最新山东高考数学真题word版本
2023年高考真题——数学(新高考II卷) Word版含解析
程，解出即可.
y xm
【详解】将直线
y
x
m
与椭圆联立
x2 3
y2
，消去
1
y
可得
4x2
6mx
3m2
3
0
，
因为直线与椭圆相交于 A, B 点，则 36m2 4 4 3m2 3 0 ，解得 2 m 2 ，
设 F1 到 AB 的距离 d1,F2 到 AB 距离 d2 ，易知 F1 2, 0 , F2 2, 0 ，
5.
已知椭圆 C :
x2 3
y2
1 的左、右焦点分别为 F1 ，F2 ，直线
y
x m 与 C 交于 A，B 两点，若 △F1AB
面积是 △F2 AB 面积的 2 倍，则 m （ ）．
2 A. 3
B. 2 3
C. 2 3
D. 2 3
【答案】C
【解析】
【分析】首先联立直线方程与椭圆方程，利用 0 ，求出 m 范围，再根据三角形面积比得到关于 m 的方
综上所述： a 1 .
故选：B.
3. 某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高 中部两层共抽取 60 名学生，已知该校初中部和高中部分别有 400 名和 200 名学生，则不同的抽样结果共有 （ ）．
A.
C45 400
C15 200
种
.C
C30 400
C40 400
C20 200
种.
故选：D.
4.
若
f
x
x
a
ln
2x 2x
1 1
为偶函数，则
a
（
）．
A. 1
2023年高考山东卷理科数学试题及参考答案
自学考试《工程心理学》听课笔记第一章一、工程心理学是二十世纪四十年月后期开头进展起来的一门学科。
1.以人—机系统为对象，主要争论①人的工作效能，②人在系统中的行为特点，③人—机间的合理协作等。
2.任何人机系统都处于确定的环境之中，人的工作效能和人机关系都受环境因素的影响，因而有人把人机系统概念扩大为人—机—环境系统。
3.“机”是广义的，包括人在工作、学习、生活和休息中所使用的各种人造器物。
“环境”不仅指各种物理环境因素，也包括劳动组织、工作制度等社会环境条件。
二、怎样解决好人—机—环境三者的关系：1．首先必需对人在系统中的地位有一个正确的生疏。
对这个问题有两种对立的观点。
一是人机功能安排，离散把握器和旋转式、往复式和直动式三种。
⒌把握--显示比：指把握与显示的动程之比。
对于直线运动的把握器与显示器，动程按移动距离计算。
⒍空间兼容性：是指显示器与把握器的空间关系与人们对这种关系推想的全都性。
把握器与显示器的使用往往是一一对应的，它们的位置关系是否适宜将影响到把握器或显示的使用效果。
依据兼容的空间关系，把握器最好直接位于相联系的显示器旁边。
⒎运动兼容性：指把握器与显示器的运动关系与人们对这些关系的推想的全都性。
⒏概念兼容性：指把握器或显示器的功能或用途的编码与人们已有概念的全都性。
二、简答论述⒈简述把握器的排列原则。
⑴重要性原则：依据每个把握器对实现系统目标的重要程度打算其位置安排的优先权。
把握器越重要，被安排的位置越好。
⑵使用频次原则：依据每个把握器在系统操作中的使用频次多少打算位置安排的优先权。
把握器的使用频次越多，被安排的位置越好。
⑶功能原则：依据功能关系安排把握器的位置，将功能相近或相关的把握器组装在一起，把同类设备功能上相像的把握器安排在相对全都位置上。
⑷使用挨次原则：对系统操作中使用挨次固定的把握器，依据它们的使用挨次安排其位置。
第九章人机界面设计一、填空⒈交互：指两个或多个相关，但又自主的实体间进展的一系列交换的交互作用过程。
2023山东高考数学试题及答案_完整版
2023山东高考数学试题及答案_完整版2023山东高考数学试题及答案_完整版小编整理了2023山东高考数学试题及答案，数学被应用在很多不同的领域上，包括科学、工程、医学和经济学等。
下面是小编为大家整理的2023山东高考数学试题及答案，希望能帮助到大家!2023山东高考数学试题及答案怎样学好高中数学第一步，怎么样学好高中数学首先需要吃透数学书的知识，如何学习知识，如何提高高中数学成绩，同学上课前要做好预习，带着问题来认真听讲，做好布置的，作业。
建议：不管是高一二或者高三同学，怎样学好高中数学一定要把基础知识学扎实的前提下，才能提高数学成绩。
第二步，高中数学在掌握了基础知识之后，再考虑有两种：一种就题论题式思考;一种是思维全面化、系统化思考。
就题论题思考是必要的，拿到陌生题目一定要自己思考，实在思考不出来再去看答案或问别人，这对于你的做题水平的提高是很有帮助的。
第三步，这是拔高提升阶段，这一步对于怎样学好高中数学至关重要，我们有的同学做了很多数学题，可是遇到陌生题就不知从何入手了，那么这样的学生如果第二步做好了，那么他们缺的就是第三步: 对高中数学题目的全面系统化思考做到这一步需要整体思维和系统化思维，需要对各类题型进行总结，进行逻辑上的提炼和升华，同时需要一个思维逻辑高度来全面系统化思考。
怎么复习高三数学一、认真学《考试说明》，从参试题中寻找启示高考试题体现能力的同时更加人性化，解答题起点低，入口容易，不同层次的学生都能得到一定的分数。
由此可见，强调三基，突出三基，考查三基已成为命题的主旋律。
二、重视课本，把基础落到实处尽管当前高考数学试卷不再刻意追求知识点的覆盖面，但凡是《考试说明》中规定的知识点，在复习时不能遗漏，并且要突出重点。
回到基础中去，对课本中的概念、法则、性质、定理等进行梳理，要理清知识发生的本原，考生要注意从学科整体意义上建构知识网络，形成完整的知识体系，掌握知识之间内在联系与规律。
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2021 年高考山东卷理科数学真题及参考答案一．：本大共10小，每小5分，共50分。
在每小出的四个中，符合目要求的。
1.a,b R,i是虚数位，假设a i与2bi互共复数，〔a2bi〕〔A〕54i(B)54i(C)34i(D)34i 答案：D2.集合A{xx12},B{yy2x,x[0,2]},AB(A)[0,2](B)(1,3)(C)[1,3)(D)(1,4)答案：C3.函数f(x)1的定域(log2x)21(A )1(B)(2，)(C)1)(D)1) (0，)(0，)(2,(0，][2，222答案：C4.用反法明命“a,b R,方程x2ax b0至少有一个根〞要做的假是(A)方程x2ax b0没有根(B)方程x2ax b0至多有一个根(C)方程x2ax b0至多有两个根(D)方程x2ax b0恰好有两个根答案：A5.数x,y足a x a y(0a1，以下关系式恒成立的)是(A)1111(B)ln(x21)ln(y21)(C)sinx siny(D)x3y3x2y2答案：D直y4x与曲yx2在第一象限内成的封形的面A〕22〔B〕42〔C〕2〔D〕4答案：D7.了研究某厂的效，取假设干名志愿者行床，所有志愿者的舒数据〔位：kPa〕的分区[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17],将其按从左到右的序分号第一，第二，⋯⋯，第五，右是根据数据制成的率分布直方，第一与第二共有20人，第三中没有效的有6人，第三中有效的人数频率/组距0121314151617舒张压/kPa 〔A〕6〔B〕8〔C〕12〔D〕18答案：C8.函数fx x21gxkx.假设方程f x gx有两个不相等的实根，那么实数k的取值范围是,11〔C〕〔1，2〕〔D〕〔2，〕〔A〕〔，〕〔〕0B〔，1〕22答案：B9.x,y满足的约束条件x-y-10,zaxby(a0,b0)在该约束条件下取得最小值2x-y-3当目标函数0,25时，a2b2的最小值为〔A〕5〔B〕4〔C〕5〔D〕2答案：B10.a0,b0,椭圆C的方程为x2y21，双曲线C的方程为x2y21，C与C的离心率之积为1a2b22a2b2123，那么C2的渐近线方程为2〔A〕x2y0〔B〕2x y0〔C〕x2y0〔D〕2xy0答案：A二．填空题：本大题共5小题，每题5分，共25分，答案须填在题中横线上。
2024年山东省高考数学试卷(新高考Ⅰ)正式版含答案解析
绝密★启用前2024年山东省高考数学试卷（新高考Ⅰ）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
第I 卷（选择题）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A ={x|−5<x 3<5}，B ={−3,−1,0,2,3}，则A ∩B =( ) A. {−1,0} B. {2,3} C. {−3,−1,0} D. {−1,0,2}2.若z z−1=1+i ，则z =( )A. −1−iB. −1+iC. 1−iD. 1+i3.已知向量a ⃗=(0,1)，b ⃗⃗=(2,x)，若b ⃗⃗⊥(b ⃗⃗−4a ⃗⃗)，则x =( ) A. −2B. −1C. 1D. 24.已知cos(α+β)=m ，tanαtanβ=2，则cos(α−β)=( ) A. −3mB. −m3C. m3D. 3m5.已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为√ 3，则圆锥的体积为( ) A. 2√ 3πB. 3√ 3πC. 6√ 3πD. 9√ 3π6.已知函数为f(x)={−x 2−2ax −a,x <0,e x +ln(x +1),x ≥0在R 上单调递增，则a 取值的范围是( )A. (−∞,0]B. [−1,0]C. [−1,1]D. [0,+∞)7.当x ∈[0,2π]时，曲线y =sinx 与y =2sin(3x −π6)的交点个数为( ) A. 3B. 4C. 6D. 88.已知函数为f(x)的定义域为R ，f(x)>f(x −1)+f(x −2)，且当x <3时，f(x)=x ，则下列结论中一定正确的是( ) A. f(10)>100B. f(20)>1000C. f(10)<1000D. f(20)<10000二、多选题：本题共3小题，共18分。
高考山东理科数学试题包括答案word解析版
2021年高考山东理科数学试题及答案(word解析版)2021年普通高等学校招生全国统一考试〔山东卷〕 数学〔理科〕 第一卷〔共50分〕一、选择题：本大题共10小题，每题5分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．〔1〕【2021年山东，理1，5分】a,bR ，i 是虚数单位，2假设ai与2bi互为共轭复数，那么〔abi 〕 〔〕〔A 〕54i〔B 〕54i〔C 〕34i〔D 〕34i【答案】D互为共轭复数，，【解析】与2bi22 44ii 2aia2,b1abi2i 34i应选D ．，，〔2〕【2021年山东，理2，5分】设集合{ 2x,[0,2]}A {xx12}Byyx那么AI B 〔〕〔A 〕[0,2]〔B 〕(1,3)〔C 〕[1,3)〔D 〕(1,4)【答案】C，，，， ，，，【解析】2xQx 122x121x3Qyx0,2y 1,4AI B1,3应选C ．〔3〕【2021年山东，理3，5分】函数f(x)1的定义域(log 2 x) 21为〔 〕〔B 〕(2，)〔C 〕〔A〕(0，)1211(0，)U(2,)〔D〕(0，]U[2，)22【答案】C【解析】log2x10log2x1x1x2x或log2或01，应选C．222〔4〕【2021年山东，理4，5分】用反证法证明命题“设a,bR，那么方程x2axb0至少有一个实根〞时要做的假设是〔〕〔A〕方程x2axb0没有实根〔B〕方程x2axb0至多有一个实根〔C〕方程x2axb0至多有两个实根〔D〕方程x2axb0恰好有两个实根【答案】A【解析】反证法证明问题时，反设实际是命题的否认，∴用反证法证明命题“设，为实数，那么方程2ab x axb0至少有一个实根〞时，要做的假设是：方程x2axb0没有实根，应选A．5〕【2021年山东，理5，5分】实数x,y满足axay(0a1)，那么以下关系式恒成立的是〔〕〔A〕2121〔B〕ln(x1)ln(y1)〔C〕sinxsiny22x1y1〔D〕x3y3【答案】D【解析】Qa x a y,0a1xy，排除A，B，对于C，sinx是周期函数，排除C，应选D．6〕【2021年山东，理6，5分】直线y4x与曲线yx3在第一象限内围成的封闭图形的面积为〔〕〔A〕2〔B〕2〔C〕24 2〔D〕4【答案】D【解析】Q4x x3，Q4x x3x4x2x2x2x0，解得频率/组距直线和曲线的交点为x0，x2，x2，30121314151617舒张压/kPa第一象限面24xx dx2x x844，故D．0321447〕【2021年山，理7，5分】了研究某厂的效，取假设干名志愿者行床，所有志愿者的舒数据〔位：kPa〕的分区[12,13)，[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17],将其按从左到右的序分号第一，第二，⋯⋯，第五，右是根据数据制成的率分布直方，第一与第二共有20人，第三中没有效的有6人，第三中有效的人数〔〕〔A〕6〔B〕8〔C〕12〔D〕18【答案】C【解析】第一与第二率之和，2050，5018，18612，故C．8〕【2021年山，理8，5分】函数fxx21，gxkx．假设方程fxgx有两个不相等的根，数k的取范是〔〕11〔C〕〔A〕〔0，〕〔B〕〔，1〕22〔1，2〕〔D〕〔2，〕【答案】B【解析】画出fx的象最低点是2,1，gx kx原点和2,1斜率最小1，斜率最大gx的斜率与fx x1的斜2率一致，故B．〔9〕【2021年山，理9，5分】x,y足的束条件4x y10，当目标函数zaxbya0,b0在该约束条件下取2x y305时，a b的最小值为〔〕得最小值222〔A〕5〔B〕4〔C〕5〔D〕2【答案】B【解析】xy10求得交点为2,1，那么2a b25，即圆心0,0到直2x y30线2，应选B．2a b250的距离的平方252245〔10〕【2021年山东，理10，5分】a0,b0,椭圆C1的方程为x2y2，双曲线x2y2与的离心1C21C1C22222a b的方程为a b，率之积为3，那么C2的渐近线方程为〔〕2〔A〕x2y0〔B〕2xy0〔C〕x2y0 D〕2xy0【答案】A2c2a2b22c2a2b22a4b4344，b2，【解析】e1a2a2，e2a2a2，e1e2a44a4b a2应选A．II卷〔共100分〕二、填空题：本大题共5小题，每题5分11〕【2021年山东，理11，5分】执行下面的程序框图，假设输入的x的值为1，那么输出的n的值为．【答案】3【解析】根据判断条件x24x30，得1x3，输入x1，第一次判断后循环，xx12,n n11；第二次判断后循环，xx13,n n12；第三次判断后循环，xx14,n n13；5第四次判断不满足条件，退出循环，输出n 3．uuur uuur 〔12〕【2021年山东，理12，5分】在VABC中，ABACtanA，当A 时，VABC的面积为6【答案】16uuuruuur【解析】由条件可知ABAC cbcosA．