计算方法讲义课件 四 线性方程组
高等数学线性代数线性方程组教学ppt(4)
1.2 高斯消元法
对线性方程组消元的三种变换(统称为线性方程组 的初等变换):
（1）交换方程组中某两个方程的位置； （2）以非零常数k乘以方程组中某个方程； （3）用数k乘以方程组中某个方程后加到另一个方程 上去.
定理1 线性方程组经过初等变换后得到的新方程组 与原方程组同解.
例1
解线性方程组
R( A) n;
(2)若R(A) n 1,则 A 0, AA* A E O,
由例5知:R( A) R( A*) n, R( A*) n R( A) n (n 1) 1, 即R( A*) 1.
另一方面,由于R(A) n 1, 因此A存在n 1阶非零子式,即A* O, 从而R( A*) 1.
R( A*) 1;
任一解都可以表示为
x 0 k11 knrnr ,
其中k1, , knr R. 即,当R(A) R(A | b)时,有
Ax b的通解
Ax b的一个特解 Ax 0的通解.
行阶梯形矩阵对应的方程组，叫行阶梯 形方程组；
行阶梯形方程组中，每个方程的第一个 未知量称为主未知量(主变量)，其余变量叫 自由未知量(自由变量);
用消元法解线性方程组，就是用初等行 变换将方程组的增广矩阵化为行阶最简形， 得到的行阶梯方程组与原方程组同解．
例2 求解非齐次方程组的通解
x1 x1
3.设0是Ax b的某个解(称为特解),则Ax b 的任一个解向量都可表示成0与对应的 Ax 0的解之和,即有
0 .
证 :由于 0 ( 0 ),记 0,由性质1知 是导出组Ax 0的解,则 0 .
故只要 取遍Ax 0的全部解, 0 就取遍了 Ax b的所有解.
三、Ax b解的结构定理 定理4 若Ax b有解,1, ,nr是对应的Ax 0 的基础解系,0是Ax b的一个特解,则Ax b的
计算机数学课件第四章 线性方程组
这个矩阵M称为直接消耗矩阵
其中E是与直接消耗矩阵M同阶的单位阵，这个方程组表示总产出的一部分用 于系统生产运作，另一部分用于满足订单，称为分配平衡方程，(E-M)称为列 昂惕夫矩阵。
只要矩阵方程有非负解，这个经济系统就是可行的。
4.3.3 完全消耗系数
在实际生产过程中，经济系统各部门之间除了存在直接消耗关系外，还存 在间接消耗关系。如生产1元的铁路运能要直接消耗0.45元的煤，0.10元 的电，在被消耗的0.45元煤和0.10元电又要消耗电，就有了一个确定每生 产1元的铁路运能到底总共消耗多少电的完全消耗系数问题。
4.2.2 非齐次线性方程组解的判断
关于非齐次线性方程组的解的情况，我们有以下定理：
• 非齐次线性方程组的解的结构
通过上面几个例子，我们认识了求解线性方程组的高斯消元法思想 和步骤：首先用初等行变换化增广矩阵为阶梯形矩阵，然后进一步 化成行最简阶梯形矩阵，通过系数矩阵的秩、增广矩阵的秩可判断 线性方程组解的情况：唯一解、无穷多解、无解，如果方程组有无 穷多解，通解就表达了无穷多解，教科书一般将通解写成量形式， 方便符号化表述。不过，手工运算还是较繁琐容易出错，可用数学 软件来求解方程组。
例4.1 求解线性方程组
• 消元法的做法就是对方程组三种变换：数乘变换、消去变换、互换变换， 消去一些方程组中的若干未知量，进而化成阶梯形方程组。
• 将原方程组通过初等变换化为阶梯形方程组，这种方法称为高斯消元法。
例4.2 解线性方程组 在方程组的增广矩阵中对矩阵进行初等行变换：
例4.3 解线性方程组
表一：投入产出表
产出
系统内部消耗（需求）
投入
煤矿
电力
铁路
生产
煤矿
线性代数第四章线性方程组课件
系分别确定的解集合
S {k11 k22 ktt | k1, k2, 与 T {l11 l22 lt t | l1,l2,
是相等的，即 S T．
, kt是任意常数} , lt是任意常数}
定理5 设 A 是一个 m n矩阵，若齐次线性方程组
一个解．
定理8 设 1,2 是方程组 AX 的两个解，则 1 2 是 AX 导出组 AX 0 的一个解．
由这两个结果， 我们能够得到非齐次线性方程 组解的结构定理．
定理9 设矩阵 A 是一个 mn矩阵．若非齐次线性
方程组 AX 有解， 令 0是 AX 的某一个解
（通常称为特解）．
k1, k2, , ks 是任意常数， 则
k11 k22 kss
也是方程组的解． 即齐次线性方程组解的线性组合
还是方程组的解．
记齐次线性方程组 AX 0的解集合为 S ， 即
S { (c1,c2, ,cn)T | A 0}.
