matlab数值数组及向量化运算
第三章 数值数组及向量运算
matlab 具有出色的数值计算 能力，占据世界上数值计算软件的 主导地位。 数值数组和数组运算是 MATLAB的核心内容。
3.1 数值计算的特点和地位
数值计算适合现代计算机的运行特点， 与符号计算相比，它计算速度快、容量 大，能够处理各种复杂的函数关系。
3.1 数值计算的特点和地位
例
用间距为0.1的水平线和垂直线均匀 分割 x [5,5], y [2.5,2.5] 的矩形域，在所有 水平线和垂直线交点上计算函数的值。
例（非向量化编程）
clear x=-5:0.1:5; y=(-2.5:0.1:2.5)'; N=length(x); M=length(y); for ii=1:M for jj=1:N X0(ii,jj)=x(jj); Y0(ii,jj)=y(ii); Z0(ii,jj)=sin(abs(x(jj)*y(ii))); end end
n
其中 1 , n 为矩阵a的特征值 V为对应的特征向量阵 [V，D]=eig（a） 可计算V和D （5）当p为矩阵时，只有a为标量时才能 计算 a^p，a为矩阵则不能 a^p=V*a.^D*V-1 [V，D]=eig（p）
例
>>A=[1 2 3 ;2 3 1 ;3 2 1]; >>B=A^2 >>C=A^0 >>D=2^A
2、线性（或对数）定点法 var=linspace(a,b,n) 线性 var=logspace(a,b,n) 对数 说明： a: 起始点 n: 总采样点数
b：终点
B、其它输入方法
(1) 直接输入： a=[1 2 3, 4]
各元素之间用“空格”或“,” (英文状态下) 分开；
matlab2011教程之二数值数组及向量化运算
第 2 章 数值数组及向量化运算本章集中讲述两个数据类型（数值数组和逻辑数组）、两个特有概念变量（非数和空）、以及MATLAB的数组运算和向量化编程。
值得指出：本章内容是读者今后编写各种科学计算M码的基本构件。
数值数组（Numeric Array）是MATLAB最重要的数据类型数组。
在各种维度的数值数组中，二维数组为最基本、最常用。
本章对二维数组创建、标识、寻访、扩充、收缩等方法进行了详尽细腻的描述，并进而将这些方法推广到高维数组。
本章讲述的逻辑数组主要产生于逻辑运算和关系运算。
它是MATLAB 援引寻访数据、构成数据流控制条件、、编写复杂程序所不可或缺的重要构件。
数组运算是MATLAB区别于其它程序语言的重要特征，是MATLAB绝大多数函数指令、Simulink许多库模块的本性，是向量化编程的基础。
为此，本章专辟第2.2节用于阐述MATLAB的这一重要特征。
在此提醒读者注意：随书光盘mbook目录上保存着本章相应的电子文档“ch02_数值数组及向量化运算.doc”。
该文档中有本章全部算例的可执行指令，以及相应的运算结果。
2.1数值数组的创建和寻访2.1.1一维数组的创建1递增/减型一维数组的创建（1）“冒号”生成法（2）线性（或对数）定点法2其他类型一维数组的创建（1）逐个元素输入法（2）运用MATLAB函数生成法【例2.1-1】一维数组的常用创建方法举例。
a1=1:6a2=0:pi/4:pia3=1:-0.1:0a1 =1 2 3 4 5 6a2 =0 0.7854 1.5708 2.3562 3.1416a3 =Columns 1 through 81.0000 0.9000 0.8000 0.7000 0.6000 0.5000 0.4000 0.3000Columns 9 through 110.2000 0.1000 0b1=linspace(0,pi,4)b2=logspace(0,3,4)b1 =0 1.0472 2.0944 3.1416b2 =1 10 100 1000c1=[2 pi/2 sqrt(3) 3+5i]c1 =2.0000 1.5708 1.73213.0000 + 5.0000i rng defaultc2=rand(1,5)c2 =0.8147 0.9058 0.1270 0.9134 0.6324〖说明〗x1=(1:6)' , x2=linspace(0,pi,4)'y1=rand(5,1)z1=[2; pi/2; sqrt(3); 3+5i]2.1.2二维数组的创建1小规模数组的直接输入法【例2.1-2】在MATLAB环境下，用下面三条指令创建二维数组C。
MATLAB中常用的编程技巧和调试技巧
MATLAB中常用的编程技巧和调试技巧MATLAB是一种强大的数值计算和编程软件，广泛应用于科学、工程和数据分析领域。
在使用MATLAB进行编程和开发过程中，掌握一些常用的编程技巧和调试技巧是非常重要的。
本文将介绍一些MATLAB中常用的编程技巧和调试技巧，帮助您提高编程效率和准确性。
一、MATLAB编程技巧1. 向量化计算：MATLAB具有矢量化计算的能力，即通过对整个数组进行操作来进行计算，可以极大地加快计算速度。
避免使用for循环，而是使用矩阵运算来代替。
例如，使用点乘运算符`.*`和矩阵乘法运算符`*`可以快速进行向量和矩阵的乘法。
2. 避免过多的内存分配：在使用MATLAB进行循环计算时，避免频繁的内存分配和释放可以提高性能。
为了避免这个问题，可以在循环外面初始化数组，然后在循环中更新数组的值。
3. 使用函数和脚本：在MATLAB中，可以编写自定义的函数和脚本来实现特定的功能。
函数可以接受输入参数，并返回输出结果，而脚本则可以包含一系列MATLAB命令。
使用函数和脚本可以将代码模块化，提高代码的可读性和重用性。
4. 合理使用代码注释：在编写MATLAB代码时，使用适量的注释可以提高代码的可读性和维护性。
注释可以解释代码的功能和实现方法，便于其他人理解和使用。
同时，自己也可以通过注释来记录代码的目的和特点，方便日后的查看和修改。
5. 代码的可移植性：为了保持代码的可移植性，应该避免使用平台和版本特定的函数和语法。
尽量使用通用的MATLAB函数和语法，以便在不同的计算平台上都能正常运行。
二、MATLAB调试技巧1. 使用断点：在MATLAB中，可以在代码中设置断点来暂停程序的执行，以便检查代码的运行过程。
在编辑器中点击代码行号左侧的空白区域可以增添或取消断点。
当程序运行时，执行到断点时会自动暂停。
通过检查变量的值和程序状态，可以更好地理解代码的执行过程，找到潜在的错误。
2. 打印调试信息：在代码中增添输出语句可以打印调试信息，帮助分析代码的执行过程和结果。
MATLAB的操作基础及数值数组及其运算
2. 创建(chuàngjiàn)M文件输入 大型矩阵
• M文件是一种可以在MATLAB环境下运行 的文件。它可以分为命令式文件和函数式文 件两种。在此处主要用到的是命令式的M文 件，用它的最简单形式来创建(chuàngjiàn) 大型矩阵。
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• 当矩阵的规模比较大，直接输入法就显得 笨拙(bènzhuō)，出现差错也不易修改。为 了解决此问题可以利用M文件的特点将所要 输入的矩阵按格式先写入一文本文件中，并 将此文件以m 为其扩展名，即为M文件。在 某些方面MATLAB命令窗中输入此M文件 名，则所要输入的大型矩阵就被输入到内存 中。
• 矩阵的同行元素(yuán sù)之间可由空格或 “，”分隔，行与行之间要用“；”或回车 分隔。
• 矩阵大小(维数)可不预先定义。 • 矩阵元素(yuán sù)可为运算表达式。 • 无任何元素(yuán sù)的空矩阵亦合法。
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例7
创建简单数值(shùzí)矩阵。 >> a=[1 2 3;1,1 1;4,5,6] a=
矩阵与常数间运算?常数与矩阵的运算即是常数同此矩阵的各元素之间进行运算常数与矩阵的运算即是常数同此矩阵的各元素之间进行运算如数加是指每个元素都加上此常数数乘即是每个元素都与此如数加是指每个元素都加上此常数数乘即是每个元素都与此
第二章 数值(shùzí)数组及其 运算
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引言
MATLAB强大的数值计算功能使其在诸 多数学计算软件(ruǎn jiàn)中傲视群雄，它 是MATLAB软件(ruǎn jiàn)的基础 。
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>> a=1:2:12 a=
13 5
例2
7 9 11
>> a=1:-2:12 a=
Matlab技术向量化编程方法
Matlab技术向量化编程方法在科学计算领域，Matlab是一款强大的工具。
