平方差公式 拓展
平方差公式和完全平方公式复习和拓展-2022年学习资料
5.完全平方式-1已知，x2+ax+16是完全平方式，-则a=8-己知，4x2-ky+25y2是完全平方式 -则k=-±20-3x2+12x+m是完全平方式，则m=36-4请把4x4+1添加一项后是完全平方式，-可 添加-±4x2或-1或-4x4或4x8或
4x±4x2+1=2x2±1}-2x}+4x+1=2x+1y-6自2r-”1-4x4+1-1=4x4-4x +1-4x4=1
拓展与迁移-1、若不论x取何值，多项式x3-2x2.4x-1-与x+1x2+mx+n都相等，求m、n的值。 =x3+m+1x2+m+nx+n-由题意得-m+1=-2,-1=n-∴.m=-3,n=-1
2、求使x2+px+8x23x+q的积中-不含x2与x3项p、q的值-x2+px+8Xx2-3x+g-=x -3x3+qx2+px3-3px2+pqx+8x2-24x+8q-=x4+-3+px3+g-3p+8x2+ q-24x+8q-由题意--3+p=0,q-3p+8=0-∴.p=3,9=1
ห้องสมุดไป่ตู้
6、化简求值：-1x+32-x-1x-2,其中x=-1-2a+b2-a+ba-b-2b2-其中a=3,b= 19x+7-22ab
7证明：x,y不论是什么有理数，-多项式x2+y2-4x+8y+25的值-总是正数。并求出它的最小值。-= 2-2x2+2+y2+2y4+4+5-=x-2+y+4+5
第2讲 两个公式
第2讲：两个公式1.平方差公式：=-+))((b a b a .两个数的和与这两个数的差的积，等于 . 拓展：()()c b a c b a -+++= .2.完全平方公式：=+2)(b a . =-2)(b a ， 两数和（或差）的平方，等于它们的 ，加上（或者减去）它们的 . 拓展：()2c b a ++= .=---++ac bc ab c b a 222 .【补充】1.完全平方公式的变形公式：（1）-+=+222)(b a b a ；（2）+-=+222)(b a b a .（1）和的完全平方与差的完全平方间的关系：（1）()+-=+22)(b a b a ；（2）()++=-22)(b a b a .3.完全平方公式的逆用：=+±222b ab a .4.立方和公式：()3322)(b a b ab a b a +=+-+5.立方差公式：()3322)(b a b ab a b a -=++-6.欧拉公式：abc c b a ac bc ab c b a c b a 3))((333222-++=---++++ 7.和的立方公式：3223333)(b ab b a a b a +++=+8.差的立方公式：3223333)(b ab b a a b a -+-=-注：平方差公式和完全平方公式中的a ，b 可以代表数，字母，单项式，多项式。
平方差公式---【例题精讲】 【例1】用简便方法计算（1） 1001999⨯ ； （2）1101991002+⨯ ；（3）98.002.1⨯ ； （4）2010200620092⨯- .【随堂练习】 用简便方法计算 （1）1200920072008+⨯ ； （2）)3299()31100(-⨯-； （3）（20-19）×（19-89）.【例2】计算（1）))()((22b a b a b a +-+ ； （2）1)12)(12)(12)(12)(12(16842-+++++.【随堂练习】计算（1）)21)(41)(21(2++-x x x ； （2）))()((22y x y x y x +-+ .【例3】计算（1）)2)(2(c b a c b a -+++ （2）)3)(3(+--+b a b a（3）))((z y x z y x -++- （4）))((p n m p n m --+-【随堂练习】计算（1）))((c b a c b a --++ （2） ))((y z x z y x +-++（3）)3)(3(+--+b a b a （4）))((d c b a d c b a +-+--- 【例4】计算（1）)1)(1)(1)(1)(1(842+++-+a a a a a . （2）22222110099989721-+-++- .（3）2222211111(1)(1)(1)(1)(1)23499100----- . （4）2481511111(1)(1)(1)(1)22222+++++.7.2200920092009200720092008222-+.【例5】（1）试确定1)12)(12)(12)(12)(12)(12(3643216842+++++++的末位数字.（2）证明：奇数的平方被8除余1；请你进一步证明：2006不能表示为10个奇数的平方之和.【例6】老师在黑板上写出三个算式：283522⨯=-，487922⨯=-，27831522⨯=-，王华接着又写了两个具有同样规律的算式：12851122⨯=-，22871522⨯=-…… A.请你再写出两个具有上述规律的算式； B.用文字叙述上述算式反映的规律； C.证明这个规律的准确性.【例7】一个自然数减去45后是一个完全平方数，这个自然数加上44后仍是一个完全平方数，试求这个平方数.【强化练习】1.=-+2199919991999199719991998222.2.乘积)200011)(199911()311)(211(2222---- 等于（ ） A.20001999 B.20002001 C.40001999 D.400020013.计算：22222221999199819971952195119501949+-++-+-4.在2004,2005,2006,2007这四个数中，不能表示为两个整数平方差的数是（ ） A.2004 B.2005 C.2006 D.2007完全平方公式--【例题精讲】 【例1】利用完全平方公式计算：（1）1022 （2）1972（3）982 （4）2032【例3】（1）如果81362++x kx 是一个完全平方公式，则k 的值是多少？（2）当=x 时，1442+--x x 有最 值，这个值是 .（3）已知c b a 、、表示△ABC 的三边长，且0222=---++ac bc ab c b a ，判断△ABC 的形状是 .【随堂练习】（1）如果3642++kx x 是一个完全平方公式，则k 的值是多少？（2）已知()222116x m xy y -++是一个完全平方式，求m 的值．（3）已知0106222=++-+b a b a ，则ba 12006-的值是 .（4）已知ab b a b a 412222=+++，则=-ba 12.5.已知c b a 、、满足722=+b a ，122-=-c b ，1762-=-a c ，则c b a ++的值等于（ ）A.2B.3C.4D.5【例4】（1）已知8=+y x ，12=xy ，求22y x +的值．（2）已知1=+b a ，222=+b a ，求77b a +的值.（3）已知1=-y x ，233=-y x ，求44y x +和55y x -的值.（4）已知1=+y x ，3133=+y x ，求55y x +的值.（1）已知-7=+b a 12=ab ，求ab b a -22+和 2)(b a -的值（2）已知3=+y x ，2=-y x ，求xy 与22y x +的值.（3）3=-b a ，2=ab ，求：①22b a +的值；②22b ab a +-的值；（4）已知9=ab ，3-=-b a ，求223b ab a ++的值.（5）若n 满足1)2005()2004(22=-+-n n ，则)2004)(2005(--n n 等于（ ） A.-1 B.0 C.21D.1【例5】已知13a a +=，（1）求221a a +的值；（2）求441a a+的值（1）已知110a a +=，求21a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值和221a a +的值．（2）若12x x -=，求①221x x +；②441x x+的值．【例6】若2310a a -+=，求1a a+的值．【随堂练习】已知2410a a -+=，求841a a+的值．【例7】已知222214a b a b ab +++=，求a 、b 的值．【随堂练习】已知0641322=+-++y x y x .求22)2()2)(2(2)2(y x y x y x y x +++---的值.【探究拓展】 （1）已知20201+=x a ，19201+=x b ，21201+=x c ，求代数式ac bc ab c b a ---++222的值.（2）已知0=++c b a ，32222=++c b a ，求bc ac ab ++的值.（3）观察：2514321=+⋅⋅⋅21115432=+⋅⋅⋅21916543=+⋅⋅⋅……（1）请写出一个具有普遍性的结论，并给出证明；（2）根据（1），计算12003200220012000+⋅⋅⋅的结果（用一个最简式子表示）.