平方差公式教案(优质课一等奖)讲课稿
数学--平方差公式名师公开课获奖课件百校联赛一等奖课件
例3 先化简，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y －x)，其中x＝1，y＝2.
解：原式＝4x2－y2－(4y2－x2) ＝4x2－y2－4y2＋x2 ＝5x2－5y2.
当x＝1，y＝2时，
原式＝5×12－5×22＝－15.
例4：先化简，再求值：(x＋1)(x－1)＋x2(1－x)＋ x3，其中x＝2.
(2)根据你旳猜测计算： ①(1－2)(1＋2＋22＋23＋24＋25)＝___-6_3____； ②2＋22＋23＋…＋2n＝_2_n＋__1－__2__(n为正整数)； ③(x－1)(x99＋x98＋x97＋…＋x2＋x＋1)＝_x_1_00_－__1__；
备用复习题
例4 对于任意旳正整数n，整式(3n＋1)(3n－1)－ (3－n)(3＋n)旳值一定是10旳整数倍吗？
平方差公式；对于不能直接
应用公式旳，可能要经过变
形才能够应用
拓展提升 8.已知x≠1，计算：(1＋x)(1－x)＝1－x2，(1－x)(1＋ x＋x2)＝1－x3，(1－x)(1＋x＋x2＋x3)＝ (1)观察以上各式并猜测：(1－x)(1＋x＋x2＋…＋xn) ＝__1_－__x_n_+1_；(n为正整数)
（1）（a-2)(a+2)(a2 + 4) 解:原式=(a2-4)(a2+4)
=a4-16.
(2) (x-y)(x+y)(x2+y2)(x4+y4).
解：原式=（x2-y2)(x2+y2)(x4+y4) =（x4-y4)(x4+y4) =x8-y8.
(3)经过以上规律请你进行下面旳探索： ①(a－b)(a＋b)＝_a_2_－__b_2__； ②(a－b)(a2＋ab＋b2)＝_a_3_－__b_3__； ③(a－b)(a3＋a2b＋ab2＋b3)＝__a_4－__b_4__．
平方差公式赛课一等奖课件
* 平方差公式的定义
* 平方差公式的形式
* 平方差公式的意义
04
平方差公式的推导过程
* 利用多项式乘法推导
* 利用因式分解推导
* 推导过程中的注意事项
05
平方差公式的应用
* 代数式中的应用
* 几何图形中的应用
* 实际生活中的应用
06
平方差公式的变式与拓展
* 平方差公式的变式
Ppt
平方差公式赛课一等奖课件
单击添加副标题
汇报人：PPT
目录
01 03 05 07
单击添加目录项标题
02
平方差公式概述
04
平方差公式的应用
06
练习题与解析
08
课件封面与目录 平方差公式的推导过程 平方差公式的变式与拓展
总结与回顾
01
添加章节标题
02
课件封面与目录
* 封面设计
* 目录结构
03
感谢观看
汇报人：PPT
* 平方差公式的拓展形式
* 变式与拓展的应用场景
07
练习题与解析
* 基础练习题
* 提高练习题
* 综合练习题
* 解析与答案
08
总结与回顾
* 总结平方差公式的知识点
* 回顾推导过程与应用场景
* 强调平方差公式的重要性与实用性
09
附录与参考文献* 附录来自公式推导过程的详细步骤* 参考文献：相关数学书籍与资料
第37课时因式分解平方差公式市公开课一等奖课件名师大赛获奖课件
(2) (x+p)2-(x+q)2
分析：把x+p和x+q分别看成一个整体，在形 式上就具备了平方差公式的特点，所以可用平 方差公式分解。
解：(x+p)2-(x+q)2 =[(x+p)+(x+q)][(x+p)-(x+q)] =(2x+p+q)(p-q)
9
2、活用公式
例4、分解公因式
(1)x4-y4
n1 2n
五、小结
1、今天学习了利用平方差公式分解因式，你有哪 些收获？
2、平方差公式有哪些特点？你记住了吗？ 3、分解因式要分解到多项式的每一项不能再分 解为止!
六、作业
1、P.117.练习2. 2、P.119.复习巩固.2. 3、P.119.综合运用.5.（3）
(2) a3b-ab
分析：a3b-ab有公因式ab，应先提取公因式， 再进一步分解。
解：a3b-ab =ab(a2-1) =ab(a+1)(a-1)
四、巩固提升
1、基础练习
(1) 下列多项式，哪些能用平方差公
式来分解因式，哪些不能？为什么？
m2 +4n2
m2 -4n2
_不__能__ __能__
m2 -4n2 __不_能__
解： ∵ a-b=1 ∴ a2-b2-2b =(a+b)(a-b)-2b =(a+b)×1-2b =a+b-2b =a-b =1
(2)已知：a2-b2=21, a-b=3，求代数式(a-3b)2 的值。 分析：把 a2-b2=21的左边分解因式得， (a+b)(a-b)=21,将a-b=3代入得a+b=7, 由a-b=3及a+b=7,可求出a、b的值。
平方差公式 优质课获奖课件
14．3.2
因式分解
公式法(2课时)
第1课时 平方差公式
1．能说出平方差公式的特点． 2．能较熟练地应用平方差公式分解因式．
重点 应用平方差公式分解因式． 难点
灵活应用平方差公式和提公因式法分解因式 ，并
理解因式分解的要求．
一、问题导入，探究新知
问题1：什么叫因式分解？ 问题2：你能将多项式 x2－4与多项式y2－25分解因式吗？ 这两个多项式有什么共同的特点？ 对于问题 1 要强调因式分解是对多项式进行的一种变形 ， 可引导比较它与整式乘法的关系． 对于问题 2 要求学生先进行思考 ，教师可视情况作适当的 提示，在此基础上讨论这两个多项式有什么共同的特点．
特点：这两个多项式都可以写成两个数的平方差的形式 ， 对于这种形式的多项式，可以利用平方差公式来分解因式． 即(a＋b)(a－b)＝a2－b2反过来就是： a2－b2＝(a＋b)(a－b)． 要求学生具体说说这个公式的意义．教师用语句清楚地进 行表述． 例1 分解因式： (1)4x2－9； (2)(x＋p)2－(x＋q)2.