它的独特之处在于其内置的矩阵运算引擎，使得用户可以方便地进行向量化编程。
本文将探讨Matlab中向量化编程的概念、方法和应用。
一、什么是向量化编程向量化编程是一种将整个数组或矩阵视为单个对象进行操作的编程方式。
传统的编程方式常常需要使用循环或递归来处理数组中的每个元素，而向量化编程则是通过对整个数组进行操作来实现更高效的计算。
在Matlab中，向量化编程通常借助于矩阵运算和逐元素操作函数来实现。
用户可以直接对整个数组或矩阵进行计算，而不需要编写繁琐的循环结构。
这样不仅提高了代码的简洁性和可读性，还可以充分利用Matlab内置的高效运算引擎，提高计算速度。
二、向量化编程的优势和应用1. 代码简洁性：向量化编程可以大大简化代码的编写。
通过对整个数组或矩阵进行操作，可以避免循环结构的嵌套，提高代码的可读性和维护性。
同时，这也减少了编程错误的可能性。
2. 计算效率：Matlab的矩阵运算引擎在处理大规模数据时具有良好的性能。
向量化编程可以最大程度地利用这个优势，节省计算时间。
尤其在涉及大数据量的科学计算中，向量化编程可以明显提高计算效率。
3. 并行计算：由于向量化编程可以对整个数组进行操作，这为并行计算提供了可能。
Matlab的Parallel Computing Toolbox提供了一些工具和函数，可以将向量化的代码在多个处理器或计算节点上并行执行，进一步提高计算速度。
向量化编程在多个领域都有广泛的应用。
例如，在信号处理中，可以利用向量化编程对音频或图像进行高效的滤波和变换。
在机器学习中，向量化编程可以加速训练过程，提高算法的收敛速度。
在数值模拟和优化问题中，向量化编程可以减少迭代次数，加快收敛速度。
三、向量化编程的基本技巧1. 利用矩阵运算：Matlab的矩阵运算引擎是其向量化编程的核心。
用户可以利用矩阵加减乘除、矩阵乘法、转置等运算，对整个数组或矩阵进行操作。
2、MATLAB(数组、向量运算)
数组函数
• 数组元素的求和：
• sum() • cumsum()
• 数组元素的求积：
• prod() • cumprod()
• 数组元素的平均值：
• Mean()
• 数组元素的最大（小）值：
• max() • std() min()
• 数组元素的标准偏差：
二维数组操作函数
cat flipud 把“大小”相同的若干数组，沿“指定维”方向，串接成高 维数组 以数组“水平中线”为对称轴，交换上下对称位置上的数组 元素
一维数组的创建
(4) 对数等分 y=logspace(x1,x2,n) 其中：表示在10x1和10x2之间插入n-2个数 n代表的是点的数目，即分成n-1分， 步长应当是10(x2-x1)/(n-1)；若n<2,则返回10x2。 例：>>y=logspace(2,5,5) >>y=logspace(0,5,6) >>y=logspace(2,5,1)
二维数组的创建
(1)逐个元素输入法 例： 创建一个２行３列的数组 >>a= [1 2 3;4 5 6] (2)由一维数组构成 >>a=1:2:9,b=2:2:10 >>c=[a,b],d=[a;b] (3)由函数生成
常见的二维数组生成函数
zeros(m,n) 生成一个 m 行 n 列的零矩阵，m=n 时可简写为 zeros(n)
一维数组中子数组的寻访和赋值
• 【例】子数组的寻访（Address）。 x([1 2 5]) x(1:3) x(3:end) x(3:-1:1) x(find(x>0.5)) • 【例】子数组的赋值（Assign）。 x([1,4])=[2,7] x([1,4])=10
MATLAB数组运算及向量化运算
例：>> A=[1 2 3;4 5 6]
>> B=fliplr(A) 6 5 4 >> C=flipud(A) >> D=rot90(A), E=rot90(A,-1)
A=1 2 3 4 5 6 B=3 2 1 C=4 5 6 1 2 3 D=3 6 E=4 1 2 5 5 2 1 4 6 3
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矩阵操作
参与运算的对象必须具有相同的形状！ 参与运算的对象必须具有相同的形状！
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关系运算
MATLAB提供了6种关系运算符： MATLAB提供了6种关系运算符： 提供了 小于) < (小于)、 小于或等于) <= (小于或等于)、 大于) > (大于)、 大于或等于) >= (大于或等于)、 == (等于)、 等于) 不等于) ～= (不等于)。 不难理解， 它们的 含义 不难理解，但要注意其 书写方法 与 不尽相同。 数学中的 不等式符号 不尽相同。
要求参与加减运算的矩阵具有 相同的维数
例：>> A=[1 2 3; 4 5 6]; B=[3 2 1; 6 5 4]
>> C=A+B; D=A-B;
矩阵的普通乘法
要求参与运算的矩阵满足线性代数中矩阵相乘的原则 要求参与运算的矩阵满足线性代数中矩阵相乘的
例：>> A=[1 2 3; 4 5 6]; B=[2 1; 3 4];
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建立5阶方阵 阶方阵A，判断A的元素是否能被 整除. 的元素是否能被3整除 例 建立 阶方阵 ，判断 的元素是否能被 整除 A =[24,35,13,22,63;23,39,47,80,80; ... 90,41,80,29,10;45,57,85,62,21;37,19,31,88,76] P = rem(A,3)==0 其中，rem(A,3)是矩阵 的每个元素除以3 是矩阵A 其中，rem(A,3)是矩阵A的每个元素除以3的余 数矩阵。此时， 被扩展为与A同维数的零矩阵， 数矩阵。此时，0被扩展为与A同维数的零矩阵，P 是进行等于(==)比较的结果矩阵。 (==)比较的结果矩阵 是进行等于(==)比较的结果矩阵。
Matlab中的向量化编程方法介绍
Matlab中的向量化编程方法介绍引言Matlab是一种流行的高级编程语言和数值计算环境，广泛应用于科学、工程、数据分析等领域。
在Matlab中，向量化编程是一种重要的技术，可以大大提高程序的执行效率和代码的可读性。
本文将介绍Matlab中的向量化编程方法，探讨其原理和优势。
1.什么是向量化编程在传统的程序设计中，往往需要通过循环来处理数组中的每个元素，这样的做法可能会导致代码冗长复杂，执行效率低下。
而向量化编程则是一种通过直接对整个数组进行操作，而不需要使用显式循环的方法。
通过向量化编程，可以使程序更加简洁高效。
2.向量化编程的原理Matlab的向量化编程原理基于矢量运算和广播机制。
在Matlab中，矢量运算指的是对整个数组进行操作，而不是逐个处理每个元素。
广播机制则是指在进行矢量运算时，Matlab会自动扩展数组的维度，使得两个不同大小的数组可以进行运算。
借助这些机制，可以实现向量化编程。
3.向量化编程的优势3.1 简洁高效通过向量化编程，可以用更少的代码来实现同样的功能。
相比于使用循环的方法，向量化编程可以减少程序的复杂性，提高代码的可读性。
同时，由于避免了循环的开销，向量化编程还可以提高程序的执行效率。
3.2 并行计算在现代计算机中，多核处理器已经成为主流。
而向量化编程可以充分利用多核处理器的并行计算能力，提高程序的执行速度。
通过Matlab中的并行计算工具箱，可以更加方便地实现向量化编程的并行化。
4.向量化编程的应用向量化编程在Matlab中的应用非常广泛。
例如，在科学计算中，可以利用向量化编程进行矩阵运算、信号处理、数值积分等。
在数据分析中，向量化编程可以用于处理大规模数据集、进行统计分析等。
在图像处理中，向量化编程可以用于图像变换、图像增强等。
5.向量化编程的实践技巧5.1 避免循环在使用Matlab进行编程时，应尽量避免使用循环结构。
尽可能地使用矢量运算和广播机制来处理数组，以提高程序的效率和可读性。
MATLAB数值计算功能(向量、矩阵、数组、稀疏矩阵)