【强化练习】 一、选择题1．下列等式不成立的是（ ）A 、()222396a b a ab b -=-+B 、()()22a b c c a b +-=--C 、2221124x y x xy y ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭ D 、()()()2244x y x y x y x y +--=-2．下列各式中计算结果是222ab a b --的是（ ）A 、()2a b -B 、()2a b --C 、()2a b -+D 、()2a b +3．计算：5225a b b a -⋅-的结果等于（ ）A 、()252a b -B 、()252a b --C 、()225b a --D 、()()2252a b -4．若()242749b a N a b -⋅=-，则因式N =（ ）A 、27b a -B 、27b a -+C 、27b a --D 、27b a +5．要使等式()()22a b M a b -+=+成立，代数式M 应是（ ）A 、2abB 、4abC 、4ab -D 、2ab -二、填空题1．已知53=-=-c b b a ，1222=++c b a ，则=++ca bc ab .2．已知2522=+y x ，7=+y x ，且y x >的值等于 ． 3．()222a b a b +=-+ =2()a b +- ． 4．()2a b c -+= ．5．若7,12,a b ab +==则22a ab b -+= ．三、解答题1．计算：①()221m -- ②()()()22a b a b a b -+-③7655.0469.27655.02345.122⨯++ ④()2220.43m n -2．已知a 、b 满足()21a b +=，()225a b -=．求22a b ab ++的值．3．设2226100x x y y -+++=，求x 、y 的值．4.已知b a 、满足等式2022++=b a x ，)2(4a b y -=，则y x 、的大小关系是（ ）A.y x ≤B.y x ≥C.y x <D.y x >5.若2011)2010)(2012(=--x x ，求22)2010()2012(x x -+-的值.6.求多项式13125422+-+-y y xy x 的最小值及此时y x 、的值.。
八年级数学平方差公式
几何图形面积计算
计算矩形面积
在几何图形中，矩形的面积可以表示 为长乘以宽，即 $S = ab$。当长和 宽相差不大时，可以利用平方差公式 近似计算面积。
计算平行四边形面积
平行四边形的面积可以表示为底乘以 高，即 $S = ah$。当底和高相差不大 时，同样可以利用平方差公式进行近 似计算。
实际问题解决策略
公式形式及推导过程
公式形式： (a+b)(ab)=a²-b²
推导过程
=a²ab+ab-b²
=a²-b²
左边 =(a+b)(ab)
=右边
适用范围及注意事项
适用范围：平方差公式适用于所有实数 范围内的运算，包括正数、负数以及0。
在进行复杂运算时，可以结合其他公式 或定理进行推导和计算。
在进行因式分解时，需要注意符号问题 ，确保分解后的因式与原式相等。
完全平方公式定义
阐述完全平方公式的概念， 即形如$(a+b)^2$或$(ab)^2$的代数式展开后得 到的公式。
完全平方公式推导
通过代数运算，展示如何 从$(a+b)^2$和$(ab)^2$推导出完全平方公 式。
完全平方公式应用
举例说明完全平方公式在 因式分解、化简求值等问 题中的应用。
立方差、立方和公式推导
THANKS
感谢观看
06
总结回顾与展望未来
关键知识点总结回顾
平方差公式的基本形式
$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$，其中$a$和$b$是任意实数。
平方差公式的推导过程
利用分配律和整式的乘法法则，可以将$(a + b)(a - b)$展开为 $a^2 - ab + ab - b^2$，化简后得到$a^2 - b^2$。
人教版八年级上册14.3.2因式分解-平方差公式(教案)
（二）新课讲授（用时10分钟）
在小组讨论环节，我发现同学们的参与度很高，能够积极提出自己的观点，并尝试解决实际问题。但我也注意到，部分小组在讨论过程中可能会偏离主题，这需要我在以后的课堂上更加注意引导，确保讨论的内容紧扣教学目标。
此外，对于平方差公式与完全平方公式的混淆问题，我觉得在今后的教学中，我应该设计一些对比练习，帮助同学们明确这两个公式的区别和适用场景。通过具体的练习，让他们在实际操作中感受到这两个公式的不同。
五、教学反思
在今天的教学过程中，我发现同学们对于平方差公式的理解整体上是积极的，但也存在一些需要我进一步关注和引导的地方。在讲解平方差公式时，我注意到有些同学在推导过程中对(a + b)(a - b) = a² - b²的理解还不够深入，可能需要通过更多的实际例题来加强他们的理解。
课堂上，我尝试通过引入日常生活中的例子来激发同学们的兴趣，这种方式似乎收到了不错的效果。大家对于将数学知识应用到实际生活中的讨论非常积极，这让我感到欣慰。然而，我也意识到在接下来的课程中，需要更多地设计这样的环节，让同学们感受到数学的实用性和趣味性。
3.成展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“平方差公式在实际数学题中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
平方差公式知识点总结
平方差公式知识点总结一、平方差公式的内容。
1. 公式表达式。
- 对于两个数a、b，平方差公式为(a + b)(a - b)=a^2-b^2。
- 例如：(3 + 2)(3 - 2)=3^2-2^2=9 - 4 = 5。
二、平方差公式的特征。
1. 左边特征。
- 是两个二项式相乘的形式，这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数。
- 比如在(x+3y)(x - 3y)中，相同的项是x，互为相反数的项是3y和-3y。
2. 右边特征。
- 是相同项的平方减去互为相反数项的平方。
- 如(2m + n)(2m - n)=(2m)^2-n^2=4m^2-n^2。
三、平方差公式的应用。
1. 简便计算。
- 当计算102×98时，可以将其转化为(100 + 2)(100-2)，然后根据平方差公式计算。
- 即(100 + 2)(100 - 2)=100^2-2^2=10000 - 4 = 9996。
2. 化简求值。
- 例如：已知x=(1)/(2)，y = (1)/(3)，化简求值(2x + y)(2x - y)。
- 首先根据平方差公式(2x + y)(2x - y)=(2x)^2-y^2=4x^2-y^2。
- 把x=(1)/(2)，y=(1)/(3)代入得：4×((1)/(2))^2-((1)/(3))^2=4×(1)/(4)-(1)/(9)=1-(1)/(9)=(8)/(9)。
3. 在整式乘法中的应用。
- 在整式乘法中，如果符合平方差公式的形式，就可以直接运用公式进行计算，比按照多项式乘法法则展开更简便。
- 如(a^2+1)(a^2-1)=(a^2)^2-1^2=a^4-1。
四、平方差公式的拓展。
1. 符号变化。
- 如(-a + b)(-a - b)=[(-a)+b][(-a)-b]=(-a)^2-b^2=a^2-b^2。
2. 系数变化。
- 对于(3a+2b)(3a - 2b)=(3a)^2-(2b)^2=9a^2-4b^2。
浅谈平方差公式和应用比例的推广
浅谈平方差公式和应用比例的推广平方差公式和应用比例是数学中非常重要的概念和工具，它们在各种数学问题和实际应用中起着重要作用。
本文将从浅显的角度对平方差公式和应用比例进行讨论，并探讨其在实际问题中的推广和应用。
一、平方差公式平方差公式是数学中常见的一个重要公式，它描述了两个数的平方之差与它们的和的关系。
具体表达式如下：(a+b)² = a² + 2ab + b²这两个公式分别描述了两个数的和的平方和差的平方与它们自身的关系。
平方差公式在代数中有着广泛的应用，可以用来简化计算，化简公式，求解各种方程和不等式等。
平方差公式还有一个重要的应用，就是在几何中计算点的坐标之间的距离。
通过平方差公式，我们可以求解两点之间的距离，为几何问题的解决提供了便利。
平方差公式还可以应用在物理学中。
比如在力学中，可以通过平方差公式来进行速度、加速度等问题的求解，提高问题的求解效率。
二、应用比例比例是一个很基础的数学概念，它描述了两个量之间的关系。
应用比例在很多实际问题中都有着广泛的应用，在商业、工程、科学等领域都起着重要作用。
在商业中，比例常常用来描述产品的成本和售价之间的关系，通过比例可以计算利润率、成本占比等问题。
比例在市场调研、商品定价等领域有着非常重要的应用。
在工程中，比例也是一个重要的工具。
在建筑设计中，比例可以用来确定建筑物的尺寸、比例尺相关的问题。