七、课堂小结 谈一谈：你对完全平方公式有了哪些认识？它与平方差
公式有什么区别和联系？
作业：教材第112页习题14.2第2题，第3题的(1)(3)(4)， 第4题．
在完全平方公式的探求过程中，学生表现出观察角度的差
异：有些学生只是侧重观察某个单独的式子，而不知道将 几个式子联系起来看；有些学生则观察入微，表现出了较 强的观察力．教师要抓住这个契机，适当对学生进行学法 指导．对于公式的特点，则应当左右兼顾，特别是公式的 左边，它是正确应用公式的前提．
2．你能根据下图说明(a－b)2＝a2－2ab＋b2吗？
第1小题由小组合作共同完成拼图游戏，比一比哪个小组 快？第2小题借助多媒体课件，直观演示面积的变化，帮 助学生联想代数恒等式：(a－b)2＝a2－b2－2b(a－b)＝a2－ 2ab＋b2.
北师大版七年级下新教材平方差公式二市公开课一等奖省优质课获奖课件
第7页
活动探究二
1、计算以下各组算式，并观察它们共同特
点
7×9=
11×13=
79×81=
8×8=
12×12=
80×80=
2、从以上过程中，你发觉了什么规律？
3、请用字母表示这一规律，你能说明它正 确性吗？
第8页
例3
用平方差公式进行计算： （1）103×97 ； （2）118×122 （100+3）（100-3） （120-2）（120+2）
第4页
活动探究一
a
b 图1-3
（1）请表示图1-3中阴影部分面积
第5页
活动探究一
a
a
b
b
图1-3
图1-4
（2）小颖将阴影部分拼成了一个长方形，
如图1-4，这个长方形长和宽分别是多少？
你能表示出它面积吗？
第6页
活动探究一
a
a
b
b
图1-3
图1-4
（3）比较（1）（2）结果，你能验证平 方差公式吗？
第9页
练一练
计算： （1）704×696 ； （2）9.9 ×10.1
第10页
例4
计算： （1）a2(a+b)(a－b)+a2b2 （2）(2x-5)(2x+5)-2x(2x-3)
第11页
练一练
计算： （1）(x+2y)(x－2y)+(x+1)(x－1)
（2）x(x-1)- (x 1) (x 1)
1、平方差公式： (a+b)(a－b)=a2－b2
2、公式结构特点： 左边是两个二项式乘积，即两数和与这
两数差积；右边是两数平方差。
《平方差公式》优质课一等奖课件
观察这些结 果，你发现 了什么规律 ？
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两 个数的平方差.
你能将上面发现的规律推导出来吗？
(a+b)(a-b) =
相加和为0
(a+b)(a-b)=a2-b2
即两个数的和与这两个数的差的积，等于这两 个数的平方差，这个公式叫做平方差公式.
例1 运用平方差公式计算：
人教版八年级上册第十四章 整式的乘法与因式分解
14.2.1 平方差公式
难点：平方差公式的结构特征，能运 用公式进行简单的计算
目录
1 复习导入 3 课堂练习
2 课堂讲解 4 课堂小结
导入
请快速的计算98×102=？
98×102 =（100-2）（100+2） =1002-22 =10000-4 =9996
运算结果（注意符号变化）
=（-3x)2-22=9x2－4 =(-3x)2-(2y)2=9x2 - 4y2 =(-2a)2-b2=4a2－b2 =(-7m)2-(8n)2=49m2－64n2
课后小练
3.用简便方法计算: 20202-2019×2021
课堂小结
043 学而时习之，不亦说乎
一同一反=同方-反方
多项式乘以多项式相乘知识点回顾
多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一 个多项式的每一项,再把所得的积相加。
(a+b)•(m+n)= am + an + bm + bn
计算：
探索平方差公式
1）(x+1)(x-1) = 2）(m+2)(m-2) = 3）(2x+1)(2x-1) =
相加和为0 相加和为0 相加和为0
《平方差公式》优质课教学一等奖课件
猜想：(a+b)(a-b) = a2-b2
八年级-上册-第14章-第2节-第1课时
课题：平方差公式
难点名称：准确找到公式中的a与b，能够
灵活应用平方差公式.
回到羊村,就把这件事对喜羊羊他们讲了,大家一听,都说 道:“村长，您吃亏了!” 慢羊羊村长很吃惊…同学们,你能告 诉慢羊羊这是为什么吗?
原来
现在
5米
(a+5)米
a a米
2
(a-5) (a+5)(a-5)
5米
相等吗？
知识讲解
难点突破：理解平方差公式的结构特征,灵活应用平方差公式
计算下列多项式的积：你发现什么规律了
2
2 (2x)2-(2x2+2)(24xx-22-)
x
4
3n m (3n)(2m- +3n)(39nn-m2-)
m2
m2
-a 4b (-a)2-(-a+4b)(-aa2--41b6)b2 (4b)2
例1 运用平方差公式计算：
⑴ (3x+2)(3x-2) ; ⑵ (b+2a)(2a-b); (3) (-x+2y)(-x-2y).