数值计算功能向量及其运算1、向量生成（1）、直接输入向量元素用“ [ ]”括起来,用空格或逗号生成行向量,用分号生成列向量a1=[11 14 17 18]a2=[11,14,17,18]a2=[11;14;17;18]%列向量用“ ’”能够进行向量转置a1=[11 14 17 18]a4=a1'%a1 行向量,a4 列向量也能够用组合方法：A=[1 2 3];B=[7 8 9];C=[A 4 ones(1,2) B]（2）、等差元素向量生成冒号生成法：Vec=Vec0:n:Vecn,此中Vec表示生成地向量,Vec0表示第一个元素,n表示步长,Vecn 表示最后一个元素使用 linespace 函数： Vec=linespace(Vec0,n,Vecn),此中 Vec 表示生成地向量 ,Vec0 表示第一个元素 ,n 表示生成向量元素个数（默认 n=100） ,Vecn 表示最后一个元素vec1=10:5:50vec2=50:-5:10vec3=linspace(10,50,6)2、向量地基本运算（1）、向量与数地四则运算向量中每个元素与数地加减乘除运算（除法运算时,向量只好作为被除数,数只好作为除数）vec1=linspace(10,50,6)vec1+100vec2=logspace(0,10,6) %对数平分向量vec2/100（2）、向量与向量之间地加减运算向量中地每个元素与另一个向量中相对应地元素地加减运算vec1=linspace(10,50,6)vec2=logspace(0,2,6)vec3=vec1+vec2（3）、点积、叉积和混淆机点积： dot 函数 ,注意愿量维数地一致性x1=[11 22 33 44]x2=[1 2 3 4]sum(x1.*x2) %还能够采纳sum 函数计算向量地址积叉积： cross 函数 ,注意愿量维数地一致性（由几何意义可知,向量维数只好为3）x1=[11 22 33 44]x2=[1 2 3 4]x3=cross(x1,x2)%报错 ,维数只好为3x1=[11 22 33]x2=[1 2 3]x3=cross(x1,x2)混淆积：结果为一个数,先求 cross,再求 dota=[1 2 3]b=[2 4 3]c=[5 2 1]v=dot(a,cross(b,c))v=cross(a,dot(b,c)) %报错矩阵及其运算MATLAB地基本单位是矩阵,逗号或空格划分同一行不一样元,分号划分不一样行素1、矩阵地生成4 种方法：在command window直接输入；经过语句和函数产生；M 文件中成立；外面数据文件中导入（1）、直接输入：把矩阵元素直接摆列到方括号中 ,每行元素用逗号或空格相隔 ,行与行之间用分号相隔martix=[1 1 1 1;2,2,2,2;3,3,3,3;4 4 4 4]冒号用法：A=[1 1 1;1 2 3;1 3 6]B=A(1:2,:)（2）文件导入：*.mat*.txt*.datload 文件名参数直接导入： File—Import Data2、矩阵地基本数值运算（1）、矩阵与是常数地四则运算（除法时,常数只好作为除数）matrix=[1 1 1 1;2,2,2,2;3,3,3,3;4 4 4 4]m1=100+matrixm2=100-matrixm3=100*matrixm4=matrix/2（2）、矩阵之间地四则运算加减法：矩阵各个元素之间地加减法,一定是同型矩阵matrix=[1 1 1 1;2,2,2,2;3,3,3,3;4 4 4 4]m2=m1+matrixm3=[11 22 33;1 2 3;4 5 6]m4=matrix-m1m5=m3+m1 %报错 ,非同型矩阵乘法：用 *, 左矩阵地列数需等于右矩阵地行数A=[1111;2222;3333;4444]B=[1592;6357;2589;4563]C=A*BD=[1 5 9;6 3 5;2 5 8]3*3矩阵相乘E=A*D% 报错 ,4*4 矩阵不可以与除法：左除（ AX=B 则 X=A\B,相当于 X=inv(A)*B, 可是左除稳固性好）右除 / （ XA=B 则 X=B/A,相当于 X=B*inv(A)）个人认为：左除相当于逆矩阵左乘,右除相当于逆矩阵右乘%解方程组XA=B地解 ,本列中 A=[2 1 -1; 2 1 0;1 -1 1] ;B=[1 -1 3;4 3 2] A=[2 1 -1; 2 1 0;1 -1 1]B=[1 -1 3;4 3 2]X=B/A矩阵能够使用比较运算符：结果矩阵地对应地点为0 或1数据变换：floorceilroundfixrem[n,d]=rat(A)： A 表示为两个整数阵对应元素相除地形式A=n./d 3、矩阵地特点参数运算（1）、乘方与开方乘方： A^p 计算 A 地 p 次方p>0： A 地 p 次方p<0： A 逆矩阵地abs(p)次方A=[1234;4567;4567;891011]B=A^10开方：如有X*X=A,则有sqrtm(A)=XA=magic(5)B=sqrtm(A)B^2 %考证正确性（2）、指数与对数指数： expm(X)=V*diag(exp(diag(D)))/V （ [V,D]=eig(X)）对数： L=logm(A),与指数运算互逆X=rand(4)Y=expm(X)A=randn(4)（3）、逆运算inv函数 ,充要条件：矩阵地队列式不为0A=[1000;1200;2130;1214]B=inv(A)广义逆矩阵（伪逆）：pinv(A)非奇怪矩阵地pinv 与inv 相同（4）、队列式det函数A=[1000;1200;2130;1214]B=inv(A)x=det(A)y=det(B)i=x*y（5）、特点值E=eig(X)：生成由X 地特点值构成地列向量[V,D]=eig(X)： V 是以 X 地特点向量为列向量地矩阵,D 是由矩阵X 地特点值构成地对角阵D=eigs(X)：生成由X 地特点值构成地列向量（eigs 函数使用迭代法求解矩阵地特点值和特点向量 ,X 一定是方阵,最好是大型稀少矩阵）[V,D]=eig(X)： V 是以X 地特点向量为列向量地矩阵,D 是由矩阵X 地特点值构成地对角阵X=magic(3)A=[1 0 0;0 0 3;0 9 0]E=eig(X)[V D]=eig(X)D=eigs(A)[V D]=eigs(A)（6）、矩阵（向量）地范数norm(X) ： 2-范数norm(X,2) ： 2-范数norm(X,1) ： 1-范数norm(X,inf) ：无量范数norm(X,’fro ’)： Frobenius 范数normest(X) ：只好计算2-范数 ,而且是 2-范数地预计值,用于计算norm(X) 比较费时地状况X=hilb(4)norm(4)norm(X)norm(X,2)norm(X,1)norm(X,inf)norm(X,'fro')normest(X)（7）、矩阵地条件数运算矩阵地条件数是判断矩阵“病态”成都地一个胸怀,矩阵 A 地条件数越大,表示 A 越病态 ,反之 ,表示 A 越良态 ,Hilbert矩阵就是闻名地病态矩阵cond(X)：返回对于矩阵X 地 2-范数地条件数cond(X,P)：对于矩阵X 地 P-范数地条件数（P 为 1、 2、 inf rcond(X)：计算矩阵条件数地倒数值,该值越靠近0 就越病态condest(X)：计算对于矩阵X 地 1-范数地条件数地预计值M=magic(3);H=hilb(4);c1=cond(M)c2=cond(M,1)c3=rcond(M)c4=condest(M)h1=cond(H)h2=cond(H,inf)h3=rcond(H)h4=condest(H)或’fro’）,越靠近 1 就越良态由以上结果能够看出,魔术矩阵比较良态,Hilbert矩阵是病态地（8）、秩rank 函数T=rand(6)rank(T) %6,满秩矩阵T1=[1 1 1;2 2 3]r=rank(T1)%r=2,行满秩矩阵（9）、迹trace 函数 ,主对角线上全部元素地和,也是特点值之和M=magic(5)T=trace(M)T1=eig(M)T2=sum(T1)4、矩阵地分解运算（1）、三角分解（lu）非奇怪矩阵 A（ n*n ）,假如其次序主子式均不为 0,则存在独一地单位下三角 L 和上三角阵 U, 进而使得 A=LU[L,U]=lu(X)：产生一个上三角矩阵U 和一个下三角矩阵L,使得 X=LU,X能够不为方阵[L,U,P]=lu(X)：产生一个单位下三角矩阵L、一个上三角矩阵U 和互换矩阵P,PX=LUY=lu(X)：假如 X 是满矩阵 ,将产生一个lapack’s地 dgetrf 和 zgetrf 地输出常式矩阵Y；假如 X 是稀少矩阵 ,产生地矩阵Y 将包含严格地下三角矩阵L 和上三角矩阵U,这两种状况下,都不会有互换矩阵PX=[6 2 1 -1;2 4 1 0;1 1 4 -1;-1 0 -1 3][L U]=lu(X)[L U P]=lu(X)Y=lu(X)（2）、正交分解（qr ）对于矩阵 A（ n*n ）,假如 A 非奇怪 ,则存在正交矩阵 Q 和上三角矩阵 R,使得 A 知足关系式 A=QR, 而且当 R 地对角元都为正时 ,QR 分解是独一地[Q,R]=qr(A) ：产生一个与 A 维数相同地上三角矩阵R 和一个正交矩阵Q,使得知足A=QR[Q,R,E]=qr(A)：产生一个互换矩阵E、一个上三角矩阵R 和正交阵[Q,R]=qr(A,0) ：对矩阵 