在机械设计中，比例可以用来计算零部件之间的比例关系，保证装配的准确性。
在科学中，比例也有广泛的应用。
在实验中，比例可以用来描述实验数据之间的关系，通过分析比例可以得出很多实验规律和结论。
在地理学、生物学等学科中，比例也有着广泛的应用，比如地图的比例尺、生物种群的比例关系等问题。
平方差公式和应用比例虽然是数学中的基础概念和工具，但是它们在实际问题中的应用是非常广泛的。
我们可以通过推广和拓展它们的应用，进一步提高它们的实际价值。
对于平方差公式，我们可以考虑将它应用到更多的实际问题中。
平方差公式的推导与应用
03
对于等差数列的部分和，也可以利用平方差公式进行
求解，从而简化计算过程。
裂项相消法求解数列和
裂项相消法的基本思想
裂项相消法是一种通过将数列中的项进行拆分和重组，使得部分项相互抵消，从而简化 求和过程的方法。
平方差公式在裂项相消法中的应用
在裂项相消法中，平方差公式可以用于将复杂的数列项拆分为简单的形式，从而更容易 找到相消的项，简化求和过程。
THANK YOU
感谢观看
相互转化
在某些情况下，可以通过平方差 公式将完全平方公式进行因式分 解，或者通过完全平方公式将平 方差公式进行展开。
02
平方差公式推导过程
利用多项式乘法进行推导
设定两个二项式
设定两个二项式 $(a+b)$和$(a-b)$。
展开乘法
将两个二项式相乘，得 到$(a+b)(a-b)=a^2ab+ab-b^2$。
表示方法
用数学符号表示为$(a+b)(a-b)=a^2b^2$，其中$a$和$b$是任意实数或 代数式。
公式中各项含义与性质
$a$和$b$
代表任意实数或代数式，可以是具体的数值 ，也可以是含有变量的表达式。
$a^2-b^2$
表示$a$的平方减去$b$的平方，是平方差 公式的结果。
$(a+b)(a-b)$
其他推导方法简述及比较
代数恒等式法
通过代数恒等式直接推导出平方差公式，此方法较为抽象但逻辑严谨。
几何图形法
利用几何图形直观展示平方差公式的推导过程，易于理解但可能不够严谨。
各种方法比较
不同的推导方法各有优缺点，可以根据个人喜好和实际情况选择适合自己的方法。在实际应用中，可以根据 需要灵活选择推导方法，以便更好地理解和应用平方差公式。
平方差公式和完全平方公式复习
小试牛刀
D
小试牛刀
D
小试牛刀
D
小试牛刀
25 30q 9q2
4a2 20a 25
16x4 72x2 81
x2 2xy y2 16 a4 2a2 1
(6)
x 2
5
2
x 2
5
2
10x
(7) (x+1)2(x-1)2(x2+1)2(x4+1)2 x16 2x8 1
（8） (a-2b+c)(a+2b-c) a2 4b2 4bc c2 （9） (x+5)2-(x-2)(x-3) 15x 19
平方差公式和完全平 方公式复习和拓展
平方差公式：
(a+b)(a−b)= a2−b2
两数和与这两数差的积,
等于 这两数的平方差.
公式变形:
1、（a – b ) ( a + b) = a2 - b2 2、（b + a )( -b + a ) = a2 - b2
1、对应练习
1.下面各式的计算对不对？如果不对，应当怎样改正？ (1)(x+3)(x－3)=x2－3； (2)(－3a－5)(3a－5)=9a2－25.
(x 1)(x2 mx n) x3 (m 1)x2 (m n)x n 由题意得 m 1 2，1 n m 3, n 1
2 、求使 (x2+px+8)(x2-3x+q)的积中
不含 x2与x3项 p、q的值
x2 px 8x2 3x q
x4 3x3 qx2 px3 3 px2 pqx 8x2 24x 8q x4 (3 p)x3 (q 3 p 8)x2 ( pq 24)x 8q 由题意 3 p 0，q 3 p 8 0 p 3, q 1
湘教版数学七年级下册_《平方差公式》拓展训练
《平方差公式》拓展训练一、选择题1．如图，边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形后，将剩余部分通过割补拼成新的图形．根据图形能验证的等式为（）A．a2﹣b2=（a﹣b）2B．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）C．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2D．（a+b）2=a2+2ab+b22．下列各式：①（﹣a﹣2b）（a+2b）；②（a﹣2b）（﹣a+2b）；③（a﹣2b）（2b+a）；④（a﹣2b）（﹣a﹣2b），其中能用平方差公式计算的是（）A．①②B．①③C．②③D．③④3．若a2﹣b2=，a+b=，则a﹣b的值为（）A．﹣B．C．1D．24．下列各式计算正确的是（）A．（x+2）（x﹣5）=x2﹣2x﹣3B．（x+3）（x﹣）=x2+x﹣1C．（x﹣）（x+）=x2﹣x﹣D．（x﹣2）（﹣x﹣2）=x2﹣45．如图1，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成如图2所示的长方形．通过计算剪拼前后阴影部分的面积，验证了一个等式，这则个等式是（）A．（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2B．（a+b）2=a2+2ab+b2C．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2D．a（a﹣b）=a2﹣ab6．计算（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）=（）A．B．C．D．7．化简（a﹣1）（a+1）（a2+1）﹣（a4﹣1）的结果为（）A．0B．2C．﹣2D．2a48．若a2﹣4b2=12，a﹣2b=2，则a b的值为（）A．4B．﹣4C．﹣D．9．下列计算正确是（）A．（x+2）（2﹣x）=x2﹣4B．（2x+y2）（2x﹣y2）=4x2﹣y4C．（3x2+1）（3x2﹣1）=9x2﹣1D．（x+2）（x﹣3）=x2﹣610．如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”如（8=32﹣12，16=52﹣32，即8，16均为“和谐数”），在不超过2017的正整数中，所有的“和谐数”之和为（）A．255054B．255064C．250554D．255024二、填空题11．计算：2008×2010﹣20092=．12．化简（2b+3a）（3a﹣2b）﹣（2b﹣3a）（2b+3a），当a=﹣1，b=2时，原式的值是．13．已知a为实数，若有整数b，m，满足（a+b）（a﹣b）=m2，则称a是b，m 的弦数．若a＜15且a为整数，请写出一组a，b，m，使得a是b，m的弦数：．14．阅读材料后解决问题：计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）．经过观察，小明发现如果将原式进行适当的变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）=（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）=（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）=（24﹣1）（24+1）（28+1）=（28﹣1）（28+1）=216﹣1请你根据以上解决问题的方法，试着解决：（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）…（364+1）=15．先阅读后计算：为了计算4×（5+1）×（52+1）的值，小黄把4改写成5﹣1后，连续运用平方差公式得：4×（5+1）×（52+1）=（5﹣1）×（5+1）×（52+1）=（52﹣1）×（52+1）=252﹣1=624．请借鉴小黄的方法计算：（1+）××××××，结果是．三、解答题16．阅读下文件，寻找规律：已知x≠1，计算：（1﹣x）（1+x）=1﹣x2（1﹣x）（1+x+x2）=1﹣x3（1﹣x）（1+x+x2+x3）=1﹣x4（1﹣x）（1+x+x2+x3+x4）=1﹣x5…（1）观察上式猜想：（1﹣x）（1+x+x2+x3+…+x n）=．（2）根据你的猜想计算：①1+2+22+23+24+...+22018②214+215+ (2100)17．如图1所示，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，如图2中阴影部分剪裁后拼成的一个长方形．（1）设如图1中阴影部分面积为S1，如图2中阴影部分面积为S2，请直接用含a，b的代数式表示S1，S2；（2）请写出上述过程所揭示的乘法公式；（3）试利用这个公式计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+118．