那么，上面的定理 3 就可以表述为：
对于任意的 1, 2 S ， k1, k2是两个任意常数，有
1）当 R(A) R(A) n 时，0是 AX 唯一的解； 2）当 R(A) R(A) n 时，AX 的导出组 AX 0 存在无穷多解， 则 AX 的解集合为 S {0 k11 k22 kss | k1, k2, , ks是任意常数}， 其中 1,2, ,s是 AX 0 的一个基础解系．
是线性无关的．
1, 2, , n
定理2（齐次线性方程组有非零解的判别定理） 齐
次线性方程组 AX 0 有非零解的充分必要条件是
它的系数矩阵 A 的秩 R(A) n ．
推论1 如果齐次线性方程组 AX 0 中的方程个数
课件：线性方程组的求解
§1.4 线性方程组的求解
最简形方程组
x1+2x2 x3 = 3 x2+2x3 = 2 (2) 0=0
x1 5x3 = 1 x2+2x3 = 2 0=0
由此可得原方程组的通解
x1 = 5x3+1 x2 = 2x32 x3 = x3
上述求方程组解的方法---Gauss消元法
第1章 行列式和线性方程组的求解
则称A为阶梯形矩阵(简称阶梯阵). 这时称A 中非零行的行数为A的阶梯数. 例如
1 1 2 0 4
11 0 0 4
01 00
3 0
2 2
2 3
,
0 1 0 2 2 0 0 0 2 3
00 0 0 0
00 0 0 4
第1章 行列式和线性方程组的求解
§1.4 线性方程组的求解
如果阶梯阵A还满足如下条件
§1.4 线性方程组的求解
1. 线性方程组的换法变换, 倍法变换和消法变 换统称为线性方程组的初等变换.
注: 倍法变换必须用非零的常数去乘某一个 方程.
2. 阶梯形线性方程组的有三中基本类型. 例如
2x1+3x2 x3 = 1 2x2+x3 = 2 0=1
x1x2+2x3 = 8 2x2 +x3 = 1 x3 = 5
x1+ 2x2 + x3+ x4 = -1 2x1 - x2 +2x3+ x4 = 2 x1 + x2 +2x3+ 2x4 = 0
第三章 矩阵的相抵变换和秩·线性方程组
§3.1 消元法
例2. 设线性方程组
x1 x2 x3 0
x1
(
1) x2
线性方程组解PPT课件
VS
详细描述
高斯消元法的基本思想是将线性方程组转 化为上三角矩阵，然后通过回代过程求解 未知数。在消元过程中，通过行变换将方 程组的系数矩阵变为上三角矩阵，然后通 过回代过程求解未知数。该方法具有较高 的计算效率和精度，适用于大规模线性方 程组的求解。
迭代法
总结词
迭代法是一种求解线性方程组的方法，通过不断迭代逼近解的过程。
在物理领域的应用
力学系统
利用线性方程组描述多体系统的 运动状态，分析系统的平衡点和 稳定性，以及如何通过调整系统
参数实现稳定运动。
电路分析
通过线性方程组表示电路中的电流 和电压关系，分析电路的阻抗、导 纳和转移矩阵等参数，为电路设计 和优化提供依据。
波动方程
利用线性方程组描述波动现象，如 声波、光波和水波等，分析波的传 播规律和特性。
线性方程组解ppt课件
目录 CONTENT
• 线性方程组的基本概念 • 线性方程组的解法 • 线性方程组的解的性质 • 线性方程组的应用 • 线性方程组解的软件实现
01
线性方程组的基本概念
线性方程组的定义
线性方程组
由有限个线性方程组成的方程组，其中每个方程包含一个或多个 未知数。
线性方程
形如 ax + by + c = 0 的方程，其中 a, b, c 是常数，x 和 y 是未 知数。
详细描述
迭代法的基本思想是通过不断迭代逼近解的过程，最终得到线性方程组的近似解。迭代法有多种形式，如雅可比 迭代法、高斯-赛德尔迭代法和松弛迭代法等。这些方法通过迭代更新解的近似值，最终得到满足精度要求的解。 迭代法适用于大规模线性方程组的求解，但计算效率相对较低。
矩阵求解法
总结词
数学线性代数方程组PPT课件
a(k ik
1)
) /a a(k)
ij
(k) kk
(i lik
k a(k)
kj
(i
1,...,n) k 1,...,n;
j
k
1,...,n, n
1)
该Gauss消去法为顺序高斯消去法
第7页/共87页
Gauss
for k 1, 2, , n 1
for i k 1, k 2, , n
Cramer法则:
xi
Di D
i 1, 2,
,n
所需乘除法的运算量大约为(n+1)!+n
n=20时，每秒1亿次运算速度的计算机要算30多万年！
直接法
在没有舍入误差的情况下，经过有限次 运算可以得到方程组的精确解的方法。
第2页/共87页
§3.1 Gauss消去与矩阵LU分解
属于解方程的直接法
一 Gauss消去 1 直接法的关键思想
ln,k
1
第26页/共87页
A L1L2 Ln2 Ln1U LU L为单位下三角
1
l21 1 l31 l32 1
L l41 l42 l43 1
u11 u12 ... u1n
U
u22 ... u2n ...
