matlab 第三章 数值数组及向量化运算
第三章 数值数组及向量运算
matlab 具有出色的数值计算 能力，占据世界上数值计算软件的 主导地位。 数值数组和数组运算是 MATLAB的核心内容。
3.1 数值计算的特点和地位
数值计算适合现代计算机的运行特点， 与符号计算相比，它计算速度快、容量 大，能够处理各种复杂的函数关系。
3.1 数值计算的特点和地位
例
用间距为0.1的水平线和垂直线均匀 分割 x [5,5], y [2.5,2.5] 的矩形域，在所有 水平线和垂直线交点上计算函数的值。
例（非向量化编程）
clear x=-5:0.1:5; y=(-2.5:0.1:2.5)'; N=length(x); M=length(y); for ii=1:M for jj=1:N X0(ii,jj)=x(jj); Y0(ii,jj)=y(ii); Z0(ii,jj)=sin(abs(x(jj)*y(ii))); end end
n
其中 1 , n 为矩阵a的特征值 V为对应的特征向量阵 [V，D]=eig（a） 可计算V和D （5）当p为矩阵时，只有a为标量时才能 计算 a^p，a为矩阵则不能 a^p=V*a.^D*V-1 [V，D]=eig（p）
例
>>A=[1 2 3 ;2 3 1 ;3 2 1]; >>B=A^2 >>C=A^0 >>D=2^A
2、线性（或对数）定点法 var=linspace(a,b,n) 线性 var=logspace(a,b,n) 对数 说明： a: 起始点 n: 总采样点数
b：终点
B、其它输入方法
(1) 直接输入： a=[1 2 3, 4]
各元素之间用“空格”或“,” (英文状态下) 分开；
matlab数值数组及向量化运算word资料12页
第2章 数值数组及向量化运算数值数组（Numeric Array ）和数组运算（Array Operations ）始终是MATLAB 的核心内容。
本章教学内容：数组浮点算法的特点；一、二维数值数组的创建和寻访；常用标准数组生成函数和数组构作技法；数组运算和向量化编程；实现数组运算的基本函数；关系和逻辑操作。
2.1 数值计算的特点和地位【例2.1-1】已知t t t f cos )(2=，求dt t f x s x⎰= 0 )()(。
（1）符号计算解法syms t x %定义符号变量ft=t^2*cos(t)sx=int(ft,t,0,x)ft =t^2*cos(t)sx =x^2*sin(x)-2*sin(x)+2*x*cos(x)（2）数值计算解法dt=0.05;t=0:dt:5; %取一些离散点Ft=t.^2.*cos(t);Sx=dt*cumtrapz(Ft); %梯形法求定积分t(end-4:end) %end 表示最后一个元素Sx(end-4:end) %Sx 的最后5个元素plot(t,Sx,'.k','MarkerSize',12)xlabel('x'),ylabel('Sx'),grid onans =4.8000 4.8500 4.9000 4.95005.0000ans = -20.1144 -19.9833 -19.7907 -19.5345 -19.2131图 2.1-1 在区间[0, 5]采样点上算得的定积分值【例2.1-2】已知)sin()(tetf-=，求⎰=4)()(dttfxs。
本例演示：被积函数没有“封闭解析表达式”，符号计算无法解题！（1）符号计算解法syms t xft=exp(-sin(t))sx=int(ft,t,0,4)ft =exp(-sin(t))Warning: Explicit integral could not be found.> In sym.int at 58sx =int(exp(-sin(t)),t = 0 .. 4)（2）数值计算解法dt=0.05;t=0:dt:4;Ft=exp(-sin(t));Sx=dt*cumtrapz(Ft);Sx(end)plot(t,Ft,'*r','MarkerSize',4)hold onplot(t,Sx,'.k','MarkerSize',15)hold offxlabel('x')legend('Ft','Sx')ans =3.0632图 2.1-2 在区间[0, 4]中间的被积函数及其原函数的离散计算结果小结：(1)符号计算长处——可以对包含变量字符、参数字符和数字的表达式进行推理、运算，并给出符号结果，与高等数学中的解析式比较接近；符号计算的短处——很多问题无解或求解时间过长。
第三章 数值数组及向量化运算
含
义
产生均匀分布随机数组 产生正态分布随机数组 产生全1数组 产生全0数组 生成各种分布随机数组 在指定字符集上生成均布随机数组 产生个各种用途的测试数组/矩阵
17
山东师范大学物理与电子科学学院
3.2 数值数组的创建和访问
【例3.2-5】标准数组产生的演示。
6
山东师范大学物理与电子科学学院
3.1 数值计算的特点和地位
第 【例3.1-2】已知 f (t ) esin( t ) 三 章 （1）符号计算解法 数 值 数 组 及 向 量 化 运 算
，求 s( x ) f (t ) dt 。
0 4
syms t x ft=exp(-sin(t)) sx=int(ft,t,0,4) ft = exp(-sin(t)) Warning: Explicit integral could not be found. > In sym.int at 58 sx = int(exp(-sin(t)),t = 0 .. 4)
第 三 章 3.2.1 一维数组的创建
就所创建的一维数组的用途而言，大致分为两类：自变量数组和 通用变量数组。
数 值 1、递增/递减一维数组的创建 这类数组的特点：数组元素值的大小按递增或递减的次序排列；数 数 组 组元素之间的“差”是“确定”的，即“等步长”的。这类数组主要用 及 作函数的自变量，for循环中循环自变量等。 向 量 （1）“冒号”生成法 x=a: inc: b 化 运 算
山东师范大学物理与电子科学学院
12
这是最简单，但又最通用的构造方法。如 a0= 数值数组的创建和访问
第 三 章 数 值 数 组 及 向 量 化 运 算
MATLAB数组运算及向量化运算(ppt文档)
ans=8 1 6
357
492
3
常见矩阵生成函数
zeros(m,n) 生成一个 m 行 n 列的零矩阵，m=n 时可简写为 zeros(n)
ones(m,n)
eye(m,n)
diag(X)
tril(A) triu(A) rand(m,n) randn(m,n)
生成一个 m 行 n 列的元素全为 1 的矩阵, m=n 时可写为 ones(n)
向量与矩阵运算
向量与矩阵的生成（续）
矩阵的生成
由向量生成
通过编写m文件生成
由函数生成
例：>> x=[1,2,3];y=[2,3,4];
>> A=[x,y], B=[x;y]
A=1 2 3 2 3 4
B=1 2 3
234
例：>> C=magic(3) 幻方矩阵 行和，列和，对角线和等
7
矩阵操作
矩阵的旋转
fliplr(A) 左右翻转
flipud(A) 上下翻转 rot90(A) 逆时针旋转 90 度；
rot90(A,k) 逆时针旋转 k×90 度
例：>> A=[1 2 3;4 5 6]
A=1 2 3
>> B=fliplr(A)
B=3 2 14 5 6 C=4 5 6
1
向量与矩阵运算
向量与矩阵的生成（续）
矩阵的生成 直接输入: 例：>> A = [1 2 3; 4 5 6; 7,8,9]
矩阵用方括号“[ ]”括起 矩阵同一行中的元素之间用 空格 或 逗号 分隔 矩阵行与行之间用 分号 分开 直接输入法中，分号可以用 回车 代替
2、MATLAB(数组、向量运算)
数组函数
• 数组元素的求和：
• sum() • cumsum()
• 数组元素的求积：
• prod() • cumprod()
• 数组元素的平均值：
• Mean()
• 数组元素的最大（小）值：
• max() • std() min()
• 数组元素的标准偏差：
二维数组操作函数
cat flipud 把“大小”相同的若干数组，沿“指定维”方向，串接成高 维数组 以数组“水平中线”为对称轴，交换上下对称位置上的数组 元素
一维数组的创建
(4) 对数等分 y=logspace(x1,x2,n) 其中：表示在10x1和10x2之间插入n-2个数 n代表的是点的数目，即分成n-1分， 步长应当是10(x2-x1)/(n-1)；若n<2,则返回10x2。 例：>>y=logspace(2,5,5) >>y=logspace(0,5,6) >>y=logspace(2,5,1)
二维数组的创建