tanA，2，11．SABC bcsinA，当Abc3266（13〕【2021年山东，理13，5分】三棱锥PABC中，D，E分别为PB，PC的中点，记三棱锥DABE的体积为V1，PABC的体积为V2，那么V1．V2【答案】14【解析】分别过E,C向平面做高h1,h2，由E为PC的中点得h11，h22由D为PB的中点得S ABD1S ABP，所以V1:V2323SABPh24．SABDh1111〔14〕【2021年山东，理14，5分】假设ax64项b的展开式中x3x的系数为20，那么a2b2的最小值为【答案】2b x)6【解析】将(ax2展开，得到Tr1C6ab20，得ab1，333所以a b2ab2．22高考山东理科数学试题包括答案word解析版．C6r a6r b r x123r，令12 3r 3,得r 3．由〔15〕【2021年山东，理15，5分】函数y f(x)(xR)，对函数yg xx I，定义gx关于fx的“对称函数〞为函数，两个点，满足：对任意x IyhxxI yhx x,h x,x,gx关于点x,fx对称，假设hx是gx4x2关于fx3xb的“对称函数〞，且hx gx恒成立，那么实数b的取值范围是．6【答案】b210【解析】根据图像分析得，当f(x)3x b与g(x)4x2在第二象限相切时，b210，由h(x)g(x)恒成立得b210．三、解答题：本大题共6题，共75分．〔16〕【2021年山东，理16，12分】向量vm,cos2xvsin2x,n，a,b函数fv vx的图像过点,3和点2,2．xa b，且yf123〔1〕求m,n的值；〔2〕将y fx的图像向左平移0个单位后得到函数y g x的图像，假设y g x图像上各最高点到点0,3的距离的最小值为1，求y g x的单调递增区间．r rmsin2x ncos2x，f(x)过点(,3),(,2)，解：〔1〕f(x)a b2123f()msinncos63，1262441m3n3，解得m3．f()msin ncos2，22333312n122〔2〕，左移后得到．f(x)3sin2x cos2x2sin(2x)f(x)g(x)2sin(2x2)解得[k2柱AB1171〕求证：C1M//平面A1ADD1；2〕假设CD1垂直于平面ABCD且CD1=3，求平面C1D1M和平面ABCD所成的角〔锐角〕的余弦值．解：〔1〕连接AD 1，1111为四棱柱，11，CD//AM，CD AM，QABCD ABCD CD//CDAM//C1D1，AM C1D1，AMC1D1为平行四边形，AD1//MC1，又QC1M 平面A1ADD1，AD1 平面A1ADD1， AD1//平面A1ADD1．〔2〕解法一：QAB//A1B1，A1B1//C1D1，面D1C1M与ABC1D1共面，作CN AB，连接D1N，那么D1NC即为所求二面角，在ABCD中，DC1,AB2,DAB60o CN3，2在Rt D1CN中，CD13，CN3，D1N15．22解法二：作CP AB于p点以C为原点，CD为x轴，CP为y轴，CD1为z轴建立空间坐标系，13,0)，uuuuuruuuuur13C1(1,0,3),D1(0,0,3),M(,C1D1(1,0,0),D1M(,,3)2222设平面CD M的法向量为r，x103，n(x1,y1,z1)111x1y13z1022uur，n 1(0,2,1)显然平面ABCD 的法向量为uur，n 2(1,0,0)uuruur uur uurn 1 n 2 1 5 ，显然二面角为锐角，cosn 1,n 2n 1 n 2 5 5uur uur所以平面C 1D 1M 和平面ABCD 所成角的余弦值为5 ，5NC 33 5．cosD 1CN2D 1N15 15 52818〕【2021年山东，理18，12分】乒乓球台面被球网分成甲、乙两局部．如图，甲上有两个不相交的区域A，B，乙被划分为两个不相交的区域C，D．某次测试要求队员接到落CABD点在甲上的来球后向乙回球．规定：回球一次，落点在C上的概率为1，在D上的概率5为3．假设共有两次来球且落在A,B上各一次，小明的解 5解两次回球互不影响．求：解1〕小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；解2〕两次回球结束后，小明得分之和的分布列与数学期望．解：〔1〕设恰有一次的落点在乙上这一事件为A，P(A)51143．656510〔2〕的可能取值为01，，2，3，4，6，P(0)111；P(1)11131；653035656P(2)131；355P(3)11112；P(4)131111；P(6)111．2565152535302510的分布列为：0123461112111P3065153010 E()011121324116191．306515301030〔19〕【2021年山东，理19，12分】等差数列{a n}的公差为2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列．〔1〕求数列{a n}的通项公式；〔2〕令bn(1)n14n，求数列{bn}的前n项和Tn．a n a n19得得解：〔1〕d2,S1a1,S22a1d,S44a16d，QS1，S2，成等比，S22S1S4，解得a11,a n2n1．〔2〕b n(1)n14n(1)n1(111)，当n为偶数时，anan12n2n1T n11111LL(1111)，(1)()()2n32n)(12n3355712n1T n1112n1，2n2n当n为奇数时，T n(11)(11)(11)L L(131)(111)335572n2n12n2n12n,n为偶数12n2，T n．T n12n12n12n12n2为奇数2n ,n 1（〔20〕【2021年山东，理20，12分】设函数fx（为常数，e 是自然对数的底数〕．（1〕当k0时，求函数fx的单调区间；（2〕假设函数fx在0,2内存在两个极值点，范围．xk(2elnx)〔k x2x求k的取值x 2解：〔1〕f'(x)ex x4令f x 时，f〔2〕令gx e xx1x kx)2xe2(x2)(e，当时，，x，k(x2x)x3(x0)k0kx0e kx00，那么x2．当x0,2时，fx单调递减；当x2,x单调递增．kx，那么gxe x k，e x，．'，，kx lnkQg(0)1k0g(0)10g'(2)e2k0,g2e22k0k e2glnke lnk klnk0lnk1ke，2，综上：e的取值范围为〔e,e2〕．2〔21〕【2021年山东，理21，14分】抛物线C:y22px(p＞0〕的焦点为，为上异于原点的任意一点，过点的FA CA直线l交于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有（FA FD，当点A的横坐标为3时，ADF为正三角形．（1〕求C的方程；（2〕假设直线l1//l，且l1和C有且只有一个公共点E．10〔ⅰ〕证明直线AE过定点，并求出定点坐标；〔ⅱ〕ABE的面积是否存在最小值？假设存在，请求出最小值；假设不存在，请说明理由．解：〔1〕由题意知F p,0．设Dt,0t0，那么FD的中点为p2t,0．因24为FA FD，由抛物线的定义知：p pp或t3〔舍32t2，解得t3去〕．由p2t3，解得p2．4所以抛物线C的方程为y24x．〔2〕〔ⅰ〕由〔1〕知F1,0．设Ax0,y0x0y00，DxD,0xD0，因为FA FD，那么xD1x01，由x D0得x D x02，故D x02,0．故直线l1和直线AB平行，设直线l1的方程为y y0x b，2代入抛物线方程得：y28y8b0，由题意y0y0 6432b2．设ExE,yE，y02y00，得b y04y0那么4，42时，yEy0y04y0y04 y0y Ey0．当y04xEx04y0xE2kAE22，y024可得直线AE的方程为：4y024x0，整理可得：y 4y0x1，yy02xx0，由y02y04y04（直线AE恒过点F1,0．（y024时，直线AE的方程为x1，过点F1,0．所以直线AE过定点F1,0．（ⅱ〕由〔ⅰ〕知直线AE过焦点F1,0，所以11x01．AEAFFEx012x0x0设直线AE的方程为x my 1，因为点Ax0,y0 在直线11AE 上，故mx0y01．设Bx 1,y 1，y0 0，由于y 0 0，可得直线AB 的方程为yy2xx2，代入抛物线方程得：x2x 0y 0y28y8 4x00．所以y0y 18，可求得y1y0 8，y0y0y04x 0 4．x 1x 0所以点B 到直线AE 的距离为：4x 0 4 my 081x0 y04x 0 11，d1m24x0x 0x 0111那么ABE 的面积S4x 0x 0216，当且仅当2x 0x 01x0，即x01时等号成立．x0所以 ABE 的面积的最小值为 16．12。
2023年山东高考数学试卷及答案详解
2023年山东高考数学试卷及答案详解2023年山东高考数学试卷及答案详解小编整理了2023年山东高考数学试卷及答案，数学是人类对事物的抽象结构与模式进行严格描述的一种通用手段，可以应用于现实世界的任何问题。
下面是小编为大家整理的2023年山东高考数学试卷及答案，希望能帮助到大家!2023年山东高考数学试卷及答案高三数学四轮复习总结1.第一阶段，即第复习，也称“知识篇”，大致就是高三第一学期。
在这一阶段，老师将带领同学们重温高一、高二所学课程，但这绝不只是以前所学知识的简单重复，而是站在更高的角度，对旧知识产生全新认识的重要过程。
因为在高一、高二时，老师是以知识点为主线索，依次传授讲解的，由于后面的相关知识还没有学到，不能进行纵向联系，所以，你学的往往时零碎的、散乱的知识点，而在第一轮复习时，老师的主线索是知识的纵向联系与横向联系，以章节为单位，将那些零碎的、散乱的知识点串联起来，并将他们系统化、综合化，侧重点在于各个知识点之间的融会贯通。
所以大家在复习过程中应做到：① 立足课本，迅速激活已学过的各个知识点。
(建议大家在高三前的一个暑假里通读高一、高二教材)② 注意所做题目使用知识点覆盖范围的变化，有意识地思考、研究这些知识点在课本中所处的地位和相互之间的联系。
注意到老师选题的综合性在不断地加强。
期末复习方法③ 明了课本从前到后的知识结构，将整个知识体系框架化、网络化。
能提炼解题所用知识点，并说出其出处。
期末复习方法期末复习方法④ 经常将使用最多的知识点总结起来，研究重点知识所在章节，并了解各章节在课本中的地位和作用。
2.第二轮复习，通常称为“方法篇”。
大约从第二学期开学到四月中旬结束。
在这一阶段，老师将以方法、技巧为主线，主要研究数学思想方法。
老师的复习，不再重视知识结构的先后次序，而是以提高同学们解决问题、分析问题的能力为目的，提出、分析、解决问题的思路用"配方法、待定系数法、换元法、数形结合、分类讨论"等方法解决一类问题、一系列问题。
2024年山东高考数学真题及答案
2024年山东高考数学真题及答案本试卷共10页，19小题，满分150分.注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.已知集合{}355,{3,1,0,2,3}A x xB =-<<=--∣，则A B = （）A.{1,0}- B.{2,3} C.{3,1,0}-- D.{1,0,2}-2.若1i 1zz =+-，则z =（）A.1i --B.1i-+ C.1i- D.1i+3.已知向量(0,1),(2,)a b x ==，若(4)b b a ⊥-，则x =（）A.2- B.1- C.1D.24.已知cos(),tan tan 2m αβαβ+==，则cos()αβ-=（）A.3m -B.3m -C.3m D.3m5.（）A. B. C. D.6.已知函数为22,0()e ln(1),0x x ax a x f x x x ⎧---<=⎨++≥⎩，在R 上单调递增，则a 取值的范围是（）A.(,0]-∞ B.[1,0]- C.[1,1]- D.[0,)+∞7.当[0,2]x πÎ时，曲线sin y x =与2sin 36y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的交点个数为（）A.3B.4C.6D.88.已知函数为()f x 的定义域为R ，()(1)(2)f x f x f x >-+-，且当3x <时()f x x =，则下列结论中一定正确的是（）A.(10)100f >B.(20)1000f >C.(10)1000f < D.(20)10000f <二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9.为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值 2.1x =，样本方差20.01s =，已知该种植区以往的亩收入X 服从正态分布()21.8,0.1N ，假设推动出口后的亩收入Y 服从正态分布()2,N x s ，则（）（若随机变量Z 服从正态分布()2,N u σ，()0.8413P Z u σ<+≈）A.(2)0.2P X >> B.(2)0.5P X ><C.(2)0.5P Y >> D.(2)0.8P Y ><10.设函数2()(1)(4)f x x x =--，则（）A.3x =是()f x 的极小值点B.当01x <<时，()2()f x f x<C.当12x <<时，4(21)0f x -<-< D.当10x -<<时，(2)()f x f x ->11.造型可以做成美丽的丝带，将其看作图中曲线C 的一部分.已知C 过坐标原点O .且C 上的点满足横坐标大于2-，到点(2,0)F 的距离与到定直线(0)x a a =<的距离之积为4，则（）A.2a =- B.点在C 上C.C 在第一象限的点的纵坐标的最大值为1D.当点()00,x y 在C 上时，0042y x ≤+三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为12F F 、，过2F 作平行于y 轴的直线交C 于A ，B 两点，若1||13,||10F A AB ==，则C 的离心率为___________．13.若曲线e x y x =+在点()0,1处的切线也是曲线ln(1)y x a =++的切线，则=a __________.14.甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为_________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.记ABC 内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin C B =，222a b c +-=（1）求B ；（2）若ABC 的面积为3c ．16.