1 ln1 ln2 ln3 lnk lnn1
unn
A LU 矩阵分解为单位下三角 和上三角矩阵的乘积
aii
第13页/共87页
例：在8位制计算机上解方程组
109
x1
x2
1
x1 x2 2
要求用Gauss消去法计算。
解：l21 a21 / a11 109 8个
x1 x2 1
a22 1 l21 1 0.0 ...01109 109 109
《线性代数》第四章：线性方程组-PPT课件
❖ 例如 axbyc 是一个二元方程，a , b 不同时
为零时，方程有无穷多解，如 b0时，x0,yc
b
为二元方程 的一个特解， axbyc
b0 时 ， xk,ycakk R
bb
为二元方程的通解；当 a , b 同时为零,若时c ，0
方程无解；当
a同, b 时为零,若 时c ， 0 方程
有无穷多解任意一对有序实数都是方程的解。
❖ 消元法的目的就是利用方程组的初等变换将 原方程组化为阶梯形方程组, 由于这个阶梯形 方程组与原线性方程组同解, 解这个阶梯形方 程组得到的解就是原方程组的解。
❖ 注意：将一个方程组化为行阶梯形方程组的 步骤并不是惟一的, 所以，同一个方程组的行 阶梯形方程组也不是唯一的。
❖ n元线性方程组的一般形式为
cnnxn 0
❖ 其中 crr 0 则线性方程组有唯一解，即仅有零解。
❖ (2) 当 r n 时，方程组可以化为
c11x1 c12x2 c1rxr c1nxn 0
c22x2 c2rxr c2nxn 0 ..........................
crrxr crnxn 0
❖ 其中 crr 0 将其改写成
a11x1a12x2 a1rxrb1a1r1xr1 a1nxn a22x2 a2rxrb2a2r1xr1 a2nxn arrxrbrarr1xr1 arnxn
《线性代数》课件第4章
此时A的第j列元素恰为αj表示成β1, β2,…, βt的线性组合时的
系数.
证明：若向量组a1,a2,…,as可由β1, β2,…, βt线性表示，即每个ai
均可由β1, β2,…, βt线性表示，则有
α1 = a11β1 + a21β2 + + at1βt = (β1, β2,
, βt )⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝aaa12t111 ⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟,
我们有下面的定理： 定理 1.1 矩阵的秩数=行秩数=列秩数.
例1.3 设
α1 = (1, 2, 0,1)T , α2 = (0,1,1,1)T , α3 = (1, 3,1, 2)T , α4 = (1,1,−1, 0)T
求此向量组的秩数及一个极大无关组.
解 考虑向量组构成的矩阵
A=(α1,
α2,
我们有下面的命题：
命题1.
1. α1, α2,…, αs线性无关； 2.方程x1α1 + x2α2 + … + xxαs只有零解 3. 对于任意一组不全为零的数c1,c2,…,cs均有
c1α1 + c2α2 + + csαs ≠ 0, 4. 对于任意一组数c1,c2,…,cs, 若c1α1 + c2α2 +
定义1.4 两个可以互相表示的向量组称为等价向量组.
容易看出： 1. 向量组的等价是一个等价关系； 2. 等价向量组的秩数相同； 3. 任何向量组等价于其极大无关组; 4. 两个向量组等价当且仅当它们的极大无关组等价.
