x≠2，真命题．
[解] (1)逆命题：若一个数的平方是非负数，则 这个数是实数．真命题．
否命题：若一个数不是实数，则它的平方不是非
负数．真命题． 逆否命题：若一个数的平方不是非负数，则这个 数不是实数．真命题．
(2)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形 等底等高．真命题．
否命题：若两个三角形不等底或不等高，则这两
否命题：若 m ·n≥ 0，则方程 mx2 － x＋ n＝ 0没有实
数根． 逆否命题：若方程 mx 2 － x ＋ n ＝ 0没有实数根，则 m·n≥0.
[点评] (1)写命题的四种形式时，首先要找出命 题的条件和结论，然后写出命题的条件的否定和结论
的否定，再根据四种命题的结构写出所求命题．
(2)另外在写命题时，为了使句子更通顺，可以适 当的添加一些词语，但不能改变条件和结论．
迁移体验1 否命题．
写出下列命题的逆命题、否命题和逆
【红对勾】人教A版高中数学选修2
【红对勾】人教A版高中数学选修2篇一：2013版名师一号高中数学(人教A版)选修2-1全册综合测试题(含详解)本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网本册综合测试(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的) 1．已知p：2x－30p：?x∈R，x2＋2x＋1≤0，则綈p：?x∈R，x2＋2xA．0B．C．2解析綈p：?x∈R，x2＋2x＋1>0.∴①不正确，②正确，③不正确．答案 B6．设α，β，γ是互不重合的平面，m，n是互不重合的直线，给出下列命题：①若m⊥α，m⊥β，则α∥β；②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；③若m⊥α，m∥β，则α⊥β；④若m∥α，n⊥α，则m⊥n.其中真命题的个数是( )本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网A．1B．2C．3D．4解析①正确，②不正确，③正确，④正确．答案 C7．已知a＝(m＋1,0,2m)，b＝(6,2n－1,2)，若a∥b，则m与n 的值分别为( )．5,211C5，－2 D．－5，－2解析∵a∥b，∴a＝λb，m??∴?0??2∴m答案 8y2＝2px的准线上，则p的值为( )A．2B．3C．4D．422p解析设双曲线的焦距为2c，由双曲线方程知c2＝3＋16，则其左焦点为(p316，0)．本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网p由抛物线方程y2＝2px知其准线方程为x＝－2，由双曲线的左焦点在抛物线的准线上知，p2p23＋16＝4p>0，解得p＝4.答案 Cx2y29．已知双曲线a－b1的左、右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线上，且|PF1|＝4|PF2|，则此双曲线的离心率e的最大值为( ) D．2解析a，又|又|c∴a答案10．如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝BC＝AA1，本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网∠ABC＝90°，点EF分别是棱AB，BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是( )A．45°C．90°B．60° D．120°解析建立空间直角坐标如图所示．1故EF与BC1所成的角为60°.答案 B11．给出下列曲线，其中与直线y＝－2x－3有交点的所有曲线是( )22xx①4x＋2y－1＝0；②x2＋y2＝3；③2＋y2＝12－y2＝1.A．①③B．②④篇二：新人教A版高中数学选修2-2综合测试题1及答案高中新课标数学选修（2-2）综合测试题一、选择题1．在数学归纳法证明“1?a?a?的左边为（）Ａ．1答案：ＣＢ．1?a Ｃ．1?a Ｄ．1?a2 21?an?1?a?(a?1，n?N?)”时，验证当n?1时，等式1?an1?∞)上是增函数，2．已知三次函数f(x)?x3?(4m?1)x2?(15m2?2m?7)x?2在x?(?∞，则3m的取值范围为（）Ａ．m?2或m?4 Ｂ．?4?m??2Ｃ．2?m?4Ｄ．以上皆不正确答案：Ｃ3．设f(x)?(ax?b)sinx?(cx?d)cosx，若f?(x)?xcosx，则a，b，c，d的值分别为（）Ａ．1，1，0，0答案：ＤＢ．1，0，1，0 Ｃ．0，1，0，1 Ｄ．1，0，0，1，，且在点Q(2，?1)处的切线平行于直线y?x?3，4．已知抛物线y?ax2?bx?c通过点P(11)则抛物线方程为（）Ａ．y?3x2?11x?9Ｃ．y?3x2?11x?9答案：Ａ5．数列?an?满足an?11?2a，0≤a≤，nn?6?2??若a1?，则a2004的值为（） 17?2a?1≤a?1，nn??2Ｂ．y?3x2?11x?9 Ｄ．y??3x2?11x?9 Ａ．6 7Ｂ．5 7Ｃ．3 7Ｄ．17答案：Ｃ6．已知a，b是不相等的正数，x?，y?，则x，y的关系是（）Ａ．x?y答案：ＢＢ．y?xＣ．x? Ｄ．不确定m?2i(m?R)不可能在（） 1?2iＡ．