已知(0,3)A 和33,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭为椭圆2222:1(0)x yC a b a b+=>>上两点.（1）求C 的离心率;（2）若过P 的直线l 交C 于另一点B ，且ABP 的面积为9，求l 的方程．17.如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，2PA AC ==，1,BC AB ==．（1）若AD PB ⊥，证明：//AD 平面PBC ；（2）若AD DC ⊥，且二面角A CP D --的正弦值为427，求AD ．18.已知函数3()ln(1)2xf x ax b x x=++--（1）若0b =，且()0f x '≥，求a 的最小值；（2）证明：曲线()y f x =是中心对称图形；（3）若()2f x >-当且仅当12x <<，求b 的取值范围．19.设m 为正整数，数列1242,,...,m a a a +是公差不为0的等差数列，若从中删去两项i a 和()j a i j <后剩余的4m 项可被平均分为m 组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列1242,,...,m a a a +是(),i j -可分数列．（1）写出所有的(),i j ，16i j ≤<≤，使数列126,,...,a a a 是(),i j -可分数列；（2）当3m ≥时，证明：数列1242,,...,m a a a +是()2,13-可分数列；（3）从1,2,...,42m +中一次任取两个数i 和()j i j <，记数列1242,,...,m a a a +是(),i j -可分数列的概率为m P ，证明：18m P >．参考答案本试卷共10页，19小题，满分150分.注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.已知集合{}355,{3,1,0,2,3}A x xB =-<<=--∣，则A B = （）A.{1,0}- B.{2,3} C.{3,1,0}-- D.{1,0,2}-【答案】A 【解析】【分析】化简集合A ，由交集的概念即可得解.【详解】因为{{}|,3,1,0,2,3A x x B =<<=--，且注意到12<<，从而A B = {}1,0-.故选：A.2.若1i 1zz =+-，则z =（）A.1i --B.1i-+ C.1i- D.1i+【答案】C 【解析】【分析】由复数四则运算法则直接运算即可求解.【详解】因为11111i 111z z z z z -+==+=+---，所以111i i z =+=-.故选：C.3.已知向量(0,1),(2,)a b x == ，若(4)b b a ⊥-，则x =（）A.2-B.1- C.1D.2【答案】D 【解析】【分析】根据向量垂直的坐标运算可求x 的值.【详解】因为()4b b a ⊥- ，所以()40b b a ⋅-=，所以240b a b -⋅=即2440x x +-=，故2x =，故选：D.4.已知cos(),tan tan 2m αβαβ+==，则cos()αβ-=（）A.3m -B.3m -C.3m D.3m【答案】A 【解析】【分析】根据两角和的余弦可求cos cos ,sin sin αβαβ的关系，结合tan tan αβ的值可求前者，故可求()cos αβ-的值.【详解】因为()cos m αβ+=，所以cos cos sin sin m αβαβ-=，而tan tan 2αβ=，所以sin sin 2cos cos αβαβ=，故cos cos 2cos cos m αβαβ-=即cos cos m αβ=-，从而sin sin 2m αβ=-，故()cos 3m αβ-=-，故选：A.5.（）A. B. C. D.【答案】B 【解析】【分析】设圆柱的底面半径为r ，根据圆锥和圆柱的侧面积相等可得半径r 的方程，求出解后可求圆锥的体积.【详解】设圆柱的底面半径为r而它们的侧面积相等，所以2ππr r=即=，故3r=，故圆锥的体积为1π93⨯=.故选：B.6.已知函数为22,0()e ln(1),0xx ax a xf xx x⎧---<=⎨++≥⎩，在R上单调递增，则a取值的范围是（）A.(,0]-∞ B.[1,0]- C.[1,1]- D. [0,)+∞【答案】B【解析】【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可.【详解】因为()f x在R上单调递增，且0x≥时，()()e ln1xf x x=++单调递增，则需满足()2021e ln1aa-⎧-≥⎪⨯-⎨⎪-≤+⎩，解得10a-≤≤，即a的范围是[1,0]-.故选：B.7.当[0,2]xπÎ时，曲线siny x=与2sin36y xπ⎛⎫=-⎪⎝⎭的交点个数为（）A.3B.4C.6D.8【答案】C【解析】【分析】画出两函数在[]0,2π上的图象，根据图象即可求解【详解】因为函数siny x=的的最小正周期为2πT=，函数π2sin36y x⎛⎫=-⎪⎝⎭的最小正周期为2π3T=，所以在[]0,2πx ∈上函数π2sin 36y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭有三个周期的图象，在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：由图可知，两函数图象有6个交点.故选：C8.已知函数为()f x 的定义域为R ，()(1)(2)f x f x f x >-+-，且当3x <时()f x x =，则下列结论中一定正确的是（）A.(10)100f >B.(20)1000f >C.(10)1000f <D.(20)10000f <【答案】B 【解析】【分析】代入得到(1)1,(2)2f f ==，再利用函数性质和不等式的性质，逐渐递推即可判断.【详解】因为当3x <时()f x x =，所以(1)1,(2)2f f ==，又因为()(1)(2)f x f x f x >-+-，则(3)(2)(1)3,(4)(3)(2)5f f f f f f >+=>+>，(5)(4)(3)8,(6)(5)(4)13,(7)(6)(5)21f f f f f f f f f >+>>+>>+>，(8)(7)(6)34,(9)(8)(7)55,(10)(9)(8)89f f f f f f f f f >+>>+>>+>，(11)(10)(9)144,(12)(11)(10)233,(13)(12)(11)377f f f f f f f f f >+>>+>>+>(14)(13)(12)610,(15)(14)(13)987f f f f f f >+>>+>，(16)(15)(14)15971000f f f >+>>，则依次下去可知(20)1000f >，则B 正确；且无证据表明ACD 一定正确.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用(1)1,(2)2f f ==，再利用题目所给的函数性质()(1)(2)f x f x f x >-+-，代入函数值再结合不等式同向可加性，不断递推即可.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9.为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值 2.1x =，样本方差20.01s =，已知该种植区以往的亩收入X 服从正态分布()21.8,0.1N ，假设推动出口后的亩收入Y 服从正态分布()2,N x s ，则（）（若随机变量Z 服从正态分布()2,N u σ，()0.8413P Z u σ<+≈）A.(2)0.2P X >>B.(2)0.5P X ><C.(2)0.5P Y >>D.(2)0.8P Y ><【答案】BC 【解析】【分析】根据正态分布的3σ原则以及正态分布的对称性即可解出.【详解】依题可知，22.1,0.01x s ==，所以()2.1,0.1Y N ，故()()()2 2.10.1 2.10.10.84130.5P Y P Y P Y >=>-=<+≈>，C 正确，D 错误；因为()1.8,0.1X N ，所以()()2 1.820.1P X P X >=>+⨯，因为()1.80.10.8413P X <+≈，所以()1.80.110.84130.15870.2P X >+≈-=<，而()()()2 1.820.1 1.80.10.2P X P X P X >=>+⨯<>+<，B 正确，A 错误，故选：BC．10.设函数2()(1)(4)f x x x =--，则（）A.3x =是()f x 的极小值点B.当01x <<时，()2()f x f x<C.当12x <<时，4(21)0f x -<-< D.当10x -<<时，(2)()f x f x ->【答案】ACD 【解析】【分析】求出函数()f x 的导数，得到极值点，即可判断A；利用函数的单调性可判断B；根据函数()f x 在()1,3上的值域即可判断C；直接作差可判断D.【详解】对A ，因为函数()f x 的定义域为R ，而()()()()()()22141313f x x x x x x =--+-=--'，易知当()1,3x ∈时，()0f x '<，当(),1x ∞∈-或()3,x ∞∈+时，()0f x '>函数()f x 在(),1∞-上单调递增，在()1,3上单调递减，在()3,∞+上单调递增，故3x =是函数()f x 的极小值点，正确；对B，当01x <<时，()210x x x x -=->，所以210x x >>>，而由上可知，函数()f x 在()0,1上单调递增，所以()()2f x f x>，错误；对C，当12x <<时，1213x <-<，而由上可知，函数()f x 在()1,3上单调递减，所以()()()1213f f x f >->，即()4210f x -<-<，正确；对D，当10x -<<时，()()()()()()222(2)()12141220f x f x x x x x x x --=------=-->，所以(2)()f x f x ->，正确；故选：ACD.11.造型可以做成美丽的丝带，将其看作图中曲线C 的一部分.已知C 过坐标原点O .且C 上的点满足横坐标大于2-，到点(2,0)F 的距离与到定直线(0)x a a =<的距离之积为4，则（）A.2a =- B.点在C 上C.C 在第一象限的点的纵坐标的最大值为1D.当点()00,x y 在C 上时，0042y x ≤+【答案】ABD 【解析】【分析】根据题设将原点代入曲线方程后可求a ，故可判断A 的正误，结合曲线方程可判断B 的正误，利用特例法可判断C 的正误，将曲线方程化简后结合不等式的性质可判断D 的正误.【详解】对于A：设曲线上的动点(),P x y ，则2x >-4x a -=，04a -=，解得2a =-，故A 正确.对于24x +=，而2x >-，()24x +=.当0x y ==()2844=-=，故()在曲线上，故B 正确.对于C：由曲线的方程可得()()2221622y x x =--+，取32x =，则2641494y =-，而64164525624510494494494---=-=>⨯，故此时21y >，故C 在第一象限内点的纵坐标的最大值大于1，故C 错误.对于D：当点()00,x y 在曲线上时，由C 的分析可得()()()220022001616222y x x x =--≤++，故0004422y x x -≤≤++，故D 正确.故选：ABD.【点睛】思路点睛：根据曲线方程讨论曲线的性质，一般需要将曲线方程变形化简后结合不等式的性质等来处理.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为12F F 、，过2F 作平行于y 轴的直线交C 于A ，B 两点，若1||13,||10F A AB ==，则C 的离心率为___________．【答案】32【解析】【分析】由题意画出双曲线大致图象，求出2AF ，结合双曲线第一定义求出1AF ，即可得到,,a b c 的值，从而求出离心率.【详解】由题可知2,,A B F 三点横坐标相等，设A 在第一象限，将x c =代入22221x ya b-=得2b y a =±，即22,,,b b A c B c a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故2210b AB a ==，225b AF a ==，又122AF AF a -=，得1222513AF AF a a =+=+=，解得4a =，代入25b a=得220b =，故22236,c a b =+=，即6c =，所以6342c e a ===.故答案为：3213.若曲线e x y x =+在点()0,1处的切线也是曲线ln(1)y x a =++的切线，则=a __________.【答案】ln 2【解析】【分析】先求出曲线e x y x =+在()0,1的切线方程，再设曲线()ln 1y x a =++的切点为()()0,ln 1x xa ++，求出y '，利用公切线斜率相等求出0x ，表示出切线方程，结合两切线方程相同即可求解.【详解】由e x y x =+得e 1x y '=+，00|e 12x y ='=+=，故曲线e x y x =+在()0,1处的切线方程为21y x =+；由()ln 1y x a =++得11y x '=+，设切线与曲线()ln 1y x a =++相切的切点为()()00,ln 1x x a ++，由两曲线有公切线得0121y x '==+，解得012x =-，则切点为11,ln 22a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，切线方程为112ln 21ln 222y x a x a ⎛⎫=+++=++- ⎪⎝⎭，根据两切线重合,所以ln 20a -=，解得ln 2a =.故答案为：ln 214.甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为_________.【答案】12##0.5【解析】【分析】将每局的得分分别作为随机变量，然后分析其和随机变量即可.【详解】设甲在四轮游戏中的得分分别为1234,,,X X X X ，四轮的总得分为X .对于任意一轮，甲乙两人在该轮出示每张牌的概率都均等，其中使得甲获胜的出牌组合有六种，从而甲在该轮获胜的概率()631448k P X ===⨯，所以()()31,2,3,48k E X k ==.从而()()()441234113382kk k E X E X X X X E X ===+++===∑∑.记()()0,1,2,3k p P X k k ===.