最后我们给出化简向量组的一种技巧 为此先给出一个定义
定义1.5 设α1, α2,…, αs和β1, β2,…, βs是两个向量组， 若对于任意一组数c1,c2,…,cs均有
《线性代数》第四章线性方程组 第1节.ppt
2
1 1
11 2 1 0 2
2 7
~
2 2 5 1 1 18
0
0
0
3 3 6
4 23 5
5
2
4
7
1 3 1 4
1 2 3 1 1 7
~ 0 3 4 2 3 5
0 0
0 0
1 7
0 1
1 5
1 42
~
1 2 3 1 1 7
0 3 4 2 3 5
0 0
0 0
1 0
二、用消元法解线性方程组
中学代数已介绍过二元、三元线性方程组的消元法——高斯消元 法。下面再作一例，以求其规律。
例 解线性方程组
2x1 x2 2x3 4
x1 x2 2x3 1
4x1 x2 4x3 2
解：交换第一、二两个方程， 得同解组
x1 x2 2x3 1 1 2x1 x2 2x3 4 2 4x1 x2 4x3 2 3
(1) 的 方 程 组
称为线性方程组
它可写作矩阵形式： AX b (2)
其中 A (aij )mn 是系数矩阵
X (x1, x2 ,xn )T
b (b1,b2 ,bm )T
称 B (A b) 为增广矩阵,通常写成 ( A | b)或( A, b)
b=0时所对应的方程组为齐次线性方程组
b≠0时所对应的方程组为非齐次线性方程组
当 x , x ,, x 分别用数k , k ,, k 代入方程组中的
1
2
n
1
2
n
每一个方程后, 若能使得每一个等式都 变成恒等式,
则我们称
x k , x k ,, x k ,
1
1
线性代数线性方程组解的结构ppt课件
k1
k2
设
ξ
=
kr kr +1
是方程组的任一解.
kr+2
则
kn
y1 = c1,(r+1) yr+1 + + c1n yn
y2
=
c y 2,(r+1) r+1
+
+ c2n yn
(*)
yr = cr,(r+1) yr+1 + + crn yn
k1 = c k 1,(r+1) r+1 + k2 = c k 2,(r+1) r+1 + kr = c k r,(r+1) r+1 +
定义3 设x1, x2, , xs 都是AX=o的解,并且 (1) x1, x2, , xs线性无关； (2) AX=o的任一个解向量都能由x1, x2, , xs线性表示，
则称x1, x2, , xs为线性方程组AX=o的一个基础解系.
通解（方程组的全部解）可以表示为：k1x1 + k2x2 + + ksxs
0 0
c1nkn
c2
n
kn
+
crn kn 0
0
kn
c1r+1
1 -2 4 3 3 -5 14 12
-1 4 1 5
r2-3r1 —r—3+r1
1 -2 01
4 2
3 3
0258
r3-2r2 1 -2 4 3 —— 0 1 2 3
0012
下页
消元法与矩阵的初等行变换
用消元法解线性方程组的过程，实质上就是对该方程组
大学线性代数课件线性方程组第四章 线性方程组
4 4
1 2 2 1 1 0 2 53
0
1
2
4
3
0
1
2
4 3
0 0 0 0 00 0 0
对应于矩阵
1 0 0
0 1 0
2 2 0
5
4 3
0
3
的同解方程组为
x 1
x 2
2x 3
2x 3
5 3
4 3
x 4
x 4
0 0
x =2 1
x 3
5 3
x 4
移项得， xx12=2x32x3
然而，许多线性方程组并不能同时满足这两个条件. 为此，必须讨论一般情况下线性方程组的求解方法和解 的各种情况.
§2 齐次线性方程组
一般地,齐次线性方程组可以写成
a11x1 a12 x2 a1n xn 0,
a21x1 a22 x2 a2n xn
0,
am1x1 am2 x2 amn xn 0.
(1)
am1x1 am2 x2 amnxn bm.
其中x1, x2,, xn是n个未知量,
m是方程组所包含的方程 个数,
aij (i 1,2,, m; j 1,2,, n)称为方程组的系数 ,
bj ( j 1,2,, m)称为常数项 .
A
aij
,
mn
x1
x
x2
,
xn
n1
x1 7x2 5x3 2, 2x1 5x2 3x3 3,
3x1 2x2 8x3 17.