A 进行有选择地QR分解 ,当矩阵 A 为 m*n 前 n 列地正交矩阵QR=qr(A)：只产生矩阵R,而且知足R=chol(A’*A)Q,这三者知足 AE=QR 且m>n, 那么只会产生拥有A=[17 3 4;3 1 12;4 12 8] [Q R]=qr(A)[Q R E]=qr(A)[Q R]=qr(A,0)R=qr(A)[Q,R]=qrdelete(A,j)：去除第[Q,R]=qrdelete(A,j,x)：在第j 列求 QR分解j 列插入 x 后求QR分解（3）、特点值分解（eig）[V,D]=eig(X)：V 是以矩阵X 地特点向量作为列向量构成地矩阵,D 是矩阵X 地特点值构成地对角阵 ,知足XV=VD[V,D]=eig(A,B)：对矩阵 A、B 做广义特点值分解 ,使得 AV=BVDA=magic(4)[V D]=eig(A)Z=A*V-V*DB=[17 3 4 2;3 1 12 6;4 12 8 7;1 2 3 4][V D]=eig(A,B)Z=A*V-B*V*D（4）、 Chollesky 分解（ chol）当矩阵A（ n*n ）对称正准时,则存在独一地对角元素为正地上三角矩阵R,使得 A=R’*R,当限定 R 地对角元素为正地时候 ,该分解是独一地当矩阵 A 为非正定阵时 ,会提示犯错A=[4 -1 1;-1 4.25 2.75;1 2.75 3.5]R=chol(A)R'*R %=AA=[0 4 0;3 0 1;0 1 3]R=chol(A) %报错 ,A 为非正定阵（5）奇怪值分解（svd）[U,S,V]=svd(X)：与矩阵 X 维数相同地对角阵 S、正交矩阵 U 和正交矩阵 V,使得知足 X=USV’[U,S,V]=svd(X,0)：X 为 M*N 矩阵 ,当 M>N 时 ,生成地矩阵 U 只有前 N 列元素被计算出来 ,而且 S为 N*N 矩阵X=[1 2 3;4 5 6;7 8 9][U S V]=svd(X)X=[1 2 3;4 5 6;7 8 9;10 11 12][U S V]=svd(X)X=[1 2 3;4 5 6;7 8 9;10 11 12ckl[U S V]=svd(X,0)Schur分解（正交阵和schur阵）[U,T]=schur(A)： A=UTU’schur阵是主对角线元素为特点值地三角阵5、矩地一些特别理size(A)：求矩 A 地行数、列数diag(A):求出矩 A 地角元素repmat(A)：将矩 A 作位 ,成 m*n 矩 ,此中每个元素都是cat(k,A,B)： k=1 归并后形如 [A;B]（ A,B 列数相等）； k=1 归并后形如（1）、矩地A 矩[A,B]（ A,B 行数相等）reshape(X,M,N) ：将矩X 地全部元素分派到一个M*N地新矩,当矩X 地元素不是M*N ,返回reshape(X,M,N,P,⋯)：返回由矩X 地元素成地M*N*P*⋯多矩,若果M*N*P*⋯与X 地元素数不一样 ,将返回reshape(X,[M,N,P,⋯]) ：与上一条相同A=rand(4,2)reshape(A,2,4)reshape(A,[2,2,2])用冒号：A=[1 2 3 4;5 6 7 8;9 10 11 12];B=ones(2,6);B(:)=A(:)（2）、矩地向rot90(A) ： A 按逆旋rot90(A,K) ： A 按逆旋filpud(X) ：将 X 上下翻90 度90*K度fliplr(X) ：将X 左右翻flipdim(X,DIM) ：将 X 地第 DIM 翻X=[1 4;2 5;3 6]rot90(X)rot90(X,-1)flipud(X)fliplr(X)flipdim(X,2)%左右翻6、特别矩地生成（1）、零矩和全 1 矩地生成A=zeros(M,N)：生成 M*N 地零矩A=zeros(size(B))：生成与 B 同型地零矩A=zeros(N)：生成 N 零矩仿真全 1 矩地生成与零矩地生成似,使用ones 函数A=zeros(4,5)B=[12345;23456;98765;87654]A=zeros(size(B))A=zeros(5)C=ones(5,6)C=ones(3)（2）、角矩地生成A=diag(V,K)： V 某个向量 ,K 向量 V 偏离主角地列数,K=0 表示 V 主角 ,K>00 表示 V 在主对角线以上,K<0 表示 V 在主对角线以下A=diag(V)：相当于K=0v=[1 9 8 1 6]diag(v,1)diag(v)（3）、随机矩阵地生成rand(N) ：生成 N*N 地随机矩阵 ,元素值在 (0.0,1.0) 之间rand(M,N)randn(N) ：生成 N*N 地随机矩阵 ,元素之听从正态散布N(0,1)randn(M,N)rand(5)randn(5)（4）、范德蒙德矩阵地生成A=vander(V)：有 A(I,j)=v(i)n-jv=[1 3 5 7 9]A=vander(v)（5）、魔术矩阵地生成它是一个方阵 ,方阵地每一行,每一列以及每条主对角线地元素之和都相同（ 2 阶方阵除外）magic(N)：生成N 阶魔术矩阵 ,使得矩阵地每一行,每一列以及每条主对角线元素和相等,N>0（N=2 除外）magic(2)magic(3)magic(4)（6）、 Hilbert 矩阵和反Hilbert 矩阵地生成Hilbert 矩阵地第i 行、第 j 列地元素值为1/(i+j-1), 反 Hilbert 矩阵是 Hilbert 矩阵地逆矩阵hilb(N) ：生成 N 阶地 Hilbert 矩阵invhilb(N) ：生成 N 阶地反 Hilbert 矩阵A=hilb(5)B=invhilb(5)C=A*Brandpem(n)：随机摆列hess(A)： hess矩阵pascal(n)： Pascal矩阵hankel(c)： Hankel 矩阵wilkinson(n)： wilkinson 特点值测试矩阵blkdiag(a,b,c,d)：产生以输入元素为对角线元素地矩阵注： diag 函数地输入参数只好有一个（能够为向量）compan(u)：友矩阵hadamard(n)： hadamard 矩阵toeplitz(c,r)：托布列兹阵数组及其运算1、数组寻址和排序（1）、数组地寻址A=randn(1,10)A(4) %接见 A 地第 4 个元素A(2:6)%接见 A 地第 2 到 6 个元素A(6:-2:1)A([1 3 7 4])%接见 A 中 1、3、 7 和 4 号元素A(4:end) %end 参数表示数组地结尾（2）、数组地排序sort(X)：将数组X 中地元素按升序排序X 是多维数组时 ,sort(X)命令将 X 中地各列元素按升序排序X 是复数时 ,sort(X)命令将 X 中地各个元素地模abs(X)按升序排序X 是一个字符型单元数组,sort(X)命令将 X 中地各列元素按ASCII码升序排序Y=sort(X,DIM,MODE)：DIM 选择用于摆列地维,MODE 决定了排序地方式（’ascend’升序 ,’descend’降序） ,该命令生成地数组Y与 X 是同型地X=[3 7 5;0 4 2]sort(X,1) %纵向升序排序sort(X,2) %横向升序排序sort(2)2、数组地基本数值运算（1）、加减法（与矩阵加减法相同）X=[1 4 7]Y=[2 5 8]Z=X-YV=X+Y（2）、数组地乘除法乘法用“ .* ”： X、 Y 有相同维数 ,X.*Y 表示 X 和 Y 中单个元素之间地对应乘积除法用“ ./ ”：注意“ ./ ”和“ ”完整不一样X=[10 52 96 12 56]Y=[2 26 3 4 8]Z=[10 52 96 12 56 42]Z1=X.*YZ2=X.*Z%报错 ,维数问题Z3=X./Y%Z3=5,2,32,3,7Z4=X.\Y %Z4=0.2,0.5,0.0313,0.3333,0.1429Z5=X.\Z%报错 ,维数问题（3）、数组地乘方两个数组之间地乘方X=[1 4 7]Y=[2 5 8]Z=X.^Y乘方运算时指数为标量X=[3 6 9]Z=X.^3乘方运算时底数为标量X=[456789]Z=3.