第一象限Ｂ．第二象限Ｃ．第三象限答案：Ａ，D?A的运算分别对应下图中的8．定义A?B，B?C，C?D7．复数z? Ｄ．第四象限（1），（2），（3），（4），那么，图中（Ａ），（Ｂ）可能是下列（）的运算的结果（）Ａ．B?D，A?D Ｂ．B?D，A?CＣ．B?C，A?D Ｄ．C?D，A?D答案：Ｂ9．用反证法证明命题“a，b?N，如果ab可被5整除，那么a，b至少有1个能被5整除．”则假设的内容是（）Ａ．a，b都能被5整除Ｂ．a，b都不能被5整除Ｃ．a不能被5整除Ｄ．a，b有1个不能被5整除答案：Ｂ10．下列说法正确的是（）Ａ．函数y?x有极大值，但无极小值Ｂ．函数y?x有极小值，但无极大值Ｃ．函数y?x既有极大值又有极小值Ｄ．函数y?x无极值答案：Ｂ11．对于两个复数11?，，有下列四个结论：①1；②?1；③?1；?22?④?3??3?1．其中正确的个数为（）Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4答案：Ｂ12．设f(x)在[a，b]上连续，则f(x)在[a，b]上的平均值是（）Ａ．f(a)?f(b) 2Ｂ．?f(x)dx ab Ｃ．1bf(x)dx ?a2Ｄ．1bf(x)dx ?ab?a答案：Ｄ二、填空题13．若复数z?log2(x2?3x?3)?ilog2(x?3)为实数，则x的值为答案：414．一同学在电脑中打出如下图形（○表示空心圆，●表示实心圆）○●○○●○○○●○○○○●若将此若干个圆依此规律继续下去，得到一系列的圆，那么前2006年圆中有实心圆的个数为．答案：61，2]上的最大值为3，最小值为?29，则a，b的15．函数f(x)?ax3?6ax2?b(a?0)在区间[?1值分别为．答案：2，316．由y2?4x与直线y?2x?4所围成图形的面积为答案：9三、解答题17．设n?N?且sinx?cosx??1，求sinnx?cosn，2，3，4时的值，归纳猜测x的值．（先观察n?1sinnx?cosnx的值．）解：当n?1时，sinx?cosx??1；当n?2时，有sin2x?cos2x?1；当n?3时，有sin3x?cos3x?(sinx?cosx)(sin2x?cos2x?sinxcosx)，而sinx?cosx??1，∴1?2sinxcosx?1，sinxcosx?0．∴sin3x?cos3x??1．当n?4时，有sin4x?cos4x?(sin2x?cos2x)2?2sin2xcos2x?1．由以上可以猜测，当n?N?时，可能有sinnx?cosnx?(?1)n成立．18．设关于x的方程x2?(tan??i)x?(2?i)?0，（1）若方程有实数根，求锐角?和实数根；π（2）证明：对任意??kπ?(k?Z)，方程无纯虚数根． 2解：（1）设实数根为a，则a2?(tan??i)a?(2?i)?0，即(a2?atan??2)?(a?1)i?0．，?a2?atantan??2?0，?a??1由于a，tan??R，那么? ??tan??1．a?1?1??又0π， 2，?a??1?得?π ??．??4（2）若有纯虚数根?i(??R)，使(?i)2?(tan??i)(?i)?(2?i)?0，即(??22)?(?tan??1)i?0，22?0，由?，tan??R，那么? ?tan??1?0，?由于??22?0无实数解．π故对任意??kπ?(k?Z)，方程无纯虚数根． 20)是函数f(x)?x3?ax与g(x)?bx2?c的图象的一个公共点，两函数的19．设t?0，点P(t，图象在点P处有相同的切线．（1）用t表示a，b，c；，3)上单调递减，求t的取值范围．（2）若函数y?f(x)?g(x)在(?10)，所以f(t)?0，即t3?at?0．解：（1）因为函数f(x)，g(x)的图象都过点(t，因为t?0，所以a??t2．g(t)?0，即bt2?c?0，所以c?ab．0)处有相同的切线，又因为f(x)，g(x)在点(t，所以f?(t)?g?(t)，而f?(x)?3x2?a，g?(x)?2bx，所以3t2?a?2bt．将a??t2代入上式得b?t．因此c?ab??t3．故a??t2，b?t，c??t3．（2）y?f(x)?g(x)?x3?t2x?tx2?t3，y??3x2?2tx?t2?(3x?t)(x?t)．当y??(3x?t)(x?t)?0时，函数y?f(x)?g(x)单调递减．t由y??0，若t?0，则??x?t； 3t若t?0，则t?x??． 3t??t??，3)，t?或(?1，3)??t，??．，3)上单调递减，则(?1由题意，函数y?f(x)?g(x)在(?13??3??所以t≤?9或t≥3．，3)上不是单调递减的．又当?9?t?3时，函数y?f(x)?g(x)在(?1?9?所以t的取值范围为??∞，?∞?． ?3，20．下列命题是真命题，还是假命题，用分析法证明你的结论．命题：若a?b?c，且a?b?c?0?解：此命题是真命题．∵a?b?c?0，a?b?c，∴a?0，c?0．?，即证b2?ac?3a2，也就是证(a?c)2?ac?3a2，篇三：红对勾2016-2017学年高中数学必修二(人教A版)：模块综合测试模块综合试题时间：120分钟分值：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．下列命题正确的是( )A．四条线段顺次首尾连接，所得的图形一定是平面图形 B．