解:对增广矩阵进行行初等变换
A
b
1 2
7 5 5 3
2 1 7 3 0 19
5 13
2 1
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第四章 线性方程组许多科学技术问题可归结为有多个未知量x 1, x 2, …, x n 的线性方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++n n nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a22112222212*********，这里a ij 为系数。
方程组的矩阵形式为：AX = B ，其中⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n n nn n n n n b b b B x x x X a a aa a a a a a A2121212222111211,,。
线性方程组的数值解法有直接法和迭代法两大类。
直接法不考虑舍入误差，通过有限步骤四则运算即能求得线性方程组的解。
用克莱姆法则来求解线性代数方程组并不实用。
4.1高斯消去法高斯消去法思想是通过逐步消元，把方程组化为系数矩阵为三角形，用回代法解此三角形方程组。
三角形方程组三角形方程组分：下三角⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+=nn nn n n b x a x a x a b x a x a b x a 221122221211111和上三角⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==++=+++n n nn n n n n b x a b x a x a b x a x a x a 2222211212111两类。
若a ii ≠ 0，i = 1, 2,…, n ，则下三角的解为：⎪⎩⎪⎨⎧----==--kkk k k k k k k a x a x a x a b x a b x /)(11,22111111 ，k = 2, 3,…, n ，称为前推。
若a ii ≠ 0, i = 1, 2,…, n ，则上三角解为⎪⎩⎪⎨⎧---==++kkn kn k k k k k nnn n a x a x a b x a b x /)(11, ，k = n-1, n-2,…, 1，称为回代。
高斯消去法的过程实例例 求解⎪⎩⎪⎨⎧=++II =++I =++III)(323034)(5253)(6432321321321x x x x x x x x x 。
（I ）乘（23-）后加到（II ）上，（I ）乘（24-）后加（III ）上，可消去（II ）、（III ）中x 1，⎪⎩⎪⎨⎧=+-II -=-I =++III)(20223)(445.0)(64323232321x x x x x x x 。
（II ）乘（5.03）后加（III ），得：⎪⎩⎪⎨⎧-=-II -=-I =++III)(42)(445.0)(6432332321x x x x x x ，回代得x 3 = 2，x 2 = 8，x 1 = -13。
将原方程组转化为：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==+=+++=+++++-+---++)(1,)1(1,1)1(1)2(1,2)2(23)2(232)1(1,1)1(13)1(132)1(121 n n n n n n n n n nn n n n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x ，回代公式为：⎪⎩⎪⎨⎧-=-==∑+=++1,,1,1)()(1,)(1, n k x aa x a x nk j j k kj k n k k n n nn 。
高斯消去法分为消元与回代过程。
算法复杂度为n 3。
例 求解⎩⎨⎧=+=+00.200.100.100.100.10001.02121x x x x 。
精确解为：00010.19999100001≈=x ，99990.0999999982≈=x 。
用消去法第一步以0.0001为主元，从第二个方程中消x 1后可得：00.1,100001000022=-=-x x ，回代可得x 1 = 0.00，注意这里假定计算过程中有舍入误差（考虑只保留三位有效数字）。
这个解误差很大。
误差分析表明：顺序消元法在系数矩阵A 为对称正定时，可保证对舍入误差的数值稳定性。
在列主元消去法中，把各方程中要消去的那个未知数的系数按绝对值最大值作为主元素。
例：求解⎪⎩⎪⎨⎧=+=++=+-72452413221321321x x x x x x x x 。
第一步将4选为主元素，然后将主元行换到第一行得到⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-->-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-->-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--->-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-61005.025.010125.15.0125.5875.0005.025.010125.15.01625.15.1015.020125.15.01702113124524*消元归结到： ⎪⎩⎪⎨⎧-==-=++65.025.0125.15.0332321x x x x x x ，回代得⎪⎩⎪⎨⎧-=-==-619321x x x 。
例：求解⎪⎩⎪⎨⎧=+=++=-65-54623-771032132121x x x x x x x x 。
解释⎪⎩⎪⎨⎧=-==-110321x x x 。
例：求解⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++32303452536432321321321x x x x x x x x x 。
解释⎪⎩⎪⎨⎧===-2813-321x x x 。
计算步骤：输入：阶数n ，增广矩阵)1,(+n n A ， 输出：n x x x ,,,21 1．对n k ,,2,1 =（1）按列选主元：选取l 使 0max ≠=≤≤ik ni k lk a a ，（2）如果k l ≠，交换)1,(+n n A 的 第k 行与底l 行元素， （3）消元计算：… 2．回代。