(1)逐个元素输入法 例： 创建一个２行３列的数组 >>a= [1 2 3;4 5 6] (2)由一维数组构成 >>a=1:2:9,b=2:2:10 >>c=[a,b],d=[a;b] (3)由函数生成
常见的二维数组生成函数
zeros(m,n) 生成一个 m 行 n 列的零矩阵，m=n 时可简写为 zeros(n)
一维数组中子数组的寻访和赋值
• 【例】子数组的寻访（Address）。 x([1 2 5]) x(1:3) x(3:end) x(3:-1:1) x(find(x>0.5)) • 【例】子数组的赋值（Assign）。 x([1,4])=[2,7] x([1,4])=10
MATLAB数组运算及向量化运算
例：>> A=[1 2 3;4 5 6]
>> B=fliplr(A) 6 5 4 >> C=flipud(A) >> D=rot90(A), E=rot90(A,-1)
A=1 2 3 4 5 6 B=3 2 1 C=4 5 6 1 2 3 D=3 6 E=4 1 2 5 5 2 1 4 6 3
8
矩阵操作
参与运算的对象必须具有相同的形状！ 参与运算的对象必须具有相同的形状！
14
关系运算
MATLAB提供了6种关系运算符： MATLAB提供了6种关系运算符： 提供了 小于) < (小于)、 小于或等于) <= (小于或等于)、 大于) > (大于)、 大于或等于) >= (大于或等于)、 == (等于)、 等于) 不等于) ～= (不等于)。 不难理解， 它们的 含义 不难理解，但要注意其 书写方法 与 不尽相同。 数学中的 不等式符号 不尽相同。
要求参与加减运算的矩阵具有 相同的维数
例：>> A=[1 2 3; 4 5 6]; B=[3 2 1; 6 5 4]
>> C=A+B; D=A-B;
矩阵的普通乘法
要求参与运算的矩阵满足线性代数中矩阵相乘的原则 要求参与运算的矩阵满足线性代数中矩阵相乘的
例：>> A=[1 2 3; 4 5 6]; B=[2 1; 3 4];
17
建立5阶方阵 阶方阵A，判断A的元素是否能被 整除. 的元素是否能被3整除 例 建立 阶方阵 ，判断 的元素是否能被 整除 A =[24,35,13,22,63;23,39,47,80,80; ... 90,41,80,29,10;45,57,85,62,21;37,19,31,88,76] P = rem(A,3)==0 其中，rem(A,3)是矩阵 的每个元素除以3 是矩阵A 其中，rem(A,3)是矩阵A的每个元素除以3的余 数矩阵。此时， 被扩展为与A同维数的零矩阵， 数矩阵。此时，0被扩展为与A同维数的零矩阵，P 是进行等于(==)比较的结果矩阵。 (==)比较的结果矩阵 是进行等于(==)比较的结果矩阵。
MATLAB数值运算.pdf
第3章 MATLAB 数值运算教学提示：每当难以对一个函数进行积分或者微分以确定一些特殊的值时，可以借助计算机在数值上近似所需的结果，从而生成其他方法无法求解的问题的近似解。
这在计算机科学和数学领域，称为数值分析。
本章涉及的数值分析的主要内容有插值与多项式拟合、数值微积分、线性方程组的数值求解、微分方程的求解等，掌握这些主要内容及相应的基本算法有助于分析、理解、改进甚至构造新的数值算法。
教学要求：本章主要是让学生掌握数值分析中多项式插值和拟合、牛顿-科茨系列数值求积公式、3种迭代方法求解线性方程组、解常微分方程的欧拉法和龙格-库塔法等具体的数值算法，并要求这些数值算法能在MATLAB 中实现。
3.1 多 项 式在工程及科学分析上，多项式常被用来模拟一个物理现象的解析函数。
之所以采用多项式，是因为它很容易计算，多项式运算是数学中最基本的运算之一。
在高等数学中，多项式一般可表示为以下形式：120121()n n n n n f x a x a x a x a x a −−−=+++++…。
当x 是矩阵形式时，代表矩阵多项式，矩阵多项式是矩阵分析的一个重要组成部分,也是控制论和系统工程的一个重要工具。
3.1.1 多项式的表达和创建在MATLAB 中，多项式表示成向量的形式，它的系数是按降序排列的。
只需将按降幂次序的多项式的每个系数填入向量中，就可以在MATLAB 中建立一个多项式。
例如，多项式43231529s s s s +−−+在MATLAB 中，按下面方式组成一个向量x = [1 3 -15 -2 9]MATLAB 会将长度为n +1的向量解释成一个n 阶多项式。
因此，若多项式某些项系数为零，则必须在向量中相应位置补零。
例如多项式41s +在MATLAB 环境下表示为y = [1 0 0 0 1]3.1.2 多项式的四则运算多项式的四则运算包括多项式的加、减、乘、除运算。
下面以对两个同阶次多项式MATLAB 基础及其应用教程·66··66·32()234a x x x x =+++，32()4916b x x x x =+++做加减乘除运算为例，说明多项式的四则运算过程。
Matlab中的向量化编程方法介绍
Matlab中的向量化编程方法介绍引言Matlab是一种流行的高级编程语言和数值计算环境，广泛应用于科学、工程、数据分析等领域。
在Matlab中，向量化编程是一种重要的技术，可以大大提高程序的执行效率和代码的可读性。
本文将介绍Matlab中的向量化编程方法，探讨其原理和优势。
1.什么是向量化编程在传统的程序设计中，往往需要通过循环来处理数组中的每个元素，这样的做法可能会导致代码冗长复杂，执行效率低下。
而向量化编程则是一种通过直接对整个数组进行操作，而不需要使用显式循环的方法。
通过向量化编程，可以使程序更加简洁高效。
2.向量化编程的原理Matlab的向量化编程原理基于矢量运算和广播机制。
在Matlab中，矢量运算指的是对整个数组进行操作，而不是逐个处理每个元素。
广播机制则是指在进行矢量运算时，Matlab会自动扩展数组的维度，使得两个不同大小的数组可以进行运算。
借助这些机制，可以实现向量化编程。
3.向量化编程的优势3.1 简洁高效通过向量化编程，可以用更少的代码来实现同样的功能。
相比于使用循环的方法，向量化编程可以减少程序的复杂性，提高代码的可读性。
同时，由于避免了循环的开销，向量化编程还可以提高程序的执行效率。
3.2 并行计算在现代计算机中，多核处理器已经成为主流。
而向量化编程可以充分利用多核处理器的并行计算能力，提高程序的执行速度。
通过Matlab中的并行计算工具箱，可以更加方便地实现向量化编程的并行化。
4.向量化编程的应用向量化编程在Matlab中的应用非常广泛。
例如，在科学计算中，可以利用向量化编程进行矩阵运算、信号处理、数值积分等。
在数据分析中，向量化编程可以用于处理大规模数据集、进行统计分析等。
在图像处理中，向量化编程可以用于图像变换、图像增强等。
5.向量化编程的实践技巧5.1 避免循环在使用Matlab进行编程时，应尽量避免使用循环结构。
尽可能地使用矢量运算和广播机制来处理数组，以提高程序的效率和可读性。
matlab 第3章 数值运算基础
HYIT
8
说明: 1.N阶方阵特征多项式系数矢量一定是n+1阶的 2.特征多项式系数矢量的第一个元素必须为1。
1 A 2 2
2 2 1 2 的特征多项式 2
1
2 2
2 2
2 ( )( 1) 3 9 5
HYIT
12
3.1.2 多项式运算
求多项式的值 求多项式的根 多项式的乘除运算 多项式的微积分 多项式的部分分式展开 多项式拟合
HYIT
13
求多项式的值
方法:函数polyval:按数组运算规则求值 函数polyvalm:按矩阵运算规则求值 格式: y=polyval(p,x) p为多项式,x可为标量/数组/矩阵 y=polyvalm(p,x) x可为标量/方阵
注：系数中的零不能省！
HYIT
4
创建多项式的方法
系数矢量直接输入法 特征多项式输入法 由根矢量创建多项式
HYIT
5
系数矢量直接输入法
适用于: 已知系数 → 表达式
方法: 函数poly2sym +系数矢量
例: 例: >> poly2sym([1 2 3 4]) >> poly2str([1 2 3 4],‘y') ans = ans = x^3+2*x^2+3*x+4 y^3 + 2 y^2 + 3 y + 4 说明: poly2str 以习惯方式显示多项式 poly2sym 双精度多项式系数转为符号多项式
HYIT
14
例: p=[1 1 1]; x=[0 1 2 3]; xm=[0 1; 2 3]; y1=polyval(p,x) y2=polyval(p,xm) ym=polyvalm(p,xm)
MATLAB数值计算功能(向量、矩阵、数组、稀疏矩阵)