一条直线和两条平行直线都相交，则三条直线共面 C．两两平行的三条直线一定确定三个平面 D．和两条异面直线都相交的直线一定是异面直线解析：此题主要考查三个公理及推论的应用，两条平行线确定一个平面，第三条直线与其相交，由公理1可知，这三条直线共面，故B正确．答案：B2．已知直线(a－2)x＋ay－1＝0与直线2x＋3y＋5＝0平行，则a的值为( )A．－64C．－5B．6 －22解析：由题意可知两直线的斜率存在，且－a＝－3a＝6.答案：B3．圆台侧面的母线长为2a，母线与轴的夹角为30°，一个底面的半径是另一个底面半径的2倍．求两底面的面积之和是( ) A．3πa2C．5πa2B．4πa2 D．6πa2解析：设圆台上底面半径为r，则下底面半径为2r，如图所示，∠ASO＝30°，r在Rt△SA′O′中，＝sin30°，SA′∴SA′＝2r.2r在Rt△SAO中，SAsin30°，∴SA＝4r.∴SA－SA′＝AA′，即4r－2r＝2a，r＝a.∴S＝S1＋S2＝πr2＋π(2r)2＝5πr2＝5πa2. 答案：C4．若直线l过点A(3,4)，且点B(－3,2)到直线l的距离最远，则直线l的方程为( )A．3x－y－5＝0C．3x＋y＋13＝0B．3x－y＋5＝0 D．3x＋y－13＝0解析：当l⊥AB时，符合要求． 4－21∵kAB＝，∴l的斜率为－3，3＋33∴直线l的方程为y－4＝－3(x－3)，即3x＋y－13＝0. 答案：5．过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2＋y2－4y＝0所截得的弦长为( )B．2 D．23解析：直线方程为y3x，圆的标准方程为x2＋(y－2)2＝4，圆心(0,2)到直线y3x的距离d22－1＝3.答案：D6．如图，在三棱锥S－ABC中，G1，G2分别是△SAB和△SAC的重心，则直线G1G2与BC的位置关系是()A．相交C．异面B．平行D．以上都有可能 |3×0－2|?3?＋?－1?22＝1.故所求弦长l＝题图答图解析：连接SG1，SG2并延长分别交AB于点M，交AC于点SGSGN.∵GM＝GN，∴G1G2∥MN.12∵M，N分别为AB，AC的中点，∴MN∥BC.故G1G2∥BC. 答案：7．棱锥被平行于底面的平面所截，当截面分别平分棱锥的侧棱、侧面积、体积时，相应的截面面积分别为S1，S2，S3，则( ) A．S14F，则圆的位置满足( )A．截两坐标轴所得弦的长度相等 B．与两坐标轴都相切 C．与两坐标轴相离 D．上述情况都有可能解析：在圆的方程中令y＝0得x2＋Dx＋F＝0. ∴圆被x轴截得的弦长为|x1－x2|＝D－4F.同理得圆被y轴截得的弦长为E－4F＝D－4F.故选A.答案：A9．在如图所示的空间直角坐标系O－xyz中，一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2)，(2,2,0)，(1,2,1)，(2,2,2)．给出编号为①，②，③，④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为()A．①和② B．③和① C．④和③ D．④和②解析：由三视图可知，该几何体的正视图显然是一个直角三角形(三个顶点坐标分别是(0,0,2)，(0,2,0)，(0,2,2))且内有一虚线(一直角顶点与另一直角边中点的连线)，故正视图是④；俯视图在底面射影是一个斜三角形，三个顶点坐标分别是(0,0,0)，(2,2,0)，(1,2,0)，故俯视图是②.故选D.答案：D10．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是正方形ADD1A1和正方形ABCD的中心，G是CC1的中点，设GF，C1E与AB所成的角分别为α，β，则α＋β等于( )A．120° B．90° C．75° D．60°解析：根据异面直线所成角的定义知α＋β＝90°. 答案：B 11．已知点P(x，y)是直线kx＋y＋4＝0(k>0)上一动点，PA，PB。
【红对勾】高中数学 2-1-2 求曲线的方程课时作业 新人教A版选修2-1
课时作业9 求曲线的方程时间：45分钟 分值：100分一、选择题(每小题6分，共36分)1．若点M 到两坐标轴的距离的积为2008，则点M 的轨迹方程是( )A ．xy ＝2008B ．xy ＝－2008C ．xy ＝±2008D ．xy ＝±2008(x>0)答案：C2．已知点O(0,0)，A(1，－2)，动点P 满足|PA|＝3|PO|，则点P 的轨迹方程是( )A ．8x 2＋8y 2＋2x －4y －5＝0B ．8x 2＋8y 2－2x －4y －5＝0C ．8x 2＋8y 2＋2x ＋4y －5＝0D ．8x 2＋8y 2－2x ＋4y －5＝0解析：设P 点的坐标为(x ，y)，则－2＋＋2＝3x 2＋y 2，整理得8x 2＋8y2＋2x －4y －5＝0.答案：A3．已知M(－2,0)，N(2,0)，则以MN 为斜边的直角三角形的直角顶点P 的轨迹方程是( )A ．x 2＋y 2＝2B ．x 2＋y 2＝4C ．x 2＋y 2＝2(x≠±2)D ．x 2＋y 2＝4(x≠±2)解析：设P(x ，y)，因为△MPN 为直角三角形，∴MP 2＋NP 2＝MN 2，∴(x＋2)2＋y 2＋(x －2)2＋y 2＝16，整理得：x 2＋y 2＝4.