（1）计算并观察下列各式：第1个：（a﹣b）（a+b）=；第2个：（a﹣b）（a2+ab+b2）=；第3个：（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）=；……这些等式反映出多项式乘法的某种运算规律．（2）猜想：若n为大于1的正整数，则（a﹣b）（a n﹣1+a n﹣2b+a n﹣3b2+……+a2b n﹣3+ab n ﹣2+b n﹣1）=；（3）利用（2）的猜想计算：2n﹣1+2n﹣2+2n﹣3+……+23+22+1=．（4）拓广与应用：3n﹣1+3n﹣2+3n﹣3+……+33+32+1=．19．乘法公式的探究与应用：（1）如图甲，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，请你写出阴影部分面积是（写成两数平方差的形式）（2）小颖将阴影部分裁下来，重新拼成一个长方形，如图乙，则长方形的长是，宽是，面积是（写成多项式乘法的形式）．（3）比较甲乙两图阴影部分的面积，可以得到公式（两个）公式1：公式2：（4）运用你所得到的公式计算：10.3×9.7．20．请先观察下列算式，再填空：32﹣12=8×1，52﹣32=8×2．①72﹣52=8×；②92﹣（）2=8×4；③（）2﹣92=8×5；④132﹣（）2=8×；…（1）通过观察归纳，你知道上述规律的一般形式吗？请把你的猜想写出来．（2）你能运用本章所学的平方差公式来说明你的猜想的正确性吗？《平方差公式》拓展训练参考答案与试题解析一、选择题1．如图，边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形后，将剩余部分通过割补拼成新的图形．根据图形能验证的等式为（）A．a2﹣b2=（a﹣b）2B．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）C．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2D．（a+b）2=a2+2ab+b2【分析】边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形后的面积=a2﹣b2，新的图形面积等于（a+b）（a﹣b），由于两图中阴影部分面积相等，即可得到结论．【解答】解：图中阴影部分的面积等于两个正方形的面积之差，即为a2﹣b2；剩余部分通过割补拼成的平行四边形的面积为（a+b）（a﹣b），∵前后两个图形中阴影部分的面积相等，∴a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．故选：B．【点评】本题考查了利用几何方法验证平方差公式，解决问题的关键是根据拼接前后不同的几何图形的面积不变得到等量关系．2．下列各式：①（﹣a﹣2b）（a+2b）；②（a﹣2b）（﹣a+2b）；③（a﹣2b）（2b+a）；④（a﹣2b）（﹣a﹣2b），其中能用平方差公式计算的是（）A．①②B．①③C．②③D．③④【分析】利用平方差公式的结构特征判断即可．【解答】解：①（﹣a﹣2b）（a+2b）=﹣（a+2b）2=﹣a2﹣4ab﹣4b2；②（a﹣2b）（﹣a+2b）=﹣（a﹣2b）2=﹣a2+4ab﹣4b2；③（a﹣2b）（2b+a）=a2﹣4b2；④（a﹣2b）（﹣a﹣2b）=4b2﹣a2，故选：D．【点评】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．3．若a2﹣b2=，a+b=，则a﹣b的值为（）A．﹣B．C．1D．2【分析】根据a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）=，a+b=即可求得a﹣b的值．【解答】解：∵a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）=，a+b=，∴a﹣b=÷=，故选：B．【点评】本题主要考查平方差公式，解题的关键是掌握平方差公式的结构特点．4．下列各式计算正确的是（）A．（x+2）（x﹣5）=x2﹣2x﹣3B．（x+3）（x﹣）=x2+x﹣1C．（x﹣）（x+）=x2﹣x﹣D．（x﹣2）（﹣x﹣2）=x2﹣4【分析】利用多项式乘多项式法则，以及平方差公式判断即可．【解答】解：A、原式=x2﹣3x﹣10，不符合题意；B、原式=x2+x﹣1，不符合题意；C、原式=x2﹣x﹣，符合题意；D、原式=4﹣x2，不符合题意，故选：C．【点评】此题考查了平方差公式，以及多项式乘多项式，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键．5．如图1，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成如图2所示的长方形．通过计算剪拼前后阴影部分的面积，验证了一个等式，这则个等式是（）A．（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2B．（a+b）2=a2+2ab+b2C．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2D．a（a﹣b）=a2﹣ab【分析】分别计算出两个图形中阴影部分的面积即可．【解答】解：图1阴影部分面积：a2﹣b2，图2阴影部分面积：（a+b）（a﹣b），由此验证了等式（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2，故选：A．【点评】此题主要考查了平方差公式的几何背景，运用几何直观理解、解决平方差公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对平方差公式做出几何解释．6．计算（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）=（）A．B．C．D．【分析】直接利用平方差公式将原式变形进而计算得出答案．【解答】解：原式（1+）（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）（1﹣）…（1+）（1﹣）=××××××…××=．故选：C．【点评】此题主要考查了平方差公式，正确应用公式是解题关键．7．化简（a﹣1）（a+1）（a2+1）﹣（a4﹣1）的结果为（）A．0B．2C．﹣2D．2a4【分析】先把前面两项利用平方差公式计算得原式=（a2﹣1）（a2+1）﹣a4+1，然后再利用平方差公式展开，最后合并即可．【解答】解：原式=（a2﹣1）（a2+1）﹣a4+1=a4﹣1﹣a4+1=0．【点评】本题考查了平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差，即（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2．8．若a2﹣4b2=12，a﹣2b=2，则a b的值为（）A．4B．﹣4C．﹣D．【分析】已知第一个等式左边利用平方差公式化简，将第二个等式代入计算即可求出所求的值．【解答】解：∵a2﹣4b2=（a+2b）（a﹣2b）=12，a﹣2b=2①，∴a+2b=6②，联立①②，解得：a=4，b=1，则原式=4，故选：A．【点评】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．9．下列计算正确是（）A．（x+2）（2﹣x）=x2﹣4B．（2x+y2）（2x﹣y2）=4x2﹣y4C．（3x2+1）（3x2﹣1）=9x2﹣1D．（x+2）（x﹣3）=x2﹣6【分析】根据平方差公式和多项式乘以多项式法则求出每个式子的值，再判断即可．【解答】解：A、结果是4﹣x2，故本选项不符合题意；B、结果是4x2﹣y4，故本选项符合题意；C、结果是9x4﹣1，故本选项不符合题意；D、结果是x2﹣x﹣6，故本选项不符合题意；故选：B．【点评】本题考查了平方差公式和多项式乘以多项式法则，能正确求出每个式子的值是解此题的关键．10．如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”如（8=32﹣12，16=52﹣32，即8，16均为“和谐数”），在不超过2017的正整数中，所有的“和谐数”之和为（）A．255054B．255064C．250554D．255024【分析】由（2n+1）2﹣（2n﹣1）2=8n≤2017，解得n≤252，可得在不超过2017的正整数中，“和谐数”共有252个，依此列式计算即可求解．【解答】解：由（2n+1）2﹣（2n﹣1）2=8n≤2017，解得n≤252，则在不超过2017的正整数中，所有的“和谐数”之和为32﹣12+52﹣32+ (5052)5032=5052﹣12=255024．故选：D．【点评】此题考查了平方差公式，弄清题中“和谐数”的定义是解本题的关键．二、填空题11．