数值计算功能向量及其运算1、向量生成（1）、直接输入向量元素用“ [ ]”括起来,用空格或逗号生成行向量,用分号生成列向量a1=[11 14 17 18]a2=[11,14,17,18]a2=[11;14;17;18]%列向量用“ ’”能够进行向量转置a1=[11 14 17 18]a4=a1'%a1 行向量,a4 列向量也能够用组合方法：A=[1 2 3];B=[7 8 9];C=[A 4 ones(1,2) B]（2）、等差元素向量生成冒号生成法：Vec=Vec0:n:Vecn,此中Vec表示生成地向量,Vec0表示第一个元素,n表示步长,Vecn 表示最后一个元素使用 linespace 函数： Vec=linespace(Vec0,n,Vecn),此中 Vec 表示生成地向量 ,Vec0 表示第一个元素 ,n 表示生成向量元素个数（默认 n=100） ,Vecn 表示最后一个元素vec1=10:5:50vec2=50:-5:10vec3=linspace(10,50,6)2、向量地基本运算（1）、向量与数地四则运算向量中每个元素与数地加减乘除运算（除法运算时,向量只好作为被除数,数只好作为除数）vec1=linspace(10,50,6)vec1+100vec2=logspace(0,10,6) %对数平分向量vec2/100（2）、向量与向量之间地加减运算向量中地每个元素与另一个向量中相对应地元素地加减运算vec1=linspace(10,50,6)vec2=logspace(0,2,6)vec3=vec1+vec2（3）、点积、叉积和混淆机点积： dot 函数 ,注意愿量维数地一致性x1=[11 22 33 44]x2=[1 2 3 4]sum(x1.*x2) %还能够采纳sum 函数计算向量地址积叉积： cross 函数 ,注意愿量维数地一致性（由几何意义可知,向量维数只好为3）x1=[11 22 33 44]x2=[1 2 3 4]x3=cross(x1,x2)%报错 ,维数只好为3x1=[11 22 33]x2=[1 2 3]x3=cross(x1,x2)混淆积：结果为一个数,先求 cross,再求 dota=[1 2 3]b=[2 4 3]c=[5 2 1]v=dot(a,cross(b,c))v=cross(a,dot(b,c)) %报错矩阵及其运算MATLAB地基本单位是矩阵,逗号或空格划分同一行不一样元,分号划分不一样行素1、矩阵地生成4 种方法：在command window直接输入；经过语句和函数产生；M 文件中成立；外面数据文件中导入（1）、直接输入：把矩阵元素直接摆列到方括号中 ,每行元素用逗号或空格相隔 ,行与行之间用分号相隔martix=[1 1 1 1;2,2,2,2;3,3,3,3;4 4 4 4]冒号用法：A=[1 1 1;1 2 3;1 3 6]B=A(1:2,:)（2）文件导入：*.mat*.txt*.datload 文件名参数直接导入： File—Import Data2、矩阵地基本数值运算（1）、矩阵与是常数地四则运算（除法时,常数只好作为除数）matrix=[1 1 1 1;2,2,2,2;3,3,3,3;4 4 4 4]m1=100+matrixm2=100-matrixm3=100*matrixm4=matrix/2（2）、矩阵之间地四则运算加减法：矩阵各个元素之间地加减法,一定是同型矩阵matrix=[1 1 1 1;2,2,2,2;3,3,3,3;4 4 4 4]m2=m1+matrixm3=[11 22 33;1 2 3;4 5 6]m4=matrix-m1m5=m3+m1 %报错 ,非同型矩阵乘法：用 *, 左矩阵地列数需等于右矩阵地行数A=[1111;2222;3333;4444]B=[1592;6357;2589;4563]C=A*BD=[1 5 9;6 3 5;2 5 8]3*3矩阵相乘E=A*D% 报错 ,4*4 矩阵不可以与除法：左除（ AX=B 则 X=A\B,相当于 X=inv(A)*B, 可是左除稳固性好）右除 / （ XA=B 则 X=B/A,相当于 X=B*inv(A)）个人认为：左除相当于逆矩阵左乘,右除相当于逆矩阵右乘%解方程组XA=B地解 ,本列中 A=[2 1 -1; 2 1 0;1 -1 1] ;B=[1 -1 3;4 3 2] A=[2 1 -1; 2 1 0;1 -1 1]B=[1 -1 3;4 3 2]X=B/A矩阵能够使用比较运算符：结果矩阵地对应地点为0 或1数据变换：floorceilroundfixrem[n,d]=rat(A)： A 表示为两个整数阵对应元素相除地形式A=n./d 3、矩阵地特点参数运算（1）、乘方与开方乘方： A^p 计算 A 地 p 次方p>0： A 地 p 次方p<0： A 逆矩阵地abs(p)次方A=[1234;4567;4567;891011]B=A^10开方：如有X*X=A,则有sqrtm(A)=XA=magic(5)B=sqrtm(A)B^2 %考证正确性（2）、指数与对数指数： expm(X)=V*diag(exp(diag(D)))/V （ [V,D]=eig(X)）对数： L=logm(A),与指数运算互逆X=rand(4)Y=expm(X)A=randn(4)（3）、逆运算inv函数 ,充要条件：矩阵地队列式不为0A=[1000;1200;2130;1214]B=inv(A)广义逆矩阵（伪逆）：pinv(A)非奇怪矩阵地pinv 与inv 相同（4）、队列式det函数A=[1000;1200;2130;1214]B=inv(A)x=det(A)y=det(B)i=x*y（5）、特点值E=eig(X)：生成由X 地特点值构成地列向量[V,D]=eig(X)： V 是以 X 地特点向量为列向量地矩阵,D 是由矩阵X 地特点值构成地对角阵D=eigs(X)：生成由X 地特点值构成地列向量（eigs 函数使用迭代法求解矩阵地特点值和特点向量 ,X 一定是方阵,最好是大型稀少矩阵）[V,D]=eig(X)： V 是以X 地特点向量为列向量地矩阵,D 是由矩阵X 地特点值构成地对角阵X=magic(3)A=[1 0 0;0 0 3;0 9 0]E=eig(X)[V D]=eig(X)D=eigs(A)[V D]=eigs(A)（6）、矩阵（向量）地范数norm(X) ： 2-范数norm(X,2) ： 2-范数norm(X,1) ： 1-范数norm(X,inf) ：无量范数norm(X,’fro ’)： Frobenius 范数normest(X) ：只好计算2-范数 ,而且是 2-范数地预计值,用于计算norm(X) 比较费时地状况X=hilb(4)norm(4)norm(X)norm(X,2)norm(X,1)norm(X,inf)norm(X,'fro')normest(X)（7）、矩阵地条件数运算矩阵地条件数是判断矩阵“病态”成都地一个胸怀,矩阵 A 地条件数越大,表示 A 越病态 ,反之 ,表示 A 越良态 ,Hilbert矩阵就是闻名地病态矩阵cond(X)：返回对于矩阵X 地 2-范数地条件数cond(X,P)：对于矩阵X 地 P-范数地条件数（P 为 1、 2、 inf rcond(X)：计算矩阵条件数地倒数值,该值越靠近0 就越病态condest(X)：计算对于矩阵X 地 1-范数地条件数地预计值M=magic(3);H=hilb(4);c1=cond(M)c2=cond(M,1)c3=rcond(M)c4=condest(M)h1=cond(H)h2=cond(H,inf)h3=rcond(H)h4=condest(H)或’fro’）,越靠近 1 就越良态由以上结果能够看出,魔术矩阵比较良态,Hilbert矩阵是病态地（8）、秩rank 函数T=rand(6)rank(T) %6,满秩矩阵T1=[1 1 1;2 2 3]r=rank(T1)%r=2,行满秩矩阵（9）、迹trace 函数 ,主对角线上全部元素地和,也是特点值之和M=magic(5)T=trace(M)T1=eig(M)T2=sum(T1)4、矩阵地分解运算（1）、三角分解（lu）非奇怪矩阵 A（ n*n ）,假如其次序主子式均不为 0,则存在独一地单位下三角 L 和上三角阵 U, 进而使得 A=LU[L,U]=lu(X)：产生一个上三角矩阵U 和一个下三角矩阵L,使得 X=LU,X能够不为方阵[L,U,P]=lu(X)：产生一个单位下三角矩阵L、一个上三角矩阵U 和互换矩阵P,PX=LUY=lu(X)：假如 X 是满矩阵 ,将产生一个lapack’s地 dgetrf 和 zgetrf 地输出常式矩阵Y；假如 X 是稀少矩阵 ,产生地矩阵Y 将包含严格地下三角矩阵L 和上三角矩阵U,这两种状况下,都不会有互换矩阵PX=[6 2 1 -1;2 4 1 0;1 1 4 -1;-1 0 -1 3][L U]=lu(X)[L U P]=lu(X)Y=lu(X)（2）、正交分解（qr ）对于矩阵 A（ n*n ）,假如 A 非奇怪 ,则存在正交矩阵 Q 和上三角矩阵 R,使得 A 知足关系式 A=QR, 而且当 R 地对角元都为正时 ,QR 分解是独一地[Q,R]=qr(A) ：产生一个与 A 维数相同地上三角矩阵R 和一个正交矩阵Q,使得知足A=QR[Q,R,E]=qr(A)：产生一个互换矩阵E、一个上三角矩阵R 和正交阵[Q,R]=qr(A,0) ：对矩阵 A 进行有选择地QR分解 ,当矩阵 A 为 m*n 前 n 列地正交矩阵QR=qr(A)：只产生矩阵R,而且知足R=chol(A’*A)Q,这三者知足 AE=QR 且m>n, 那么只会产生拥有A=[17 3 4;3 1 12;4 12 8] [Q R]=qr(A)[Q R E]=qr(A)[Q R]=qr(A,0)R=qr(A)[Q,R]=qrdelete(A,j)：去除第[Q,R]=qrdelete(A,j,x)：在第j 列求 QR分解j 列插入 x 后求QR分解（3）、特点值分解（eig）[V,D]=eig(X)：V 是以矩阵X 地特点向量作为列向量构成地矩阵,D 是矩阵X 地特点值构成地对角阵 ,知足XV=VD[V,D]=eig(A,B)：对矩阵 A、B 做广义特点值分解 ,使得 AV=BVDA=magic(4)[V D]=eig(A)Z=A*V-V*DB=[17 3 4 2;3 1 12 6;4 12 8 7;1 2 3 4][V D]=eig(A,B)Z=A*V-B*V*D（4）、 Chollesky 分解（ chol）当矩阵A（ n*n ）对称正准时,则存在独一地对角元素为正地上三角矩阵R,使得 A=R’*R,当限定 R 地对角元素为正地时候 ,该分解是独一地当矩阵 A 为非正定阵时 ,会提示犯错A=[4 -1 1;-1 4.25 2.75;1 2.75 3.5]R=chol(A)R'*R %=AA=[0 4 0;3 0 1;0 1 3]R=chol(A) %报错 ,A 为非正定阵（5）奇怪值分解（svd）[U,S,V]=svd(X)：与矩阵 X 维数相同地对角阵 S、正交矩阵 U 和正交矩阵 V,使得知足 X=USV’[U,S,V]=svd(X,0)：X 为 M*N 矩阵 ,当 M>N 时 ,生成地矩阵 U 只有前 N 列元素被计算出来 ,而且 S为 N*N 矩阵X=[1 2 3;4 5 6;7 8 9][U S V]=svd(X)X=[1 2 3;4 5 6;7 8 9;10 11 12][U S V]=svd(X)X=[1 2 3;4 5 6;7 8 9;10 11 12ckl[U S V]=svd(X,0)Schur分解（正交阵和schur阵）[U,T]=schur(A)： A=UTU’schur阵是主对角线元素为特点值地三角阵5、矩地一些特别理size(A)：求矩 A 地行数、列数diag(A):求出矩 A 地角元素repmat(A)：将矩 A 作位 ,成 m*n 矩 ,此中每个元素都是cat(k,A,B)： k=1 归并后形如 [A;B]（ A,B 列数相等）； k=1 归并后形如（1）、矩地A 矩[A,B]（ A,B 行数相等）reshape(X,M,N) ：将矩X 地全部元素分派到一个M*N地新矩,当矩X 地元素不是M*N ,返回reshape(X,M,N,P,⋯)：返回由矩X 地元素成地M*N*P*⋯多矩,若果M*N*P*⋯与X 地元素数不一样 ,将返回reshape(X,[M,N,P,⋯]) ：与上一条相同A=rand(4,2)reshape(A,2,4)reshape(A,[2,2,2])用冒号：A=[1 2 3 4;5 6 7 8;9 10 11 12];B=ones(2,6);B(:)=A(:)（2）、矩地向rot90(A) ： A 按逆旋rot90(A,K) ： A 按逆旋filpud(X) ：将 X 上下翻90 度90*K度fliplr(X) ：将X 左右翻flipdim(X,DIM) ：将 X 地第 DIM 翻X=[1 4;2 5;3 6]rot90(X)rot90(X,-1)flipud(X)fliplr(X)flipdim(X,2)%左右翻6、特别矩地生成（1）、零矩和全 1 矩地生成A=zeros(M,N)：生成 M*N 地零矩A=zeros(size(B))：生成与 B 同型地零矩A=zeros(N)：生成 N 零矩仿真全 1 矩地生成与零矩地生成似,使用ones 函数A=zeros(4,5)B=[12345;23456;98765;87654]A=zeros(size(B))A=zeros(5)C=ones(5,6)C=ones(3)（2）、角矩地生成A=diag(V,K)： V 某个向量 ,K 向量 V 偏离主角地列数,K=0 表示 V 主角 ,K>00 表示 V 在主对角线以上,K<0 表示 V 在主对角线以下A=diag(V)：相当于K=0v=[1 9 8 1 6]diag(v,1)diag(v)（3）、随机矩阵地生成rand(N) ：生成 N*N 地随机矩阵 ,元素值在 (0.0,1.0) 之间rand(M,N)randn(N) ：生成 N*N 地随机矩阵 ,元素之听从正态散布N(0,1)randn(M,N)rand(5)randn(5)（4）、范德蒙德矩阵地生成A=vander(V)：有 A(I,j)=v(i)n-jv=[1 3 5 7 9]A=vander(v)（5）、魔术矩阵地生成它是一个方阵 ,方阵地每一行,每一列以及每条主对角线地元素之和都相同（ 2 阶方阵除外）magic(N)：生成N 阶魔术矩阵 ,使得矩阵地每一行,每一列以及每条主对角线元素和相等,N>0（N=2 除外）magic(2)magic(3)magic(4)（6）、 Hilbert 矩阵和反Hilbert 矩阵地生成Hilbert 矩阵地第i 行、第 j 列地元素值为1/(i+j-1), 反 Hilbert 矩阵是 Hilbert 矩阵地逆矩阵hilb(N) ：生成 N 阶地 Hilbert 矩阵invhilb(N) ：生成 N 阶地反 Hilbert 矩阵A=hilb(5)B=invhilb(5)C=A*Brandpem(n)：随机摆列hess(A)： hess矩阵pascal(n)： Pascal矩阵hankel(c)： Hankel 矩阵wilkinson(n)： wilkinson 特点值测试矩阵blkdiag(a,b,c,d)：产生以输入元素为对角线元素地矩阵注： diag 函数地输入参数只好有一个（能够为向量）compan(u)：友矩阵hadamard(n)： hadamard 矩阵toeplitz(c,r)：托布列兹阵数组及其运算1、数组寻址和排序（1）、数组地寻址A=randn(1,10)A(4) %接见 A 地第 4 个元素A(2:6)%接见 A 地第 2 到 6 个元素A(6:-2:1)A([1 3 7 4])%接见 A 中 1、3、 7 和 4 号元素A(4:end) %end 参数表示数组地结尾（2）、数组地排序sort(X)：将数组X 中地元素按升序排序X 是多维数组时 ,sort(X)命令将 X 中地各列元素按升序排序X 是复数时 ,sort(X)命令将 X 中地各个元素地模abs(X)按升序排序X 是一个字符型单元数组,sort(X)命令将 X 中地各列元素按ASCII码升序排序Y=sort(X,DIM,MODE)：DIM 选择用于摆列地维,MODE 决定了排序地方式（’ascend’升序 ,’descend’降序） ,该命令生成地数组Y与 X 是同型地X=[3 7 5;0 4 2]sort(X,1) %纵向升序排序sort(X,2) %横向升序排序sort(2)2、数组地基本数值运算（1）、加减法（与矩阵加减法相同）X=[1 4 7]Y=[2 5 8]Z=X-YV=X+Y（2）、数组地乘除法乘法用“ .* ”： X、 Y 有相同维数 ,X.*Y 表示 X 和 Y 中单个元素之间地对应乘积除法用“ ./ ”：注意“ ./ ”和“ ”完整不一样X=[10 52 96 12 56]Y=[2 26 3 4 8]Z=[10 52 96 12 56 42]Z1=X.*YZ2=X.*Z%报错 ,维数问题Z3=X./Y%Z3=5,2,32,3,7Z4=X.\Y %Z4=0.2,0.5,0.0313,0.3333,0.1429Z5=X.\Z%报错 ,维数问题（3）、数组地乘方两个数组之间地乘方X=[1 4 7]Y=[2 5 8]Z=X.^Y乘方运算时指数为标量X=[3 6 9]Z=X.^3乘方运算时底数为标量X=[456789]Z=3.