^X数组和矩阵也能够进行exp、 log、 sqrt 等运算 ,是对每个对应元素进行运算3、数组地关系运算小于（ <）,小于等于（ <=） ,大于（ >）,大于等于（ >=） ,等于（ ==） ,不等于（ ~=） ,结果为 1, 则关系式为真 ,结果为 0,则关系式为假%rem(X,n),求余函数 ,X 为被除数 ,n 为除数M=magic(7)N=(rem(M,3))N=(rem(M,3)<=1)N=(rem(M,3)==1)N=(rem(M,3)>=1)4、数组地逻辑运算,非运与（ &）,或（ | ）,非（ ~）,此中与、或能够比较两个标量或许两个同阶数组（或矩阵）算时针对数组（或矩阵中地每一个元素）,当逻辑为真则返回1,当逻辑为假则返回0M=[1 1 0;0 1 0;1 0 0]N=[1 0 1;1 1 1;0 0 0]M|NM&N~Ncat：串接flipdimfliplrflipudkron：积数组permute：重组repmatreshaperot90稀少型矩阵1、稀少矩阵地生成（1）、 speye 函数：生成单位稀少矩阵speye(size(A))speye(M,N) ：维数为M 和N 中较小地一个speye(N)A=eye(10)speye(size(A))speye(7,6)speye(5)（2）、 sprand 函数：生成随机稀少矩阵（元素听从0-1 之间地随机散布）R=sprand(S)：产生与稀少矩阵S 构造相同地稀少矩阵,但它地元素都是0-1 上地随机数Rsprand(M,N,D) ：产生一个M*N 地随机稀少矩阵R,它地非您元素地个数近似为M*N*D, 注意D 地值在 0-1 之间且不要过大v=[3 5 6 2 1 9 6 5 5 6]S=diag(v)R=sprand(S)R=sprand(10,10,0.08)（3）、 sparse 函数S=sparse(X)：将矩阵 X 转变为稀少矩阵SS=sparse(I,j,s,m,n,nzm)：生成 m*n 地稀少矩阵 S,向量 s 地元素散布在以向量i 地对应值和向量 j 地对应值为坐标地地点上 ,此中 nzm=length(s)S=sparse(I,j,s)：生成 m*n 地稀少矩阵S,向量 s 地元素散布在以向量i 地对应值和向量 j 地对应值为坐标地地点上,此中 m=max(i),n=max(j)S=sparse(m,n)：是 sparse([],[],[],m,n,0)地简化形式i=[6 2 7 7 4 1 2 5]j=[1 3 2 7 2 8 3 2]s=[8 3 7 7 1 7 0 2]X=diag(s,-2)S=sparse(X)S1=sparse(i,j,s,10,10,7)%报错 ,nzmax=length(s)S1=sparse(i,j,s,10,10,8)S2=sparse(i,j,s,10,9)%默认 nzmax=length(s)S2=sparse(i,j,s)%m=max(i),n=max(j)2、稀少矩阵地操作（1）、 nnz 函数：用于求非零元素地个数nz=nnz(S)：返回 S总非零元素个数D=nnz(S)/prod(size(S))：表示稀少矩阵S 中非零元素地密度v=[6 2 7 7 4 1 3 5]S=diag(v,-1)nz=nnz(S)D=nnz(S)/prod(size(S))（2）、 sponse 函数R=sponse(S)：生成一个与稀少矩阵 S 构造相同地稀少矩阵 R,可是在矩阵 S 中地非零元素地地点上用元素 1 替代S=sprandsym(10,0.05)R=spones(S)（3）、 spalloc 函数S=spalloc(m,n,nzm)：生成一个全部元素都为0 地m*n阶稀少矩阵,计算机利用这些空间来存储 nzm 个非零元素n=3;v=sprand(n,1,0.33) s=spalloc(n,n,1*n)%生成%分派3*13*3地稀少列向量地空间 ,最后能够储存 3 个非零元素for j=1:ns(:,j)=(v)%v 为含有一个非零元素地稀少列向量end（4）、 full 函数S=full(X)：将稀少矩阵（三元组表示）变换为满矩阵（矩阵表示）s(6,1)=8;s(4,2)=1;s(5,3)=60;s(6,2)=57;s(1,7)=25;s(3,8)=37;full(s)（5）、 find函数I=find(X)：返回矩阵X 地非零元素地地点,如 I=find(X>100) 返回X 中大于100 地元素地地点[I,J]=find(X) ：返回 X 中非零元素所在地行I 和列 J 地详细数据[I,J,V]=find(X)：除了返回I 和 J,还返回矩阵中非零元素地值V注：find(X) 和 find(X~=0)会产生相同地I 和 J,可是后者会生成一个包含全部非零元素地点地向量S(10,50)=82;S(32,14)=82;S(251,396)=25;I=find(S)[I J]=find(S)[I J V]=find(S)（6）、 issparse 函数issparse(S)：返回值为 1 说明矩阵S 是一个稀少矩阵,返回值为0 时说明矩阵S 不为稀少矩阵v=[6 2 7 7 4 1 3 5]S=diag(v,2)R=sparse(S)N=issparse(S) %返回 0,不为稀少矩阵Y=issparse(R) %返回 1,为稀少矩阵。
MATLAB第二讲数值数组及向量化运算(2
姓名：马凯邮箱：matlab2011@ QQ : 9068005数组是MTALAB进行计算和处理的核心内容之一，出于快速运算的需要，MATLAB 总把数组看作存储和运算的基本单元，标量数据也被看作是1×1的数组。
因此，数组的创建、寻址和操作就显得非常重要。
MATLAB 提供了各种数组创建的方法和操作方法，使得MATLAB的数值计算和操作更加灵活和方便。
数组的创建和操作是MATLAB运算和操作的基础.数组的创建一、一维数组的创建直接输入法步长生成法: x=a:inc:b等间距线形成生法：x=linspace(a,b,n)注意x=linspace(a,b,n) 等价于)(:-=-/(nb x:)1aba对数等间距生成法x=logspace(a,b,n)LOGSPACE(X1,X2)generates a row vector of50logarithmically equally spaced points between decades10^X1and10^X2.If X2is pi,then the points are between 10^X1and pi.LOGSPACE(X1,X2,N)generates N points.For N<2,LOGSPACE returns10^X2.例1 一维数组的创建举例A1=[0.2,pi/2,‐4,7,sin(5)]A2=0:0.5:3A3=linspace(1,6,7)A4=logspace(1,6,7)A5=logspace(0,3,4)rand('twister',0)% rng default 效果一样c2=rand(1,5)c2 =0.5488 0.7152 0.6028 0.5449 0.4237例2 一维列数组的创建举例x1=(1:6)‘X2=linspace(0,pi,4)‘y1=rand(5,1)z1 =[0.2;pi/2;‐4;7;sin(5)]二、二维数组（即矩阵）的创建直接输入二维数组的元素来创建中规模数组的数组编辑器创建法当数组规模较大，元素数据比较冗长时，借助数组编辑器比较方便。
Matlab 第3章 数值数组及向量化运算
%计算不同电压下的电阻值 %计算电阻平均值
2：数组运算
L=length(vr); for k=1:L r(k)=vr(k) / ir(k); end
sr=0; for k=1:L sr=sr+r(k); end rm=sr/L
r=vr./ir
rm=mean(r)
2：数组运算
【例 3.3-2】见教材132页 （1）非向量化编程 x=-5:0.1:5; y=(-2.5:0.1:2.5)'; N=length(x); M=length(y); for ii=1:M for jj=1:N X0(ii,jj)=x(jj); Y0(ii,jj)=y(ii); Z0(ii,jj)=sin(abs(x(jj)*y(ii))); end end
2：数组运算
我们要测量弹簧的弹性模量 力 变形 刚刚才用过
力：100N 变形量：5mm 弹性模量=100N / 5mm = 20 N/mm
读数有误差
环境干扰
理 论 值 实 际 值
那我们就需要测量弹簧在受N多个力的情况下，变形量各是多少，然 后分别求出各个弹性模量，最后取平均值。
2：数组运算
通过实验，我们测得了以下数据：
% 变量a是什么 % 数组a的维数 % 数组a的大小
3：“非数”和“空”数组
（3）空数组用于子数组的删除和大数组的大小收缩 A=reshape(-4:5,2,5) A= -4 -2 0 2 4 -3 -1 1 3 5 A(:,[2,4])=[ ] %删除数组A的第2、4列 A= -4 0 4 -3 1 5
2*x+3*y=5 4*sin(x)-5*cos(y)=7
第一次作业解答
x = linspace ( a, b, n)
Matlab第2章 数值数组及向量化运算
21 22 23 24
六. A ( 3 , 1:3 ) = 9 10 11
1.3：二维数组元素的标识和寻访 ——数值数组的创建和寻访
