控制工程基础第三章 系统框图及简化
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l
系统框图的分类
说明系统构成和工作原理
结构框图 ：将系统中各元件的名称或功用写在框图单元内，
并标明它们的连接顺序和信号流向。
×
框图
说明环节特性、信号流向及变量关系
函数框图 ：将系统中各元件或环节的传递函数写在框图单元
内，并用表明信号传递方向的箭头将这些框图单 元连接起来。 √
本节主要讲述对 象
传递函数方框图：在系统建模中，对于各个环节， 分别用传递函数代表环节，用环节输入、输出的 拉式变换代表输入和输出，而形成的一种表示系 统与外界之间以及系统内部各变量之间关系的方 框图
B
Y(s)
1 G s
X(s)
2.引出点前移
X(s)
A
G(s)
Y(s)
B
X(s)
A
G(s)
G s
Y(s) Y(s)
B
Y(s)
比较点的移动
Ø
将比较点跨越框图移动时，应遵循移动前后总输出量保持 不变的等效原则。 Y s ( X s - X s )Gs
l
若要得到两个单独的电路的传递函数相乘的结果，常 用电子放大器(隔离放大器)将它们隔开，以减小或消 除两个电路的相互影响。因为电子放大器有很高的输 入阻抗，负载效应可以忽略不计， 其总的传递函数就等于两个电路传递函数之积。即：
式中：K
放大器放大系数。
（2）并联
Y(s)
X(s)
G(s)= G1(s)+ G2(s)+G3(s)
i(t ) ui (t )
C
uo (t )
1 U o s I s CS
1 1 I S U i s U o s R R
1 U o s I s CS
将两单元框图连接起来，得系统框图：
例： 无源网络：
解：1）确定输入、输出。 输入 U i ( s ) 输出 U 0 ( s ) 3）取拉氏变换：
如图所示的RC电路，其微分方 程式为， Ri ( t )+ u 0 (t )= u i (t ) du 0 (t ) i( t )= C
dt
R
在零初始条件下进行拉氏变换，得:
RI ( s)= Ui ( s) - U0 ( s) I( s)= CsU0 ( s)
为便于绘制框图，将上式表示为
1 1 I S U i s U o s R R
G s Gi s
i 1 n
应当指出，只有当无负载效应，即前一环 节的输出量不受后面环节的影响时，上式 方才有效。
若有两个电路相串联，
其传递函数为
从上式看出，两个电路串联时，其传递函数并不等于两 个单独的电路传递函数之乘积，而是在分母中多了一项，它 表示了两个电路的相互影响，这是由于第二个电路是第一个 电路的负载。而单独推导电路的传递函数时，没有考虑负载， 或者说，假设没有负载的，也就是说，负载阻抗为无穷大， 因而就产生了差异。
框图优点
系统框图是系统中各个元件功能和信号流向的图 解表示。其优点如下：
① 只要根据信号的流向，将各环节的框图连接起来，就 能容易地构成整个系统； ② 通过框图可以评价每一个环节对系统性能的影响，便 于对系统进行分析和研究； ③ 采用框图更容易求取系统的传递函数。
一、系统框图的组成
三要素：
函数方框、求和点 和引出线。
n
（3）反馈
X(s)
H
n
G s Gz s 1 G s H s
Y(s)
Bs H s Y s
如果将系统或环节的输出反馈到输入端与输入信号进行比 较，就构成了反馈连接，如 上图 所示。其中 G1(s) G2(s) 可以是等效方框图，即它们可以是由若干元件方框串、并 联 组成。按图中的传递关系有
• 等效─所谓等效，即对框图的任一部分
进行变换时，变换前后输入输出之间总的 数学关系应保持不变。
1. 框图的连接方式及运算法则
方框图的基本连接方法只有三种： 串联、并联、反馈。
(1)串联连接
方框与方框首尾相连，前一 方框的输出就是后一方框的输入，前后方框之 间无负载效应。
X i ( s) G1(s)
2）列写微分方程：
ui R1iR u0
U i ( s ) R1 I R ( s ) U 0 ( s )
u0 R2i
1 R1iR iC dt C
U 0 ( s ) R2 I ( s )
1 R1 I R ( s ) IC (s) Cs
i iR iC
I ( s ) I R ( s ) IC ( s )
反馈的补充说明
Gs Gz s 1GsHs
闭环传递函 数
