往届高等数学试题及答案

高等数学试题及答案

一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1．设f(x)=lnx ，且函数ϕ(x)的反函数1ϕ-2(x+1)(x)=

x-1，则[]ϕ=f (x)（ ） ....A B C D x-2x+22-x x+2 ln ln ln ln x+2x-2x+22-x

2．()002lim 1cos t

t x x e e dt x -→+-=-⎰（ ）

A ．0

B ．1

C ．-1

D ．∞ 3．设00()()y f x x f x ∆=+∆-且函数()f x 在0x x =处可导，则必有（ ）

.lim 0.0.0.x A y B y C dy D y dy ∆→∆=∆==∆= 4．设函数,131,1x x x ⎧≤⎨->⎩

22x f(x)=，则f(x)在点x=1处（ ） A.不连续 B.连续但左、右导数不存在 C.连续但不可导 D. 可导

5．设C +⎰2-x xf(x)dx=e

，则f(x)=（ ） 2222-x -x -x -x A.xe B.-xe C.2e D.-2e

二、填空题（本大题共10小题，每空3分，共30分）

请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

6.设函数f(x)在区间[0，1]上有定义，则函数f(x+14)+f(x-14

)的定义域是__________. 7．()()2lim 1_________n n a aq aq aq q →∞

++++<= 8．arctan lim _________x x x

→∞= 9.已知某产品产量为g 时，总成本是2

g C(g)=9+800

，则生产100件产品时的边际成本100__g ==MC 10.函数3()2f x x x =+在区间[0，1]上满足拉格朗日中值定理的点ξ是_________.

11.函数3229129y x x x =-+-的单调减少区间是___________.

12.微分方程3'1xy y x -=+的通解是___________.

13.

设2ln 2

,6

a a π==⎰则___________.

14.设2cos x z y =则dz= _______. 15.设{}2(,)01,01y D

D x y x y xe dxdy -=≤≤≤≤=⎰⎰，则_____________.

三、计算题（一）（本大题共5小题，每小题5分，共25分）

16.设1x y x ⎛⎫= ⎪⎝⎭

，求dy. 17.求极限0ln cot lim ln x x x

+→

18.求不定积分

.⎰

19.计算定积分I=0.⎰

20.设方程2z x 2e 1y xz -+=确定隐函数z=z(x,y)，求','x y z z 。

四、计算题（二）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）

21．要做一个容积为v 的圆柱形容器，问此圆柱形的底面半径r 和高h 分别为多少时，所用材料最省？

22.计算定积分20

sin x xdx π

⎰ 23.将二次积分⎰⎰ππ=0x 2dy y y sin dx I 化为先对x 积分的二次积分并计算其值。

五、应用题（本题9分）

24.已知曲线2

y x =，求

（1）曲线上当x=1时的切线方程；

（2）求曲线2y x =与此切线及x 轴所围成的平面图形的面积，以及其绕x 轴旋转而成的旋转体的体积x V .

六、证明题（本题5分）

25．证明：当x>0时，ln(1x x >

参考答案

一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）

1．答案：B

2．答案：A

3．答案：A

4．答案：C

5．答案：D

二、填空题（本大题共10小题，每空3分，共30分）

6．答案：13,44

⎡⎤

⎢⎥⎣⎦

7．答案：1a q - 8．答案：0

9．答案：14

10

11．答案：（1，2）

12．答案：3

12

x Cx -+ 13．答案：ln 2a =

14．答案：21cos sin 2x xdx dy y y ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭

15．答案：()2114

e --

三、计算题（一）（本大题共5小题，每小题5分，共25分）

16. 答案：()1ln 1x x dx x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭

17．答案：-1

18

C 19. 答案：24

a π 20. 答案：2'

'x y z z

22x Z Z 2e 2e xy z x x -==--，

四、计算题（二）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）

21

．答案：0020V r h r π===

22．答案：

2 4π

23. 答案：1

五、应用题（本题9分）

24. 答案：（1）y=2x-1（2）

1

12

，

30

π

（2）

所求面积()

1

3

12

2

1121

(1

24312

y

S dy y y

⎡⎤

+

==+-=

⎢⎥

⎣⎦

⎰

所求体积()

12

22

11

1

325630

x

V x dx

πππ

ππ

=-⋅⋅⋅=-=

⎰

六、证明题（本题5分）25．证明：

()ln(1

'()ln(

ln(

ln(

1

'()ln(0

f x x x

f x x

x

x

x

x

f x x

=+

∴=++

=+

=+

>

∴+>

∴=+>

故当0

x>时()

f x单调递增，则()(0),

f x f

>即

ln(1

x x>