∵M、N 、P 不共线，∴x≠±2， ∴轨迹方程为x 2＋y 2＝4(x≠±2)． 答案：D4．已知A 、B 两点的坐标分别为(0，－5)和(0,5)，直线MA 与MB 的斜率之积为－49，则M 的轨迹方程是( )A .x 225＋y 21009＝1 B .x 225＋y21009＝1(x≠±5)C .x 22254＋y 225＝1D .x 22254＋y225＝1(x≠0) 解析：设M 的坐标为(x ，y)，则k MA ＝y ＋5x ，k MB ＝y －5x .由题知y ＋5x ·y －5x ＝－49(x≠0)，即x 22254＋y225＝1(x≠0)． 答案：D5．一条线段的长等于10，两端点A 、B 分别在x 轴和y 轴上滑动，M 在线段AB 上且AM →＝4MB →，则点M 的轨迹方程是( )A ．x 2＋16y 2＝64B ．16x 2＋y 2＝64C ．x 2＋16y 2＝8D ．16x 2＋y 2＝8解析：设M(x ，y)、A(a,0)、B(0，b)， 则a 2＋b 2＝100.∵AM →＝4MB →， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a 1＋4，y ＝4b1＋4，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5x ，b ＝54y.代入a 2＋b 2＝100，得25x 2＋2516y 2＝100，即16x 2＋y 2＝64.答案：B6．平面上有三点A(－2，y)，B(0，y 2)，C(x ，y)，若AB →⊥BC →，则动点C 的轨迹方程是( )A ．y 2＝8xB ．y 2＝－8xC ．y 2＝4xD ．y 2＝－4x解析：∵A(－2，y)，B(0，y2)，C(x ，y)∴AB →＝(2，－y 2)，BC →＝(x ，y 2)．∵AB →⊥BC →， ∴AB →·BC →＝0.得2·x－y 2·y 2＝0得y 2＝8x.答案：A二、填空题(每小题8分，共24分)7．圆心为(1,2)且与直线5x －12y －7＝0相切的圆的方程是________． 解析：圆心到直线的距离等于半径，则 r ＝|5×1－12×2－7|52＋122＝2613＝2， ∴圆的方程为(x －1)2＋(y －2)2＝4. 答案：(x －1)2＋(y －2)2＝48．已知点A(－a,0)、B(a,0)，a>0，若动点M 与两定点A 、B 构成直角三角形，则直角顶点M 的轨迹方程是________．图1解析：设点M 的坐标为(x ，y)．由AM⊥BM，得k AM ·k BM ＝－1，即y x ＋a · yx －a ＝－1，化简得x 2＋y 2＝a 2.因为M 、A 、B 三点不共线，点M 的纵坐标y≠0， 从而x≠±a，所以所求轨迹方程为x 2＋y 2＝a 2(x≠±a)． 答案：x 2＋y 2＝a 2(x≠±a)9．已知直线l ：2x ＋4y ＋3＝0，P 为l 上的动点，O 为坐标原点，点Q 分线段OP 为1∶2两部分，则点Q 的轨迹方程为__________．解析：设点Q 的坐标为(x ，y)，点P 的坐标为(x 1，y 1)． ∵Q 分线段OP 为1∶2，∴OQ →＝12QP →.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12x 11＋12，y ＝12y 11＋12，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝3x ，y 1＝3y.∵点P 在直线l 上，∴2x 1＋4y 1＋3＝0.把x 1＝3x ，y 1＝3y 代入上式并化简，得2x ＋4y ＋1＝0为所求轨迹方程．答案：2x ＋4y ＋1＝0 三、解答题(共40分)10．(10分)已知点M 到点F(0,1)和直线l ：y ＝－1的距离相等，求点M 的轨迹方程．图2解：设点M 的坐标为(x ，y)，点M 的轨迹就是集合P ＝{M||MF|＝|MQ|}，其中Q 是点M 到直线y ＝－1的垂线的垂足．由两点间距离公式及点到直线的距离公式，得x 2＋－2＝|y ＋1|，将上式两边平方，得x 2＋(y －1)2＝(y ＋1)2，化简，得y ＝14x 2.①下面证明方程①是所求轨迹的方程．(1)由求方程的过程，可知曲线上的点的坐标都是方程①的解；(2)设点M 1的坐标(x 1，y 1)是方程①的解，那么y 1＝14x 21，即x 21＋(y 1－1)2＝(y 1＋1)2，x 21＋1－2＝|y 1＋1|，|M 1F|＝|M 1Q 1|.其中Q 1是点M 1到直线y ＝－1的垂线的垂足，因此点M 1是曲线上的点．由(1)(2)，可知方程①是所求轨迹的方程，图形如图2所示． 11．(15分)已知线段AB 与CD 互相垂直平分于点O ，|AB|＝8， |CD|＝4，动点M 满足|MA|·|MB|＝|MC|·|MD|.求动点M 的轨迹方程．解：以O 为原点，分别以直线AB ，CD 为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，则A(－4,0)，B(4,0)，C(0,2)，D(0，－2)，设M(x ，y)为轨迹上任意一点，则|MA|·|MB|＝|MC|·|MD|.因为|MA|＝＋2＋y 2，|MB|＝－2＋y 2，|MC|＝x 2＋－2，|MD|＝x 2＋＋2.所以＋2＋y2－2＋y 2]＝[x 2＋－2][x 2＋＋2].