分析:
⑴ (3x+2)(3x-2) =(3x)2 -22
( a b)(a-b) = a2 - b2
+
用公式关键是识别两数 完全相同项 — a 互为相反数项— b
解:
⑴ (3x+2)(3x-2)
=(3x) - 22
平方差公式课件(市一等奖)讲课教案18页PPT
6、最大的骄傲于最大的自卑都表示心灵的最软弱无力。——斯宾诺莎 7、自知之明是最难得的知识。——西班牙 8、勇气通往天堂，怯懦通往地狱。——塞内加 9、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。——赫尔普斯 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。——笛卡儿
平方差公式课件(市一等 奖)讲课教案
6、集体的声音， 集体的 动作， 集体的 表情， 集体的 信念。 ——马 卡连柯
8、我们现在必须完全保持党的纪律， 否则一 切都会 陷入污 泥中。 ——马 克思 9、学校没有纪律便如磨坊没有水。— —夸美 纽斯
Thank you
平方差公式课件(市一等奖)
平方差公式的特点
形式特点：形如a^2 - b^2 = (a+b)(a-b) 结构特点：左边是两个相同的二项式相减，右边是两个相同的二项式相加 符号特点：当a、b同号时，结果为正；当a、b异号时，结果为负 代数式特点：左边是两个相同的代数式相减，右边是两个相同的代数式相加
平方差公式的应用
第四章
练习与巩固
第六章
基础练习题
计算(a+b)^2的值
计算(a^2-b^2)^2的值
计算(a-b)^2的值 计算(a^2+b^2)^2的值
提升练习题
计算(a+b)(a-b)的值 计算(2x+y)(2x-y)的值 计算(3a+2b)(3a-2b)的值 计算(-5m+6n)(-5m-6n)的值
综合练习题
文字，以便观者准确地理解您传达的思想
归纳法证明法：通过归纳法，从特殊到一般，逐步推导出平方差公式的结论。 以上是几种常见
04
的平方差公式的证明方法，可以根据不同的需求和实际情况选择合适的方法进行证明。
以上是几种常见的平方差公式的证明方法，可以根据不同的需求和实际情况选
择合适的方法进行证明。
证明过程演示
平方差公式的应用范围
代数式变形：利用 平方差公式对代数 式进行变形和化简
计算：利用平方差 公式计算一些数学 表达式的结果
证明：利用平方差 公式证明一些数学 命题
应用题：利用平方 差公式解决一些实 际问题
平方差公式的应用实例
计算平方差公式 中的a和b的值
计算平方差公式 中的c的值
计算平方差公式 中的d的值
计算平方差公式 中的e的值
平方差公式的应用技巧
识别平方差公式形式：首先需要识别题目中的平方差公式形式，以便正确应用。
平方差公式优质课教学设计一等奖及点评
《平方差公式》的教学设计一．教材分析本节课选自湘教版七年级下册第2章2.2乘法公式的第一课时《平方差公式》.它是继多项式乘法之后的重要教学内容，它既是对多项式乘法中出现的特殊的算式的归纳总结，又是今后学习因式分解、分式化简、根式的分母有理化、解一元二次方程等代数运算及变形的前提基础；同时，它也是初中数学系统学习的第一个乘法公式，是学生初步认识公式结构，逐步形成符号意识，开始产生模型思想，进一步强化求简意识的经典范例.二．学情分析我们主要从三个方面对学生的情况进行了分析，①年龄特点：七年级学生易从情感角度激发学习热情；②思维品质：我校学生择优录取，具有优良的思维品质；③认知基础：学生已经具备了整式加、减、乘等数式运算基础，以及小学学习过的正方形、矩形等图形基础.三．教学目标1.了解平方差公式的几何背景，理解平方差公式的推导过程；2.掌握平方差公式的结构特征，会运用平方差公式进行简单运算；3.经历平方差公式的探索过程，领悟平方差公式的变式应用，能创作平方差公式的变式题组.四．教学重难点1.教学重点：探究平方差公式，剖析平方差公式的结构，灵活运用平方差公式.2.教学难点：掌握公式在运用中的变化规律，深层次理解公式结构，自主创作变式题组. 五．教学方法运用变式教学模式进行教学设计，运用开放式教学策略组织课堂教学.六．教学构思结合教材和学情，本节课设计了两条主线，即“问题主线”和“情境主线”.问题主线：由问题导入→新知探究→变式应用→思维拓展→问题创作→总结升华→课时检测；情境主线：由断案高手→说理大师→变式赢家→学坛霸主→创作之星→归纳之王→自主演练.两条主线交融互动，贯穿始终，从平方差公式的发生、发现、发展、应用及拓展几个层次设计出了一条条问题串，将整节课不断引导推进，一路生成.七．教学过程第一环节：问题导入问题情境：欢迎来到变式大课堂！今天我们大课堂要从一个小故事开始——这是一个发生在地主狼大和佃农羊二之间的土地租赁事件.一天，狼大对羊二说：羊二啊！我家土地重新规划了，原来租给你的那块正方形土地，我把它向东增加了3米，向北减少了3米，变成了一块长方形，反正面积没变，你就种这块新地吧！估计你也听不懂，我就画一幅图给你看，如图1、如图2所示：羊二听完一阵茫然～，对狼大说道：老爷听您的！设计说明：为初一的孩子创设了“地主狼大和佃农羊二的土地租赁事件”的小故事，激励孩子通过所学知识帮助羊二作出正确判断.设计的初衷是通过具体问题的解决温故知新，也渗透了知识就是力量的情感态度.第二环节：新知探究问题1：请你判断：羊二吃亏了？变式1：若向东增加5米，向北减少5米呢？ 