^X数组和矩阵也能够进行exp、 log、 sqrt 等运算 ,是对每个对应元素进行运算3、数组地关系运算小于（ <）,小于等于（ <=） ,大于（ >）,大于等于（ >=） ,等于（ ==） ,不等于（ ~=） ,结果为 1, 则关系式为真 ,结果为 0,则关系式为假%rem(X,n),求余函数 ,X 为被除数 ,n 为除数M=magic(7)N=(rem(M,3))N=(rem(M,3)<=1)N=(rem(M,3)==1)N=(rem(M,3)>=1)4、数组地逻辑运算,非运与（ &）,或（ | ）,非（ ~）,此中与、或能够比较两个标量或许两个同阶数组（或矩阵）算时针对数组（或矩阵中地每一个元素）,当逻辑为真则返回1,当逻辑为假则返回0M=[1 1 0;0 1 0;1 0 0]N=[1 0 1;1 1 1;0 0 0]M|NM&N~Ncat：串接flipdimfliplrflipudkron：积数组permute：重组repmatreshaperot90稀少型矩阵1、稀少矩阵地生成（1）、 speye 函数：生成单位稀少矩阵speye(size(A))speye(M,N) ：维数为M 和N 中较小地一个speye(N)A=eye(10)speye(size(A))speye(7,6)speye(5)（2）、 sprand 函数：生成随机稀少矩阵（元素听从0-1 之间地随机散布）R=sprand(S)：产生与稀少矩阵S 构造相同地稀少矩阵,但它地元素都是0-1 上地随机数Rsprand(M,N,D) ：产生一个M*N 地随机稀少矩阵R,它地非您元素地个数近似为M*N*D, 注意D 地值在 0-1 之间且不要过大v=[3 5 6 2 1 9 6 5 5 6]S=diag(v)R=sprand(S)R=sprand(10,10,0.08)（3）、 sparse 函数S=sparse(X)：将矩阵 X 转变为稀少矩阵SS=sparse(I,j,s,m,n,nzm)：生成 m*n 地稀少矩阵 S,向量 s 地元素散布在以向量i 地对应值和向量 j 地对应值为坐标地地点上 ,此中 nzm=length(s)S=sparse(I,j,s)：生成 m*n 地稀少矩阵S,向量 s 地元素散布在以向量i 地对应值和向量 j 地对应值为坐标地地点上,此中 m=max(i),n=max(j)S=sparse(m,n)：是 sparse([],[],[],m,n,0)地简化形式i=[6 2 7 7 4 1 2 5]j=[1 3 2 7 2 8 3 2]s=[8 3 7 7 1 7 0 2]X=diag(s,-2)S=sparse(X)S1=sparse(i,j,s,10,10,7)%报错 ,nzmax=length(s)S1=sparse(i,j,s,10,10,8)S2=sparse(i,j,s,10,9)%默认 nzmax=length(s)S2=sparse(i,j,s)%m=max(i),n=max(j)2、稀少矩阵地操作（1）、 nnz 函数：用于求非零元素地个数nz=nnz(S)：返回 S总非零元素个数D=nnz(S)/prod(size(S))：表示稀少矩阵S 中非零元素地密度v=[6 2 7 7 4 1 3 5]S=diag(v,-1)nz=nnz(S)D=nnz(S)/prod(size(S))（2）、 sponse 函数R=sponse(S)：生成一个与稀少矩阵 S 构造相同地稀少矩阵 R,可是在矩阵 S 中地非零元素地地点上用元素 1 替代S=sprandsym(10,0.05)R=spones(S)（3）、 spalloc 函数S=spalloc(m,n,nzm)：生成一个全部元素都为0 地m*n阶稀少矩阵,计算机利用这些空间来存储 nzm 个非零元素n=3;v=sprand(n,1,0.33) s=spalloc(n,n,1*n)%生成%分派3*13*3地稀少列向量地空间 ,最后能够储存 3 个非零元素for j=1:ns(:,j)=(v)%v 为含有一个非零元素地稀少列向量end（4）、 full 函数S=full(X)：将稀少矩阵（三元组表示）变换为满矩阵（矩阵表示）s(6,1)=8;s(4,2)=1;s(5,3)=60;s(6,2)=57;s(1,7)=25;s(3,8)=37;full(s)（5）、 find函数I=find(X)：返回矩阵X 地非零元素地地点,如 I=find(X>100) 返回X 中大于100 地元素地地点[I,J]=find(X) ：返回 X 中非零元素所在地行I 和列 J 地详细数据[I,J,V]=find(X)：除了返回I 和 J,还返回矩阵中非零元素地值V注：find(X) 和 find(X~=0)会产生相同地I 和 J,可是后者会生成一个包含全部非零元素地点地向量S(10,50)=82;S(32,14)=82;S(251,396)=25;I=find(S)[I J]=find(S)[I J V]=find(S)（6）、 issparse 函数issparse(S)：返回值为 1 说明矩阵S 是一个稀少矩阵,返回值为0 时说明矩阵S 不为稀少矩阵v=[6 2 7 7 4 1 3 5]S=diag(v,2)R=sparse(S)N=issparse(S) %返回 0,不为稀少矩阵Y=issparse(R) %返回 1,为稀少矩阵。
Matlab 第3章 数值数组及向量化运算
%计算不同电压下的电阻值 %计算电阻平均值
2：数组运算
L=length(vr); for k=1:L r(k)=vr(k) / ir(k); end
sr=0; for k=1:L sr=sr+r(k); end rm=sr/L
r=vr./ir
rm=mean(r)
2：数组运算
【例 3.3-2】见教材132页 （1）非向量化编程 x=-5:0.1:5; y=(-2.5:0.1:2.5)'; N=length(x); M=length(y); for ii=1:M for jj=1:N X0(ii,jj)=x(jj); Y0(ii,jj)=y(ii); Z0(ii,jj)=sin(abs(x(jj)*y(ii))); end end
2：数组运算
我们要测量弹簧的弹性模量 力 变形 刚刚才用过
力：100N 变形量：5mm 弹性模量=100N / 5mm = 20 N/mm
读数有误差
环境干扰
理 论 值 实 际 值
那我们就需要测量弹簧在受N多个力的情况下，变形量各是多少，然 后分别求出各个弹性模量，最后取平均值。
2：数组运算
通过实验，我们测得了以下数据：
% 变量a是什么 % 数组a的维数 % 数组a的大小
3：“非数”和“空”数组
（3）空数组用于子数组的删除和大数组的大小收缩 A=reshape(-4:5,2,5) A= -4 -2 0 2 4 -3 -1 1 3 5 A(:,[2,4])=[ ] %删除数组A的第2、4列 A= -4 0 4 -3 1 5
2*x+3*y=5 4*sin(x)-5*cos(y)=7
第一次作业解答
x = linspace ( a, b, n)
matlab ch3_数值数组及向量化运算
第 3 章 数值数组及向量化运算MATLAB 的核心内容：数值数组和数组运算● 二维数值数组的创建和寻访 ● 数组运算和向量化编程 ● 实现数组运算的基本函数● 常用标准数组生成函数和数组构作技法 ● 非数NaN 、“空”数组概念和应用 ● 关系和逻辑操作3.1 数值计算的特点和地位符号计算的局限性：有很多问题1）无法解，2）求解时间过长数值计算：适用范围广，能处理各种复杂的函数关系，计算速度快，容量大。
【例3.1-1】已知t t t f cos )(2=，求dt t f x s x⎰= 0)()(。
（1）符号计算解法syms t x ft=t^2*cos(t) sx=int(ft,t,0,x) ezplot(sx,0,5) hold ondt=0.05; t=0:dt:5; Ft=t.^2.*cos(t); Sx=dt*cumtrapz (Ft); % 小梯形面积的累加求Ft 曲线下的面积,由一个个宽度为dt 的小梯形面积累加得到的t(end-4:end) % end 指示最后一个元素的位置 %Sx(end-4:end)%plot(t,Sx,'.k','MarkerSize',12)（2）数值计算解法dt=0.05; t=0:dt:5; Ft=t.^2.*cos(t); Sx=dt*cumtrapz (Ft); % 小梯形面积的累加求Ft 曲线下的面积,由一个个宽度为dt 的小梯形面积累加得到的t(end-4:end) % end 指示最后一个元素的位置 Sx(end-4:end)plot(t,Sx,'.k','MarkerSize',12)xlabel('x'),ylabel('Sx'),grid onans =4.8000 4.8500 4.9000 4.95005.0000ans =图 3.1-1 在区间[0, 5]采样点上算得的定积分值【例3.1-2】已知)sin()(tetf-=，求⎰=4)()(dttfxs。