计算：2008×2010﹣20092=﹣1．【分析】先变形，再根据平方差公式进行计算，最后求出即可．【解答】解：原式=（2009﹣1）×（2009+1）﹣20092=20092﹣1﹣20092=﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题考查了平方差公式，能灵活运用平方差公式进行计算是解此题的关键．12．化简（2b+3a）（3a﹣2b）﹣（2b﹣3a）（2b+3a），当a=﹣1，b=2时，原式的值是﹣14．【分析】先利用平方差公式化简计算，合并同类项后再代入数据计算即可．【解答】解：（2b+3a）（3a﹣2b）﹣（2b﹣3a）（2b+3a），=（3a）2﹣（2b）2﹣（2b）2+（3a）2，=2×9a2﹣2×4b2，=18a2﹣8b2．当a=﹣1，b=2时，原式=18×（﹣1）2﹣8×22=﹣14．【点评】本题考查了平方差公式，熟练掌握公式并灵活运用是解题的关键，计算时，要注意符号的处理．13．已知a为实数，若有整数b，m，满足（a+b）（a﹣b）=m2，则称a是b，m 的弦数．若a＜15且a为整数，请写出一组a，b，m，使得a是b，m的弦数：5，4，3．【分析】根据题中弦数的定义判断即可．【解答】解：∵（5+4）×（5﹣4）=9×1=32，∴5是4，3的弦数，故答案为：5，4，3【点评】此题考查了平方差公式，弄清题中的新定义是解本题的关键．14．阅读材料后解决问题：计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）．经过观察，小明发现如果将原式进行适当的变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）=（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）=（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）=（24﹣1）（24+1）（28+1）=（28﹣1）（28+1）=216﹣1请你根据以上解决问题的方法，试着解决：（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）…（364+1）=【分析】直接利用平方差公式将原式变形进而得出答案．【解答】解：（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）…（364+1）=（3﹣1）（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）…（364+1）=（32﹣1）（32+1）（34+1）（38+1）…（364+1）=．故答案为：．【点评】此题主要考查了平方差公式，正确将原式变形是解题关键．15．先阅读后计算：为了计算4×（5+1）×（52+1）的值，小黄把4改写成5﹣1后，连续运用平方差公式得：4×（5+1）×（52+1）=（5﹣1）×（5+1）×（52+1）=（52﹣1）×（52+1）=252﹣1=624．请借鉴小黄的方法计算：（1+）××××××，结果是2﹣．【分析】在前面乘一个2×（1﹣），然后再连续利用平方差公式进行计算即可．【解答】解：原式=2×（1﹣）×（1+）××××××=2×（1﹣）××××××=2×（1﹣）×××××…=2×（1﹣）×（1+）=2×（1﹣）=2﹣故答案为：2﹣．【点评】此题主要考查了平方差公式的运用，正确应用公式是解题关键．对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便．三、解答题16．阅读下文件，寻找规律：已知x≠1，计算：（1﹣x）（1+x）=1﹣x2（1﹣x）（1+x+x2）=1﹣x3（1﹣x）（1+x+x2+x3）=1﹣x4（1﹣x）（1+x+x2+x3+x4）=1﹣x5…（1）观察上式猜想：（1﹣x）（1+x+x2+x3+…+x n）=．1﹣x n+1（2）根据你的猜想计算：①1+2+22+23+24+...+22018②214+215+ (2100)【分析】（1）依据变化规律，即可得到（1﹣x）（1+x+x2+x3+…+x n）=1﹣x n+1．（2）①依据（1）中的规律，即可得到1+2+22+23+24+…+22018的值；②将214+215+…+2100写成（1+2+22+23+24+…+2100）﹣（1+2+22+23+24+…+213），即可运用①中的方法得到结果．【解答】解：（1）由题可得，（1﹣x）（1+x+x2+x3+…+x n）=1﹣x n+1．故答案为：1﹣x n+1；（2）①1+2+22+23+24+ (22018)=﹣（1﹣2）（1+2+22+23+24+ (22018)=﹣（1﹣22019）=22019﹣1；②214+215+…+2100=（1+2+22+23+24+...+2100）﹣（1+2+22+23+24+ (213)=﹣（1﹣2）（1+2+22+23+24+...+2100）+（1﹣2）（1+2+22+23+24+ (213)=﹣（1﹣2101）+（1﹣214）=2101﹣214．【点评】此题考查了平方差公式，认真观察、仔细思考，善用联想，弄清题中的规律是解决这类问题的方法．17．如图1所示，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，如图2中阴影部分剪裁后拼成的一个长方形．（1）设如图1中阴影部分面积为S1，如图2中阴影部分面积为S2，请直接用含a，b的代数式表示S1，S2；（2）请写出上述过程所揭示的乘法公式；（3）试利用这个公式计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1【分析】（1）根据两个图形的面积相等，即可写出公式；（2）根据面积相等可得（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2；（3）从左到右依次利用平方差公式即可求解．【解答】解：（1）∵图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2，∴S1=a2﹣b2，S2=（a+b）（a﹣b）；（2）依据阴影部分的面积相等，可得（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2；（3）原式=（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1=（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）+1=（24﹣1）（24+1）（28+1）+1=（28﹣1）（28+1）+1=（216﹣1）+1=216．【点评】本题考查了平方差的几何背景以及平方差公式的应用，正确理解平方差公式的结构是关键．18．（1）计算并观察下列各式：第1个：（a﹣b）（a+b）=a2﹣b2；第2个：（a﹣b）（a2+ab+b2）=a3﹣b3；第3个：（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）=a4﹣b4；……这些等式反映出多项式乘法的某种运算规律．（2）猜想：若n为大于1的正整数，则（a﹣b）（a n﹣1+a n﹣2b+a n﹣3b2+……+a2b n﹣3+ab n﹣2+b n﹣1）=a n﹣b n；（3）利用（2）的猜想计算：2n﹣1+2n﹣2+2n﹣3+……+23+22+1=2n﹣1．（4）拓广与应用：3n﹣1+3n﹣2+3n﹣3+……+33+32+1=．【分析】（1）根据多项式乘多项式的乘法计算可得；（2）利用（1）中已知等式得出该等式的结果为a、b两数n次幂的差；（3）将原式变形为2n﹣1+2n﹣2+2n﹣3+……+23+22+1═（2﹣1）（2n﹣1+2n﹣2+2n﹣3+……+23+22+1），再利用所得规律计算可得；（4）将原式变形为3n﹣1+3n﹣2+3n﹣3+……+33+32+1=×（3﹣1）（3n﹣1+3n﹣2+3n﹣3+……+33+32+1），再利用所得规律计算可得．【解答】解：（1）第1个：（a﹣b）（a+b）=a2﹣b2；第2个：（a﹣b）（a2+ab+b2）=a3﹣b3；第3个：（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）=a4﹣b4；故答案为：a2﹣b2、a3﹣b3、a4﹣b4；（2）若n为大于1的正整数，则（a﹣b）（a n﹣1+a n﹣2b+a n﹣3b2+……+a2b n﹣3+ab n﹣2+b n ﹣1）=a n﹣b n，故答案为：a n﹣b n；（3）2n﹣1+2n﹣2+2n﹣3+……+23+22+1==（2﹣1）（2n﹣1+2n﹣2+2n﹣3+……+23+22+1）=2n﹣1n=2n﹣1，故答案为：2n﹣1．（4）3n﹣1+3n﹣2+3n﹣3+……+33+32+1=×（3﹣1）（3n﹣1+3n﹣2+3n﹣3+……+33+32+1）=×（3n﹣1n）=，故答案为：．