变式2：若向东增加b 米，向北减少b 米呢？设计说明：通过激励学生对案情进行合情推理，引导学生从代数和几何两个角度加以推理验证，并将问题由特殊推广到一般，从而让学生发现平方差公式，并启发学生对平方差公式的结构进行深层次的剖析.公式的探究图2a-3a+3S 2 图1向北向东a图2图1向北向东a 图3a-5图4a-ba+bS 31.公式：(a ＋b)(a －b) = a 2－b 2①代数2.方法：②几何第三环节：变式应用问题2：（a+3）（a －3）系数变↓变式1：（2a+3）（2a －3）符号变↓变式2：（－2a+3）（－2a －3）位置变↓变式3：（3－2a ）（－2a －3）指数变↓变式4：（3－4a 2）（－4a 2－3）因式变↓变式5：（3b －4a 2）(－4a 2－3b)项数变↓（相对于公式而言）变式6：（a ＋b ＋c ）(a －b ＋c)设计说明：从一道基本题切入，由浅入深，进行问题变式，进而产生一系列的变式题组 通过对变式题组的解答达到两个目的，其一：学会分析式子结构，认清公式中的a 和b ，准确的运用公式进行计算；其二：能了解代数中变式的基本策略，从变化中认清变化的规律，抓住不变的本质.第四环节：思维拓展问题3：运用平方差公式进行巧算. （1）211002199⨯ （2）））（）（（12121242+++设计说明：问题2是对平方差公式的直接应用，而问题3是从拆项和添项两个角度对平积 和转化数形方差公式进行了构造应用，是对学生更高阶思维的训练，培养学生的创造性思维，是对学习者能力培养的另外一种境界.第五环节：问题创作（课时检测1）问题4：运用平方差公式编题，要求： （1）运用变式策略设计变式题； （2）重在对公式的理解和应用；设计说明：会解题不一定会编题，而会编题一定会解题.编题的目的是让学生站在更高层次来理解所学的知识和渗透的思想方法，并迁移到问题的创作中来.通过编题来检测学生对本节课内容的理解和掌握情况.公式的应用1.直接应用：（1）准确的找出公式中的,a b（2）代入平方差公式进行计算2.构造应用：（1）构造出平方差公式的结构（2）运用或多次运用公式3.拓展应用：（1）掌握代数式变式策略：系数变→符号变→位置变→指数变→因式变→项数变 （2）从正、逆两个角度创作变式题组第六环节：总结升华问题5：课堂回顾（1）对于平方差公式，你有哪些认识？ （2）本节课你印象最深的是什么？ （3）你还存在哪些疑惑？设计说明：留给学生一个思考的空间，让他们对一节课所学内容进行梳理，有利于学生自主构建知识体系，理清知识之间的联系，同时为他们提供表达的机会，锻炼他们的组织和表达能力，长此以往有利于学生的综合素质的养成.第七环节：课时检测2㈠. 基础应用：运用平方差公式计算：（1）()()5252x y x y -+ （2）()()1414x x -+--（3）2222332255x y y x ⎛⎫⎛⎫+-+⎪⎪⎝⎭⎝⎭㈡. 能力提升：活用平方差公式计算： （1）()()x y z x y z +--+㈢．思维拓展：巧用平方差公式计算： （1）12504933⨯ （2）()()()()24813131313++++ 设计说明：基础应用分别从位置、符号、指数等进行变式，达到熟练应用公式的目的.能力提升和拓展应用运用整体、转化等思想方法解决问题，达到灵活运用公式的目的，培养学生数学思维能力.八．板书设计九．课后延伸1-4，7-8小组创作的问题已在课堂上进行展示，其他小组创作的问题整理如下： 第5小组： （1）2200202198-⨯（2）()()()()24831313131++++第6小组： （1）()()2121x x ---（2）()()22a b c d b c d c -+-++-（3）()()3332828x x ⎡⎤+⋅-⎣⎦第9小组： （1）22)()(b a b a -+ （2））（）（）（）（2222101-141-131-121-1⨯⨯⨯⨯ （逆向使用平方差公式） （3）））（（c b a c b a 4242-++- 第10小组： （1）））（）（（22164-4b a a b b a +++ （2）22)2121(x y y x +-（） （3）321684221211211*********++++++））（）（）（）（（（4）113131313132128842++++++）（））（）（）（（成果反馈：从学生编题可以看出，学生们对平方差公式的结构和代数变式策略的理解都非常到位，而且他们还能将积的乘方等前面所学知识顺利运用到编题中来，显示出很强的融合贯通能力，所编问题涉及到平方差公式代数应用中的各种题型，包括直接应用，构造应用，逆向应用，连环应用等，可见本节课的学习效果突出，同时也能看出学生们良好的数学素养，这是教师长期培养的结果.《平方差公式》的教学点评本节课是教研教改的优秀课例。
平方差公式 (优质课)获奖课件 (优质课)获奖课件
11．2 与三角形有关的角
11．2.2 三角形的外角
1．了解三角形的外角． 2．知道三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的 和． 3．学会运用简单的说理来计算三角形相关的角．
重点 三角形外角的性质． 难点 运用三角形外角性质进行有关计算时能准确地推 理．