如果甲得0分，则组合方式是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分别对应乙出2，4，6，8，所以04411A 24p ==；如果甲得3分，则组合方式也是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分别对应乙出8，2，4，6，所以34411A 24p ==.而X 的所有可能取值是0，1，2，3，故01231p p p p +++=，()1233232p p p E X ++==.所以121112p p ++=，1213282p p ++=，两式相减即得211242p +=，故2312p p +=.所以甲的总得分不小于2的概率为2312p p +=.故答案为：12.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于将问题转化为随机变量问题，利用期望的可加性得到等量关系，从而避免繁琐的列举.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.记ABC 内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin C B =，222a b c +-=（1）求B ；（2）若ABC 的面积为3c ．【答案】（1）π3B =（2）【解析】【分析】（1）由余弦定理、平方关系依次求出cos ,sin C C ，最后结合已知sin C B=得cos B 的值即可；（2）首先求出,,A B C ，然后由正弦定理可将,a b 均用含有c 的式子表示，结合三角形面积公式即可列方程求解.【小问1详解】由余弦定理有2222cos a b c ab C +-=，对比已知222a b c +-=，可得22222cos 222a b c C ab ab +-===，因为()0,πC ∈，所以sin 0C >，从而2sin 2C ==，又因为sin C B =，即1cos 2B =，注意到()0,πB ∈，所以π3B =.【小问2详解】由（1）可得π3B =，2cos 2C =，()0,πC ∈，从而π4C =，ππ5ππ3412A =--=，而5πππ232162sin sin sin 124622224A ⎛⎫⎛⎫==+=⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由正弦定理有5πππsin sin sin 1234a b c==，从而623136,4222a cbc +====，由三角形面积公式可知，ABC 的面积可表示为211316233sin 222228ABC S ab C c c c +==⋅⋅= ，由已知ABC 的面积为3+，可得23338c =，所以c =16.已知(0,3)A 和33,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭为椭圆2222:1(0)x yC a b a b+=>>上两点.（1）求C 的离心率;（2）若过P 的直线l 交C 于另一点B ，且ABP 的面积为9，求l 的方程．【答案】（1）12（2）直线l 的方程为3260x y --=或20x y -=.【解析】【分析】（1）代入两点得到关于,a b 的方程，解出即可；（2）方法一：以AP 为底，求出三角形的高，即点B 到直线AP 的距离，再利用平行线距离公式得到平移后的直线方程，联立椭圆方程得到B 点坐标，则得到直线l 的方程；方法二：同法一得到点B 到直线AP 的距离，再设()00,B x y ，根据点到直线距离和点在椭圆上得到方程组，解出即可；法三：同法一得到点B 到直线AP 的距离，利用椭圆的参数方程即可求解；法四：首先验证直线AB 斜率不存在的情况，再设直线3y kx =+，联立椭圆方程，得到点B 坐标，再利用点到直线距离公式即可；法五：首先考虑直线PB 斜率不存在的情况，再设3:(3)2PB y k x -=-，利用弦长公式和点到直线的距离公式即可得到答案；法六：设线法与法五一致，利用水平宽乘铅锤高乘12表达面积即可.【小问1详解】由题意得2239941b a b =⎧⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得22912b a ⎧=⎨=⎩，所以12e ==.【小问2详解】法一：3312032APk -==--，则直线AP 的方程为132y x =-+，即260x y +-=，2AP ==，由（1）知22:1129x y C +=，设点B 到直线AP 的距离为d，则5352d ==，则将直线AP 沿着与AP 垂直的方向平移1255单位即可，此时该平行线与椭圆的交点即为点B ，设该平行线的方程为：20x y C ++=，5=，解得6C =或18C =-，当6C =时，联立221129260x y x y ⎧+=⎪⎨⎪++=⎩，解得03x y =⎧⎨=-⎩或332x y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，即()0,3B -或33,2⎛⎫--⎪⎝⎭，当()0,3B -时，此时32l k =，直线l 的方程为332y x =-，即3260x y --=，当33,2B ⎛⎫--⎪⎝⎭时，此时12lk =，直线l 的方程为12y x =，即20x y -=，当18C =-时，联立2211292180x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩得22271170y y -+=，227421172070∆=-⨯⨯=-<，此时该直线与椭圆无交点.综上直线l 的方程为3260x y --=或20x y -=.法二：同法一得到直线AP 的方程为260x y +-=，点B 到直线AP 的距离1255d =，设()00,B x y，则220012551129x y =⎪+=⎪⎩，解得00332x y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩或0003x y =⎧⎨=-⎩，即()0,3B -或33,2⎛⎫--⎪⎝⎭，以下同法一.法三：同法一得到直线AP 的方程为260x y +-=，点B 到直线AP的距离5d =，设(),3sin B θθ，其中[)0,2θ∈π1255=，联立22cos sin 1θθ+=，解得cos 21sin 2θθ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或cos 0sin 1θθ=⎧⎨=-⎩，即()0,3B -或33,2⎛⎫--⎪⎝⎭，以下同法一；法四：当直线AB 的斜率不存在时，此时()0,3B -，16392PAB S =⨯⨯= ，符合题意，此时32l k =，直线l 的方程为332y x =-，即3260x y --=，当线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为3y kx =+，联立椭圆方程有2231129y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，则()2243240k x kx ++=，其中AP k k ≠，即12k ≠-，解得0x =或22443k x k -=+，0k ≠，12k ≠-，令22443k x k -=+，则2212943k y k -+=+，则22224129,4343k k B k k ⎛⎫--+ ⎪++⎝⎭同法一得到直线AP 的方程为260x y +-=，点B 到直线AP 的距离1255d =，5=，解得32k =，此时33,2B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则得到此时12lk =，直线l 的方程为12y x =，即20x y -=，综上直线l 的方程为3260x y --=或20x y -=.法五：当l 的斜率不存在时，3:3,3,,3,2l x B PB A ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭到PB 距离3d =，此时1933922ABP S =⨯⨯=≠ 不满足条件.当l 的斜率存在时，设3:(3)2PB y k x -=-，令()()1122,,,P x y B x y ，223(3)21129y k x x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消y 可得()()22224324123636270k x k k x k k +--+--=，()()()2222Δ24124433636270k kk k k =--+-->，且AP k k ≠，即12k ≠-，21222122241243,36362743k k x x k PB k k x x k ⎧-+=⎪⎪+==⎨--⎪=⎪+⎩，A 到直线PB距离192PAB d S ==⋅ ，12k ∴=或32，均满足题意，1:2l y x ∴=或332y x =-，即3260x y --=或20x y -=.法六：当l 的斜率不存在时，3:3,3,,3,2l x B PB A ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭到PB 距离3d =，此时1933922ABP S =⨯⨯=≠ 不满足条件.当直线l 斜率存在时，设3:(3)2l y k x =-+，设l 与y 轴的交点为Q ，令0x =，则30,32Q k ⎛⎫-+⎪⎝⎭，联立223323436y kx k x y ⎧=-+⎪⎨⎪+=⎩，则有()2223348336362702k x k k x k k ⎛⎫+--+--= ⎪⎝⎭，()2223348336362702k x k k x k k ⎛⎫+--+--= ⎪⎝⎭，其中()()22223Δ8343436362702k k k k k ⎛⎫=--+--> ⎪⎝⎭，且12k ≠-，则2222363627121293,3434B B k k k k x x k k----==++，则211312183922234P B k S AQ x x k k +=-=+=+，解的12k =或32k =，经代入判别式验证均满足题意.则直线l 为12y x =或332y x =-，即3260x y --=或20x y -=.17.如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，2PA AC ==，1,BC AB ==．（1）若AD PB ⊥，证明：//AD 平面PBC ；（2）若AD DC ⊥，且二面角A CP D --的正弦值为7，求AD ．【答案】（1）证明见解析【解析】【分析】（1）先证出AD ⊥平面PAB ，即可得AD AB ⊥，由勾股定理逆定理可得BC AB ⊥，从而//AD BC ，再根据线面平行的判定定理即可证出；（2）过点D 作DEAC ⊥于E ，再过点E 作EF CP ⊥于F ，连接DF ，根据三垂线法可知，DFE ∠即为二面角A CP D --的平面角，即可求得tan DFE ∠=AD的长度表示出,DE EF ，即可解方程求出AD ．【小问1详解】（1）因为PA ⊥平面ABCD ，而AD ⊂平面ABCD ，所以PA AD ⊥，又AD PB ⊥，PB PA P = ，,PB PA ⊂平面PAB ，所以AD ⊥平面PAB ，而AB ⊂平面PAB ，所以AD AB ⊥.因为222BC AB AC +=，所以BC AB ⊥，根据平面知识可知//AD BC ，又AD ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以//AD 平面PBC ．【小问2详解】如图所示，过点D 作DEAC ⊥于E ，再过点E 作EF CP ⊥于F ，连接DF ，因为PA ⊥平面ABCD ，所以平面PAC ⊥平面ABCD ，而平面PAC 平面ABCD AC =，所以DE ⊥平面PAC ，又EF CP ⊥，所以⊥CP 平面DEF ，根据二面角的定义可知，DFE ∠即为二面角A CP D --的平面角，即42sin 7DFE ∠=，即tan DFE ∠=因为AD DC ⊥，设AD x =，则CD =，由等面积法可得，42DE =，又242xCE -==，而EFC 为等腰直角三角形，所以2EF =，故242tan 4DFE x∠==x =AD =．18.已知函数3()ln(1)2xf x ax b x x=++--（1）若0b =，且()0f x '≥，求a 的最小值；（2）证明：曲线()y f x =是中心对称图形；（3）若()2f x >-当且仅当12x <<，求b 的取值范围．【答案】（1）2-（2）证明见解析（3）23b ≥-【解析】【分析】（1）求出()min 2f x a '=+后根据()0f x '≥可求a 的最小值；（2）设(),P m n 为()y f x =图象上任意一点，可证(),P m n 关于()1,a 的对称点为()2,2Q m a n --也在函数的图像上，从而可证对称性；（3）根据题设可判断()12f =-即2a =-，再根据()2f x >-在()1,2上恒成立可求得23b ≥-.【小问1详解】0b =时，()ln2xf x ax x=+-，其中()0,2x ∈，则()()()112,0,222f x a x x x x x =+=+∈--'，因为()22212x x x x -+⎛⎫-≤= ⎪⎝⎭，当且仅当1x =时等号成立，故()min 2f x a '=+，而()0f x '≥成立，故20a +≥即2a ≥-，所以a 的最小值为2-.，【小问2详解】()()3ln12x f x ax b x x=++--的定义域为()0,2，设(),P m n 为()y f x =图象上任意一点，(),P m n 关于()1,a 的对称点为()2,2Q m a n --，因为(),P m n 在()y f x =图象上，故()3ln 12m n am b m m=++--，而()()()()3322ln221ln 122m m f m a m b m am b m a m m -⎡⎤-=+-+--=-++-+⎢⎥-⎣⎦，2n a =-+，所以()2,2Q m a n --也在()y f x =图象上，由P 的任意性可得()y f x =图象为中心对称图形，且对称中心为()1,a .【小问3详解】因为()2f x >-当且仅当12x <<，故1x =为()2f x =-的一个解，所以()12f =-即2a =-，先考虑12x <<时，()2f x >-恒成立.此时()2f x >-即为()()3ln21102x x b x x +-+->-在()1,2上恒成立，设()10,1t x =-∈，则31ln 201t t bt t+-+>-在()0,1上恒成立，设()()31ln 2,0,11t g t t bt t t+=-+∈-，则()()2222232322311tbtbg t bt t t -++=-+=-'-，当0b ≥，232332320bt b b b -++≥-++=>，故()0g t '>恒成立，故()g t 在()0,1上为增函数，故()()00g t g >=即()2f x >-在()1,2上恒成立.