高考数学专题：概率与统计

答题模板 第一步：分清事件的构成与性质,确定离散型随机变量的 取值； 第二步：根据概率类型选择公式求解变量取每一个值的概率； 第三步：列出分布列的表格； 第四步：根据均值的定义式或计算公式求解其值； 第五步：反思回顾,根据分布列的性质检验结果是否正确,计 算是否正确.
跟踪训练 1.甲、乙两人参加某电视台举办的答题闯关游戏，按照规 则，甲先从6道备选题中一次性抽取3道题独立作答，然后 由乙回答剩余3题，每人答对其中2题就停止答题，即闯关 成功.已知在6道备选题中，甲能答对其中的4道题，乙答对
由此得Y的分布列如下：
Y
4 200
10 000
P
0.2
0.8
所以,E(Y)＝4 200×0.2＋10 000×0.8＝8 840. [9分]
③安装3台发电机的情形. 依题意,当40<X<80时,一台发电机运行,此时Y＝5 000－1 600＝3 400,
因此P(Y＝3 400)＝P(40<X<80)＝p1＝0.2； 当80≤X≤120时,两台发电机运行,此时Y＝5 000×2－800 ＝9 200, 因此P(Y＝9 200)＝P(80≤X≤120)＝p2＝0.7； 当X>120时,三台发电机运行,此时Y＝5 000×3＝15 000, 因此P(Y＝15 000)＝P(X>120)＝p3＝0.1,
化简得n2－11n＋30＝0,解得n1＝5,n2＝6.
当n＝5时,x＝5－3＝2；当n＝6时,x＝6－3＝3.
n＝5， n＝6， 故所求的值为x＝2 或x＝3.
(2)在(1)的条件下,记X为选派的2位学生中女学生的人数, 写出X的分布列.
n＝5， 解 当x＝2 时，X 可能的取值为 0,1,2， X＝0 表示只选派 2 位男生，这时 P(X＝0)＝CC02C25 32＝130， X＝1 表示选派 1 位男生与 1 位女生，这时 P(X＝1)＝CC12C25 31 ＝35，
＝0.947 7.
[6 分]
(2)记水电站年总利润为Y(单位：万元).
①安装1台发电机的情形.
由于水库年入流量总大于40,故一台发电机运行的概率为1,
对应的年利润Y＝5 000,E(Y)＝5 000×1＝5 000. [7分]
②安装2台发电机的情形. 依题意,当40<X<80时,一台发电机运行,此时Y＝5 000－800 ＝4 200,因此P(Y＝4 200)＝P(40<X<80)＝p1＝0.2； 当X≥80时,两台发电机运行, 此时Y＝5 000×2＝10 000, 因此P(Y＝10 000)＝P(X≥80)＝p2＋p3＝0.8.
第二篇 看细则,用模板,解题再规范
第3讲 概率与统计
题型 离散型随机变量分布列及均值、方差的综合问题
题型 离散型随机变量分布列及均值、方差的综合问题
例题 (12分)计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水 电站.过去50年的水文资料显示,水库年入流量X(年入流量： 一年内上游来水与库区降水之和.单位：亿立方米)都在40以 上.其中,不足80的年份有10年,不低于80且不超过120的年份 有35年,超过120的年份有5年,将年入流量在以上三段的频率 作为相应段的频率,并假设各年的入流量相互独立.
X＝2 表示只选派 2 位女生，这时 P(X＝2)＝CC22C25 30＝110. X的分布列为
Байду номын сангаас
X0 1 2
P
3 10
3 5
1 10
n＝6， 当x＝3 时，X 可能的取值为 0,1,2，
X＝0 表示只选派 2 位男生，这时 P(X＝0)＝CC23C26 30＝15， X＝1 表示选派 1 位男生与 1 位女生，这时 P(X＝1)＝CC13C26 13＝53，
(2)设甲答对题目的个数为ξ,求ξ的分布列及数学期望.
解 由题意知ξ的可能取值是1,2.
P(ξ＝1)＝CC14C36 22＝51，P(ξ＝2)＝C24CC21＋36 C34＝45，
则ξ的分布列为
ξ
1
2
P
1 5
4 5
∴E(ξ)＝1×15＋2×45＝95.
2.某师范大学地理学院决定从n位优秀毕业生(包括x位女 学生，3位男学生)中选派2位学生到某贫困山区的一所中 学担任第三批顶岗实习教师，每一位学生被选派的机会 是相同的.
规范解答
解 (1)依题意，得 p1＝P(40<X<80)＝1500＝0.2，
p2＝P(80≤X≤120)＝3550＝0.7，
p3＝P(X>120)＝550＝0.1.
[3 分]
由二项分布,在未来4年中,至多有1年的年入流量超过120
的概率为 p＝C04(1－p3)4＋C14(1－p3)3p3＝(190)4＋4×(190)3×110
X＝2 表示只选派 2 位女生，这时 P(X＝2)＝CC03C26 32＝15. X的分布列为
X0 1 2
P
1 5
3 5
1 5
(1)求未来4年中,至多有1年的年入流量超过120的概率； (2)水电站希望安装的发电机尽可能运行,但每年发电机最多 可运行台数受年入流量X限制,并有如下关系：
年入流量X
40<X<80 80≤X≤120 X>120
发电机最多可运行台数
1
2
3
若某台发电机运行,则该台年利润为5 000万元；若某台发电 机未运行,则该台年亏损800万元.欲使水电站年总利润的均 值达到最大,应安装发电机多少台？
(1)若选派的2位学生中恰有1位女学生的概率为35，试求出 n与x的值；
解 若选派的2位学生中恰有1位女学生的概率为35 ，
而从n位优秀毕业生中选派2位学生担任第三批顶岗实习 教师的总方法数为 C2n＝nn－ 2 1， 2 位学生中恰有 1 位女学生的方法数为 C1n－3C13＝(n－3)×3.
依题意可得C1nC－3n2C13＝3nnn－－31＝53， 2
由此得Y的分布列如下：
Y 3 400 9 200 15 000
P 0.2
0.7
0.1
所以,E(Y)＝3 400×0.2＋9 200×0.7＋15 000×0.1＝8 620.
[11分]
综上,欲使水电站年总利润的均值达到最大,应安装发电机2
台.
[12分]
评分细则
第(1)问得分点 1.求出各段的概率得3分,每求对一个得1分. 2.求出未来4年中,至多1年的年入流量超过120的概率得3分. 第(2)问得分点 1.求出概率分布列得2分；分布列错,求对所有概率得1分. 2.求对均值得1分,公式对结果错误不得分.
每道题的概率都是23.
(1)求甲、乙至少有一人闯关成功的概率； 解 设甲、乙闯关成功分别为事件A、B, 则 P( A )＝CC14·36C22＝240＝15， P( B )＝(1－23)3＋C13·23(1－32)2＝217＋29＝277， 则甲、乙至少有一人闯关成功的概率是 1－P( A ·B )＝1－P( A )·P( B )＝1－15×277＝113258.