第3章MATLAB数值运算
3.1 多项式
三、多项式的求值和求根运算
（1）代数多项式求值 polyval函数用来求代数多项式的值，其调用格式为： Y=polyval(P,x) 若x为一数值，则求多项式在该点的值；若x为向量或矩阵，
则对向量或矩阵中的每个元素求其多项式的值。
3.1 多项式
三、多项式的求值和求根运算
（2）矩阵多项式求值
次，向量p为返回的要拟合的多项式的系数，向量s 为调用函数polyval获得的错误预估计值。
3.5 稀疏矩阵
矩阵的存储方式： 1.全元素(Full) 存储—— 完全矩阵 2.稀疏(Sparse)存储——稀疏矩阵
稀疏矩阵存在的必要性： 对大多数元素数值为0的矩阵，若采用满阵方式表 示，则0元素将占用相当的存储空间。
非常有价值的工具。 Matlab提供了一维、二维、 三次样条等许多插值选
择。 多项式插值函数：interp1
3.2 插值和拟合
二、拟合 拟合函数：polyfit 调用方法： P=polyfit(x,y,n) [p,s]=polyfit(x,y,n) 说明：x,y为已知的数据组，n为要拟合的多项式的阶
>> A=sparse(i,j,s,6,6)
A=
(1,1) 15
(5,1) 91
(2,2) 11
(2,3) 3
(6,3) 28
(1,4) 22
(3,4) -6
(1,6) -15
>> full(A) ans =
15 0 0 22 0 -15 0 11 3 0 0 0 0 0 0 -6 0 0 000000 91 0 0 0 0 0 0 0 28 0 0 0
3.1 多项式
一、多项式的表达和创建
【Matlab 参考教程】第三章 数值数组及其运算
3 数值数组及其运算3.1 引导【*例3.1-1】绘制函数x xe y -=在10≤≤x 时的曲线。
x=0:0.1:1 %定义自变量的采样点取值数组y=x.*exp(-x) %利用数组运算计算各自变量采样点上的函数值plot(x,y),xlabel('x'),ylabel('y'),title('y=x*exp(-x)') %绘图 x =Columns 1 through 70 0.1000 0.2000 0.3000 0.4000 0.5000 0.6000 Columns 8 through 110.7000 0.8000 0.9000 1.0000y =Columns 1 through 70 0.0905 0.1637 0.2222 0.2681 0.3033 0.3293 Columns 8 through 113.2 一维数组的创建和寻访3.2.1 一维数组的创建3.2.2 一维数组的子数组寻访和赋值【*例3.2.2-1】子数组的寻访（Address ）。
rand('state',0)%把均匀分布伪随机发生器置为0状态 x=rand(1,5) %产生)51(⨯的均布随机数组x =0.9501 0.2311 0.6068 0.4860 0.8913x(3) %寻访数组x的第三个元素。
ans =0.6068x([1 2 5]) %寻访数组x的第一、二、五个元素组成的子数组。
ans =0.9501 0.2311 0.8913x(1:3) %寻访前三个元素组成的子数组ans =0.9501 0.2311 0.6068x(3:end) %寻访除前2个元素外的全部其他元素。
end是最后一个元素的下标。
ans =0.6068 0.4860 0.8913x(3:-1:1) %由前三个元素倒排构成的子数组ans =0.6068 0.2311 0.9501x(find(x>0.5)) %由大于0.5的元素构成的子数组ans =0.9501 0.6068 0.8913x([1 2 3 4 4 3 2 1]) %对元素可以重复寻访，使所得数组长度允许大于原数组。
matlab 数值数组及其运算
matlab 数值数组及其运算数值数组(Numeric Array)和数组运算(Array Operation)是Matlab的核心运算内容一、导言二、一维数组 (向量)三、二维数组（矩阵）四、高维数组五、MATLAB 的运算符一、导言1、数组的定义数组是指一组实数或复数排成的长方阵列(Array)一维的行或列 ? 向量二位数组 ? 矩阵三维的“若干矩阵的堆叠” ? 体四维更高维2、数组运算无论在数组上施加什么运算（+, -, * ,/,或函数等），该运算对数组中的每个元素都实施同样的操作。
Matlab的数组运算使计算程序简短、易读提高程序的向量化程度、提高计算效率示例x=0:0.1:1 %定义自变量的采样点取值数组y=x.*exp(-x) %利用数组运算计算各自变量采样点上的函数值plot(x,y),xlabel('x'),ylabel('y'),title('y=x*exp(-x)') %绘图4 矩阵的索引或下标矩阵 A 中，位于第 i 横列、第 j 直行的元素可表示为 A(i, j) ，i 与 j 即是此元素的下标（Subscript）或索引（Index）MATLAB 中，所有矩阵的内部表示法都是以直行为主的一维向量A(i, j) 和 A(i+(j-1)*m) 是完全一样的~m为矩阵A的列数我们可以使用一维或二维下标来存取矩阵矩阵的索引或下标可以使用矩阵下标来进行矩阵的索引（Indexing）A(4:5,2:3) -取出矩阵 A 的第四、五横列与二、三直行所形成的部份矩阵A([9 14; 10 15]) - 用一维下标的方式来达到同样目的用冒号（:）, 取出一整列或一整行A(:, 5) -取出矩阵 A 的第五个直行用 end 这个保留字来代表某一维度的最大值A(:, end) - 矩阵 A 的最后一个直行可以直接删除矩阵的某一整个横列或直行A(2, :) = [] –删除A矩阵的第二列A(:, [2 4 5]) = [] - 删除 A 矩阵的第二、四、五直行二、一维数组1 一维数组的创建（1）逐个元素输入 []Column>> X = [ 1 ; 2 ; 3 ];Row>> Y = [ 1 , 2 , 3 ];>> Y = [ 1 2 3 ];逗号和分号的作用?逗号和分号可作为指令间的分隔符，matlab允许多条语句在同一行出现。
matlab 第三章 数值数组及向量化运算
第三章 数值数组及向量化运算
数组运算：无论对数组施加什么运算（包括函 数），总认为是对数组中每个元素平等的实 施同样的操作 • 设计数组和数组运算的目的：
– 使程序简单、易读；更接近数学公式 – 提高程序向量化程度，提高计算效率，节省系 统开销
第三章 数值数组及向量化运算 • 绘制函数 在0≤x≤1时的曲线 x=0:0.1:1 %定义自变量的采样点取值数组 y=x.*exp(-x)%利用数组运算计算各自变量采样点上的函数 值 plot(x,y),xlabel('x'),ylabel('y'),title('y=x* exp(-x)') %绘图
第三章 数值数组及向量化运算 2、对向量的元素进行赋值
>> %对向量的第三个元素赋值 >> A(3) = -3 A= 1 2 -3 4 5 6 7 8 >> %对向量中不存在的数据赋值 >> A(15) = -15 A= Columns 1 through 10 1 2 -3 4 5 6 7 8 Columns 11 through 15 0 0 0 0 -15
第三章 数值数组及向量化运算
3.2.3 索引
• 访问向量元素的结果是创建新的向量。 • 访问向量的元素直接给出元素在向量中的序号， 元素的序号不仅可以是单一的整数，还可以是 元素序号组成的向量，如例子2-8中的各种操 作。 • 关键字end在访问向量元素时，表示向量中最 后一个元素的序号。 • 访问向量元素时，序号的数值必须介于数值 1～end之间。
注意： MATLAB的矩阵元 素的排列以列元素 优先，这一点同 FORTRAN语言的二 维数组元素的排列 方法一致，与C语言 的二维数组元素的 排列不同，C语言的 二维数组元素排列 以行元素优先。
第3章__Matlab数值数组及向量化运算
等效于: x=a: (b-a)/(n-1) :b
x=logspace (a, b, n)
3.2.1 一维数组的创建和寻访 2.其他类型一维数组的创建:
(1) 逐个元素输入法：
行向量
如：array=[2, pi/2, sqrt(3), 3+5i] x=[1,2,3,4,5]' 列向量
使用场合及特点 使用场合: 数据元素比较少并都已知.如对少量 实验数据的处理可用此种方法.