二维数组 A
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
单下标法 一、 A(:)=1:12 A= 1 2
二、A(8)
3 4
5 6
7 8
9 11 10 12
ans = 8
标, A=rand(3,3)，然后根据A写出两个矩阵：一个对角阵 B，其相应元素由A的对角元素构成；另一个矩阵C，其对角元素全 为0，而其余元素与对应的A阵元素相同。（提示： diag diag）
作业提交电子版的word文档，由学习委员统一收齐，发到 smnsss@邮箱，文件命名为“学号+姓名+第几次作业”，比如 你叫魏川东，学号是1207200181，第1次作业，那文件名就应该是： “1207200181魏川东1”。本周六晚上12:00之前发到我的邮箱。
1.4：数组操作技法综合 ——数值数组的创建和寻访
b=diag(A) B=diag(b) b= 1 4 B= 1 0 0 4 D1=repmat(B,2,4) D1 = 1 0 1 0 0 4 0 4 1 0 1 0 0 4 0 4
%即ReplicateMatrix，复制和平铺矩阵 % 1 0 1 0 0 4 0 4 1 0 1 0 0 4 0 4
randn(2,3)
0
0
1
函数生成法
1.2：二维数组的创建 ——数值数组的创建和寻访
D= 1 0 0 0 1 0 0 0 1 diag(D) ans = 1 1 1 diag(diag(D)) ans = 1 0 0 0 1 0 0 0 1
MATLA数值数组及向量化运算
2.其他类型一维数组的创建:
(2) 运用MATLAB函数生成法： MATLAB特殊形式数组生成函数见表3.2-1： 均匀分布随机数组rand(1,n), 全1数组ones(1,n)
指令
diag
含 义
产生对角形数组(二维以 下)
指令
rand
含 义
产生均匀分布随机数 组
eye
产生单位数组(二维以下)
randn 产生正态分布随机数 组
函数 f (.) 的数组运算规则
函数数组运算规则的定义 x11 x12 … x1n
x21 x22 … x2n
对于(m*n)数组X＝ … … … … =[xij] m x 的数组运算规则是指：
f (X) = [ f (xij) ]m x n
也就是对数组中每个元素都实施同样的操作．
b b’ Inc<0
a
特点: 等差数列
1. 递增/递减一维数组的创建:
(2) 线性(或对数)定点采样法
在设定的总点数下, 均匀采样生成一维行数组．格式为：
x=linspace (a, b, n)
a---数组初始值 b---数组最后值 n---数组总个数 增量的计算---inc=(b-a)/(n-1) 特点：方便对数组的元素的总个数进行控制，最后一个元素肯 定是设定之值．
ezplot(sx,[0,15])
例 3.1-2 已知
f (t ) e
sin(t )
求
s( x) f (t )dt
0
4
(1) 符号计算解法 syms t; ft=exp(-sin(t)); sx=int(ft, t, 0, 4)
(2) 数值计算解法
Warning: Explicit integral could not be found. sx = int(1/exp(sin(t)), t = 0..4)
数值数组及向量化运算
1 2 2 1 2 2 a. * b .* 0 2 0 1 0 2
4
第2章 数值阵列及向量化运算
（2）矩阵和数组运算规则对比
1 3 1 2 1 a b 0 2 1 0 1
2 1 3 7 1 3 1 0 1 ab 1 5 0 2 1 1 3
素
fliplr rot90：以数组“垂直中线”为对称轴，交换左右对称位置上的元素 ：把数组逆时针旋转90o 操作例3.3-7，例3.3-8；注意空阵的用法、rot90(a,b)中b的用法P140
14
第2章 数值阵列及向量化运算
六、关系操作和逻辑操作P145
掌握关系操作符 （表3.5-1 P146） 操作例3.5-1 考察r0=A(A<4)与 r0=(A<4)的区别？ A==B,两等号之间不得有空格
车辆仿真技术—基于MATLAB
——第二章
1
第2章 数值阵列及向量化运算
阵列被区分为“数组”和“矩阵”
MATLAB为了提高程序运行效率，为实现向量化编程，特意为 “数组”和“矩阵”设计了两套运算规则。
正确理解矩阵和数组运算规则是有效运用MATLAB的关键所在。 （1）矩阵的概念和运算规则
2 a 3 5
ab
a b
幂
ab
( )
圆括号
( )
( )
3
第2章 数值阵列及向量化运算
对于加减运算，矩阵和数组运算规则相同，都是对应元素相加减
对于乘法、除法、求幂等运算，两者有区别（除法和求幂运算同学 自行实验）
1 2 a 0 2
matlab 数值数组及其运算
matlab 数值数组及其运算数值数组(Numeric Array)和数组运算(Array Operation)是Matlab的核心运算内容一、导言二、一维数组 (向量)三、二维数组（矩阵）四、高维数组五、MATLAB 的运算符一、导言1、数组的定义数组是指一组实数或复数排成的长方阵列(Array)一维的行或列 ? 向量二位数组 ? 矩阵三维的“若干矩阵的堆叠” ? 体四维更高维2、数组运算无论在数组上施加什么运算（+, -, * ,/,或函数等），该运算对数组中的每个元素都实施同样的操作。
Matlab的数组运算使计算程序简短、易读提高程序的向量化程度、提高计算效率示例x=0:0.1:1 %定义自变量的采样点取值数组y=x.*exp(-x) %利用数组运算计算各自变量采样点上的函数值plot(x,y),xlabel('x'),ylabel('y'),title('y=x*exp(-x)') %绘图4 矩阵的索引或下标矩阵 A 中，位于第 i 横列、第 j 直行的元素可表示为 A(i, j) ，i 与 j 即是此元素的下标（Subscript）或索引（Index）MATLAB 中，所有矩阵的内部表示法都是以直行为主的一维向量A(i, j) 和 A(i+(j-1)*m) 是完全一样的~m为矩阵A的列数我们可以使用一维或二维下标来存取矩阵矩阵的索引或下标可以使用矩阵下标来进行矩阵的索引（Indexing）A(4:5,2:3) -取出矩阵 A 的第四、五横列与二、三直行所形成的部份矩阵A([9 14; 10 15]) - 用一维下标的方式来达到同样目的用冒号（:）, 取出一整列或一整行A(:, 5) -取出矩阵 A 的第五个直行用 end 这个保留字来代表某一维度的最大值A(:, end) - 矩阵 A 的最后一个直行可以直接删除矩阵的某一整个横列或直行A(2, :) = [] –删除A矩阵的第二列A(:, [2 4 5]) = [] - 删除 A 矩阵的第二、四、五直行二、一维数组1 一维数组的创建（1）逐个元素输入 []Column>> X = [ 1 ; 2 ; 3 ];Row>> Y = [ 1 , 2 , 3 ];>> Y = [ 1 2 3 ];逗号和分号的作用?逗号和分号可作为指令间的分隔符，matlab允许多条语句在同一行出现。
matlab 第三章 数值数组及向量化运算
第三章 数值数组及向量化运算
数组运算：无论对数组施加什么运算（包括函 数），总认为是对数组中每个元素平等的实 施同样的操作 • 设计数组和数组运算的目的：
– 使程序简单、易读；更接近数学公式 – 提高程序向量化程度，提高计算效率，节省系 统开销
第三章 数值数组及向量化运算 • 绘制函数 在0≤x≤1时的曲线 x=0:0.1:1 %定义自变量的采样点取值数组 y=x.*exp(-x)%利用数组运算计算各自变量采样点上的函数 值 plot(x,y),xlabel('x'),ylabel('y'),title('y=x* exp(-x)') %绘图
第三章 数值数组及向量化运算 2、对向量的元素进行赋值
>> %对向量的第三个元素赋值 >> A(3) = -3 A= 1 2 -3 4 5 6 7 8 >> %对向量中不存在的数据赋值 >> A(15) = -15 A= Columns 1 through 10 1 2 -3 4 5 6 7 8 Columns 11 through 15 0 0 0 0 -15
第三章 数值数组及向量化运算
3.2.3 索引
• 访问向量元素的结果是创建新的向量。 • 访问向量的元素直接给出元素在向量中的序号， 元素的序号不仅可以是单一的整数，还可以是 元素序号组成的向量，如例子2-8中的各种操 作。 • 关键字end在访问向量元素时，表示向量中最 后一个元素的序号。 • 访问向量元素时，序号的数值必须介于数值 1～end之间。