化简，得y 2－x 2＋6＝0.所以所求轨迹方程为y 2－x 2＋6＝0.图312．(15分)如图3所示，已知A(－3,0)，B 、C 两点分别在y 轴和x 轴上运动，点P 为BC 延长线上一点，并且满足AB →⊥BP →，BC →＝12CP →，试求动点P 的轨迹方程．解：设P(x ，y)，B(0，y′)，C(x′，0)， 则BC →＝(x′，－y′)，CP →＝(x －x′，y)， 由BC →＝12CP →，得(x′，－y′)＝12(x －x′，y)，即x′＝x 3，y′＝－y 2，∴B ⎝⎛⎭⎪⎫0，－y 2，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3，0.又A(－3,0)，∴AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3，－y 2，BP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，3y 2.由AB →⊥BP →，得AB →·BP →＝0，∴3x－34y 2＝0，得y 2＝4x ，即为动点P 的轨迹方程．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
单元综合测试二时间：120分钟 分值：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)1．椭圆x 2＋4y 2＝1的离心率为( ) A.32 B.34 C.22 D.23解析：∵a ＝1，b ＝12，∴c ＝a 2－b 2＝32，∴e ＝ca ＝32，故选A. 答案：A2．(2010·新课标全国卷)已知双曲线E 的中心为原点，F (3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，则E 的方程为( )A.x 23－y 26＝1B.x 24－y 25＝1 C.x 26－y 23＝1 D.x 25－y 24＝1 解析：∵F (3,0)，AB 的中点N (－12，－15)， ∴k AB ＝－15－0－12－3＝1.又∵F (3,0)，可设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，易知a 2＋b 2＝9①再设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有 x 21a 2－y 21b 2＝1② x 22a 2－y 22b 2＝1③ 由②－③可得x 21－x 22a 2＝y 21－y 22b2，即(x 1－x 2)(x 1＋x 2)a 2＝(y 1＋y 2)(y 1－y 2)b 2∴y 1－y 2x 1－x 2＝b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2＝k AB ＝1.*又∵x 1＋x 22＝－12，y 1＋y 22＝－15，∴*式可化为b 2a 2×(－12－15)＝1，∴b 2a 2＝54④ 由①和④可知b 2＝5，a 2＝4，∴双曲线的方程为x 24－y 25＝1，故选择B.答案：B3．双曲线x 24＋y 2k ＝1的离心率e ∈(1,2)，则k 的取值范围是( )A ．(－∞，0)B ．(－12,0)C ．(－3,0)D ．(－60，－12)解析：∵a 2＝4，b 2＝－k ，∴c 2＝4－k .∵e ∈(1,2)，∴c 2a 2＝4－k 4∈(1,4)，k ∈(－12,0)．答案：B4．若点P到直线x＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P的轨迹为()A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线解析：设M(2,0)，由题设可知，把直线x＝－1向左平移一个单位即为直线x＝－2，则点P到直线x＝－2的距离等于|PM|，所以动点P的轨迹为抛物线，故选D.答案：D5．已知两定点F1(－1,0)，F2(1,0)，且12|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，则动点P的轨迹是()A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．线段解析：依题意知|PF1|＋|PF2|＝|F1F2|＝2，作图可知点P的轨迹为线段，故选D.答案：D6．(2011·课标全国高考)设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为()A. 2B. 3C．2 D．3解析：不妨设双曲线C为x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)，并设l过F2(c,0)且垂直于x 轴，则易求得|AB |＝2b 2a ，∴2b 2a ＝2×2a ，b 2＝2a 2，∴离心率e ＝ca ＝1＋b 2a2＝3，故选B. 答案：B7．过抛物线y 2＝4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线( )A ．有且仅有一条B ．有且仅有两条C ．有无穷多条D ．不存在解析：由定义|AB |＝5＋2＝7，∵|AB |min ＝4，∴这样的直线有且仅有两条．答案：B8．