(完整word版)浙教版初三数学知识点整理

第一章反比例函数

知识点：1.定义：形如y ＝x

k （k 为常数，k ≠0）的函数称为反比例函数。其中x

是自变量，y 是函数，自变量x 的取值是不等于0的一切实数。

说明：1）y 的取值范围是一切非零的实数。

2）反比例函数可以理解为两个变量的乘积是一个不为0的常数，因此其解析式也可以

写成xy=k ；1-=kx y ；x

k y 1

=（k 为常数，k ≠0）

3）反比例函数y ＝x k

（k 为常数，k ≠0）的左边是函数，右边是分母为自变量x 的分式，也就

是说，分母不能是多项式，只能是x 的一次单项式，如x

y 1=

，x y 2

13=等都是反比例函数，

但2

1

+=

x y 就不是关于x 的反比例函数。 2. 用待定系数法求反比例函数的解析式 由于反比例函数y ＝x

k

只有一个待定系数，因此只需要知道一组对应值，就可以求出k 的值，从而确定其解析式。

3. 反比例函数的画法：

1）列表；2）描点；3）连线

注：（1）列表取值时，x ≠0，因为x ＝0函数无意义，为了使描出的点具有代表性，可以“0”

为中心，向两边对称式取值，即正、负数各一半，且互为相反数，这样也便于求y 值 （2）由于函数图象的特征还不清楚，所以要尽量多取一些数值，多描一些点，这样便于连线，

使画出的图象更精确

（3）连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线

（4）由于x ≠0，k ≠0，所以y ≠0，函数图象永远不会与x 轴、y 轴相交，只是无限

靠近两坐标轴

4. 图像：反比例函数的图像属于双曲线。反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图

形。有两条对称轴：直线y=x 和 y= －x ；对称中心是：原点 5. 性质:

反比例函数

y ＝

x

k

（k 为常数，k ≠0） k 的取值 k ＜0

k ＞0

图像

性质

a) x 的取值范围是x ≠0；y 的取值范围是y ≠0; b) 函数的图像两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内y 值随x 值的增大而增大。 a) x 的取值范围是x ≠0；y 的取

值范围是y ≠0;

b) 函数的图像两支分别位于第

一、第三象限，在每个象限内y 值随x 值的增大而减小。

说明：1）反比例函数的增减性不连续，在讨论函数增减问题时，必须有“在每一个象限内”这一条件。

2）反比例函数图像的两个分只可以无限地接近x 轴、y 轴，但与x 轴、y 轴没有交点。

3）越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直． 越小，图象的弯曲度越大．

4）对称性：图象关于原点对称，即若（a ，b ）在双曲线的一支上，则（，）在

双曲线的另一支上． 图象关于直线对称，即若（a ，b ）在双曲线的一支上，则（，）和（

，）

在双曲线的另一支上．

6. 反比例函数y ＝x

k

（k ≠0）中的比例系数k 的几何意义表示反比例函数图像上的点向两坐

标轴所作的垂线段与两坐标轴围成的矩形的面积。如图，过双曲线y ＝x

k

（k ≠0）上的任意一

点P （x , y ）做x 轴、y 轴的垂线PA 、PB ，所得矩形OBPA 的面积S=PA ·PB=∣xy ∣=∣k ∣。

推出：过双曲线上的任意一点做坐标轴的垂线，连接原点，所得三角形的面积为2

k

7. 经典例题考察：

1）反比例关系与反比例函数的区别和联系：如果xy=k （k ≠0），那么x 与y 这两个量成反比例的关系，这里的x 、y 可以表示单独的一个字母，也可以代表多项式或单项式。例如y －1

与x+1成反比例，则11+=-x k y ；若

y 与x 2 成反比例，则2x

k

y =成反比例关系，x 和y 不一

定是反比例函数；但反比例函数x k

y =（k ≠0）必成反比例关系。

2）坐标系中的求不规则图形的面积

3）反比例函数与一次函数、正比例函数的综合题 8 反比例函数与一次函数的联系．

（1）双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论．

（2）直线与双曲线的关系：

当时，两图象没有交点；当时，两图象必有两个交点，且这两个交点关

于原点成中心对称．

8. 实际问题与反比例函数的应用

1）步骤：分析问题，列解析式建立反比例函数模型→利用反比例函数解决相关问题，建立

反比例函数模型是解决问题的关键。 思路：题目中已明确两变量的函数关系，常利用待定系数法求出函数解析式。 题目中不能确定变量间的函数关系，找出等量关系，将变量联系起来就能得到函

数关系式，并解决问题。 2）反比例函数的应用

（1）反比例函数在几何问题中的应用。求实际问题中的面积 （2）反比例函数在其他学科中的应用，

a) 物理学中，电压一定时，电阻R 与电流强度I 成反比例函数，R

U I =

b) 当在一个可以改变体积的容器中装入一定质量的气体时，当改变容器的体积时，气体的密度也

会随之改变，密度ρ（单位：kg/m 3）是体积v 的反比例函数，解析式可以表达为v

k

=

ρ c) 收音机刻度盘的波长l 与频率f 关系式: f

k l =

d) 压力F 一定时，压强P 与受力面积S 成反比例关系，即S

F P =

e) 当汽车输出功率P 一定时，汽车行驶速度v 与汽车所受的负载即阻力F 成反比例关系，

F

P

v =(3) 反比例函数在日常生活中的应用：路程问题、工程问题等。 注：实际问题中一定要注意自变量x 的取值范围。