注意： MATLAB的矩阵元 素的排列以列元素 优先，这一点同 FORTRAN语言的二 维数组元素的排列 方法一致，与C语言 的二维数组元素的 排列不同，C语言的 二维数组元素排列 以行元素优先。
探究Matlab中的向量化计算技巧
探究Matlab中的向量化计算技巧引言在数据科学领域，Matlab是一种广泛使用的编程语言和计算工具。
在处理大规模数据集时，向量化计算技巧可以大大提高代码的运行效率。
本文将探究在Matlab中实现向量化计算的方法和技巧。
一、向量化计算的概念在Matlab中，向量化计算是一种使用向量和矩阵运算来代替循环操作的技术。
它可以在一行代码中同时对整个向量或矩阵进行操作，从而提高计算速度。
向量化计算利用内建的矩阵运算函数，如加法、减法、乘法、除法等，实现了对大规模数据集的高效处理。
二、使用点运算符在Matlab中，点运算符是进行向量化计算的关键。
通过使用点运算符，可以直接对两个向量（或数组）逐元素进行运算，而无需使用循环来处理每个元素。
例如，假设我们有两个向量A和B，我们想要计算它们的点积。
通过使用点运算符，可以直接使用A .* B来完成计算，而不必使用循环逐个元素相乘，并将结果保存在一个新的向量中。
三、使用矩阵代替循环除了使用点运算符，还可以使用矩阵来代替循环操作。
在Matlab中，矩阵运算函数通常比循环更高效。
例如，假设我们有一个矩阵X，我们想要计算每行的和。
通过使用矩阵运算函数sum，我们可以直接计算每行的和，并将结果保存在一个新的向量中，而无需使用循环逐个元素相加。
四、逐步构建向量化计算代码当我们处理较复杂的问题时，很难一开始就完全实现向量化计算。
在这种情况下，我们可以逐步构建向量化计算代码。
首先，我们可以使用循环来实现初始版本的代码，以确保算法的正确性。
然后，我们可以逐步将循环转换为矩阵运算函数，从而实现向量化计算。
五、注意向量化计算的边界条件在进行向量化计算时，我们需要注意处理边界条件。
有时，边界条件可能无法同时满足矩阵运算函数的要求。
这时，我们需要特别处理这些边界条件，并使用适当的方法来处理它们。
六、衡量向量化计算效果的指标在衡量向量化计算效果时，我们可以使用不同的指标。
常见的指标包括运行时间、内存使用和代码长度。
matlab数值数组及向量化运算
第2章 数值数组及向量化运算数值数组（Numeric Array ）和数组运算（Array Operations ）始终是MATLAB 的核心内容。
本章教学内容：数组浮点算法的特点；一、二维数值数组的创建和寻访；常用标准数组生成函数和数组构作技法；数组运算和向量化编程；实现数组运算的基本函数；关系和逻辑操作。
2.1 数值计算的特点和地位【例2.1-1】已知t t t f cos )(2=，求dt t f x s x⎰= 0 )()(。
（1）符号计算解法syms t x %定义符号变量ft=t^2*cos(t)sx=int(ft,t,0,x)ft =t^2*cos(t)sx =x^2*sin(x)-2*sin(x)+2*x*cos(x)（2）数值计算解法dt=0.05;t=0:dt:5; %取一些离散点Ft=t.^2.*cos(t);Sx=dt*cumtrapz(Ft); %梯形法求定积分t(end-4:end) %end 表示最后一个元素Sx(end-4:end) %Sx 的最后5个元素plot(t,Sx,'.k','MarkerSize',12)xlabel('x'),ylabel('Sx'),grid onans =4.8000 4.8500 4.9000 4.95005.0000ans =-20.1144 -19.9833 -19.7907 -19.5345 -19.2131图 2.1-1 在区间[0, 5]采样点上算得的定积分值【例2.1-2】已知)sin()(t e t f -=，求⎰=40 )()(dt t f x s 。
本例演示：被积函数没有“封闭解析表达式”，符号计算无法解题！（1）符号计算解法syms t xft=exp(-sin(t))sx=int(ft,t,0,4)ft =exp(-sin(t))Warning: Explicit integral could not be found.> In sym.int at 58sx =int(exp(-sin(t)),t = 0 .. 4)（2）数值计算解法dt=0.05;t=0:dt:4;Ft=exp(-sin(t));Sx=dt*cumtrapz(Ft);Sx(end)plot(t,Ft,'*r','MarkerSize',4)hold onplot(t,Sx,'.k','MarkerSize',15)hold offxlabel('x')legend('Ft','Sx')ans =3.0632图 2.1-2 在区间[0, 4]中间的被积函数及其原函数的离散计算结果小结：(1)符号计算长处——可以对包含变量字符、参数字符和数字的表达式进行推理、运算，并给出符号结果，与高等数学中的解析式比较接近；符号计算的短处——很多问题无解或求解时间过长。
matlab数值数组及其运算
即指出是“第几行，第几列”的元素 优点：几何概念清楚，引述简单。（最常用） “全下标”由两个下标组成：行下标，列下标
A(r,c)
A的r行c列元素
A(r,:)
A(:,c)
A的r行全部元素,按行排
A的c列全部元素,按列排
3.2.3 二维数组元素的标识和寻访
2.“单下标”标识
就是用一个下标来指明元素在数组中的位置 对二维数组元素进行“一维编号”
A= -4 -3 -2
-1 0 1
2 3 4
3.2.4 数组操作技法综合
(5)数组的删除 A1([1,3],:)=[] %删除A1的第1，3行。[]为空数组 A1= A1 = 3 0 -3 -2 1 4 注意：只能整行整列的删除 -3 0 3 （6）rot90的使用演示 -4 -1 2 D=rot90(A2,2) %逆时针旋转180度 D= A2 = -2 1 4 2 -1 -4 -3 0 3 3 0 -3 -4 -1 2 4 1 -2
3.2.2 二维数组的创建
【例】标准数组产生的演示
ones(1,2) %产生长度为2的全1行数组 ans = 1 1 randn(„state‟,0)%把正态随机数发生器置0 A=randn(2,3)%产生2×3的正态随机阵 A= -0.4326 0.1253 -1.1465 -1.6656 0.2877 1.1909 B=eye(3) %产生3×3的单位阵 B= 1 0 0 0 1 0 0 0 1
0.4860
0.8913
补充：一维数组元素的寻访和赋值
（1）数组元素的寻访（Address）
x(3) %寻访数组x的第三个元素 x([1 2 5]) %寻访数组x的第一、二、五个元素，组成子数组 x(1:3) %寻访前三个元素，组成子数组 x(3:end) %寻访从第三到最后的元素，组成子数组。 x(3:-1:1) %由前三个元素倒排构成子数组 x(find(x>0.5)) %由大于0.5的元素构成子数组 %先找到大于0.5的元素下标再寻访 x([1 2 3 4 4 3 2 1])%对元素可以重复寻访，使所得数组长 度允许大于原数组 注意对数组的寻访不改变原数组的值
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第2章 数值数组及向量化运算数值数组（Numeric Array ）和数组运算（Array Operations ）始终是MATLAB 的核心内容。
本章教学内容：数组浮点算法的特点；一、二维数值数组的创建和寻访；常用标准数组生成函数和数组构作技法；数组运算和向量化编程；实现数组运算的基本函数；关系和逻辑操作。
2.1 数值计算的特点和地位【例2.1-1】已知t t t f cos )(2=，求dt t f x s x⎰= 0 )()(。
（1）符号计算解法syms t x %定义符号变量ft=t^2*cos(t)sx=int(ft,t,0,x)ft =t^2*cos(t)sx =x^2*sin(x)-2*sin(x)+2*x*cos(x)（2）数值计算解法dt=0.05;t=0:dt:5; %取一些离散点Ft=t.^2.*cos(t);Sx=dt*cumtrapz(Ft); %梯形法求定积分t(end-4:end) %end 表示最后一个元素Sx(end-4:end) %Sx 的最后5个元素plot(t,Sx,'.k','MarkerSize',12)xlabel('x'),ylabel('Sx'),grid onans =4.8000 4.8500 4.9000 4.95005.0000ans =-20.1144 -19.9833 -19.7907-19.5345 -19.2131图 2.1-1 在区间[0, 5]采样点上算得的定积分值【例2.1-2】已知)sin()(tetf-=，求⎰=4)()(dttfxs。