已知(4,2)是直线l 被椭圆x 236＋y 29＝1所截得的线段的中点，则l 的方程是( )A ．x －2y ＝0B ．x ＋2y －4＝0C ．2x ＋3y ＋4＝0D ．x ＋2y －8＝0解析：设l 与椭圆的两交点分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，则得y 21－y 22x 21－x 22＝－936，所以y 1－y 2x 1－x 2＝－12.故方程为y －2＝－12(x －4)，即x ＋2y －8＝0.答案：D9．过椭圆x 24＋y 22＝1的右焦点作x 轴的垂线交椭圆于A 、B 两点，已知双曲线的焦点在x 轴上，对称中心在坐标原点且两条渐近线分别过A 、B 两点，则双曲线的离心率e 为( )A.12B.22C.62D.32解析：A (2，1)，B (2，－1)，设双曲线为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，渐近线方程为y ＝±b a x ，因为A 、B 在渐近线上，所以1＝b a ·2，ba ＝22，e ＝c a ＝a 2＋b 2a 2＝1＋(b a )2＝62.答案：C10．双曲线x 2m －y 2n ＝1(mn ≠0)有一个焦点与抛物线y 2＝4x 的焦点重合，则m ＋n 的值为( )A ．3B ．2C ．1D ．以上都不对解析：抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，故双曲线x 2m －y 2n ＝1中m >0，n >0，且m ＋n ＝c 2＝1.答案：C11．设F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b <0)的左、右焦点，点P在双曲线上，若PF 1→·PF 2→＝0，且|PF 1→|·|PF 2→|＝2ac (c ＝a 2＋b 2)，则双曲线的离心率为( )A.1＋52B.1＋32C ．2 D.1＋22解析：由PF 1→·PF 2→＝0可知△PF 1F 2为直角三角形，则由勾股定理，得|PF1→|2＋|PF 2→|2＝4c 2，① 由双曲线的定义，得(|PF 1→|－|PF 2→|)2＝4a 2，② 又|PF 1→|·|PF2→|＝2ac ，③ 由①②③得c 2－ac －a 2＝0，即e 2－e －1＝0， 解得e ＝1＋52或e ＝1－52(舍去)．答案：A12．已知F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，P 为双曲线右支上的任意一点，若|PF 1|2|PF 2|的最小值为8a ，则双曲线的离心率e 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(1,2]C ．(1，3]D ．(1,3]解析：|PF 1|2|PF 2|＝(2a ＋|PF 2|)2|PF 2|＝4a 2|PF 2|＋|PF 2|＋4a ≥4a ＋4a ＝8a ，当且仅当4a 2|PF 2|＝|PF 2|，即|PF 2|＝2a 时取等号．这时|PF 1|＝4a .由|PF 1|＋|PF 2|≥|F 1F 2|，得6a ≥2c ，即e ＝ca ≤3，得e ∈(1,3]，故选D.答案：D第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(每小题5分，共20分)13．若双曲线的渐近线方程为y ＝±13x ，它的一个焦点是(10，0)，则双曲线的标准方程是________．解析：由双曲线的渐近线方程为y ＝±13x ，知b a ＝13，它的一个焦点是(10，0)，知a 2＋b 2＝10，因此a ＝3，b ＝1，故双曲线的方程是x 29－y 2＝1. 答案：x 29－y 2＝114．椭圆x 29＋y 22＝1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆上，若|PF 1|＝4，则|PF 2|＝__________，∠F 1PF 2的大小为________． 解析：由椭圆的定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝2×3＝6，因为|PF 1|＝4，所以|PF 2|＝2.在△PF 1F 2中，cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝－12.∴∠F 1PF 2＝120°. 答案：2 120°15．已知F 1、F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的左、右焦点，点P 是椭圆上任意一点，从F 1引∠F 1PF 2的外角平分线的垂线，交F 2P 的延长线于M ，则点M 的轨迹方程是________．解析：由题意知|MP |＝|F 1P |， ∴|PF 1|＋|PF 2|＝|MF 2|＝2a . ∴点M 到点F 2的距离为定值2a .∴点M 的轨迹是以点F 2为圆心，以2a 为半径的圆，其方程为(x －a 2－b 2)2＋y 2＝4a 2.答案：(x －a 2－b 2)2＋y 2＝4a 216．