当203b -≤<时，2323230bt b b -++≥+≥，故()0g t '≥恒成立，故()g t 在()0,1上为增函数，故()()00g t g >=即()2f x >-在()1,2上恒成立.当23b <-，则当01t <<<时，()0g t '<故在⎛ ⎝上()g t 为减函数，故()()00g t g <=，不合题意，舍；综上，()2f x >-在()1,2上恒成立时23b ≥-.而当23b ≥-时，而23b ≥-时，由上述过程可得()g t 在()0,1递增，故()0g t >的解为()0,1，即()2f x >-的解为()1,2.综上，23b ≥-.【点睛】思路点睛：一个函数不等式成立的充分必要条件就是函数不等式对应的解，而解的端点为函数对一个方程的根或定义域的端点，另外，根据函数不等式的解确定参数范围时，可先由恒成立得到参数的范围，再根据得到的参数的范围重新考虑不等式的解的情况.19.设m 为正整数，数列1242,,...,m a a a +是公差不为0的等差数列，若从中删去两项i a 和()j a i j <后剩余的4m 项可被平均分为m 组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列1242,,...,m a a a +是(),i j -可分数列．（1）写出所有的(),i j ，16i j ≤<≤，使数列126,,...,a a a 是(),i j -可分数列；（2）当3m ≥时，证明：数列1242,,...,m a a a +是()2,13-可分数列；（3）从1,2,...,42m +中一次任取两个数i 和()j i j <，记数列1242,,...,m a a a +是(),i j -可分数列的概率为m P ，证明：18m P >．【答案】（1）()()()1,2,1,6,5,6（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）直接根据(),i j -可分数列的定义即可；（2）根据(),i j -可分数列的定义即可验证结论；（3）证明使得原数列是(),i j -可分数列的(),i j 至少有()21m m +-个，再使用概率的定义.【小问1详解】首先，我们设数列1242,,...,m a a a +的公差为d ，则0d ≠.由于一个数列同时加上一个数或者乘以一个非零数后是等差数列，当且仅当该数列是等差数列，故我们可以对该数列进行适当的变形()111,2,...,42k ka a a k m d-=+=+'，得到新数列()1,2, (42)a k k m ==+'，然后对1242,,...,m a a a +'''进行相应的讨论即可.换言之，我们可以不妨设()1,2,...,42k a k k m ==+，此后的讨论均建立在该假设下进行.回到原题，第1小问相当于从1,2,3,4,5,6中取出两个数i 和()j i j <，使得剩下四个数是等差数列.那么剩下四个数只可能是1,2,3,4，或2,3,4,5，或3,4,5,6.所以所有可能的(),i j 就是()()()1,2,1,6,5,6.【小问2详解】由于从数列1,2,...,42m +中取出2和13后，剩余的4m 个数可以分为以下两个部分，共m 组，使得每组成等差数列：①{}{}{}1,4,7,10,3,6,9,12,5,8,11,14，共3组；②{}{}{}15,16,17,18,19,20,21,22,...,41,4,41,42m m m m -++，共3m -组.（如果30m -=，则忽略②）故数列1,2,...,42m +是()2,13-可分数列.【小问3详解】定义集合{}{}410,1,2,...,1,5,9,13,...,41A k k m m =+==+，{}{}420,1,2,...,2,6,10,14,...,42B k k m m =+==+.下面证明，对142i j m ≤<≤+，如果下面两个命题同时成立，则数列1,2,...,42m +一定是(),i j -可分数列：命题1：,i A j B ∈∈或,i B j A ∈∈；命题2：3j i -≠.我们分两种情况证明这个结论.第一种情况：如果,i A j B ∈∈，且3j i -≠.此时设141i k =+，242j k =+，{}12,0,1,2,...,k k m ∈.则由i j <可知124142k k +<+，即2114k k ->-，故21k k ≥.此时，由于从数列1,2,...,42m +中取出141i k =+和242j k =+后，剩余的4m 个数可以分为以下三个部分，共m 组，使得每组成等差数列：①{}{}{}11111,2,3,4,5,6,7,8,...,43,42,41,4k k k k ---，共1k 组；②{}{}{}11111111222242,43,44,45,46,47,48,49,...,42,41,4,41k k k k k k k k k k k k ++++++++--+，共21k k -组；③{}{}{}2222222243,44,45,46,47,48,49,410,...,41,4,41,42k k k k k k k k m m m m ++++++++-++，共2m k -组.（如果某一部分的组数为0，则忽略之）故此时数列1,2,...,42m +是(),i j -可分数列.第二种情况：如果,i B j A ∈∈，且3j i -≠.此时设142i k =+，241j k =+，{}12,0,1,2,...,k k m ∈.则由i j <可知124241k k +<+，即2114k k ->，故21k k >.由于3j i -≠，故()()2141423k k +-+≠，从而211k k -≠，这就意味着212k k -≥.此时，由于从数列1,2,...,42m +中取出142i k =+和241j k =+后，剩余的4m 个数可以分为以下四个部分，共m 组，使得每组成等差数列：①{}{}{}11111,2,3,4,5,6,7,8,...,43,42,41,4k k k k ---，共1k 组；②{}112121241,31,221,31k k k k k k k +++++++，{}121212232,222,32,42k k k k k k k +++++++，共2组；③全体{}11212124,3,22,3k p k k p k k p k k p +++++++，其中213,4,...,p k k =-，共212k k --组；④{}{}{}2222222243,44,45,46,47,48,49,410,...,41,4,41,42k k k k k k k k m m m m ++++++++-++，共2m k -组.（如果某一部分的组数为0，则忽略之）这里对②和③进行一下解释：将③中的每一组作为一个横排，排成一个包含212k k --个行，4个列的数表以后，4个列分别是下面这些数：{}111243,44,...,3k k k k +++，{}12121233,34,...,22k k k k k k +++++，{}121212223,223,...,3k k k k k k +++++，{}1212233,34,...,4k k k k k ++++.可以看出每列都是连续的若干个整数，它们再取并以后，将取遍{}11241,42,...,42k k k +++中除开五个集合{}1141,42k k ++，{}121231,32k k k k ++++，{}1212221,222k k k k ++++，{}121231,32k k k k ++++，{}2241,42k k ++中的十个元素以外的所有数.而这十个数中，除开已经去掉的142k +和241k +以外，剩余的八个数恰好就是②中出现的八个数.这就说明我们给出的分组方式满足要求，故此时数列1,2,...,42m +是(),i j -可分数列.至此，我们证明了：对142i j m ≤<≤+，如果前述命题1和命题2同时成立，则数列1,2,...,42m +一定是(),i j -可分数列.然后我们来考虑这样的(),i j 的个数.首先，由于A B ⋂=∅，A 和B 各有1m +个元素，故满足命题1的(),i j 总共有()21m +个；而如果3j i -=，假设,i A j B ∈∈，则可设141i k =+，242j k =+，代入得()()2142413k k +-+=.但这导致2112k k -=，矛盾，所以,i B j A ∈∈.设142i k =+，241j k =+，{}12,0,1,2,...,k k m ∈，则()()2141423k k +-+=，即211k k -=.所以可能的()12,k k 恰好就是()()()0,1,1,2,...,1,m m -，对应的(),i j 分别是()()()2,5,6,9,...,42,41m m -+，总共m 个.所以这()21m +个满足命题1的(),i j 中，不满足命题2的恰好有m 个.这就得到同时满足命题1和命题2的(),i j 的个数为()21m m +-.当我们从1,2,...,42m +中一次任取两个数i 和()j i j <时，总的选取方式的个数等于()()()()424121412m m m m ++=++.而根据之前的结论，使得数列1242,,...,m a a a +是(),i j -可分数列的(),i j 至少有()21m m +-个.所以数列1242,,...,m a a a +是(),i j -可分数列的概率m P 一定满足()()()()()()()()()22221111124214121412142221218m m m m m m m m P m m m m m m m m ⎛⎫+++ ⎪+-++⎝⎭≥=>=++++++++.这就证明了结论.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对新定义数列的理解，只有理解了定义，方可使用定义验证或探究结论.。
2023山东高考数学试卷及答案
2023山东高考数学试卷及答案高考考试注意事项1、填涂好个人资料，特别是高考准考证号码和姓名号码要绝对准确，填写后需再查一遍。
2、浏览试卷，把握全面(相互联想，开阔解题思路，消除记忆阻滞)，充分利用开考前的五分钟，分秒必争。
3、由于所有科目实行网上阅卷，保持卷面整洁尤其重要。
4、先易后难，各个击破，增强信心。
考生要防止两种倾向：忌思想静不下来;二忌在其中一题上花费时间过多。
5、力求准确，防止欲速不达。
7、尽量做完试题，把能想到信息充分地表达到答题卷中去，分分必争，并注意控制时间。
8、高考结束前15分钟，认真检查，把好最后一关，保证思路、步骤、结果和答题的标准。
2023高考考试时间及科目安排传统高考地区各科目高考时间安排如下：6月7日 9:00-11:30 语文考试，6月7日 15:00-17:00 数学考试6月8日 9:00-11:30 文综/理综，6月8日 15:00-17:00 外语考试3+1+2新高考地区高考各科目时间安排如下：6月7日 9:00-11:30 语文考试，6月7日 15:00-17:00 数学考试6月8日 9:00-10:15 物理/历史，6月8日 15:00-17:00 外语考试6月9日 8:30-9:45 化学考试，6月9日 11:00-12:15 地理考试6月10日 14:30-15:45 政治考试，6月10日 17:00-18:15 生物考试3+3新高考地区高考各科目时间安排如下：语文科目考试时间：6月7日9:00-11:30;数学科目考试时间：6月7日15:00-17:00;外语科目考试时间：6月7日15:00-17:00;物理科目考试时间：6月7日8:30-9:30;政治科目考试时间：6月7日11:00-12:00; 化学科目考试时间：6月7日15:00-16:00; 历史科目考试时间：6月10日8:30-9:30; 生物科目考试时间：6月10日11:00-12:00;。
山东省淄博市(新版)2024高考数学统编版(五四制)测试(综合卷)完整试卷
山东省淄博市（新版）2024高考数学统编版（五四制）测试(综合卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知向量均为单位向量，且，则与的夹角为（）A．B．C．D．第(2)题设等比数列的前项和为，若成等差数列，且，则（）A．6B．7C．8D．9第(3)题已知函数（）的图象的两个相邻对称中心之间的距离为，则（）A．2B．4C．8D．16第(4)题记的内角的对边分别为，分别以为边长的正三角形的面积依次为，且，则（）A．B．C．D．第(5)题已知向量，满足，，，则向量在向量方向上的投影向量为（）A．B．C．D．第(6)题7个人站成两排，前排3人，后排4人，其中甲乙两人必须挨着，甲丙必须分开站，则一共有（）种站排方式．A．672B．864C．936D．1056第(7)题以双曲线的实轴为直径的圆与该双曲线的渐近线分别交于A，B，C，D四点，若四边形的面积为，则该双曲线的离心率为（）A．或2B．2或C．D．第(8)题已知为虚数单位，则“复数是纯虚数”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题为了估计一批产品的不合格品率，现从这批产品中随机抽取一个样本容量为的样本，定义，于是，，，记（其中或1，），称表示为参数的似然函数．极大似然估计法是建立在极大似然原理基础上的一个统计方法，极大似然原理的直观想法是：一个随机试验如有若干个可能的结果A，B，C，…，若在一次试验中，结果A出现，则一般认为试验条件对A出现有利，也即A出现的概率很大. 极大似然估计是一种用给定观察数据来评估模型参数的统计方法，即“模型已定，参数未知”，通过若干次试验，观察其结果，利用试验结果得到某个参数值能够使样本出现的概率为最大．根据以上原理，下面说法正确的是（）A．有外形完全相同的两个箱子，甲箱有99个白球1个黑球，乙箱有1个白球99个黑球．今随机地抽取一箱，再从取出的一箱中抽取一球，结果取得白球，那么该球一定是从甲箱子中抽出的B．一个池塘里面有鲤鱼和草鱼，打捞了100条鱼，其中鲤鱼80条，草鱼20条，那么推测鲤鱼和草鱼的比例为4:1时，出现80条鲤鱼、20条草鱼的概率是最大的C．D．达到极大值时，参数的极大似然估计值为第(2)题已知F为抛物线的焦点，，为抛物线上不同的两动点，分别过M，N作抛物线C的切线，两切线交于点P，则（）A．若，则直线MN的倾斜角为B．直线PM的方程为C．若线段MN的中点为Q，则直线PQ平行于y轴D．若点P在抛物线C的准线上，则第(3)题已知平面于点O，A，B是平面上的两个动点，且，则（）A．SA与SB所成的角可能为B．SA与OB所成的角可能为C．SO与平面SAB所成的角可能为D．平面SOB与平面SAB的夹角可能为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题抛物线与过焦点的直线交于两点，为原点，则________.第(2)题已知，若，，则实数的取值范围是______．第(3)题已知数列满足，，，则___________.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（，为参数），在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线是圆心在极轴上，且经过极点的圆已知曲线上的点对应的参数，射线与曲线交于点（1）求曲线，的方程；（2）若点，在曲线上，求的值第(2)题已知函数，.(1)当时，求不等式的解集；(2)若存在，使得，求的取值范围．第(3)题若函数为奇函数，且时有极小值.（1）求实数的值与实数的取值范围；（2）若恒成立，求实数的取值范围.第(4)题在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标是，曲线的参数方程为（t为参数），，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，与交于A，B两点．(1)将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，并指出它是什么曲线？(2)过点P作垂直于的直线l交于C，D两点，求的值．第(5)题已知圆：，圆：，动圆与圆和圆均内切.（1）求动圆圆心的轨迹的方程；（2）过点的直线与轨迹交于，两点，过点且垂直于的直线交轨迹于两点，两点，求四边形面积的最小值.。