4．2追赶法在实际中常遇到以下形式方程组：称为三对角矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=---n nn n n k k k b a c b a c b a c b a c b A 11122211 。
这种方程组有效算法—追赶法。
追赶法是高斯消去法的简化，分消元与回代两过程。
将原系数矩阵转化为：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-11111121n kr r r r ，逐步回代，即可依次求出x n ，x n -1，…，x 1。
综合追赶的过程，得如下计算公式：⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧=--=-===---n k a r b a y d y a r b c r bd y bc r k k k k k k k k k k kk ,,3,2,111111111 ，⎩⎨⎧--=-==+1,,2,1,1 n n k x r y x y x k k k k nn 。
4．3 初等变换的应用高斯消去法实际上就是初等变换。
对行的初等变换有三种：（1）某行乘一非零系数，（2）两行位置对调，（3）某行乘系数后加到另一行。
同样有对列的初等变换。
定义： n 阶单位矩阵I 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵： （1） 对换单位矩阵I 的i , j 两行，所得初等矩阵记为I(r i ,r j )。
（2） 用非零数k 乘单位矩阵I 的第i 行，所得初等矩阵记为I(kr i )。
（3） 把单位矩阵I 的第i 行的k 倍加到第j 行上，所得初等矩阵记为I(kr i +r j )。
举例说明三种初等变换阵。
定理：对一个n m ⨯矩阵A 作一次初等行变换所得到的矩阵B ，等于一个对应的m 阶初等矩阵左乘矩阵A ；对A 作一次初等列变换所得到的矩阵C ，等于一个对应的n 阶初等矩阵右乘矩阵A 。
验证：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛444342413433323124232221141212111111a a a a a a a a a a a a a a a a =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛44434241343332311413121124222221a a a a a a a a a a a a a a a a 应用1：逆矩阵：设A = (a ij )n ⨯n 是非奇，|A | ≠ 0，由于AA -1 = I ，求A -1的问题相当于解下列线性方程组：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100,,0012112111nn n n n x x x A x x x A 。
例 求逆⎪⎪⎭⎫⎝⎛231。
⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛>-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛>-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛5.05.11115.0113111231，逆为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-5.05.11。
应用2：行列式值：行列式任意一行(列)的元素乘以同一个数后，加到另一行（列）的对应元素上，其行列式的值不变；任意对换两行（列）的位置其值反号；三角矩阵的行列式之值等于其主对角元素的乘积。
因此，可用高斯消去法将 |A |化成：)()1(11)()2(22)1(11n nnn nna a a a a A==应用3：秩分解令A 为n m ⨯矩阵，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=11PAQ ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛)()(A n m I I ，用单位阵记录变换过程。
4.4 矩阵LU 分解用矩阵理论来分析高斯消去法，实现矩阵的三角分解。
定理：上三角乘上三角还是上三角；下三角乘下三角还是下三角。
定理：非奇异下（上）三角矩阵的逆还是下（上）三角。
证明的方法一初等变换法，二是矩阵分块、归纳法。
初等变换法：设L 是单位下三角，考虑I L L L L m = 21，i L 都是下三角，m L L L 21就是L 的逆。
归纳法：a C B X I BX a C B X a B C a/,/010/1011---=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛。
考虑线性方程组B X =A。
假设解此方程组用高期消去法能够完成（不进行交换两行的初等变换）。
由于对A 施行初等变换相当于用初等矩阵左乘A ，所以用高斯消去法可以将矩阵分解为：U A L L L L m m =-121 。
令11211-m L L L L --=，则LU A =，其中L 为单位下三角矩阵，U 为上三角矩阵。
定理：（矩阵LU 分解）(LU Decomposition)设A 为n ⨯n 实矩阵，如果解AX=B 用高斯消去法能够完成（限制不进行行的交换），则矩阵A 可分解为单位下三角矩阵L 与上三角矩阵U 的乘积：A = LU ，且这种分解是唯一的。
证明：证唯一性。
设 A = L 1 U 1 = LU ，其中L 1，L 1为单位下三角阵，U 1，U 为上三角阵。
由于1-L 和11-U 存在，于是有1111--=UU L L ，上式右端为上三角矩阵，左边为单位下三角阵，故为单位矩阵。
即L 1 = L ，U 1=U 。
例如对于一个的矩阵，就有定理：约化主元素0)(≠i ii a （i = 1, 2, …, k ）充要条件是矩阵A 的顺序主子式 ,0,0222112112111≠=≠=a a a a D a D 01111≠=kkk kk a a a a D 。