一、复习引入 什么是三角形的内角？它是由什么组成的？ 三角形内角和定理的内容是什么？ 教师提出问题，学生举手回答问题． 二、探究新知 1．探究三角形外角的概念． 教师布置学生自学教材第14页最后一段话的内容，然后完 成以下问题： (1)举例说明什么是三角形的外角．(上黑板画图说明) (2)如图，∠ADB，∠BPC，∠BDC，∠DPC分别是哪个三 角形的外角？
重点 三角形外角的性质． 难点 运用三角形外角性质进行有关计算时能准确地推 理．
一、复习引入 什么是三角形的内角？它是由什么组成的？ 三角形内角和定理的内容是什么？ 教师提出问题，学生举手回答问题． 二、探究新知 1．探究三角形外角的概念． 教师布置学生自学教材第14页最后一段话的内容，然后完 成以下问题： (1)举例说明什么是三角形的外角．(上黑板画图说明) (2)如图，∠ADB，∠BPC，∠BDC，∠DPC分别是哪个三 角形的外角？
2．探究三角形外角的性质． 老师布置学生自学教材第15页思考的内容，然后同学间 进行交流、讨论，归纳三角形的外角有什么性质，并提出 以下问题： 你能否用证明的方法说明你所归纳的性质？ 学生归纳得出三角形外角的性质： 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和
三、举例分析 例1 如图，∠BAE，∠CBF，∠ACD是△ABC的三个外角， 它们的和是多少？
四、练习与小结 练习：教材练习． 教师布置练习，学生举手回答． 小结：谈谈你对三角形外角的认识． 教师引导学生谈谈对三角形外角的认识．主要从定义和 性质两个方面入手． 五、布置作业 习题11.2第5，6，8题，选做题：第11题．
完全平方公式与平方差公式市公开课一等奖省优质课获奖课件
利用完全平方公式计算：
1 3a b2 解 13a b2
3a2 2 3a b b2
9a2 6ab b2
2
x
1 2
2
2
x
1 2
2
x2
2
x
1 2
1 2
2
x2 x 1 4
第6页
利用完全平方公式计算：
1 x 12
解 1x 12
x2 2x 112
x2 2x 1
＝10002－22 ＝1000000－4
＝999996
第13页
1.利用完全平方公式计算：
1 x 42
x2 8x 16
2 a 32
a2 6a 9
3 3a 2b2
9a2 12ab 4b2
4 4x 3y2
16x2 24xy 9 y2
第14页
2.利用平方差公式计算：
1 3a b3a b
2x 2x 2
3a2 b2
x2 22
9a2 b2
x2 4
3
1 2
x
y
1 2
x
y
1
x
2
y2
2
1 x2 y2 4
41 5a1 5a
12 5a2
1 25a2
第15页
3.下面各式计算对不对？假如不对，应怎样更正？
1 x 22 x2 4 不对
x 22 x2 2 2 x 22
x2 4x 4
2a b2 a2 2ab b2 不对
(a b)2 (a b)2 (a b)2
a2 2ab b2
第16页
4.计算：
1 202198 200 2200 2
40000 4 39996
平方差公式PPT经典教学课件市公开课一等奖省优质课获奖课件
= x2− ( 2y )2
= x2 −4y2 ;
(3) (−m+nn)(−−mm−n )n = ( −m )2 − n2 = n2 −n2 .
阅读
p59例2.
注意 当“第
一(二)数”是一分数 或是数与字母乘积时, 要用括号把这个数整 个括起来，再平方;
最终结果又 要去掉括号。
第7页
随堂练习
随堂练习
(a+b+c)(a—b—c)。
第13页
本题是公式变式训练，以加 深对公式本质特征了解．
(4a−1)(4a−1)
利用加法交换律， =( −14a−−41a ) ( 4−a1 −+14a )
法一 变成公式标准形式。 =(1)2 −(4a)2 = 1−16a2。
提取两“−”号中“−”号 法二，
变成公式标准形式。
(4a−1)(4a−1) =−(4a+1)(4a−1) = [ (4a)2 −1]
这两个数平方差．
第5页
初识平方差公式
(a+b)(a−b)=a2−b2
特征 结构
(1) 公式左边两个二项式必须是 相同两数和与差相乘； 且左边两括号内第一项相等、 第二项符号相反[互为相反数(式)];
(2) 公式右边是这两个数平方差； 即右边是左边括号内第一项平方 减去第二项平方.
(3) 公式中 a和b 能够代表数， 也能够是代数式．
假如 (x+a)(x+b)中a、b再有某种特殊关系， 又将得到什么特殊结果呢? 这就是从本课起要学习内容．
第2页
a
试一试
a
a-b 将图中纸片只剪一刀，
再拼成一个长方形．
b
a-b b
平方差公式优质课市公开课一等奖省优质课获奖课件
单实际问题。 【学习重、难点】
重点：掌握平方差公式. 难点：灵活利用平方差公式简化并计算 处理简单实际问题。
第2页
【预习导学】
一、自学指导
1、自学1：自学书本P107－108页“探究与思索与例1、
例2”，掌握平方差公式，完成以下填空。5分钟
点拨精讲：在多个因式相乘时探究】小组讨论交流解题思绪，小组活动后，小组代表展示活动结果。10分钟
点拨精讲：可将两个因数写成相同两个数和与差，组成平方差公
式结构。
第6页
【跟踪练习】学生独立确定解题思绪，小组内交流，上台展示并讲解思绪。5分钟
2x 3y 点拨精讲：利用平方差公式计算后要合并同类项。
第7页
【点拨精讲】（3分钟） 利用平方差公式来计算一些特殊多项式相乘，速度
快、准确率高，但必须注意平方差公式结构特征，找准a、 b.