2023山东省新高考I卷数学真题含答案
2023山东省新高考I卷数学真题含答案2023山东省新高考I卷数学真题2023山东省新高考I卷数学真题答案解析高考数学学习策略1、建立良好的学习数学习惯，会使自己学习感到有序而轻松。
高中数学的良好习惯应是：多质疑、勤思考、好动手、重归纳、注意应用。
学生在学习数学的过程中，要把教师所传授的知识翻译成为自己的特殊语言，并永久记忆在自己的脑海中。
良好的学习数学习惯包括课前自学、专心上课、及时复习、独立作业、解决疑难、系统小结和课外学习几个方面。
2、针对自己的学习情况，采取一些具体的措施(1)记数学笔记，特别是对概念理解的不同侧面和数学规律，教师在课堂中拓展的课外知识。
记录下来*你觉得最有价值的思想方法或例题，以及你还存在的未解决的问题，以便今后将其补上。
(2)建立数学纠错本。
把平时容易出现错误的知识或推理记载下来，以防再犯。
争取做到：找错、析错、改错、防错。
达到：能从反面入手深入理解正确东西;能由果朔因把错误原因弄个水落石出、以便对症下药;解答问题完整、推理严密。
(3)熟记一些数学规律和数学小结论，使自己平时的运算技能达到了自动化或半自动化的熟练程度。
(4)经常对知识结构进行梳理，形成板块结构，实行“整体集装”，如表格化，使知识结构一目了然;经常对习题进行类化，由一例到一类，由一类到多类，由多类到统一;使几类问题归纳于同一知识方法。
高考数学必考题型三角函数或数列数列是高中数学的重要内容，也是学习高等数学的基础。
是高考数学必考题型。
高考对其的考查比较全面，等差数列、等比数列的考查每年都不会遗漏。
近几年来，高考关于数列方面的命题有以下三个方面。
一，数列本身的有关知识，其中有等差数列与等比数列的概念、性质、通项公式及求和公式。
二，数列与其它知识的结合，其中有数列与函数、方程、不等式、三角、几何的结合。
三，数列的应用问题，其中主要是以增长率问题为主。
三角函数的正余弦三角函数的正余弦求解、求边长、求面积、求周长，是历年高考数学必考题，涉及到画图问题，易错点就是不会画图、计算失误，因此一定要加强三角函数的正余弦知识点。
新高考山东卷数学真题
新高考山东卷数学真题
第一节选择题
1.已知函数$f(x) = x^2 + 2x + 1$，则$f(3)$的值为（）
A. 4
B. 7
C. 10
D. 13
2.若$\frac{x}{y}= \frac{3}{5}$，$\frac{y}{z}= \frac{4}{7}$，且$x + y + z = 189$，则$x$的值为（）
A. 45
B. 60
C. 75
D. 90
3.等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n = 2n^2 + 3n$，则$a_5$的值为（）
A. 10
B. 11
C. 12
D. 13
第二节计算题
1.已知直角三角形的斜边长为5，一直角边长为3，则另一直角边是多少？
2.已知函数$f(x) = 2x^2 + 3x - 4$，求其在点$x = 1$处的切线斜率。
3.已知梯形的上底长为6，下底长为10，高为8，求梯形的面积。
第三节解答题
1. 解方程：$3x^2 + 2x - 5 = 0$
2. 函数$y = \frac{1}{2}x^2 + 2x - 3$的对称轴方程是什么？
3. 证明：平行四边形的对角线互相平分。
以上就是本次新高考山东卷数学真题的内容，希望同学们认真对待，认真完成。
祝同学们取得好成绩！。
2023年山东高考数学真题及参考答案
2023年山东高考数学真题及参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}21012，，，，--=M ，{}062>--=x x x N ，则M ∩=N （）A .{}1012，，，--B .{}2,1,0C .{}2-D .{}22.已知iiz 221+-=，则=-z z （）A .i -B .iC .0D .13.已知向量()1,1=a，()1,1-=b .若()()b a b a μλ+⊥+，则（）A .1=+μλB .1-=+μλC .1=λμD .1-=λμ4.设函数()()a x x x f -=2在区间()1,0单调递减，则a 的取值范围是（）A .(]2-∞-，B .[)0,2-C .(]2,0D .[)∞+，25.设椭圆12221=+y a x C ：()1>a ，14222=+y x C ：的离心率分别21,e e .若123e e =，则=a （）A .332B .2C .3D .66.过点()20-，与圆01422=--+x y x 相切的两条直线的夹角为α，则=αsin （）A .1B .415C .410D .467.记n S 为数列{}n a 的前n 项和，设甲：{}n a 为等差数列；乙：⎭⎫⎩⎨⎧n S n 为等差数列，则（）A .甲是乙的充分条件但不是必要条件B .甲是乙的必要条件但不是充分条件C .甲是乙的充要条件D .甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件8.已知()31sin =-βα，61sin cos =βα，则()=+βα22cos （）A .97B .91C .91-D .97-二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.有一组样本数据621,,x x x ，其中1x 是最小值，6x 是最大值，则（）A .5432,,,x x x x 的平均数等于621,,x x x 的平均数B .5432,,,x x x x 的中位数等于621,,x x x 的中位数C .5432,,,x x x x 的标准差不小于621,,x x x 的标准差D .5432,,,x x x x 的极差不大于621,,x x x 的极差10.噪声污染问题越来越受到重视，用声压级来度量声音的强弱，定义声压级lg20p pL p ⨯=，其中常数()000>p p 是听觉下线的阈值，p 是实际声压.下表为不同声源的声压级：已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m 处测得实际声压分别为321,,p p p ，则（）A .21p p >B .3210p p >C .03100p p =D .21100p p <11.已知函数()x f 的定义域为R ，()()()y f x x f y xy f 22+=，则（）A .()00=fB .()01=f C .()x f 是偶函数D .0=x 为()x f 的极小值点12.下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（）A .直径为m 99.0的球体B .所有棱长均为m 4.1的四面体C .底面直径为m 01.0，高为m 8.1的圆柱体D .底面直径为m 2.1，高为m 01.0的圆柱体声源与声源的距离/m 声压级/dB 燃油汽车1060~90混合动力汽车1050~60电动汽车1040三、填空题：本大题4小题，每小题5分，共20分.13.某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选修方案共有种（用数字作答）.14.在正四棱台1111D C B A ABCD -中，2=AB ，111=B A ，21=AA ，则该棱台的体积为.15.已知函数()()01cos >-=ωωx x f 在区间[]π2,0有且仅有3个零点，则ω的取值范围是.16.已知双曲线()0012222>>=-b a by a x C ，：的左、右焦点分别为21F F ，，点A 在C 上.点B 在y 轴上，B F A F 11⊥，B F A F 2232-=，则C 的离心率为.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知在ABC ∆中，C B A 3=+，()B C A sin sin 2=-.（1）求A sin ；（2）设5=AB ，求AB 边上的高.18.如图，在正四棱柱1111D C B A ABCD -中，2=AB ，41=AA .点2222,,,D C B A 分别在棱1111,,,DD CC BB AA 上，12=AA ，222==DD BB ，32=CC .（1）证明：2222D A C B ∥；（2）点P 在棱1BB 上，当二面角222D C A P --为150°时，求P B 2.19.已知函数()()x a e a x f x-+=.（1）讨论()x f 的单调性；（2）证明：当0>a 时，()23ln 2+>a x f .20.设等差数列{}n a 的公差为d ，且1>d ，令nn a nn b +=2，记n n T S ,分别为数列{}n a ，{}n b 的前n 项和.（1）若31223a a a +=，2133=+T S ，求{}n a 的通项公式；（2）若{}n b 为等差数列，且999999=-T S ，求d .21.甲乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为6.0，乙每次投篮的命中率均为8.0，由抽签决定第一次投篮的任选，第一次投篮的人是甲、乙的概率各为5.0.（1）求第2次投篮的人是乙的概率；（2）求第i 次投篮的人是甲的概率；（3）已知：若随机变量i X 服从两点分布，且()()i i i q X P X P ==-==011，n i ,,2,1 =，则()∑∑===ni i ni i q X E11，记前n 次（即从第1次到第n 次投篮）中甲投篮的次数为Y ，求()Y E .22.在直角坐标系xOy 中，点P 到x 轴的距离等于点P 到点⎪⎭⎫ ⎝⎛210，的距离，记动点P 的轨迹为W .（1）求W 的方程；（2）已知矩形ABCD 有三个顶点在W 上，证明：矩形ABCD 的周长大于33.参考答案一、选择题12345678CADDABCB1.解：(][)∞+⋃-∞-∈，，32N ，∴{}2=⋂N M 2.解：i i i z 21221-=+-=，∴i z z -=-3.解：()()b a b aμλ+⊥+∵，∴()()()01222=+=+⋅++λμλμμλb b a a ，∴1-=λμ4.解：由复合函数的单调性可知()a x x y -=在区间()1,0单调递减，∴12≥a，∴a 的取值范围是[)∞+，2.5.解：由题意得：a a e 121-=，232=e ，得2112=-a a ，解得332=a .6.解：易得()5222=+-y x ，故圆心()0,2B ，5=R 记()20-，A ，设切点为N M ,，则22=AB ，5=BM ，可得3=AM 223sin 2sin==∠=AB AM MBA α，2252cos =α∴4152cos 2sin 2sin ααα=7.解：甲：∵{}n a 为等差数列，设其首项为1a ，公差为d ，则()d n n na S n 211++=，∴222111d a n d d n a n S n -+=-+=，211d n S n S n n =-++，故⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 为等差数列，则甲是乙的充分条件；反之，⎭⎫⎩⎨⎧n S n 为等差数列，即()()()1111111+-=++-=-++++n n S na n n S n nS n S n S n n n n n n 为常数，设为t ，即()t n n S na nn =+-+11，故()11+⋅-=+n n t na S n n ，故()()111-⋅--=-n n t a n S n n ，2≥n ，两式相减有：()tn n a na a n n n 211---=+，即t a a n n 21=-+，对1=n 也成立，故{}n a 为等差数列，∴甲是乙的必要条件综上，甲是乙的充要条件.8.解：∵()31sin cos cos sin sin =-=-βαβαβα，61sin cos =βα，则21cos sin =βα，故()326131sin cos cos sin sin =+=+=+βαβαβα.()()913221sin 2122cos 22=⎪⎭⎫⎝⎛⨯-=+-=+βαβα.二、选择题9101112BDACDABCABD10.解：∵0lg 20lg 20lg2021020121≥⨯=⨯-⨯=-p p p p p p L L ，∴121≥p p，即21p p >∴A 正确；10lg 203232>⨯=-p p L L ，即21lg 32>p p ，∴213210>p p ，∴B 错误；∵40lg20033=⨯=p p L ，∴10010203==p p，∴C 正确；405090lg202121=-≤⨯=-p p L L ，∴2lg 21≤p p ，∴10021≤p p，∴D 正确.11.