【点评】本题考查了多项式乘以多项式，观察等式发现规律是解题关键．19．乘法公式的探究与应用：（1）如图甲，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，请你写出阴影部分面积是a2﹣b2（写成两数平方差的形式）（2）小颖将阴影部分裁下来，重新拼成一个长方形，如图乙，则长方形的长是a+b，宽是a﹣b，面积是（a+b）（a﹣b）（写成多项式乘法的形式）．（3）比较甲乙两图阴影部分的面积，可以得到公式（两个）公式1：（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2公式2：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）（4）运用你所得到的公式计算：10.3×9.7．【分析】（1）中的面积=大正方形的面积﹣小正方形的面积=a2﹣b2；（2）中的长方形，宽为a﹣b，长为a+b，面积=长×宽=（a+b）（a﹣b）；（3）中的答案可以由（1）、（2）得到（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2；反过来也成立；（4）把10.3×9.7写成（10+0.3）（10﹣0.3），利用公式求解即可．【解答】解：（1）阴影部分的面积=大正方形的面积﹣小正方形的面积=a2﹣b2；（2）长方形的宽为a﹣b，长为a+b，面积=长×宽=（a+b）（a﹣b）；故答案为：a+b，a﹣b，（a+b）（a﹣b）；（3）由（1）、（2）得到，公式1：（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2；公式2：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）故答案为：（a+b）（a﹣b），a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）；（4）10.3×9.7=（10+0.3）（10﹣0.3）=102﹣0.32=100﹣0.09=99.91．【点评】本题考查了平方差公式的几何表示，利用不同的方法表示图形的面积是解题的关键．20．请先观察下列算式，再填空：32﹣12=8×1，52﹣32=8×2．①72﹣52=8×3；②92﹣（7）2=8×4；③（11）2﹣92=8×5；④132﹣（11）2=8×6；…（1）通过观察归纳，你知道上述规律的一般形式吗？请把你的猜想写出来．（2）你能运用本章所学的平方差公式来说明你的猜想的正确性吗？【分析】（1）从上式中可以发现等式左边：两数的平方差，前一个数比后一个数大2；等式右边：前一个因数是8，后一个是等式左边两数的和除4，所以可写成：（2n+1）2﹣（2n﹣1）2=8n；（2）运用平方差公式计算此式，证明它成立．【解答】解：①3；②7；③11；④11，6．（1）（2n+1）2﹣（2n﹣1）2=8n；（2）原式可变为（2n+1+2n﹣1）（2n+1﹣2n+1）=8n．【点评】（1）题的关键是找出各数之间的关系．（2）题的关键是利用平方差公式计算此式，证明它成立．。
完全平方公式的几个拓展应用
完全平方公式的几个拓展应用完全平方公式是任何一个学生学习数学的一个重要部分。
这个公式通常被用于简化在数学中的一些复杂的运算。
然而，除了简化运算，完全平方公式还有许多其他的应用。
在本文中，我们将探讨完全平方公式的几个扩展应用，这些应用可帮助学生更好地掌握数学知识，提高数学运算的效率。
一、完全平方公式的扩展完全平方公式是指一个二次多项式可以以平方的形式进行展开，这个公式可以表示为：$$(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$$这个公式的意思是，一个数的平方可以分解为两个数的积加上这两个数的平方。
这个公式不仅仅应用于求一个数的平方，也可以用于求两个数字的积。
公式中的$a$和$b$可以取任意实数或复数。
二、完全平方差公式完全平方差公式是指任何二次多项式可以写成两个完全平方的差的形式，这个公式可以表示为：$$a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$$这个公式可以帮助我们简化两个数的差的运算，而不是使用大量的减法来实现计算。
例如，假设我们需要计算$8^{2}-6^{2}$，我们可以使用完全平方差公式，将其写成$(8+6)(8-6)$的形式，最终答案为$2\times14=28$。
这在计算中非常有效，可以帮助我们简化运算，提高计算效率。
三、二次多项式的因式分解完全平方公式也可以通过二次多项式的因式分解来应用。
通过考虑二次多项式的因式，我们可以将其分解成可拆分为两个完全平方差的形式。
这个应用可以帮助我们避免使用一些复杂的运算方法，例如配方法。
例如，考虑二次多项式$x^{2}+6x+9$，我们可以将其写成$(x+3)^{2}$的形式，这个公式可以帮助我们更快地对多项式进行计算。
四、三元完全平方公式在三元及更高维的方程组中，也存在一种完全平方公式，称为三元完全平方公式。
这个公式指出，一个三元多项式可以写成三个一次多项式的完全平方差的和的形式。
三元完全平方公式可以表示为：$$a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)^{2}$$这个公式可以帮助我们解决三元及更高维的多项式方程组，从而简化复杂多项式的运算。
平方差公式完全平方公式拓展
平方差公式完全平方公式拓展一、平方差公式的拓展(a+b)² = a² + 2ab + b²(a-b)² = a² - 2ab + b²这两个公式常用于将两个含有平方项的多项式进行展开。
例如，要计算(3+4)²，可以利用平方差公式展开为3²+2*3*4+4²=9+24+16=49然而，这两个公式还可以进一步拓展。
1.平方差公式的三项展开(a+b+c)² 的展开式可以通过不断应用平方差公式进行简化。
我们首先展开(a+b)²，得到a² + 2ab + b²。
然后将 c 加入到这个式子中，得到a² + 2ab + b² + 2ac + 2bc + c²。
观察这个式子，我们可以发现其中有三个交叉项 2ab、2ac 和 2bc。
因此，我们可以将(a+b+c)² 的展开式写为三项的形式：(a+b+c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc这个拓展的平方差公式对于展开三个或多个含有平方项的多项式非常有用。
2.平方差公式的负数展开前面提到的平方差公式是针对两个正数进行的展开。
但是，当其中一个数是负数时，我们可以将其用平方差公式进行展开。
例如，要计算(4-3)²，我们可以将其展开为4²-2*4*3+3²=16-24+9=1、这个拓展的平方差公式的形式如下：(a-b)² = a² - 2ab + b² （当 a 和 b 可能是任意实数时）这个公式对于将两个数的差的平方进行展开非常有用。
二、完全平方公式的拓展完全平方公式是指一个多项式是一些二次多项式的平方。
常见的完全平方公式如下：(a+b)² = a² + 2ab + b²(a-b)² = a² - 2ab + b²这两个公式常用于将含有平方项的多项式进行因式分解。
平方差公式和完全平方公式复习和拓展
平方差公式和完全平方公式复习和拓展一、平方差公式在代数中，我们常常需要将一个数分解成两个数的平方差，或是将两个数的平方差合并成一个数。
平方差公式就提供了一个简单的方法。
例如，如果我们需要将16分解成两个数的平方差，我们可以设一个数为x，则另一个数为16/x。
根据平方差公式，我们有(x+16/x)(x-16/x)=x^2-(16/x)^2=x^2-256、这样我们就将16分解成了两个数的平方差x^2-256除了在分解数的平方差时使用平方差公式，它还可以用来简化代数表达式。
例如，我们有一个代数表达式(x+2)(x-2)，我们可以根据平方差公式简化它为x^2-4二、完全平方公式完全平方公式用于求解一个二次多项式的平方。
设a和b为任意实数，则完全平方公式可以表示为：a^2+2ab+b^2=(a+b)^2完全平方公式可以用来求解一些常见的问题，如求一个数的平方、求解二次方程等。
例如，如果我们需要求解x^2+6x+9=0的根，我们可以利用完全平方公式写成(x+3)^2=0。
从中我们可以得到x=-3，即方程的根为-3完全平方公式也可以用来展开一个二次多项式。
例如，如果我们需要展开(x+1)^2，我们可以利用完全平方公式得到x^2+2x+1三、平方差公式和完全平方公式的拓展除了基本的平方差公式和完全平方公式之外，还有一些相关的公式和技巧可以帮助我们更好地理解和应用这两个公式。
1. 平方差公式的展开形式：有时候，我们需要展开一个平方差的其他形式，例如(a+b)^2 - 4ab。