第8页
【课堂小结】
（学生总结本堂课收获与迷惑）2分钟
【当堂训练】10分钟
第9页
x2 4
x2 25 y2
1 9a2
多项式 平方差
和
a ba b a2 b2
和差 差
积 平方差
第3页
【预习导学】
二、自学检测：学生自主完成，小组内展示、点评，教师巡视。7分钟
3a
点拨精讲：首先判断是否符合平方差公式结构，确定式子中“a、
b”，a是公式中相同数，b是其中符号相反数。
第4页
【合作探究】小组讨论交流解题思绪，小组活动后，小组代表展示活动结果。10分钟
《平方差公式》教学设计一等奖
《平方差公式》教学设计一等奖《《平方差公式》教学设计一等奖》这是优秀的教学设计一等奖文章，希望可以对您的学习工作中带来帮助！1、《平方差公式》教学设计一等奖教学建议一、知识结构二、重点、难点分析本节教学的重点是掌握公式的结构特征及正确运用公式．难点是公式推导的理解及字母的广泛含义．平方差公式是进一步学习完全平方公式、进行相关代数运算与变形的重要知识基础．1．平方差公式是由多项式乘法直接计算得出的：与一般式多项式的乘法一样，积的项数是多项式项数的积，即四项．合并同类项后仅得两项．2．这一公式的结构特征：左边是两个二项式相乘，这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；右边是乘式中两项的平方差，即相同项的平方与相反项的平方差．公式中的字母可以表示具体的数（正数和负数），也可以表示单项式或多项式等代数式．只要符合公式的结构特征，就可运用这一公式．例如在运用公式的过程中，有时需要变形，例如，变形为，两个数就可以看清楚了．3．关于平方差公式的特征，在学习时应注意：（1）左边是两个二项式相乘，并且这两上二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数．（2）右边是乘式中两项的平方差（相同项的平方减去相反项的平方）．（3）公式中的和可以是具体数，也可以是单项式或多项式．（4）对于形如两数和与这两数差相乘，就可以运用上述公式来计算．三、教法建议1．可以将“两个二项式相乘，积可能有几项”的问题作为课题引入，目的是激发学生的学习兴趣，使学生能在两个二项式相乘其积可能为四项、三项、两项中找出积为两项的特征，上升到一定的理论认识，加以实践检验，从而培养学生观察、概括的`能力．2．通过学生自己的试算、观察、发现、总结、归纳，得出为什么有的两个二项式相乘，其积为两项，因为其中两项是两个数的平方差，而另两项恰是互为相反数，合并同类项时为零，即(a+b)(a-b)=a2+ab-ab-b2=a2-b2．这样得出平方差公式，并且把这类乘法的实质讲清楚了．3．通过例题、练习与小结，教会学生如何正确应用平方差公式．这里特别要求学生注意公式的结构，教师可以用对应思想来加强对公式结构的理解和训练，如计算(1+2x)(1-2x)，(1+2x)(1-2x)=12-(2x)2=1-4x2↓↓↓↓↑↑(a+b)(a-b)=a2-b2．这样，学生就能正确应用公式进行计算，不容易出差错．另外，在计算中不一定用一种模式刻板地应用公式，可以结合以前学过的运算法则，经过变形后灵活应用公式，培养学生解题的灵活性．教学目标1．使学生理解和掌握平方差公式，并会用公式进行计算；2．注意培养学生分析、综合和抽象、概括以及运算能力．教学重点和难点重点：平方差公式的应用．难点：用公式的结构特征判断题目能否使用公式．教学过程设计一、师生共同研究平方差公式我们已经学过了多项式的乘法，两个二项式相乘，在合并同类项前应该有几项？合并同类项以后，积可能会是三项吗？积可能是二项吗？请举出例子．让学生动脑、动笔进行探讨，并发表自己的见解．教师根据学生的回答，引导学生进一步思考：两个二项式相乘，乘式具备什么特征时，积才会是二项式？为什么具备这些特点的两个二项式相乘，积会是两项呢？而它们的积又有什么特征？(当乘式是两个数之和以及这两个数之差相乘时，积是二项式．这是因为具备这样特点的两个二项式相乘，积的四项中，会出现互为相反数的两项，合并这两项的结果为零，于是就剩下两项了．而它们的积等于乘式中这两个数的平方差)继而指出，在多项式的乘法中，对于某些特殊形式的多项式相乘，我们把它写成公式，并加以熟记，以便遇到类似形式的多项式相乘时就可以直接运用公式进行计算．以后经常遇到(a+b)(a-b)这种乘法，所以把(a+b)(a-b)=a2-b2作为公式，叫做乘法的平方差公式．在此基础上，让学生用语言叙述公式．二、运用举例变式练习例1计算(1+2x)(1-2x)．解：(1+2x)(1-2x)=12-(2x)2=1-4x2．教师引导学生分析题目条件是否符合平方差公式特征，并让学生说出本题中a，b分别表示什么．例2计算(b2+2a3)(2a3-b2)．解：(b2+2a3)(2a3-b2)＝(2a3+b2)(2a3-b2)＝(2a3)2-(b2)2＝4a6-b4．教师引导学生发现，只需将(b2+2a3)中的两项交换位置，就可用平方差公式进行计算．课堂练习运用平方差公式计算：(l)(x+a)(x-a)；(2)(m+n)(m-n)；(3)(a+3b)(a-3b)；(4)(1-5y)(l+5y)．例3计算(-4a-1)(-4a+1)．