概率论与数理统计期末考试卷附答案

概率论与数理统计期末考试卷

课程名称： 概率论与数理统计 考试时间 专业 班 学号 姓名

一、填空题（每格3分，共18分）

1. 设

3

1)()()(321=

==A P A P A P ，321,,A A A 相互独立，则（1）321,,A A A 至少出现一

个的概率为_ __；（2）321,,A A A 恰好出现一个的概率为_ _ _。 2. 设)2,1(~2N X ，)1(~P Y ，6.0=XY ρ，则=+-2)12(Y X E __ ____。

3．设Y X ,是相互独立的两个随机变量，它们的分布函数分别为)(x F X ，)(y F Y 则

},max{Y X Z =的分布函数是 。

4．若随机变量X 服从正态分布),(2

σμN ，20

21,,,X X X 是来自X 的一个样本，令

∑∑==-=20

11

101

43i i i i X X Y ，则Y 服从分布 。

5. 若对任意给定的0>x ,随机变量y 的条件概率密度⎩⎨⎧>=-其它

,00,)(y xe x y f xy z y 则

y 关于x 的回归函数==)(x x y μμ .

二、单项选择题（每小题2分，共10分）

1. 设函数)(x f 在区间],[b a 上等于x sin ，而在此区间外等于0，若)(x f 可以做为某连续型随机变量X 的密度函数，则区间],[b a 为（ ）。

(A) ]2,0[π

； (B) ],0[π；

(C) ]0,2

[π

-

； (D) ]2

3,

0[π

。 2. 假设随机变量X 的概率密度为)(x f ，即)(~x f X ，期望μ与方差2

σ都存在，样本)1(,,,21>n X X X n 取自X ，X 是样本均值，则有（ ） (A) )(~x f X ；

(B) )(~min 1x f X i n

i ≤≤；

(C) )(~max 1x f X i n

i ≤≤ ； (D) )(~

),,,(1

21∏=n

i i

n x f X X X 。

3. 总体2

~(,)X N μσ，2σ已知，n ≥（ ）时，才能使总体均值μ的置信度为0.95

的置信区间长不大于L 。(975.0)96.1(=Φ)

（A ）2215/L σ； （B ）22

15.3664/L σ； （C ）22

16/L σ； （D ）16。

4. 对回归方程的显著性的检验，通常采用3种方法，即相关系数检验法，-F 检验法

和-t 检验法，下列说法正确的（ ）。 (A) F 检验法最有效； (B) t 检验法最有效；

(C) 3种方法是相通的，检验效果是相同的；

（D) F 检验法和t 检验法，可以代替相关系数的检验法。

5．设n X X X ,,,21 来自正态总体),(2

σμN 的样本(2

σ已知),令n

X u /σμ

-=

,并且2

1α

-

u

满足

απ

αα-=⎰-

-

--121

2

12

122

/dx e

u

u

x (10<<α),则在检验水平α下, 检验00:μμ=H 时,第

一类和第二类错误的概率分别是( )和( ).

(A) ||{|2

1α

-

(B) 2

1|{|α

-

(C) ||{|2

1α

-

≥u

u P 当0H 成立}；

(D) 2

1|{|α

-

≥u

u P |当0H 不成立}。

三、计算题（每小题10分，共20分）

1. 设有甲、乙、丙三门炮，同时独立地向某目标射击命中率分别处为0.2、0.3、0.5,目标被命中一发而被击毁的概率为0.2，被命中两发而被击毁的概率为0.6，被命中三发而被击毁的概率为0.9，求：

（1）三门火炮在一次射击中击毁目标的概率；

（2）在目标被击毁的条件下，只由甲火炮击中的概率。 解：设事件C B A ,,分别表示甲、乙、丙三门炮击中目标，D 表示目标被击毁，i H 表示有i 门炮同时击中目标（3,2,1=i ），由题设知事件C B A ,,相互独立，故

2.0)(=A P ，

3.0)(=B P ，5.0)(=C P ； 2.0)|(1=H D P ，6.0)|(2=H D P ，9.0)|(3=H D P )()(1C B A C B A C B A P H P ⋃⋃=

)()()(C B A P C B A P C B A P ++=

)()()()()()()()()(C P B P A P C P B P A P C P B P A P ++= 47.0=

22.0)(2=H P ， 03.0)(3=H P

（1）由全概率公式，得

)|()()(3

1

i i i H D P H P D P ∑==

253.09.003.06.022.02.047.0=⨯+⨯+⨯= （2）由贝叶斯公式，得

)

()

|()()()()|(D P C B A D P C B A P D P D C B A P D C B A P ==

0554.0253

.02

.05.07.02.0=⨯⨯⨯=

2．随机变量U 在区间]2,2[-上服从均匀分布，随机变量

⎩⎨

⎧>-≤-=-1若U 1若U 1

1X ，⎩

⎨⎧>≤-=1若U 1

若U 01Y 。

试求：（1）X 和Y 的联合概率分布；（2）)(Y X E +；（3）22Y X Z +=的概率分布。 解：（1）因随机变量U 在区间]2,2[-上服从均匀分布，故

4

1

41)1()1,1()1,1(1

2==-≤=≤-≤=-=-=⎰

--dx U P U U P Y X P ； 0)()11,1()0,1(==>-≤==-=φP U U P Y X P ；

21

41)11()1,1()1,1(1

1==≤≤-=≤->=-==⎰

-dx U P U U P Y X P 41

41)1()1,1()0,1(21==>=>->===⎰dx U P U U P Y X P

故X 和Y 的联合概率分布如下：

(2) 关于X 的边际分布为

关于Y 的边际分布为