-
H
ê 注意：如果反馈为正反馈+，则相应的闭环传递函数为
G s Gz s 1 G s H s
ê 注意：等效传递函数等于前向通道传递函数除以1加（减）
前向通道传递函数与反馈通道传递函数乘积
误差传递函数
2.方块图的简化法则
①前向通道的传递函数保持不变； ②各反馈回路的传递函数保持不变。
引出点移动
Ø
将分支点跨越框图移动时，必须遵循移动前后所得的分支 信号保持不变的等效原则。
Y s X s G s
1.引出点后移
X(s)
A
G(s)
Y(s) X(s)
X(s)
B
A
G(s)
Y s X s G s
Y s E s Gs X s H s Y s Gs
E s X s Bs
G z s
Y s 1 Gs H s Gs X s
Y s G s X s 1 G s H s
第四节
本节重点：
系统框图及其简化
Ø 框图的定义及相关概念 Ø 系统构成及运算规则 Ø 框图的变换法则 本节的难点： Ø 框图的变换法则及实际应用
引 言
框图是系统中各个元件功能和信号流向的数学 图形。在控制工程中，人们习惯用框图说明和 讨论问题，是因为： 1.只要依据信号的流向，将各环节的框图连接 起来，就能容易构成整个系统。 2.通过框图可以评价每一个环节对系统的影响， 便于对系统进行分析和研究。 3.框图和传递函数一样，包含了与系统动态性 能有关的信息，但和系统的物理结构无关。
Y ( s ) YN ( s ) YX ( s )
G2 (s) G1 (s) X (s) N (s) 1 G1 (s)G2 (s) H (s)
若设计控制系统时，使
G1 s H s 1, 且 G1 s G2 s H s 1
1 则:Y ( s ) G1 (s) X (s) N (s) G1 ( s ) H ( s )
Ui (s) -Uo (s) R1IR s
1/R1
U 0 ( s ) I ( s ) R2
IC s R1CsIR s
I ( s) IC ( s) I R ( s)
R1
将上面的各环节（元件）综合有：
R1
为了分析系统的动态性能，需要对系统的 框图进行运算和变换，求出系统总的传递函数。 这种运算和变换，就是将框图化简为一个等效 的方框，而方框中的数学表达式即为系统总的 传递函数。框图的变换应按等效原则进行。
X 1 ( s)
G2(s)
X o ( s)
X i ( s)
G1(s)G2(s) b)
X o (s)
a)
X 1 ( s) G1 ( s ) X i ( s)
X 0 (s) G2 ( s ) X 1 (s)
X 0 ( s) G(s) G1 (s)G2 (s) X i ( s)
上述结论可以推广到任意个传递函数的 串联。n个方框依次串联的等效传递函数， 等于n个传递函数的乘积
（4）干扰作用下的闭环系统
利用线性系统的可叠加性质： 步骤一：只有N(s)作用得 步骤二：只有X(s)作用得 步骤一：总输出得
YN ( s ) G2 ( s ) N ( s ) 1 G1 ( s )G2 s H ( s )
YX ( s) G1 ( s)G2 ( s) X ( s) 1 G1 ( s)G2 s H ( s)
1. 信号线
箭头表示信号传递的方向，在信号线 的上(下)方可以标出信号的时间函数 或其拉氏变换式。
2. 引出点
表示把一个信号分成两路(或多路)输 出。信号线上只传送信号，不传送能 量。所以信号虽然分成多路引出，但 是引出的每一路信号都与原信号相等。
3. 比较点
表示两个(或多个)输入信号 进行相加或相减，信号线上 的“+”或“-”表示信号相 加或相减，相加减的量应具 有相同的量纲。
前向通道传递函数
X 0 (s ) G( s)= E (s ) 。 (输出信号与偏差信号之比)
反馈通道传递函数
B (s ) H( s)= X 0 (s ) (反馈信号与输出信号之比)
开环传递函数
B (s ) G( s)H (s )= E (s ) (反馈信号与偏差信号之比 )。
若反馈通道传递函数H (S)= 1时，称为单位反馈系统， G (s ) 此时： F( s)= 1 G (s )
n
Y2 s X s G2 s
Y3 s X s G3 s
Y1 s X s G1 s
百度文库
输入量相同，输出量相加或相减的连接称为并联。如图所示， 三个环节的输入部分都为 X， 而输出分别为Y1、Y2、Y3 ，
