第十届 全国大学生数学竞赛 非数学类 预赛试题

第十届全国大学生数学竞赛（非数学类）预赛试题及
一、填空题（本题满分24分, 共4小题, 每小题6分)
（1）设(0,1),α∈则()
lim (1)n n n αα→+∞
+-=＿＿＿＿＿＿＿.
（2）若曲线()y y x =由+cos +sin 1
y
x t t
e ty t =⎧⎨
+=⎩确定，则此曲线在0t =对应点处的切线方程为
（3）23/2
ln((1)
x dx x ++⎰=
（4）2
01-cos lim x x →=＿＿＿＿＿＿＿.
f t ()0t ≠(1)0f =二 (本题满分8分) 设函数在时一阶连续可导，且，求函数f x -y 22()，使得曲线积分
2222
L ⎰y (2-f (x -y ))⎡⎤⎣⎦
dx +xf (x -y )dy 与路径无关，其中L 为任一不与直=±y x 线相交的分段光滑闭曲线.
f x ()0,11)3(f x ≤≤三 (本题满分14分) 设 在区间[ ]上连续，且 .证明：
11
14
1)
3f (x )dx dx (f x ⎰≤≤⎰
.
四 (本题满分12分)计算三重积分
22
⎰⎰⎰
x +y ()dV （V ）
（V ），其中是由222x +y +(z -2)≥4，222x +y +(z -1)≤9，0z ≥所围成的空心立体.
五 (本题满分14分) 设(,)f x y 在区域D M ≤，11(,)A x y ，22(,)B x y 是D 内两点，线段AB 包含在D 内。

证明：1122|(,)(,)|||f x y f x y M AB -≤，其
AB ||AB 中表示线段的长度.
)0(f x >六(本题满分14分) 证明：对于连续函数，有1
1
ln
f (x )dx ≥⎰
⎰ln f (x )dx .
七 (本题满分14分) 已知{}k a ，{}k b 是正项数列，且10,k k b b δ+-≥>，δ为
一常数.证明：若级数
1
k k a +∞=∑
收敛，则级数1
1k k k
+∞
=+.
1,2,k。