本例演示：被积函数没有“封闭解析表达式”，符号计算无法解题！（1）符号计算解法syms t xft=exp(-sin(t))sx=int(ft,t,0,4)ft =exp(-sin(t))Warning: Explicit integral could not be found.> In sym.int at 58sx =int(exp(-sin(t)),t = 0 .. 4)（2）数值计算解法dt=0.05;t=0:dt:4;Ft=exp(-sin(t));Sx=dt*cumtrapz(Ft);Sx(end)plot(t,Ft,'*r','MarkerSize',4)hold onplot(t,Sx,'.k','MarkerSize',15)hold offxlabel('x')legend('Ft','Sx')ans =3.0632图 2.1-2 在区间[0, 4]中间的被积函数及其原函数的离散计算结果小结：(1)符号计算长处——可以对包含变量字符、参数字符和数字的表达式进行推理、运算，并给出符号结果，与高等数学中的解析式比较接近；符号计算的短处——很多问题无解或求解时间过长。
(2)数值计算在确定一组自变量采样点基础上，执行数值计算的表达式在已知的数值点上进行计算。
它适用范围比符号计算广，以有限的精度表现有限时间和范围内的函数关系。
2.2数值数组的创建和寻访MATLAB把数组看作存储和运算的基本单元，而标量数据看作（1×1）的数组。
2.2.1 一维数组的创建1.递增/减型一维数组的创建数组元素值的大小按递增或递减的次序排列，数组元素之间的“差”是“确定的”，即“等步长”。
（1）“冒号”生成法x=a : inc : b ；a—数组的第一个元素；inc—步长，默认值为1；最后一个元素小于等于b。
（2）线性（或对数）定点法x=linspace(a, b, n)；产生线性等间隔（1×n）行数组，等价于x=a : (b-a)/(n-1) : b ；x=logspace(a, b, n)；产生对数等间隔（1×n）行数组，n—一维数组的长度。
（线性等分向量）linspace=linear space linear 线性的 space间隔2.通用型一维数组的创建利用函数生成特殊形式数组。
【例2.2-1】一维数组的常用创建方法举例。
a1=1:6a2=0:pi/4:pia3=1:-0.1:0a1 =1 2 3 4 5 6a2 =0 0.7854 1.5708 2.3562 3.1416a3 =Columns 1 through 61.0000 0.9000 0.8000 0.7000 0.6000 0.5000Columns 7 through 110.4000 0.3000 0.2000 0.1000 0b1=linspace(0,pi,4)b2=logspace(0,3,4)b1 =0 1.0472 2.0944 3.1416b2 =1 10 100 1000c1=[2 pi/2 sqrt(3) 3+5i]c1 =Columns 1 through 32.0000 1.5708 1.7321Column 43.0000 + 5.0000irand('state',0)c2=rand(1,5) %均匀随机数组c2 =0.9501 0.2311 0.6068 0.4860 0.89132.2.2 二维数组的创建1. 小规模数组的直接输入法【例2.2-2】在MATLAB环境下，用下面三条指令创建二维数组C。
a=2.7358; b=33/79;C=[1,2*a+i*b,b*sqrt(a);sin(pi/4),a+5*b,3.5+i]C =1.0000 5.4716 + 0.4177i 0.69090.7071 4.8244 3.5000 + 1.0000i数组的三个要素：括号[]；逗号或空格；分号或回车键。
2. 中规模数组的数组编辑器创建法3( 的数组。
【例2.2-3】根据现有数据创建一个)8图2.2-1 利用数组编辑器创建中规模数组3.中规模数组的M文件创建法【例2.2-4】创建和保存数组 AM的 MyMatrix.m 文件。
（1）打开文件编辑调试器，并在空白填写框中输入所需数组（见图2.2-2）。
（2）在文件的首行，编写文件名和简短说明，以便查阅（见图2.2-2）。
（3）保存此文件，并且文件起名为 MyMatrix.m 。
（4）以后只要在MATLAB指令窗中，运行 MyMatrix.m文件，数组 AM 就会自动生成于 MATLAB内存中。
图2.2-2 利用M文件创建数组4.利用MATLAB函数创建数组【例2.2-5】标准数组产生的演示。
ones(2,4) %产生全1元素数组zeros —产生全0元素数组ans =1 1 1 11 1 1 1randn('state',0) %产生正态分布随机数组；rand —产生均匀分布随机数组randn(2,3)ans =-0.4326 0.1253 -1.1465-1.6656 0.2877 1.1909D=eye(3) %产生单位数组D =1 0 00 1 00 0 1diag(D) %产生对角数组ans =111diag(diag(D))ans =1 0 00 1 00 0 1randsrc(3,20,[-3,-1,1,3],1) %在指定字符集生成均匀随机数组；random —生成各种分布随机数组ans =Columns 1 through 103 1 3 -1 -3 3 -3 -3 -1 31 3 1 3 -1 1 1 1 1 13 -1 -3 -1 1 -1 3 -1 -1 1Columns 11 through 20-1 -1 -3 1 1 -3 3 -1 1 31 1 3 -1 -1 -3 -1 -1 1 -31 -1 -3 3 -1 -1 3 -1 3 32.2.3 二维数组元素的标识和寻访【例2.2-6】本例演示：数组元素及子数组的各种标识和寻访格式；冒号的使用；end的作用。
A=zeros(2,6)A(:)=1:12A =0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0A =1 3 5 7 9 112 4 6 8 10 12A(2,4)A(8)ans =8ans =8A(:,[1,3])A([1,2,5,6]')ans =1 52 6ans =1256A(:,4:end)ans =7 9 118 10 12A(2,1:2:5)=[-1,-3,-5]A =1 3 5 7 9 11 -1 4 -3 8 -5 12 B=A([1,2,2,2],[1,3,5] )B =1 5 9-1 -3 -5-1 -3 -5-1 -3 -5L=A<3A(L)=NaNL =1 0 0 0 0 01 0 1 0 1 0A =NaN 3 5 7 9 11 NaN 4 NaN 8 NaN 122.2.4数组构作技法综合【例 2.2-7】数组操作函数reshape, diag, repmat的用法；空阵 [ ] 删除子数组的用法。
a=1:8A=reshape(a,4,2) %在总元素不变的前提下，改变数组的行数或列数A=reshape(A,2,4)a =1 2 3 4 5 6 7 8A =1 52 63 74 8A =1 3 5 72 4 6 8b=diag(A)B=diag(b)b =14B =1 00 4D1=repmat(B,2,4) %按指定的行数2、列数4，把B作为模块铺放形成更大维数的数组D1 =1 0 1 0 1 0 1 00 4 0 4 0 4 0 41 0 1 0 1 0 1 00 4 0 4 0 4 0 4D1([1,3],: )=[ ]D1 =0 4 0 4 0 4 0 40 4 0 4 0 4 0 4【例2.2-8】函数flipud, fliplr, rot90对数组的操作体现着“矩阵变换”。
A=reshape(1:9,3,3)A =1 4 72 5 83 6 9B=flipud(A) %以数组“水平中线”为对称轴，交换上下对称位置上的数组元素B =3 6 92 5 81 4 7C=fliplr(A) %以数组“垂直中线”为对称轴，交换左右对称位置上的数组元素C =7 4 18 5 29 6 3D=rot90(A,2) %把数组逆时针旋转90度D =9 6 38 5 27 4 12.3 数组运算2.3.1数组运算的由来和规则1.数组运算规则（1）同维数组运算n m ij a A ⨯=][，n m ij b B ⨯=][，n m ij c C ⨯=][（2）标量和数组运算 a ，n m ij b B ⨯=][，n m ij c C ⨯=][（3）函数的数组运算)(•f ，n m ij x X ⨯=][结 论：数组运算是对单个元素进行运算。