Y s X s G1 s X s G2 s X s G3 s G s X s X s
则由干扰引起的输出：
1
YN ( s )
1 N ( s) N ( s) G1 ( s ) H ( s )
式中 G ( s)1H ( s) 很小，致使干扰 N ( s) 引起的输出很小， 这说明闭环系统较开环系统有很好的抗干扰性能， 若无反馈回路，即 H ( s) 0 则干扰引起得输出 G2 (s) N ( s) 无法减小。
Y s Y1 s Y2 s Y3 s
G1 s G2 s G3 s
并联的补充说明
l
这表明几个环节并联时，可以用一个等效环节去取代， 等效环节的传递函数为各环节传递函数的代数和。写成一 般形式为
G s G i s
i 1
X 0 (s)= G (s)E (s) B (s)= H (s)X 0 (s)
E( s) 1 = Xi (s ) 1 ±G (s)H (s) 称为误差传递函数（偏差信号与输入信号之比）
整理得
s ( ) E( ss) B ss E s =X Xii ± B ) (
E s X i s H s G s E s
任何复杂系统的框图，都无非是由串联、并 联和反馈三种基本连接方式组成的，但要实现 上述三种运算，必须先将复杂的交织状态变换 为可运算状态，即进行框图的等效变换。
例
步骤一：消去回路Ⅰ，得：
G2 ( s ) Y (s) E2 ( s ) 1 G2 ( s ) H 2 ( s )
步骤二、消去串联回路，得
4. 方框
表示该环节的输入信号按照 方框中的传递函数关系变换 为输出信号，即表示对信号 进行的数学变换，方框中写 入元部件或系统的传递函数。
X 0 (s ) = G (s ) X i (s )
二、系统框图的绘制
绘制系统框图的步骤如下：
1) 建立各元件、部件的微分方程，注意相邻 元件之间的负载效应。 2) 在零初始条件下，对各元件的微分方程进 行拉氏变换。 3) 整理拉氏变换式中，左边输入，右边输出， 作出各元件的框图。 4) 按照系统中信号传递的顺序，依次将具有 相同信号元件的框图连接起来，得到系统的框 图。
G1 ( s)G2 ( s) Y ( s) E1 ( s) 1 G2 ( s) H 2 ( s)
步骤三、整个系统闭环传递函数为：
G1 ( s )G2 ( s ) 1 G2 ( s) H 2 ( s) G1 ( s)G2 ( s) Y (s) X ( s ) 1 H ( s) G1 ( s )G2 ( s ) 1 G 2( s ) H 2( s ) G 1( s )G 2( s ) H 1( s ) 1 1 G2 ( s) H 2 ( s)
系统框图的分类
说明系统构成和工作原理
结构框图 ：将系统中各元件的名称或功用写在框图单元内，
并标明它们的连接顺序和信号流向。
×
框图
说明环节特性、信号流向及变量关系
函数框图 ：将系统中各元件或环节的传递函数写在框图单元
内，并用表明信号传递方向的箭头将这些框图单 元连接起来。 √
本节主要讲述对 象
传递函数方框图：在系统建模中，对于各个环节， 分别用传递函数代表环节，用环节输入、输出的 拉式变换代表输入和输出，而形成的一种表示系 统与外界之间以及系统内部各变量之间关系的方 框图
B
Y(s)
1 G s
X(s)
2.引出点前移
X(s)
A
G(s)
Y(s)
B
X(s)
A
G(s)
G s
Y(s) Y(s)
B
Y(s)
比较点的移动
Ø
将比较点跨越框图移动时，应遵循移动前后总输出量保持 不变的等效原则。 Y s ( X s - X s )Gs
l
若要得到两个单独的电路的传递函数相乘的结果，常 用电子放大器(隔离放大器)将它们隔开，以减小或消 除两个电路的相互影响。因为电子放大器有很高的输 入阻抗，负载效应可以忽略不计， 其总的传递函数就等于两个电路传递函数之积。即：
式中：K
放大器放大系数。
（2）并联
Y(s)
X(s)
G(s)= G1(s)+ G2(s)+G3(s)
i(t ) ui (t )
C
uo (t )
1 U o s I s CS
1 1 I S U i s U o s R R
1 U o s I s CS
将两单元框图连接起来，得系统框图：
例： 无源网络：
解：1）确定输入、输出。 输入 U i ( s ) 输出 U 0 ( s ) 3）取拉氏变换：
