高考数学专题:概率与统计
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答题模板 第一步:分清事件的构成与性质,确定离散型随机变量的 取值; 第二步:根据概率类型选择公式求解变量取每一个值的概率; 第三步:列出分布列的表格; 第四步:根据均值的定义式或计算公式求解其值; 第五步:反思回顾,根据分布列的性质检验结果是否正确,计 算是否正确.
跟踪训练 1.甲、乙两人参加某电视台举办的答题闯关游戏,按照规 则,甲先从6道备选题中一次性抽取3道题独立作答,然后 由乙回答剩余3题,每人答对其中2题就停止答题,即闯关 成功.已知在6道备选题中,甲能答对其中的4道题,乙答对
由此得Y的分布列如下:
Y
4 200
10 000
P
0.2
0.8
所以,E(Y)=4 200×0.2+10 000×0.8=8 840. [9分]
③安装3台发电机的情形. 依题意,当40<X<80时,一台发电机运行,此时Y=5 000-1 600=3 400,
因此P(Y=3 400)=P(40<X<80)=p1=0.2; 当80≤X≤120时,两台发电机运行,此时Y=5 000×2-800 =9 200, 因此P(Y=9 200)=P(80≤X≤120)=p2=0.7; 当X>120时,三台发电机运行,此时Y=5 000×3=15 000, 因此P(Y=15 000)=P(X>120)=p3=0.1,
化简得n2-11n+30=0,解得n1=5,n2=6.
当n=5时,x=5-3=2;当n=6时,x=6-3=3.
n=5, n=6, 故所求的值为x=2 或x=3.
(2)在(1)的条件下,记X为选派的2位学生中女学生的人数, 写出X的分布列.
n=5, 解 当x=2 时,X 可能的取值为 0,1,2, X=0 表示只选派 2 位男生,这时 P(X=0)=CC02C25 32=130, X=1 表示选派 1 位男生与 1 位女生,这时 P(X=1)=CC12C25 31 =35,
=0.947 7.
[6 分]
(2)记水电站年总利润为Y(单位:万元).
①安装1台发电机的情形.
由于水库年入流量总大于40,故一台发电机运行的概率为1,
对应的年利润Y=5 000,E(Y)=5 000×1=5 000. [7分]
②安装2台发电机的情形. 依题意,当40<X<80时,一台发电机运行,此时Y=5 000-800 =4 200,因此P(Y=4 200)=P(40<X<80)=p1=0.2; 当X≥80时,两台发电机运行, 此时Y=5 000×2=10 000, 因此P(Y=10 000)=P(X≥80)=p2+p3=0.8.
第二篇 看细则,用模板,解题再规范
第3讲 概率与统计
题型 离散型随机变量分布列及均值、方差的综合问题
题型 离散型随机变量分布列及均值、方差的综合问题
例题 (12分)计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水 电站.过去50年的水文资料显示,水库年入流量X(年入流量: 一年内上游来水与库区降水之和.单位:亿立方米)都在40以 上.其中,不足80的年份有10年,不低于80且不超过120的年份 有35年,超过120的年份有5年,将年入流量在以上三段的频率 作为相应段的频率,并假设各年的入流量相互独立.
X=2 表示只选派 2 位女生,这时 P(X=2)=CC22C25 30=110. X的分布列为
Байду номын сангаас
X0 1 2
P
3 10
3 5
1 10
n=6, 当x=3 时,X 可能的取值为 0,1,2,
X=0 表示只选派 2 位男生,这时 P(X=0)=CC23C26 30=15, X=1 表示选派 1 位男生与 1 位女生,这时 P(X=1)=CC13C26 13=53,
(2)设甲答对题目的个数为ξ,求ξ的分布列及数学期望.
解 由题意知ξ的可能取值是1,2.
P(ξ=1)=CC14C36 22=51,P(ξ=2)=C24CC21+36 C34=45,
则ξ的分布列为
ξ
1
2
P
1 5
4 5
∴E(ξ)=1×15+2×45=95.
2.某师范大学地理学院决定从n位优秀毕业生(包括x位女 学生,3位男学生)中选派2位学生到某贫困山区的一所中 学担任第三批顶岗实习教师,每一位学生被选派的机会 是相同的.
规范解答
解 (1)依题意,得 p1=P(40<X<80)=1500=0.2,
p2=P(80≤X≤120)=3550=0.7,
p3=P(X>120)=550=0.1.
[3 分]
由二项分布,在未来4年中,至多有1年的年入流量超过120
的概率为 p=C04(1-p3)4+C14(1-p3)3p3=(190)4+4×(190)3×110
X=2 表示只选派 2 位女生,这时 P(X=2)=CC03C26 32=15. X的分布列为
X0 1 2
P
1 5
3 5
1 5
(1)求未来4年中,至多有1年的年入流量超过120的概率; (2)水电站希望安装的发电机尽可能运行,但每年发电机最多 可运行台数受年入流量X限制,并有如下关系:
年入流量X
40<X<80 80≤X≤120 X>120
发电机最多可运行台数
1
2
3
若某台发电机运行,则该台年利润为5 000万元;若某台发电 机未运行,则该台年亏损800万元.欲使水电站年总利润的均 值达到最大,应安装发电机多少台?
(1)若选派的2位学生中恰有1位女学生的概率为35,试求出 n与x的值;
解 若选派的2位学生中恰有1位女学生的概率为35 ,
而从n位优秀毕业生中选派2位学生担任第三批顶岗实习 教师的总方法数为 C2n=nn- 2 1, 2 位学生中恰有 1 位女学生的方法数为 C1n-3C13=(n-3)×3.
依题意可得C1nC-3n2C13=3nnn--31=53, 2
由此得Y的分布列如下:
Y 3 400 9 200 15 000
P 0.2
0.7
0.1
所以,E(Y)=3 400×0.2+9 200×0.7+15 000×0.1=8 620.
[11分]
综上,欲使水电站年总利润的均值达到最大,应安装发电机2
台.
[12分]
评分细则
第(1)问得分点 1.求出各段的概率得3分,每求对一个得1分. 2.求出未来4年中,至多1年的年入流量超过120的概率得3分. 第(2)问得分点 1.求出概率分布列得2分;分布列错,求对所有概率得1分. 2.求对均值得1分,公式对结果错误不得分.
每道题的概率都是23.
(1)求甲、乙至少有一人闯关成功的概率; 解 设甲、乙闯关成功分别为事件A、B, 则 P( A )=CC14·36C22=240=15, P( B )=(1-23)3+C13·23(1-32)2=217+29=277, 则甲、乙至少有一人闯关成功的概率是 1-P( A ·B )=1-P( A )·P( B )=1-15×277=113258.