根据平方差公式，我们可以得到：(a+b)^2 - 4ab = a^2 + 2ab + b^2 - 4ab = a^2 - 2ab + b^22.完全平方公式的逆运算：有时候，我们需要根据一个完全平方公式的结果反推出原始的二次多项式，例如(x+3)^2=x^2+6x+9、根据完全平方公式的逆运算，我们可以得到x^2+6x+9=(x+3)^23.平方差公式的应用：平方差公式不仅可以用于分解数的平方差，还可以用于简化代数表达式。
深挖内涵 拓展外延——《平方差公式》教学案例与反思
（ ）２＋ ）２－ ） ３ （ｘ １（ｘ １ ；
生 １ （＋ ） １ ：ｘ １ （ 一 ）
（ ） ＋ ， （一， 。 ４ （ ， ５， ） ）
学 生观 察 规律 １
『 师利 用 多媒 体 出 示 ： 明 同 学 去 商 店 买 了单 价 是 教 小
９８元， ． 千克 的糖 果 １． 克 ． 货 员刚 拿起 计算 器 ． 明 Ｏ ２千 售 小
货 员很 惊 讶地 说 ：你 真是 个 神 童 ， 么 算得 这 么快 ？ ” “ 怎 小 明说 ：过 奖 了 ， 用 了刚 学过 的一个 数 学 公 式 。” “ 我 １ 师： 你想 知 道 小 明 同学 用 的是 一 个 什 么样 的 公 式 吗？ 生ｆ 奇地 】是怎 么 算 的 ？用 了什 么公 式 ？ 惊 ：
数
师： 等式 右 边 的 多项 式 有 什 么规 律 ？ 生 ： 边 是乘 式 中两项 的平 方 差 。 右 师： 能说 得 更 具体 些 吗 ？ 是 哪两 项 的平 方 差 ？
【 反思 】 教师以常见的数字计算题 引入 ， 导学生探 诱
索 并发 现 解 决 某 些 问题 口算速 度 比 计 算 器 快 ．使 学 生 感 到 惊 奇 。 师及 时 抓住 学生 的 好 奇心 ， 出 问题 引 出下 阶 教 提
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生 ４（＋ ｙ （－ ｙ ＝ ２５ ｙ ５ ｙ ２ ：ｘ ５ ）ｘ ５ ） ｘ ｘ ＋ ｘ － ５ －
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、
第四讲 平方差公式
第四讲 平方差公式【新知讲解】1.基本公式：平方差公式：(a+b)(a-b)=a 2—b 2平方差公式的结构特征：左边两个二项式的乘积，这两个二项式的两项中，有一项完全相同(绝对值相同，符号相同)，而另一项互为相反数（绝对值相同，符号相反） 右边是这两个单项式中这两项的平方差。
这里a,b 可表示一个数、一个单项式或一个多项式。
2.平方差公式的推广： （1）()()2233a b a ab b a b -++=-（2）()()322344a b a a b ab bab -+++=-（3）()()123221n n n n n n n a b aa b a b ab b a b ------+++++=-3．思想方法：① a 、b 可以是数，可以是某个式子；② 要有整体观念，即把某一个式子看成a 或b ，再用公式； ③ 注意倒着用公式； ④ 2a ≥0；⑤ 用公式的变形形式。
【探索新知】问题导入：()()22b a b a b a -=-+成立吗？1.运算推导：2.图形理解：3.平方差公式：()()=-+b a b aA 组 基础知识【例题精讲】例1.利用平方差公式计算：（1）()()x x 6565-+ （2）()()y x y x 22+- （3）()()n m n m --+-例2.计算下列各题：（1）()()20012001-+ （2）()()3232x y x y -+（3）22112222x x ⎛⎫⎛⎫-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（4）()()x y z x y z +-++（5）59.860.2⨯ （6）2200620052007-⨯例3.用平方差公式进行计算：（1）204×197 （2）108×112例4.化简求值： ()()1212-++-b a b a 其中598,987a b ==。
例5.计算下列各题：（顺用公式） （1）()()()()()224488a b a b a bab a b -++++（2）3(22+1)(24+1)(28+1)(162+1)+1 （3）2999例6. 计算下列各题：（逆用公式）①1.2345²+0.7655²+2.469×0.7655 （希望杯）②已知 19221 可以被60至70之间的两个整数整除，这两个整数是多少？B 组 能力提升1.计算： （1）(-65x-0.7y)( 65x-0.7y) （2）(a+2)(a 4+16)(a 2+4)(a-2)（3）(3x m +2y n +4)(3x m +2y n-4) （4）(a+b-c)(a-b+c)-(a-b-c)(a+b+c)（5）(a+b-c-d)(a-b+c+d)2.用平方差公式进行计算：（1）804×796 （2）10007×99933.计算（顺用公式）：6(7+1)(72+1)(74+1)(78+1)+1变式训练1：（2211-）（2311-）（2411-）…（2911-）（21011-） ：4.计算（逆用公式）：(x 3+x 2+x+1)(x 3-x 2+x-1)-(x 3+x 2+x+2)(x 3-x 2+x-2)C 组 拓展训练1.1949²-1950²+1951²-1952²+……+1999²-2000²2.求证：1999×2000×2001×2002+1是一个整数的平方。
平方差公式
平方差公式——————来源于多项式符号语言：公式：()()22b a b a b a -=-+ ⇒ ()()b a b a +-22b a -= 拓展公式：()()22b a b a b a n n n -=-+ ()()()1112--+a a a文字语言：两个数的和与两个数的差的积等于这两个数的平方差。
注意：a 、b 可以代表数字，也可以代表单项式。
公式的几何图形：一个正方形的边长为：a ；现在剪掉一个边长为b 的正方形，同时增长正方形的边长长度为b 。
求剩下正方形的面积公式。
显然就得出：平方差公式。
⑴、左边是两个二项式相乘，并且有一项完全相同，另一项互为相反数。
⑵、右边乘式中两项的平方差。
2、符号特点左右两边都有求差运算（要分清谁是被减数，是用公式的关健）3、字母a、b的三个表示：⑴、表示一个具体的数；⑵、表示一个单项式；⑶、表示一个多项式。
例1、()()yxyx3232+-解：原式=229664yxyxyx--+=2294yx-例2、()()yxyx312312++-+（多项式） b注意，必须符合平方差公式特径的代数式才能用平方差公式。
(一） 、乘式必须具备公式左边的结构特点，即形如“两数和×两数差。
注意：这句话有两层意思⑴、 只要是形如“两数和×两数差“就可以直接用平方差公式。
⑵对于并不直接具备符合“两数和×两数差”的，要想办法变形， 构造能用平方差公式的条件。
计算例3、799×801解：原式=（800-1）×（800+） =640000-1=639999例4、2001199920002⨯- 解：原式=()()[]120001200020002+⨯-- =()222120002000-- 12000200022+-=1 练习题：计算1、⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛1110491115022、1.1001.991002⨯-（二）、要确定乘式中，与公式中a 、b 对应的项，示能盲目套用公式（即一定要找准哪个数或式相当于公式中的a ，哪个数相当于公式中的b ）。
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2 2 a -b =(a+b)(a-b) 逆向思维训练： 1、 ( n + m )( n - m ) = n2 - m2 2、( 2x + 3y )( 2x - 3y )= 4x2 - 9y2 3、( 5 + a )( 5 - a ) = 25 - a²
例3 : 求值 : 1 1 1 1 (1 2 )(1 2 )(1 2 ) L (1 2 ) 2 3 4 10
第二数被平方时，未添括号。
(2) (2a2+b2)(2a2−b2)=2a4−b4
第一数被平方时，未添括号。
(3) (3m+2n)(3m−2n)=3m2−2n2
第一数与第二数被平方时，都未添括号。
2、判断下列式子是否可用平方差公式。 (1)(-a+b)(a+b) 是 (2) (-a+b)(a-b) 否 (3)(a+b)(a-c)
(4) (a-b+c)(a-b-c)
口答计算
( x 1)( x 1) x
2
1
( x 5)( x 5) x 25 2 ( a 3)(a 3) a 9
2
1 1 1 2 ( a )(a ) a 2 2 4
纠
错
练
习
1.指出下列计算中的错误：
(1)(1+2x)(1−2x)=1−2x2
( a +b) (a - b) = a2 - b2
用公式关键是识别公式 中的两数a, b.