如图所示的RC电路，其微分方 程式为， Ri ( t )+ u 0 (t )= u i (t ) du 0 (t ) i( t )= C
dt
R
在零初始条件下进行拉氏变换，得:
RI ( s)= Ui ( s) - U0 ( s) I( s)= CsU0 ( s)
为便于绘制框图，将上式表示为
1 1 I S U i s U o s R R
G s Gi s
i 1 n
应当指出，只有当无负载效应，即前一环 节的输出量不受后面环节的影响时，上式 方才有效。
若有两个电路相串联，
其传递函数为
从上式看出，两个电路串联时，其传递函数并不等于两 个单独的电路传递函数之乘积，而是在分母中多了一项，它 表示了两个电路的相互影响，这是由于第二个电路是第一个 电路的负载。而单独推导电路的传递函数时，没有考虑负载， 或者说，假设没有负载的，也就是说，负载阻抗为无穷大， 因而就产生了差异。
框图优点
系统框图是系统中各个元件功能和信号流向的图 解表示。其优点如下：
① 只要根据信号的流向，将各环节的框图连接起来，就 能容易地构成整个系统； ② 通过框图可以评价每一个环节对系统性能的影响，便 于对系统进行分析和研究； ③ 采用框图更容易求取系统的传递函数。
一、系统框图的组成
三要素：
函数方框、求和点 和引出线。
n
（3）反馈
X(s)
H
n
G s Gz s 1 G s H s
Y(s)
Bs H s Y s
如果将系统或环节的输出反馈到输入端与输入信号进行比 较，就构成了反馈连接，如 上图 所示。其中 G1(s) G2(s) 可以是等效方框图，即它们可以是由若干元件方框串、并 联 组成。按图中的传递关系有
• 等效─所谓等效，即对框图的任一部分
进行变换时，变换前后输入输出之间总的 数学关系应保持不变。
1. 框图的连接方式及运算法则
方框图的基本连接方法只有三种： 串联、并联、反馈。
(1)串联连接
方框与方框首尾相连，前一 方框的输出就是后一方框的输入，前后方框之 间无负载效应。
X i ( s) G1(s)
2）列写微分方程：
ui R1iR u0
U i ( s ) R1 I R ( s ) U 0 ( s )
u0 R2i
1 R1iR iC dt C
U 0 ( s ) R2 I ( s )
1 R1 I R ( s ) IC (s) Cs
i iR iC
I ( s ) I R ( s ) IC ( s )
反馈的补充说明
Gs Gz s 1GsHs
闭环传递函 数
-
H
ê 注意：如果反馈为正反馈+，则相应的闭环传递函数为
G s Gz s 1 G s H s
ê 注意：等效传递函数等于前向通道传递函数除以1加（减）
前向通道传递函数与反馈通道传递函数乘积
误差传递函数
2.方块图的简化法则
①前向通道的传递函数保持不变； ②各反馈回路的传递函数保持不变。
引出点移动
Ø
将分支点跨越框图移动时，必须遵循移动前后所得的分支 信号保持不变的等效原则。
Y s X s G s
1.引出点后移
X(s)
A
G(s)
Y(s) X(s)
X(s)
B
A
G(s)
Y s X s G s
Y s E s Gs X s H s Y s Gs
E s X s Bs
G z s
Y s 1 Gs H s Gs X s
Y s G s X s 1 G s H s
第四节
本节重点：
系统框图及其简化
Ø 框图的定义及相关概念 Ø 系统构成及运算规则 Ø 框图的变换法则 本节的难点： Ø 框图的变换法则及实际应用
引 言
框图是系统中各个元件功能和信号流向的数学 图形。在控制工程中，人们习惯用框图说明和 讨论问题，是因为： 1.只要依据信号的流向，将各环节的框图连接 起来，就能容易构成整个系统。 2.通过框图可以评价每一个环节对系统的影响， 便于对系统进行分析和研究。 3.框图和传递函数一样，包含了与系统动态性 能有关的信息，但和系统的物理结构无关。
Y ( s ) YN ( s ) YX ( s )
G2 (s) G1 (s) X (s) N (s) 1 G1 (s)G2 (s) H (s)
若设计控制系统时，使
G1 s H s 1, 且 G1 s G2 s H s 1
1 则:Y ( s ) G1 (s) X (s) N (s) G1 ( s ) H ( s )
Ui (s) -Uo (s) R1IR s
1/R1
