计算方法讲义课件 四 线性方程组

第四章 线性方程组

许多科学技术问题可归结为有多个未知量x 1, x 2, …, x n 的线性方

程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧=+++=+++=+++n n nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a

22112

222212*********，这里a ij 为系数。方程组的矩阵形式为：AX = B ，其中⎪⎪

⎪⎪

⎪⎭⎫

⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪

⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛=n n nn n n n n b b b B x x x X a a a

a a a a a a A

2121212222111211,,。

线性方程组的数值解法有直接法和迭代法两大类。直接法不考虑

舍入误差，通过有限步骤四则运算即能求得线性方程组的解。用克莱姆法则来求解线性代数方程组并不实用。

4.1高斯消去法

高斯消去法思想是通过逐步消元，把方程组化为系数矩阵为三角

形，用回代法解此三角形方程组。

三角形方程组

三角形方程组分：下三角⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+=n

n nn n n b x a x a x a b x a x a b x a 221122

221211111

和上三角

⎪⎪

⎩

⎪

⎪⎨

⎧==++=+++n n nn n n n n b x a b x a x a b x a x a x a 222221

1212111两类。 若a ii ≠ 0，i = 1, 2,…, n ，则下三角的解为：

⎪⎩⎪⎨

⎧----==--kk

k k k k k k k a x a x a x a b x a b x /)(11,221111

11 ，k = 2, 3,…, n ，称为前推。 若a ii ≠ 0, i = 1, 2,…, n ，则上三角解为

⎪⎩⎪⎨

⎧---==++kk

n kn k k k k k nn

n n a x a x a b x a b x /)(11, ，k = n-1, n-2,…, 1，称为回代。 高斯消去法的过程实例

例 求解⎪⎩⎪⎨⎧=++II =++I =++III)

(323034)(5253)(6

432321

321321x x x x x x x x x 。（I ）乘（2

3-）后加到（II ）上，（I ）乘（2

4-）后加（III ）上，可消去（II ）、（III ）中

x 1，⎪⎩

⎪⎨⎧=+-II -=-I =++III)

(20

223)(4

45.0)(6

4323232321x x x x x x x 。

（II ）乘（5.03）后加（III ），得：⎪⎩

⎪⎨⎧-=-II -=-I =++III)

(42)(4

45.0)(6

432332321x x x x x x ，回代得x 3 = 2，

x 2 = 8，x 1 = -13。

将原方程组转化为：⎪⎪

⎪⎩

⎪⎪⎪⎨

⎧==+=+++=+++++-+---++)(1,)

1(1,1)1(1)

2(1

,2)2(23)2(232)

1(1,1)1(13)1(132)1(121 n n n n n n n n n nn n n n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x ，回代公式为：⎪⎩

⎪⎨⎧-=-==∑+=++1

,,1,1

)()

(1,)

(1

, n k x a

a x a x n

k j j k kj k n k k n n n

n 。高斯消去法分为消元与回代过

程。算法复杂度为n 3。

例 求解⎩⎨⎧=+=+00.200.100.100.100.10001.02

121x x x x 。精确解为：00010.1999910000

1≈=

x ，99990.09999

9998

2≈=

x 。用消去法第一步以0.0001为主元，从第二个方程

中消x 1后可得：00.1,100001000022=-=-x x ，回代可得x 1 = 0.00，注意这里假定计算过程中有舍入误差（考虑只保留三位有效数字）。这个解误差很大。误差分析表明：顺序消元法在系数矩阵A 为对称正定时，可保证对舍入误差的数值稳定性。

在列主元消去法中，把各方程中要消去的那个未知数的系数按绝

对值最大值作为主元素。

例：求解⎪⎩⎪⎨⎧=+=++=+-7

2452413221

321321x x x x x x x x 。

第一步将4选为主元素，然后将主元行换到第一行得到

⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-->-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-->-⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛--->-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-61005.025.010125.15.0125.5875.0005.025.010125.15.01625.15.1015.020125.15.01702113124524*

消元归结到： ⎪⎩⎪⎨

⎧-==-=++65.025.0125.15.0332321x x x x x x ，回代得⎪⎩⎪

⎨⎧-=-==-619

321x x x 。 例：求解⎪⎩⎪⎨⎧=+=++=-65-54623-771032132121x x x x x x x x 。解释⎪⎩⎪

⎨⎧=-==-1

10321x x x 。

例：求解⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++32303452536432321

321321x x x x x x x x x 。解释⎪⎩⎪

⎨⎧===-2

813

-321x x x 。

计算步骤：

输入：阶数n ，增广矩阵)1,(+n n A ， 输出：n x x x ,,,21 1．对n k ,,2,1 =