让学生在练习本上计算，教师巡视学生解题情况，让采用不同解法的两个学生进行板演．解法1：(-4a-1)(-4a+1)=[-(4a+l)][-(4a-l)]=(4a+1)(4a-l)=(4a)2-l2=16a2-1．解法2：(-4a-l)(-4a+l)=(-4a)2-l=16a2-1．根据学生板演，教师指出两种解法都很正确，解法1先用了提出负号的办法，使两乘式首项都变成正的，而后看出两数的和与这两数的差相乘的形式，应用平方差公式，写出结果．解法2把-4a看成一个数，把1看成另一个数，直接写出(-4a)2-l2后得出结果．采用解法2的同学比较注意平方差公式的特征，能看到问题的本质，运算简捷．因此，我们在计算中，先要分析题目的数字特征，然后正确应用平方差公式，就能比较简捷地得到答案．课堂练习1．口答下列各题：(l)(-a+b)(a+b)；(2)(a-b)(b+a)；(3)(-a-b)(-a+b)；(4)(a-b)(-a-b)．2．计算下列各题：(1)(4x-5y)(4x+5y)；(2)(-2x2+5)(-2x2-5)；教师巡视学生练习情况，请不同解法的学生，或发生错误的学生板演，教师和学生一起分析解法．三、小结1．什么是平方差公式？2．运用公式要注意什么？(1)要符合公式特征才能运用平方差公式；(2)有些式子表面不能应用公式，但实质能应用公式，要注意变形．四、作业1．运用平方差公式计算：(l)(x+2y)(x-2y)；(2)(2a-3b)(3b+2a)；(3)(-1+3x)(-1-3x)；(4)(-2b-5)(2b-5)；(5)(2x3+15)(2x3-15)；(6)(0.3x-0.l)(0.3x+l)；2．计算：(1)(x+y)(x-y)+(2x+y)(2x+y)；(2)(2a-b)(2a+b)-(2b-3a)(3a+2b)；(3)x(x-3)-(x+7)(x-7)；(4)(2x-5)(x-2)+(3x-4)(3x+4)．2、《平方差公式》教学设计一等奖教学目的进一步使学生理解掌握平方差公式，并通过小结使学生理解公式数学表达式与文字表达式在应用上的差异.教学重点和难点：公式的应用及推广.教学过程：一、复习提问1.(1)用较简单的代数式表示下图纸片的面积.(2)沿直线裁一刀，将不规则的右图重新拼接成一个矩形，并用代数式表示出你新拼图形的面积.讲评要点：沿HD、GD裁开均可，但一定要让学生在裁开之前知道HD=BC=GD=FE=a-b，这样裁开后才能重新拼成一个矩形.希望推出公式：a2-b2=(a+b)(a-b)2.(1)叙述平方差公式的数学表达式及文字表达式;(2)试比较公式的两种表达式在应用上的差异.说明：平方差公式的`数学表达式在使用上有三个优点.(1)公式具体，易于理解;(2)公式的特征也表现得突出，易于初学的人套用(3)形式简洁.但数学表达式中的a与b有概括性及抽象性，这样也就造成对具体问题存在一个判定a、b的问题，否则容易对公式产生各种主观上的误解.依照公式的文字表达式可写出下面两个正确的式子：经对比，可以让人们体会到公式的文字表达式抽象、准确、概括.因而也就欠明确(如结果不知是谁与谁的平方差).故在使用平方差公式时，要全面理解公式的实质，灵活运用公式的两种表达式，比如用文字公式判断一个题目能否使用平方差公式，用数学公式确定公式中的a 与b，这样才能使自己的计算即准确又灵活.3.判断正误：(1)(4x+3b)(4x-3b)=4x2-3b2;()(2)(4x+3b)(4x-3b)=16x2-9;()(3)(4x+3b)(4x-3b)=4x2+9b2;()(4)(4x+3b)(4x-3b)=4x2-9b2;()二、新课例1 运用平方差公式计算：(1)102 (2)(y+2)(y-2)(y2+4).解：(1)10298 (2)(y+2)(y-2)(y2+4)=(100+2)(100-2) =(y2-4)(y2+4)=1002-22=10000-4 =(y2)2-42=y4-16.=9996;2.运用平方差公式计算：(1)103 (2)(x+3)(x-3)(x2+9);(3)59.8 (4)(x- )(x2+ )(x+ ).3.请每位同学自编两道能运用平方差公式计算的题目.例2 填空：(1)a2-4=(a+2)();(2)25-x2=(5-x)();(3)m2-n2=()();思考题：什么样的二项式才能逆用平方差公式写成两数和与这两数的差的积?(某两数平方差的二项式可逆用平方差公式写成两数和与这两数的差的积)练习1.x2-25=()();2.4m2-49=(2m-7)();3.a4-m4=(a2+m2)()=(a2+m2)()();例3 计算：(1)(a+b-3)(a+b+3); (2)(m2+n-7)(m2-n-7).解：(1)(a+b-3)(a+b+3) (2)(m2+n-7)(m2-n-7)=[(a+b)-3][(a+b)+3] =[(m2-7)+n][(m2-7)-n]=(a+b)2-9=a2+2ab+b2-9. =(m2-7)2-n2=m4-14m2+49-n2.三、小结1.什么是平方差公式?一般两个二项式相乘的积应是几项式?2.平方差公式中字母a、b可以是那些形式?3.怎样判断一个多项式的乘法问题是否可以用平方差公式?四、布置作业1.运用平方差公式计算：(1)(a2+b)(a2-b);(2)(-4m2+5n)(4m2+5n);(3)(x2-y2)(x2+y2);(4)(9a2+7b2)(7b2-9a2).2.运用平方差公式计算：(1)69 (2)53 (3)503 (4)40 39 .3、《平方差公式》教学设计一等奖教学目标理解两个完全平方公式的结构，灵活运用完全平方公式进行运算。