(2011·浙江高考)设F 1，F 2分别为椭圆x 23＋y 2＝1的左，右焦点，点A ，B 在椭圆上，若F 1A →＝5F 2B →，则点A 的坐标是________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由F 1(－2，0)，F 2(2，0)且F 1A →＝5F 2B →得x 2＝15(x 1＋62)，y 2＝15y 1.又A 、B 两点在椭圆上，故有⎩⎪⎨⎪⎧x 213＋y 21＝1，(x 1＋62)2－x 2175＋y2125＝1，消去y 1得(x 1＋62)2－x 213＝24，有x 1＝0，从而y 1＝±1，故点A 的坐标为(0,1)和(0，－1)．答案：(0，±1)三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)17．(10分)求与椭圆x 29＋y 24＝1有公共焦点，并且离心率为52的双曲线方程．解：由椭圆方程x 29＋y 24＝1，知长半轴a 1＝3，短半轴b 1＝2，焦距的一半c 1＝a 21－b 21＝5，∴焦点是F 1(－5，0)，F 2(5，0)，因此双曲线的焦点也是F 1(－5，0)，F 2(5，0)，设双曲线方程为x 2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)，由题设条件及双曲线的性质，得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝5，c 2＝a 2＋b 2，c a ＝52，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝1.故所求双曲线的方程为x 24－y 2＝1.18．(10分)(2010·天津高考)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝32，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.(1)求椭圆的方程；(2)设直线l 与椭圆相交于不同的两点A ，B .已知点A 的坐标为(－a,0)，点Q (0，y 0)在线段AB 的垂直平分线上，且QA →·QB →＝4，求y 0的值．解：(1)由e ＝ca ＝32，得3a 2＝4c 2.再由c 2＝a 2－b 2，得a ＝2b .由题意可知12×2a ×2b ＝4，即ab ＝2.解方程组⎩⎨⎧a ＝2b ，ab ＝2，得a ＝2，b ＝1.所以椭圆的方程为x 24＋y 2＝1.(2)由(1)可知A (－2,0)．设B 点的坐标为(x 1，y 1)，直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)．于是A ，B 两点的坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋2)，x 24＋y 2＝1.由方程组消去y 并整理，得 (1＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋(16k 2－4)＝0. 由－2x 1＝16k 2－41＋4k 2，得x 1＝2－8k 21＋4k 2. 从而y 1＝4k1＋4k2. 设线段AB 的中点为M ，则M 的坐标为(－8k 21＋4k 2，2k1＋4k 2)． 以下分两种情况：①当k ＝0时，点B 的坐标为(2,0)，线段AB 的垂直平分线为y 轴，于是QA→＝(－2，－y 0)，QB →＝(2，－y 0)． 由QA →·QB →＝4，得y 0＝±2 2.②当k ≠0时，线段AB 的垂直平分线方程为 y －2k 1＋4k 2＝－1k (x ＋8k 21＋4k 2)． 令x ＝0，解得y 0＝－6k 1＋4k2.由QA→＝(－2，－y 0)，QB →＝(x 1，y 1－y 0)． QA →·QB →＝－2x 1－y 0(y 1－y 0) ＝－2(2－8k 2)1＋4k 2＋6k 1＋4k 2(4k 1＋4k 2＋6k1＋4k2) ＝4(16k 4＋15k 2－1)(1＋4k 2)2＝4，整理得7k 2＝2，故k ＝±147.所以y 0＝±2145. 综上，y 0＝±22或y 0＝±2145.19．(12分)已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点．求证：(1)x 1x 2为定值； (2)1|FA |＋1|FB |为定值． 证明：(1)抛物线y 2＝2px 的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，设直线AB 的方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎪⎫x －p 2(k ≠0)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，y 2＝2px ，消去y ，得k 2x 2－p (k 2＋2)x ＋k 2p 24＝0.由根与系数的关系，得x 1x 2＝p 24(定值)．当AB ⊥x 轴时，x 1＝x 2＝p2，x 1x 2＝p 24，也成立．(2)由抛物线的定义，知|FA |＝x 1＋p2，|FB |＝x 2＋p2.1|FA |＋1|FB |＝1x 1＋p 2＋1x 2＋p 2＝x 1＋x 2＋pp2(x 1＋x 2)＋x 1x 2＋p 24＝x 1＋x 2＋pp 2(x 1＋x 2)＋p 22＝x 1＋x 2＋p p2(x 1＋x 2＋p )＝2p (定值)．