第3章 数值数组及向量化运算 教学目标
教学重点
教学内容
教学目标
• • • • •
掌握数组的创建方法 掌握数组的标识与寻访 掌握数组的运算 了解“非数”NaN和“空”数组 掌握关系操作和逻辑操作
教学重点
• 数组的创建方法 • 数组的标识与寻访 • 关系操作和逻辑操作
教学内容 3.1 数值计算的特点和地位 3.2 一、二维数值数组的创建和寻访 3.3 数组运算和向量化编程 3.4 “非数”NaN和“空”数组 3.5 关系操作和逻辑操作
A=[1, 2, 3, 4, 5]; L=logical([1, 0, 1, 0, 1]) A(L) ans=[1,3,5]
3.2.4 数组操作技法综合
【例 3.2-7】数组操作函数reshape, diag, repmat的用 法；空阵 [ ] 删除子数组的用法。
a=1:8 A=reshape(a,4,2) A=reshape(A,2,4) a= 1 2 3 4 5 6 7 8 A= 1 5 2 6 3 7 4 8 A= 1 3 5 7 2 4 6 8 b=diag(A) b= 1 4
பைடு நூலகம்
inc---采样点之间的间隔, 即步长. 最后一个元素不一定等于b, 其大小为b’=a +inc*fix((b-a)/inc); 步长可以省略, 默认 为1; inc可以取正数或负数, 但要注意当取正时,要保证b>a, 数组最后一个元素不超过b, 取负时b<a, 最后一个元素不小于 b.
探究Matlab中的向量化计算技巧
探究Matlab中的向量化计算技巧引言在数据科学领域，Matlab是一种广泛使用的编程语言和计算工具。
在处理大规模数据集时，向量化计算技巧可以大大提高代码的运行效率。
本文将探究在Matlab中实现向量化计算的方法和技巧。
一、向量化计算的概念在Matlab中，向量化计算是一种使用向量和矩阵运算来代替循环操作的技术。
它可以在一行代码中同时对整个向量或矩阵进行操作，从而提高计算速度。
向量化计算利用内建的矩阵运算函数，如加法、减法、乘法、除法等，实现了对大规模数据集的高效处理。
二、使用点运算符在Matlab中，点运算符是进行向量化计算的关键。
通过使用点运算符，可以直接对两个向量（或数组）逐元素进行运算，而无需使用循环来处理每个元素。
例如，假设我们有两个向量A和B，我们想要计算它们的点积。
通过使用点运算符，可以直接使用A .* B来完成计算，而不必使用循环逐个元素相乘，并将结果保存在一个新的向量中。
三、使用矩阵代替循环除了使用点运算符，还可以使用矩阵来代替循环操作。
在Matlab中，矩阵运算函数通常比循环更高效。
例如，假设我们有一个矩阵X，我们想要计算每行的和。
通过使用矩阵运算函数sum，我们可以直接计算每行的和，并将结果保存在一个新的向量中，而无需使用循环逐个元素相加。
四、逐步构建向量化计算代码当我们处理较复杂的问题时，很难一开始就完全实现向量化计算。
在这种情况下，我们可以逐步构建向量化计算代码。
首先，我们可以使用循环来实现初始版本的代码，以确保算法的正确性。
然后，我们可以逐步将循环转换为矩阵运算函数，从而实现向量化计算。
五、注意向量化计算的边界条件在进行向量化计算时，我们需要注意处理边界条件。
有时，边界条件可能无法同时满足矩阵运算函数的要求。
这时，我们需要特别处理这些边界条件，并使用适当的方法来处理它们。
六、衡量向量化计算效果的指标在衡量向量化计算效果时，我们可以使用不同的指标。
常见的指标包括运行时间、内存使用和代码长度。
matlab数值数组及其运算
即指出是“第几行，第几列”的元素 优点：几何概念清楚，引述简单。（最常用） “全下标”由两个下标组成：行下标，列下标
A(r,c)
A的r行c列元素
A(r,:)
A(:,c)
A的r行全部元素,按行排
A的c列全部元素,按列排
3.2.3 二维数组元素的标识和寻访
2.“单下标”标识
就是用一个下标来指明元素在数组中的位置 对二维数组元素进行“一维编号”
A= -4 -3 -2
-1 0 1
2 3 4
3.2.4 数组操作技法综合
(5)数组的删除 A1([1,3],:)=[] %删除A1的第1，3行。[]为空数组 A1= A1 = 3 0 -3 -2 1 4 注意：只能整行整列的删除 -3 0 3 （6）rot90的使用演示 -4 -1 2 D=rot90(A2,2) %逆时针旋转180度 D= A2 = -2 1 4 2 -1 -4 -3 0 3 3 0 -3 -4 -1 2 4 1 -2
3.2.2 二维数组的创建
【例】标准数组产生的演示
ones(1,2) %产生长度为2的全1行数组 ans = 1 1 randn(„state‟,0)%把正态随机数发生器置0 A=randn(2,3)%产生2×3的正态随机阵 A= -0.4326 0.1253 -1.1465 -1.6656 0.2877 1.1909 B=eye(3) %产生3×3的单位阵 B= 1 0 0 0 1 0 0 0 1
0.4860
0.8913
补充：一维数组元素的寻访和赋值
（1）数组元素的寻访（Address）
x(3) %寻访数组x的第三个元素 x([1 2 5]) %寻访数组x的第一、二、五个元素，组成子数组 x(1:3) %寻访前三个元素，组成子数组 x(3:end) %寻访从第三到最后的元素，组成子数组。 x(3:-1:1) %由前三个元素倒排构成子数组 x(find(x>0.5)) %由大于0.5的元素构成子数组 %先找到大于0.5的元素下标再寻访 x([1 2 3 4 4 3 2 1])%对元素可以重复寻访，使所得数组长 度允许大于原数组 注意对数组的寻访不改变原数组的值
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第三章 数值数组及向量化运算
数组运算：无论对数组施加什么运算（包括函 数），总认为是对数组中每个元素平等的实 施同样的操作 • 设计数组和数组运算的目的：
– 使程序简单、易读；更接近数学公式 – 提高程序向量化程度，提高计算效率，节省系 统开销
第三章 数值数组及向量化运算 • 绘制函数 在0≤x≤1时的曲线 x=0:0.1:1 %定义自变量的采样点取值数组 y=x.*exp(-x)%利用数组运算计算各自变量采样点上的函数 值 plot(x,y),xlabel('x'),ylabel('y'),title('y=x* exp(-x)') %绘图
第三章 数值数组及向量化运算
二、表达式
表达式 • 构成：变量、数值、函数、操作符。 • 续行：行末以三个点结束。…表示下行为续行。 • 每行最多为4096个字符。 • 行末加； 抑制结果的显示。
第三章 数值数组及向量化运算
三、数组
• 数组是有序数据的集合，在大多数编程语言中，数 组的每一个成员(元素)都属于同一种数据类型，它们 使用同一个数组名称和不同的下标来惟一确定数组 中的成员(元素)。其中，下标是指数组元素在数组中 的序号。 • 对于MATLAB而言，大多数数据类型的数组每一个 元素都是同一个数据类型的元素，而对于其特殊的 元胞数组则不然。和一般的编程语言类似，M语言的 数组也有一维、二维和多维数组的区别。而在 MATLAB中一般不存在数组的数组，除非在M语言 中使用Java数据对象。
a(1,3) a(7)
a(2,4) a(11)
图. 矩阵的元素
第三章 数值数组及向量化运算
3.2.3 索引