解：选项A ，令0==y x ，则()()()000000=⨯+⨯=f f f ，故A 正确；选项B ，令1==y x ，则()()()11111f f f ⨯+⨯=，则()01=f 故B 正确；选项C，令1-==y x ，则()()()()()1111122-⨯-+-⨯-=f f f ，则()01=f ，再令1-=y ，则()()()()1122-+⨯-=-f x x f x f ，即()()x f x f =-，故C 正确；选项D，对式子两边同时除以22yx ()022≠y x，得到：()()()2222xx f y y f y x xy f +=，故可设()()0ln 2≠=x x x x f ，故可以得到()⎩⎨⎧=≠=0,00,ln 2x x x x x f ，故D 错误.12.解：选项A，球直径为199.0<，故球体可以放入正方体容器内，故A 正确；选项B，连接正方体的面对角线，可以得到一个正四面体，其棱长为4.12>，故B 正确；选项C，底面直径m 01.0，可以忽略不计，但高为38.1>，3为正方体的体对角线的长，故C 不正确；选项D，底面直径为32.1<，高为m 01.0的圆柱体，其高度可以忽略不计，故D 正确.三、填空题13.64；14.667；15.32<≤ω；16.55313.解：当从这8门课中选修2门课时，共有161414=C C ；当从这8门课中选修3门课时，共有4814242414=+C C C C ；综上共有64种.14.解：如图，将正四棱台1111D C B A ABCD -补成正四棱锥，则2=AO ，22=SA ，261=OO ，故()()667261212313122222121=⋅⋅++=++=h S S S S V .15.解：令()01cos =-=x x f ω得1cos =x ω，又[]π2,0∈x ，则[]ωπω2,0∈x ，∴ππωπ624<≤，即32<≤ω.16.解：由B F A F 2232-=32=，设x A F 22-=，x B F 32=.由对称性可得x 3=，由定义可得，a x 22+=x 5=，设θ=∠21AF F ，则5353sin ==x x θ，∴xax 52254cos +==θ，解得a x =，∴a x AF 221+=，a AF 22=，在21F AF ∆中，由余弦定理可得54164416cos 2222=-+=a c a a θ，即2295a c =可得553=e .四、解答题17.解：（1）由题意得C B A 3=+，∴，π==++C C B A 4，∴4π=C ∴A C A B -=--=43ππ，∵()B C A sin sin 2=-，∴⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-A A ππ43sin 4sin 2，即A A A A sin 22cos 22cos 22sin 222+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-，整理得：A A cos 3sin =又∵1cos sin 22=+A A ，()π，0∈A ∴0sin >A ，∴0cos >A 解得10103sin =A ，1010cos =A （2）∵()552sin cos cos sin sin sin =+=+=C A C A C A B 由正弦定理可知C c B b sin sin =，即22510103=b ，解得102=b 设AB 边上的高为h ，∵ch A bc S 21sin 21==，∴6sin ==A b h 18.解：以C 为原点，CD 为x 轴，CB 为y 轴，1CC 为z 轴建立空间直角坐标系则()2,2,02B ，()3,0,02C ，()1,222，A ，()2,0,22D （1）∵()1,2022-=，C B ，()12022，，-=D A ∴=22C B 22D A ，∴2222D A C B ∥（2）设()t P ,2,0，其中42≤≤t ∴()t P A -=1022，，，()t PC --=3,202，，()1,0,222-=C D ，()12,022-=，A D .设平面22C P A 的一个法向量为()z y x m ,,= ，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅022PC m P A m 即()()⎩⎨⎧=-+-=-+032012z t y z t x ，令2=z ，则()2,3,1t t m --=.设平面222C A D 的一个法向量为()z y x n '''=,, ，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅02222C D n A D n即⎩⎨⎧=-'=+'-0202z y z x ，令2=z ，则()2,1,1=n .∵二面角222D C A P --为150°，∴2314826150cos 2=+-=︒⇒=t t ，解得：1=t （舍去）或3=t .∴12=P B 19.解：（1）由题可得()1-='xae x f ①当0≤a 时，()0<'x f ，()x f 在()∞+∞-，单调递减；②当0>a 时，令()0='x f 得ax ln -=∴当()a x ln ,-∞-∈时，()0<'x f ，()x f 在()a ln ,-∞-单调递减；当()∞+-∈，a x ln 时，()0>'x f ，()x f 在()∞+-，a ln 单调递增.（2）由（1）得当0>a 时，()()a a a f x f ln 1ln 2min ++=-=.设()21ln 23ln 2ln 122--=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++=a a a a a a g ，则()a a a g 12-='，令()0='a g 可得22=a ∴当⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∈22,0a 时，()0<'a g ，()a g 在⎪⎪⎭⎫⎝⎛22,0上单调递减；当⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+∈，22a 时，()0>'a g ，()a g 在⎪⎪⎭⎫⎝⎛∞+，22上单调递增.∴()02ln 22min >=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=g a g ，故()0>a g ，∴当0>a 时，()23ln 2+>a x f .20.解：（1）∵31223a a a +=，∴d a a d 2313+==，即d a =1，nd a n =故nd a n =，∴d n a n n b n n 12+=+=，()21d n n S n +=，()dn n T n 23+=，又2133=+T S ，即21263243=⨯+⨯dd ，即03722=+-d d ，解得3=d 或21=d （舍），故{}n a 的通项公式为：n a n 3=.（2）若{}n b 为等差数列，则3122b b b +=，即da a d a 24321322111+⨯+⨯=+⨯⋅，即0232121=+-d d a a ，∴d a =1或d a 21=，当d a =1时，nd a n =，故()21d n n S n +=，()dn n T n 23+=.又999999=-T S ，即99210299210099=⨯-⨯dd ，即051502=--d d ，∴5051=d 或1=d （舍）.当d a 21=时，()d n a n 1+=，d n b n =，故()23d n n S n +=，()dn n T n 21+=.又999999=-T S ，即99210099210299=⨯-⨯dd ，即050512=--d d ，∴5051-=d （舍）或1=d （舍）.综上所述：5051=d .21.解：（1）第二次是乙的概率为6.08.05.04.05.0=⨯+⨯.（2）第i 次投篮的人是甲的概率为i p ，则第i 次投篮的人是甲的概率为i p -1，则()2.04.012.06.01+=-+=+i i i i p p p p ，构造等比数列()λλ+=++i i p p 521，解得31-=λ，则⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+3152311i i p p ，又211=p ，∴61311=-p ∴1526131-⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=-i i p ，则3152611+⎪⎭⎫⎝⎛⋅=-i i p .（3）当*∈N n 时，()352118535215216121n n p p p Y E n nn +⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=+++= .11当0=n 时，()0=Y E ，符合上式，故()3521185n Y E n+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛-=.22.解：（1）设()y x P ,，∵点P 到x 轴的距离等于点P 到点⎪⎭⎫ ⎝⎛210，的距离，∴2221⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=y x y ，化简得412+=x y .故W 的方程为412+=x y .（2）不妨设D B A ,,三点在W 上，且有DA BA ⊥.设⎪⎭⎫ ⎝⎛+41,2a a A ，设DA BA ，的斜率分别为kk 1-，，由对称性不妨设1≤k ，则直线BA 的方程为：()412++-=a a x k y 联立()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++-=+=414122a a x k y x y ，整理可得：022=-+-a ka kx x ，则kx x B A =+∴()()ak k y y x x AB B A B A 21222-+=-+-=同理可得：a kk AD 21112++=∴CD AB +a k k 212-+=a kk 21112+++()232221112121k k k k k a k a k k +=⎪⎭⎫ ⎝⎛++≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+≥设()()313123+++=+=m m m mm m f ，则()()()222112132m m m m m m f +-=-+='，可知()m f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛210，上单调递减，在⎪⎭⎫ ⎝⎛021，上单调递增，∴()m f 在()10，上最小值为42721=⎪⎭⎫ ⎝⎛f ，∴()3232≥=+kf CD AB ，由于两处相等的条件不一致，∴矩形ABCD 的周长为()332>+CD AB .。
(精校版)2022年新高考全国卷Ⅰ数学高考试题文档版(山东)(含答案)
普通高等学校招生全国统一考试数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合A={x|1≤x≤3}，B={x|2<x<4}，则A∪B=A．{x|2<x≤3}B．{x|2≤x≤3}C．{x|1≤x<4}D．{x|1<x<4}2．2i 12i -= +A．1B．−1C．i D．−i3．6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有A．120种B．90种C．60种D．30种4．日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O )，地球上一点A 的纬度是指OA 与地球赤道所在平面所成角，点A 处的水平面是指过点A 且与OA 垂直的平面.在点A 处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A 处的纬度为北纬40°，则晷针与点A 处的水平面所成角为A ．20°B ．40°C ．50°D ．90°5．某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是 A ．62% B ．56% C ．46%D ．42%6．基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：(e )rtI t 描述累计感染病例数I (t )随时间t (单位:天)的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R 0 =1+rT .有学者基于已有数据估计出R 0=3.28，T =6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) A ．1.2天B ．1.8天C ．2.5天D ．3.5天7．已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP AB ⋅的取值范围是A ．()2,6-B ．()6,2-C ．()2,4-D ．()4,6-8．若定义在R 的奇函数f (x )在(0),-∞单调递减，且f (2)=0，则满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是A ．[)1,1][3,-+∞B ．3,1][,[01]--C ．[)1,0][1,-+∞D ．1,0]3][[1,-二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
山东省青岛市(新版)2024高考数学统编版(五四制)真题(自测卷)完整试卷