平方差公式赛课一等奖课件
目 录
ห้องสมุดไป่ตู้
• 平方差公式简介 • 平方差公式的证明 • 平方差公式的扩展 • 平方差公式的应用举例 • 总结与反思
01
平方差公式简介
平方差公式的定义
平方差公式是数学中 的一个重要公式，用 于计算两个数的平方 差。
这个公式在代数、几 何和三角学等领域有 广泛的应用。
它表示为：a^2 b^2 = (a + b)(a b)。
03
平方差公式的扩展
平方差公式的一般形式
总结词
平方差公式的一般形式是$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，它表示两个二项式的乘积 等于它们的平方差。
详细描述
平方差公式的一般形式是代数中的基础公式之一，它表示两个二项式的乘积等 于它们的平方差。这个公式在数学中有着广泛的应用，是解决代数问题的重要 工具之一。
在数论中的应用
质数判别
平方差公式在质数判别中有所应用。 例如，一个数如果不能被除了1和它 本身以外的数整除，则它是质数。这 个性质可以通过平方差公式进行证明 。
同余方程求解
在数论中，平方差公式用于求解同余 方程。同余方程是模运算下的等式， 通过平方差公式可以找到同余方程的 解或者证明无解。
05
总结与反思
面积计算
平方差公式在几何中常用于计算面积 。例如，在矩形中，如果已知两边长 分别为$a$和$b$，则面积$S = a times b = sqrt{a^2 times b^2} = sqrt{(a+b)^2 - 4ab}$。
勾股定理证明
平方差公式在勾股定理的证明中发挥 了关键作用。勾股定理指出直角三角 形的两条直角边的平方和等于斜边的 平方，即$a^2 + b^2 = c^2$，可以 通过平方差公式进行证明。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
平方差公式教案(优质
课一等奖)
八年级数学《15.2.1平方差公式》教学设计
桂平市西山一中覃娟娟
教学目标：
1.经历探索平方差公式的过程,会推导平方差公式,并运用公式进行简单的
运算.
2.在数学活动中建立平方差公式模型，感受数学公式的意义和作用。
3.在计算的过程中发现规律,并能用符号表达,从而体会数学语言的简洁美.
教学重点、难点：
重点：平方差公式的推导及应用.
难点：平方差公式的应用.
教具准备：
多媒体课件
教学过程：
一、创设情景，复习导入
回顾思考：
1、多项式乘法法则：( m + a )( n + b ) = m n + m b + a n + a b
x+(a+b)x+ab 2、如果m=n，且都用 x 表示，那么上式就成为:(x+a)(x+b)=2
二、新课引入
1、计算下列各题,看谁做的又快又准确:
(1)(x＋y)(x－y)
(2)(2a＋b)(2a－b)
2、教师提问：1）上述式中都有什么样的规律？
2）能不能用字母来表现它呢？学生活动：讨论，并回答出教师提问.
3、师生共同归纳出平方差公式
2
2
)
)(
(b
a
b
a
b
a-
=
-
+
4、师生共同探讨用面积说明平方差公式（课件演示图形）.
5、师生共同分析平方差公式的结构特征.
6、练习：
判断下列式子可用平方差公式计算吗?
①(a−b)(b−a) ；② (a+2b)(2b+a)；
③-(a−b)(a+b) ；④ (-2x+y)(y−2x).
三、例题讲解
例1 运用平方差公式计算：
(1) (5+6x)(5−6x)； (2) (b+2a)(2a−b)； (3) (-x+2y)(-x−2y).
评析:1）认清结构，找准a、b
2）运用平方差公式时，要紧扣公式的特征，找出相同的“项”和符号相反的“项”，然后应用公式；
例2：计算：
（1）102 × 98 ；（2）(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5).
评析：1）巧妙的化为公式形式;
2）只有符合公式才能应用公式，否则，只能应用多项式与多项式
乘法法则进行运算。
四、随堂练习，巩固新知
1、指出下列计算中的错误：
(1)
2
2
1
)
2
1
)(
2
1(x
x
x-
=
-
+
(2) 4422222)2)(2(b a b a b a -=-+
(3) 2223)23)(23(n m n m n m -=-+
学生先独立思考，然后抢答，师生共评.
2、运用平方差公式计算：
(1)(a+3b)(a −3b)； (2)(3+2a)(-3+2a)； (3)51×49；
学生独立完成，代表到黑板上板演，再让其他学生充当老师评改,接着再师生共评.
五、课堂总结，发展潜能
1、平方差公式22))((b a b a b a -=-+
2、应用平方差公式时要注意些什么？
六、布置作业.
课本p.156
习题15.2 第1题（1）（3）（5）.。