一、向量元素的访问 1、访问向量中的元素 访问向量的元素只要使用相应元素的索引即可 A = [1 2 3 4 5 6 7 8 9 0] >> %访问向量的第三个元素 >> A(3) ans = 3 >> %访问向量的第一、三、七个元素 >> A([1 3 7]) ans = 1 3 7
第三章 数值数组及向量化运算
>> % 访问矩阵第三行的所有元素 >> A(3,:) ans = 3 8 13 18 23 >> %访问矩阵第四列的所有元素 >> A(:,4) ans = 16 17 18 19 20 >> %访问矩阵的最后一行元素 >> A(end,:) ans = 5 10 15 20 25
第三章 数值数组及向量化运算
>> B = [1:3;4:6;7:9] B= 1 2 3 4 5 6 7 8 9
第三章 数值数组及向量化运算
二、数组编辑器
第一种，首先选择工作空间浏览器中的变量，运行数组编辑器， 同时在编辑器中加载变量。 第二种方法是在工作空间浏览器中直接双击变量，也可以运行 数组编辑器，同时在编辑器中加载变量。 第三种方法就是通过工作空间浏览器中的快捷菜单命令Open 来完成同样的工作。 第四种方法是直接在MATLAB命令行窗口中键入如下指令： >>openvar A 打开数组A的编辑器。
第三章 数值数组及向量化运算
ห้องสมุดไป่ตู้
四、向量
• 从编程语言的角度上看，向量其实就是一维数 组，然而从数学的角度上看，向量就是1×N 或者N×1的矩阵，即行向量或列向量， MATLAB的基本运算单位就是矩阵和向量， 而M语言本身就是以向量化运算为基础的编程 语言。
第三章 数值数组及向量化运算
五、矩阵
• 在MATLAB中，矩阵的概念就是线性代数中 定义的矩阵的概念——矩阵是用一对圆括号或 者方括号括起来，符合一定规则的数学对象。
第三章 数值数组及向量化运算
3.2.2 二维数组的创建
输入矩阵的方法 • (1)输入元素列表 • (2)从外部数据文件中读取矩阵 • (3)利用MATLAB内部函数产生矩阵 • (4)用户自己编写M文件产生矩阵
第三章 数值数组及向量化运算
一、直接输入法 格式约定 • (1)矩阵的行中元素以空格或逗号间隔； • (2)矩阵的行间用分号或回车间隔 ； • (3)整个元素列表用方括号括起来。 整个矩阵的元素必须在“[]”中键入； 矩阵的元素行与行之间需要使用分号“；”间 隔，也可以在需要分行的地方用回车键间隔； 矩阵的元素之间可以使用逗号“，”或者空格 间隔。
第三章 数值数组及向量化运算
3.2.3 索引
• • • • • • • • • • • • >> %访问向量的第一、三、五个元素 >> A([1:2:5]) ans = 1 3 5 >> %访问向量的最后四个元素 >> A([end-3:end]) ans = 7 8 9 0 >> %重复访问向量中的元素 >> A([1:5,5: -1:1]) ans = 1 2 3 4 5 5 4 3 2 1
第三章 数值数组及向量化运算
>> % 创建矩阵 >> A = 1:25; >> A = reshape(A,5,5) A= 1 6 11 16 21 2 7 12 17 22 3 8 13 18 23 4 9 14 19 24 5 10 15 20 25 >> %访问矩阵的第三行第一列元素 >> A(3,1)或A(3) ans = 3
第三章 数值数组及向量化运算
一、变量
1、变量的特点 • 新变量：自动建立变量并分配存储空间。 • 旧变量：更新其内容，有必要时重新分配存储空间。 2、变量的构成 • 字母、数字和下划线。以字母开头，最长为63个字符，区分 大小写。 3、固定变量 • ans—没有定义变量名时，系统默认变量名为ans。 • eps—容许误差，用于决定奇异性和秩时。 • pi—π。 • inf—无穷大，1/0—inf。 • NaN 不定值，inf/inf 0/0运算产生
第三章 数值数组及向量化运算
3.2.3 索引
• 访问向量元素的结果是创建新的向量。 • 访问向量的元素直接给出元素在向量中的序号， 元素的序号不仅可以是单一的整数，还可以是 元素序号组成的向量，如例子2-8中的各种操 作。 • 关键字end在访问向量元素时，表示向量中最 后一个元素的序号。 • 访问向量元素时，序号的数值必须介于数值 1～end之间。
第三章 数值数组及向量化运算
三、使用函数linspace和logspace • 函数linspace是用来创建线性间隔向量的函数，函数 linspace的基本语法为：x = linspace(x1,x2,n) • 其中* x1为向量的第一个元素，x2为向量的最后一个 元素，n为向量具有的元素个数，函数将根据n的数 值平均计算元素之间的间隔，间隔的计算公式为；* 若在表达式中忽略参数n，则系统默认地将向量设置 为100个元素。 • x = linspace(1,2,5) • x= • 1.0000 1.2500 1.5000 1.7500 2.0000
第三章 数值数组及向量化运算 2、对向量的元素进行赋值
>> %对向量的第三个元素赋值 >> A(3) = -3 A= 1 2 -3 4 5 6 7 8 >> %对向量中不存在的数据赋值 >> A(15) = -15 A= Columns 1 through 10 1 2 -3 4 5 6 7 8 Columns 11 through 15 0 0 0 0 -15
第三章 数值数组及向量化运算
>> %获取矩阵的子矩阵 >> I = [1 3 5];J = [2 4]; >> A(I,J) ans = 6 16 8 18 10 20
第三章 数值数组及向量化运算
3.3 基本运算
3.3.1 矩阵生成函数
MATLAB的矩阵生成函数
函 数 zeros ones eye rand randn diag tril triu pascal magic 说 产生元素全为 0 的矩阵 产生元素全为 1 的矩阵 产生单位矩阵 产生均匀分布的随机数矩阵，数值范围(0,1) 产生均值为 0，方差为 1 的正态分布随机数矩阵 获取矩阵的对角线元素，也可生成对角矩阵 产生下三角矩阵 产生上三角矩阵 产生帕斯卡矩阵 产生幻方阵 明
注意： MATLAB的矩阵元 素的排列以列元素 优先，这一点同 FORTRAN语言的二 维数组元素的排列 方法一致，与C语言 的二维数组元素的 排列不同，C语言的 二维数组元素排列 以行元素优先。
第三章 数值数组及向量化运算
使用索引访问矩阵元素的方法
矩阵元素的访问 A(i,j) A(I,J) A(i,:) A(:,j) A(:) A(l) A(L) 说 明 访问矩阵 A 的第 i 行第 j 列上的元素，其中 i 和 j 为标量 访问由向量 I 和 J 指定的矩阵 A 中的元素 访问矩阵 A 中第 i 行的所有元素 访问矩阵 A 中第 j 列的所有元素 访问矩阵 A 的所有元素，将矩阵看作一个向量 使用单下标的方式访问矩阵元素，其中 l 为标量 访问由向量 L 指定的矩阵 A 的元素，向量 L 中的元素为矩阵 元素的单下标数值
9
0
9
0
• 对向量的第15个元素赋值，在赋值之前向量的第11~15个元素 不存在，但是在赋值之后，将自动创建这些元素，并且为没 有明确赋值的元素赋默认值0，这就是MATLAB的数据自动 扩充和初始化机制。
第三章 数值数组及向量化运算
3.2.3 索引
二、矩阵元素的访问 • 访问矩阵的元素也需要使用矩阵元素的索引， 不过具有两种方式： • 第一种方式是使用矩阵元素的行列全下标形式； • 第二种方法是使用矩阵元素的单下标形式。
第三章 数值数组及向量化运算
第三章 数值数组及向量化运算