山东省青岛市（新版）2024高考数学统编版（五四制）真题(自测卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题从一批零件中抽取80个，测量其直径（单位：），将所得数据分为9组：，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间内的个数为（ ）A ．10B ．18C ．20D ．36第(2)题复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限第(3)题设抛物线的顶点为，焦点为，准线为．是抛物线上异于的一点，过作于，则线段的垂直平分线（ ）．A ．经过点B ．经过点C ．平行于直线D ．垂直于直线第(4)题高为1的圆锥内接于半径为1的球，则该圆锥的体积为（ ）．A．B ．C ．D．第(5)题在我们的日常生活中，经常会发现一个有趣的现象：以数字1开头的数字在各个领域中出现的频率似乎要高于其他数字．这就是著名的本福特定律，也被称为“第一位数定律”或者“首位数现象”，意指在一堆从实际生活中得到的十进制数据中，一个数的首位数字是（，，，）的概率为．以此判断，一个数的首位数字是1的概率与首位数字是5的概率之比约为（ ）（参考数据：，）A ．2.9B ．3.2C ．3.8D ．3.9第(6)题在复平面内，若复数满足，，复数所对应的点位于第一象限，则（ ）A ．B ．C ．D ．第(7)题复数的共轭复数为，且满足，则复数的模是（ ）A．1B ．2C ．D ．5第(8)题设某直角三角形的三个内角的余弦值成等差数列，则最小内角的正弦值为（ ）A．B ．C ．D ．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题一般地，任意给定一个角，它的终边与单位圆的交点P 的坐标，无论是横坐标x 还是纵坐标y ，都是唯一确定的，所以点P 的横坐标x 、纵坐标y 都是角的函数.下面给出这些函数的定义：①把点P 的纵坐标y 叫作的正弦函数，记作，即；②把点P 的横坐标x 叫作的余弦函数，记作，即；③把点P 的纵坐标y 的倒数叫作的余割，记作，即；④把点P的横坐标x的倒数叫作的正割，记作，即.下列结论正确的有（）A．B．C．函数的定义域为D．第(2)题将2n(n∈N*)个有编号的球随机放入2个不同的盒子中，已知每个球放入这2个盒子的可能性相同，且每个盒子容纳球数不限记2个盒子中最少的球数为X(0≤X≤n，X∈N*)，则下列说法中正确的有（）A．当n=1时，方差B．当n=2时，C．，，使得P(X=k)>P(X=k+1)成立D．当n确定时，期望第(3)题已知等边三角形ABC的边长为6，M，N分别为AB，AC的中点，将沿MN折起至，在四棱锥中，下列说法正确的是（）A．直线MN∥平面B．当四棱锥体积最大时，二面角为直二面角C．在折起过程中存在某位置使BN⊥平面D．当四棱锥体积最大时，它的各顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题如图，在三棱锥中，平面ABC，，，若三棱锥的外接球体积为，则的面积为__________．第(2)题若函数在上取到最大值A，则的最小值为___________.若函数的图象与直线在上至少有1个交点，则的最小值为__________.第(3)题已知等比数列满足，，则该数列的前5项和为______．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知抛物线的准线方程为，直线l与C交于A，B两点，且（其中O为坐标原点），过点O作交AB于点D.(1)求点D的轨迹E的方程；(2)过C上一点作曲线E的两条切线分别交y轴于点M，N，求面积的最小值.第(2)题已知双曲线的右焦点为，过与轴垂直的直线交于两点，且，离心率为.(1)求的方程；(2)已知圆上点处的切线方程是，利用类比思想可知双曲线上点处的切线方程为.过点分别作双曲线的左､右两支的切线，切点分别为，连接，并过线段的中点分别再作双曲线左､右两支的切线，切点分别为，证明：点在同一条直线上.第(3)题已知四棱锥的底面是直角梯形，，，平面平面，点在上，．(1)求的值；(2)若四棱锥的体积是，求二面角的余弦值第(4)题已知函数．(1)若，求a的值；(2)当时，从下面①和②两个结论中任选其一进行证明．①；②．第(5)题对于数列，如果存在正整数，当任意正整数时均有，则称为的“项递增相伴数列”．若可取任意的正整数，则称为的“无限递增相伴数列”．(1)已知，请写出一个数列的“无限递增相伴数列”，并说明理由？(2)若满足，其中是首项的等差数列，当为的“无限递增相伴数列”时，求的通项公式：(3)已知等差数列和正整数等比数列满足：，其中k是正整数，求证：存在正整数k，使得为的“2024项递增相伴数列”．。
山东2023数学高考题
山东2023数学高考题一、在山东2023数学高考中，若复数z满足z(1+i)=2i，则z等于？A. 1+iB. 1-iC. -1+iD. -1-i（答案）B解析：由z(1+i)=2i，得z=2i/(1+i)=(2i(1-i))/((1+i)(1-i))=(2+2i)/2=1+i的共轭复数，即1-i。
二、设函数f(x)=x3-3x2+2，则f(x)的极小值点为？A. x=0B. x=1C. x=2D. x=-1（答案）B解析：首先求导f'(x)=3x2-6x，然后令f'(x)=0，解得x=0或x=2。
考察f'(x)的符号变化，确定x=2为极大值点，x=0为极小值点左侧，x=1为极小值点且f'(x)由正变负，所以x=1为极小值点。
三、若直线l=kx+b与圆x2+y2=4相交于两点A、B，且AB的长度为2√3，则圆心O到直线l的距离为？A. 1B. √3C. 2D. 3（答案）A解析：圆的半径为2，弦AB长度为2√3，根据弦长公式，圆心O到弦AB的垂直距离为√(22-(√3)2)=1，即圆心O到直线l的距离为1。
四、在等差数列{an}中，a1=1，a4=7，则a7等于？A. 10B. 13C. 15D. 19（答案）B解析：等差数列的公差d=(a4-a1)/(4-1)=(7-1)/3=2，所以a7=a1+6d=1+6*2=13。
五、若函数f(x)=ex-x-1，则f(x)的单调递增区间为？A. (-∞,0)B. (0,+∞)C. (-∞,1)D. (1,+∞)（答案）B解析：求导f'(x)=ex-1，令f'(x)>0，解得x>0，所以f(x)在(0,+∞)上单调递增。
六、在三角形ABC中，若a=3，b=4，c=5，则cosC等于？A. 3/4B. 3/5C. 4/5D. 5/6（答案）C解析：由余弦定理，cosC=(a2+b2-c2)/(2ab)=(32+42-52)/(234)=4/5。
山东高考数学试题及答案
山东高考数学试题及答案一、选择题（每题5分，共40分）1. 若函数f(x)=x^2-2x+2，则f(1)等于（）A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B2. 已知集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，则A∩B等于（）A. {1}B. {2,3}C. {3,4}D. {1,2,3}答案：B3. 若a，b，c是三角形的三边长，且满足a^2+b^2=c^2，则三角形是（）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定答案：B4. 已知等差数列{an}的前三项依次为1，4，7，则该数列的通项公式为（）A. an = 3n - 2B. an = 3n + 1C. an = 3n - 1D. an = 3n答案：A5. 函数y=x^3-3x^2+4的单调递增区间是（）A. (-∞, 1)B. (1, +∞)C. (-∞, 2)D. (2, +∞)答案：B6. 已知复数z满足z^2+z+1=0，则|z|的值为（）A. 1B. √2C. √3D. 2答案：C7. 已知函数f(x)=x/(x^2+1)，若f(1)+f(2)+f(3)=a，则a的值为（）A. 1/2B. 1/3C. 1/4D. 1/5答案：B8. 已知椭圆x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1（a>b>0）的离心率为e，若e=√3/2，则a与b的关系为（）A. a=2bB. a=√3bC. a=3bD. a=√2b答案：B二、填空题（每题5分，共20分）9. 已知函数f(x)=x^3-3x^2+2，若f(1)=0，则f'(1)的值为______。
答案：-110. 已知等比数列{bn}的第二项为2，公比为3，则该数列的前四项和为______。
答案：5011. 已知函数f(x)=2x+1，g(x)=x^2-2x，若f(g(1))=5，则g(1)的值为______。
答案：212. 已知正方体的对角线长为√3，其体积为______。
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（Ⅰ）求随机变量ξ的分布列和数学期望；
（Ⅱ）用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用B表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求P（AB）．
A．[1，3]B．[2， ]C．[2，9]D．[ ，9]
二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）
13．（4分）（2008•山东）执行如图所示的程序框图，若p=0.8，则输出的n=．
14．（4分）（2008•山东）设函数f（x）=ax2+c（a≠0），若 f（x）dx=f（x0），0≤x0≤1，则x0的值为．
A．304.6B．303.6C．302.6D．301.6
9．（5分）（2008•山东） 展开式中的常数项为（ ）
A．﹣1320B．1320C．﹣220D．220
10．（5分）（2008•山东）4．设椭圆C1的离心率为 ，焦点在x轴上且长轴长为26，若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的规范方程为（ ）
19．（12分）（2008•山东）将数列{an}中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10…记表中的第一列数a1，a2，a4，a7，…构成的数列为{bn}，b1=a1=1．Sn为数列{bn}的前n项和，且满足 ．
（Ⅰ）证明数列 成等差数列，并求数列{bn}的通项公式；
参考答案与试卷解读
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）（2008•山东）满足M⊆{a1，a2，a3，a4}，且M∩{a1，a2，a3}={a1，a2}的集合M的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
（Ⅰ）求证：A，M，B三点的横坐标成等差数列；
（Ⅱ）已知当M点的坐标为（2，﹣2p）时， ．求此时抛物线的方程；
（Ⅲ）是否存在点M，使得点C关于直线AB的对称点D在抛物线x2=2py（p＞0）上，其中，点C满足 （O为坐标原点）．若存在，求出所有适合题意的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
2008年山东省高考数学试卷（理科）
A．iB．﹣iC．±1D．±i
3．（5分）（2008•山东）函数y=lncosxБайду номын сангаас ）的图象是（ ）
A． B． C． D．
4．（5分）（2008•山东）设函数f（x）=|x+1|+|x﹣a|的图象关于直线x=1对称，则a的值为（ ）
A．3B．2C．1D．﹣1
5．（5分）（2008•山东）已知 ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
8．（5分）（2008•山东）如图是根据《山东统计年鉴2007》中的资料作成的1997年至2006年我省城镇居民百户家庭人口数的茎叶图．图中左边的数字从左到右分别表示城镇居民百户家庭人口数的百位数字和十位数字，右边的数字表示城镇居民百户家庭人口数的个位数字．从图中可以得到1997年至2006年我省城镇居民百户家庭人口数的平均数为（ ）
A． B． C． D．
6．（5分）（2008•山东）如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（ ）
A．9πB．10πC．11πD．12π
7．（5分）（2008•山东）在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为1，2，3，…，18的18名火炬手．若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成以3为公差的等差数列的概率为（ ）
17．（12分）（2008•山东）已知函数 （0＜φ＜π，ω＞0）为偶函数，且函数y=f（x）图象的两相邻对称轴间的距离为 ．
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象向右平移 个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，求g（x）的单调递减区间．
2008年山东省高考数学试卷（理科）
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）（2008•山东）满足M⊆{a1，a2，a3，a4}，且M∩{a1，a2，a3}={a1，a2}的集合M的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
2．（5分）（2008•山东）设z的共轭复数是 ，若 ， ，则 等于（ ）
（Ⅱ）上表中，若从第三行起，第一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数．当 时，求上表中第k（k≥3）行所有项的和．
20．（12分）（2008•山东）如图，已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E，F分别是BC，PC的中点．
（Ⅰ）证明：AE⊥PD；
（Ⅱ）若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为 ，求二面角E﹣AF﹣C的余弦值．
21．（12分）（2008•山东）已知函数 ，其中n∈N*，a为常数．
（Ⅰ）当n=2时，求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）当a=1时，证明：对任意的正整数n，当x≥2时，有f（x）≤x﹣1．
22．（14分）（2008•山东）如图，设抛物线方程为x2=2py（p＞0），M为直线y=﹣2p上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A，B．
A． ﹣ =1B． ﹣ =1
C． ﹣ =1D． ﹣ =1
11．（5分）（2008•山东）已知圆的方程为x2+y2﹣6x﹣8y=0，设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为（ ）
A．10 B．20 C．30 D．40
12．（5分）（2008•山东）设二元一次不等式组 所表示的平面区域为M，使函数y=ax（a＞0，a≠1）的图象过区域M的a的取值范围是（ ）
15．（4分）（2008•山东）已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量 =（ ，﹣1）， =（cosA，sinA）．若 ⊥ ，且acosB+bcosA=csinC，则角B=．
16．（4分）（2008•山东）若不等式|3x﹣b|＜4的解集中的整数有且仅有1，2，3，则b的取值范围．
三、解答题（共6小题，满分74分）