当AB ⊥x 轴时，|FA |＝|FB |＝p ，上式仍成立．20．(12分)已知A (2，0)、B (－2，0)两点，动点P 在y 轴上的射影为Q ，PA →·PB→＝2PQ →2. (1)求动点P 的轨迹E 的方程；(2)设直线m 过点A ，斜率为k ，当0<k <1时，曲线E 的上支上有且仅有一点C 到直线m 的距离为2，试求k 的值及此时点C 的坐标．解：(1)设动点P 的坐标为(x ，y )，则点Q (0，y )，PQ→＝(－x,0)，PA →＝(2－x ，－y )， PB →＝(－2－x ，－y )，PA →·PB →＝x 2－2＋y 2. ∵PA →·PB→＝2PQ →2，∴x 2－2＋y 2＝2x 2，即动点P 的轨迹方程为y 2－x 2＝2. (2)设直线m ：y ＝k (x －2)(0<k <1)，依题意，点C 在与直线m 平行且与m 之间的距离为2的直线上，设此直线为m 1：y ＝kx ＋b .由|2k ＋b |k 2＋1＝2，即b 2＋22kb ＝2.①把y ＝kx ＋b 代入y 2－x 2＝2，整理，得(k 2－1)x 2＋2kbx ＋(b 2－2)＝0，则Δ＝4k 2b 2－4(k 2－1)(b 2－2)＝0， 即b 2＋2k 2＝2.②由①②，得k ＝255，b ＝105.此时，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝255x ＋105，y 2－x 2＝2，解得⎩⎨⎧x ＝22，y ＝10，即C (22，10)．21．(14分)(2010·江西高考)图2设椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，抛物线C 2：x 2＋by ＝b 2.(1)若C 2经过C 1的两个焦点，求C 1的离心率；(2)设A (0，b )，Q (33，54b )，又M ，N 为C 1与C 2不在y 轴上的两个交点，若△AMN 的垂心为B (0，34b )，且△QMN 的重心在C 2上，求椭圆C 1和抛物线C 2的方程．解：(1)因为抛物线C 2经过椭圆C 1的两个焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)，可得c 2＝b 2.由a 2＝b 2＋c 2＝2c 2，有c 2a 2＝12，所以椭圆C 1的离心率e ＝22.(2)由题设可知M ，N 关于y 轴对称， 设M (－x 1，y 1)，N (x 1，y 1)，(x 1>0)， 则由△AMN 的垂心为B ，有BM →·AN →＝0， 所以－x 21＋(y 1－34b )(y 1－b )＝0① 由于点N (x 1，y 1)在C 2上，故有x 21＋by 1＝b 2②由①②得y 1＝－b4，或y 1＝b (舍去)，所以x 1＝52b ，故M (－52b ，－b 4)，N (52b ，－b4)，所以△QMN 的重心为(3，b4)，由重心在C 2上得：3＋b 24＝b 2，所以b ＝2，M (－5，－12)，N (5，－12)，又因为M ，N 在C 1上，所以(±5)2a 2＋(－12)24＝1，得a 2＝163.所以椭圆C 1的方程为：x 2163＋y 24＝1，抛物线C 2的方程为：x 2＋2y ＝4.22．(12分)(2011·江西高考)P (x 0，y 0)(x 0≠±a )是双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上一点，M ，N 分别是双曲线E 的左、右顶点，直线PM ，PN 的斜率之积为15.(1)求双曲线的离心率；(2)过双曲线E 的右焦点且斜率为1的直线交双曲线交于A ，B 两点，O 为坐标原点，C 为双曲线上一点，满足OC →＝λOA →＋OB →，求λ的值．解：(1)点P (x 0，y 0)(x 0≠±a )在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1上，有x 20a 2－y 20b2＝1.由题意又有y 0x 0－a ·y 0x 0＋a ＝15，可得a 2＝5b 2，c 2＝a 2＋b 2＝6b 2，则e ＝ca ＝305.(2)联立⎩⎨⎧x 2－5y 2＝5b 2y ＝x －c得4x 2－10cx ＋35b 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝5c 2，x 1x 2＝35b 24.①设OC→＝(x 3，y 3)，OC →＝λOA →＋OB →，即⎩⎨⎧x 3＝λx 1＋x 2，y 3＝λy 1＋y 2.又C 为双曲线上一点，即x 23－5y 23＝5b 2，有(λx 1＋x 2)2－5(λy 1＋y 2)2＝5b 2，化简得λ2(x 21－5y 21)＋(x 22－5y 22)＋2λ·(x 1x 2－5y 1y 2)＝5b 2.② 又A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在双曲线上，所以x 21－5y 21＝5b 2，x 22－5y 22＝5b 2.由①式又有x 1x 2－5y 1y 2＝x 1x 2－5(x 1－c )·(x 2－c )＝－4x 1x 2＋5c (x 1＋x 2)－5c 2＝10b 2，得：λ2＋4λ＝0，解出λ＝0或λ＝－4.。