(a + b) (a - b) =
解:
2 a -
2 b
3x 2 3x 2 ⑴ (3x+2)(3x-2) 2 2 (3x) 2 = = 9x2 - 4 b+2a 2a-b ⑵ (b+2a)(2a-b); 2a b 2a b =(2a+b)(2a-b) =(2a)2- b2 =4a2 – b2 (3) (-x+2y)(-x-2y) = (-x)2-(2y)2 = x2-4y2
= 4 = -16y2+1+12y2-12y-9 = -4y2-12y-8
1 2 -4(4y - )+3(4y2+2y-6y-3)
5.计算： 1) (y+2)(y-2) - (3-y)(3+y) 2) –3x(x+1)(x-1) - x(3x+2)(2-3x) 1 1 3) –4(2y- 2 )( 2 +2y) + 3(2y-3)(2y+1) 1 1 1 2 4) (x+ 3 )(x + 9 )(x- 3 ) 1 1 1 2 解：4) (x+ 3)(x + 9)(x- 3) 1 1 1 2 = [(x+ 3 )(x- 3)](x + 9 ) 1 1 2 2 = (x - 9)(x + 9) 1 4 = x - 81
(a + b) (a - b) = a2 - b2
【例1】运用平方差公式计算：
(1) (3x+2)(3x-2)
(3) (-x+2y)(-x-2y)
(2) (b+2a)(2a-b)
(4) (a-b+c)(a-b-c)
分析:
(a + b) (a - b) = a2 - b2
⑴ (3x+2)(3x-2) 3x 2 3x 2 = (3x)2 - 22
6x=63-7+4 6x=60 ∴x=10
知识拓展:
1.你能运用平方差公式编３个因式，使其积等于 x4 - y4 吗？
( X－y )( X＋y )( X2＋y2 )=x 4 - y4 2.你能运用平方差公式编若干个因式，使其积等于216－１吗？ ( 2＋1 )( 22＋1 )….( 3.你会计算下列各式吗？
精英本P31-32
例2 计算：
⑴ 102 ×98;
⑵ (y+2)(y-2)-(y-1)(y+5); (3) (a+3)(a-3)(a2+9) (4) (x-1)(x+1)(x2+1)(x4+1)(x8+1) (5) (2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)
⑴ 102 ×98
(5) (2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)
运用平方差公式计算：
(2+1)(22+1)(24+1)(28+1) … (22n+1)
1.将下列各式变形为可利用平方差公式计算的形式：
1) (a+2b+3)(a+2b-3) [(a+2b)+3][(a+2b)-3] 2) (a+2b-3)(a-2b+3) [a+(2b-3)] [a-(2b-3)] 3) (a-2b+3)(a-2b-3) [(a-2b)+3] [(a-2b)-3] 4) (a-2b-3)(a+2b-3) [(a-3)-2b] [(a-3)+2b] 5) (3a-5b-2c)(-3a-5b+2c) [(-5b)+(3a-2c)] [(-5b)-(3a-2c)] 6) (x+y+m+n)(x+y-m-n) [(x+y)+(m+n)][(x+y)-(m+n)]
两数和与这两数差的积，等于它们的平方差。 2. 应用平方差公式时要注意一些什么？ 运用平方差公式时，要紧扣公式的特征， 找出相同 的“项”和符号相反的“项”，然后应用公式； 3. 对于不符合平方差公式标准形式者， 要利用加法交换律， 或提取两−”号中的“−”号 ， 变成公式标准形式后，再用公式。
一个长方形的长为 （√19 + √7）厘米， 宽为（√19 - √7） 厘米，它的面积是 多少？
说明:平方差公式也可以逆用, 即:a2-b2=(a+b)(a-b)
1.下列多项式相乘，正确的有( A )
(1)(a+b-c)(a-b+c)=a2-(b-c)2
(2)(a-b+c)(-a+b-c)=b2-(a+c)2
(3)(a-b+c)a-b-c)=a2-(b-c)2
(4)(a+b-c)(a-b+c)=(b-c)2-a2 A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4个
(a+b)(a-b)=a2-b2
两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差. 公式的结构特征: (1)左边是两个二项式相乘，这两项中有一项完全相 同，另一项互为相反数. (2)右边是乘式中两项的平方差(相同项的平方减去相 反项的平方). (3)公式中的a,b可以代表数,字母,单项式或者多项式.
28＋1 )=216 - 1 216－1 0.5（332－1） X32－1
X－1
(1)(2+1)(22 +1)(24 +1)(28 +1)
(2)(3+1)(32 +1)(34 +1)(38 +1)(316 +1) (3)(x+1)(x2 +1)(x4 +1)(x8 +1)(x16 +1)
小结
1. 试用语言表述平方差公式 (a+b)(a−b)=a2−b2。
( ×)
( ×) (×)
(2x+3)(x-3)=2x2-9
(4) (5ab+1)(5ab-1)=25a2b2-1 (√
(5) (mn-1)(mn+1)=mn2-1
)
(× )
练习4
(a+b)(a−b) = a2−b2.
运用平方差公式计算：
1.(200 + 5) (200 - 5) = 200 2- 52 2.(1 + 3b)(1 - 3b) = 12 - (3b)2 3.(4a + 3)(4a - 3) = (4a)2 - 32 4.(3x + 2y2)(3x - 2y2) = (3x)2- (2y² )2 5.[(x + y) + z] [(x + y) –z ] = (x+y)2 - z2
5.计算： 1) (y+2)(y-2) - (3-y)(3+y) 2) –3x(x+1)(x-1) - x(3x+2)(2-3x) 1 1 3) –4(2y- 2 )( 2 +2y) + 3(2y-3)(2y+1) 1 1 1 2 4) (x+ 3 )(x + 9 )(x- 3 ) 解：2) –3x(x+1)(x-1) - x(3x+2)(2-3x) = –3x(x2-1) - x(4-9x2) = –3x3+3x – 4x+9x3 = 6x3-x
= (100+2) (100-2)
= 1002-22
= 10000-4 = 9996
y 2 y2 y1 y 5 ⑵ (y+2)(y-2)-(y-1)(y+5) = y2 - 22 - (y2+4y-5) = y2-4-y2-4y+5 = -4y+1
例2 计算：
(3) (a+3)(a-3)(a2+9) (4) (x-1)(x+1)(x2+1)(x4+1)(x8+1)
2、利用平方差公式计算：
1、(b + 2a )(2a - b) 4a2－b2
前4题口答，后四题板演
2、(- 4a - 1)(4a - 1) 1－16a2