U 0 ( s ) I ( s ) R2
IC s R1CsIR s
I ( s) IC ( s) I R ( s)
R1
将上面的各环节（元件）综合有：
R1
为了分析系统的动态性能，需要对系统的 框图进行运算和变换，求出系统总的传递函数。 这种运算和变换，就是将框图化简为一个等效 的方框，而方框中的数学表达式即为系统总的 传递函数。框图的变换应按等效原则进行。
X 1 ( s)
G2(s)
X o ( s)
X i ( s)
G1(s)G2(s) b)
X o (s)
a)
X 1 ( s) G1 ( s ) X i ( s)
X 0 (s) G2 ( s ) X 1 (s)
X 0 ( s) G(s) G1 (s)G2 (s) X i ( s)
上述结论可以推广到任意个传递函数的 串联。n个方框依次串联的等效传递函数， 等于n个传递函数的乘积
（4）干扰作用下的闭环系统
利用线性系统的可叠加性质： 步骤一：只有N(s)作用得 步骤二：只有X(s)作用得 步骤一：总输出得
YN ( s ) G2 ( s ) N ( s ) 1 G1 ( s )G2 s H ( s )
YX ( s) G1 ( s)G2 ( s) X ( s) 1 G1 ( s)G2 s H ( s)
1. 信号线
箭头表示信号传递的方向，在信号线 的上(下)方可以标出信号的时间函数 或其拉氏变换式。
2. 引出点
表示把一个信号分成两路(或多路)输 出。信号线上只传送信号，不传送能 量。所以信号虽然分成多路引出，但 是引出的每一路信号都与原信号相等。
3. 比较点
表示两个(或多个)输入信号 进行相加或相减，信号线上 的“+”或“-”表示信号相 加或相减，相加减的量应具 有相同的量纲。
前向通道传递函数
X 0 (s ) G( s)= E (s ) 。 (输出信号与偏差信号之比)
反馈通道传递函数
B (s ) H( s)= X 0 (s ) (反馈信号与输出信号之比)
开环传递函数
B (s ) G( s)H (s )= E (s ) (反馈信号与偏差信号之比 )。
若反馈通道传递函数H (S)= 1时，称为单位反馈系统， G (s ) 此时： F( s)= 1 G (s )
n
Y2 s X s G2 s
Y3 s X s G3 s
Y1 s X s G1 s
百度文库
输入量相同，输出量相加或相减的连接称为并联。如图所示， 三个环节的输入部分都为 X， 而输出分别为Y1、Y2、Y3 ，
Y s X s G1 s X s G2 s X s G3 s G s X s X s
则由干扰引起的输出：
1
YN ( s )
1 N ( s) N ( s) G1 ( s ) H ( s )
式中 G ( s)1H ( s) 很小，致使干扰 N ( s) 引起的输出很小， 这说明闭环系统较开环系统有很好的抗干扰性能， 若无反馈回路，即 H ( s) 0 则干扰引起得输出 G2 (s) N ( s) 无法减小。
Y s Y1 s Y2 s Y3 s
G1 s G2 s G3 s
并联的补充说明
l
这表明几个环节并联时，可以用一个等效环节去取代， 等效环节的传递函数为各环节传递函数的代数和。写成一 般形式为
G s G i s
i 1
X 0 (s)= G (s)E (s) B (s)= H (s)X 0 (s)
E( s) 1 = Xi (s ) 1 ±G (s)H (s) 称为误差传递函数（偏差信号与输入信号之比）
整理得
s ( ) E( ss) B ss E s =X Xii ± B ) (
E s X i s H s G s E s
任何复杂系统的框图，都无非是由串联、并 联和反馈三种基本连接方式组成的，但要实现 上述三种运算，必须先将复杂的交织状态变换 为可运算状态，即进行框图的等效变换。
例
步骤一：消去回路Ⅰ，得：
G2 ( s ) Y (s) E2 ( s ) 1 G2 ( s ) H 2 ( s )
步骤二、消去串联回路，得
4. 方框
表示该环节的输入信号按照 方框中的传递函数关系变换 为输出信号，即表示对信号 进行的数学变换，方框中写 入元部件或系统的传递函数。
X 0 (s ) = G (s ) X i (s )
二、系统框图的绘制
绘制系统框图的步骤如下：
1) 建立各元件、部件的微分方程，注意相邻 元件之间的负载效应。 2) 在零初始条件下，对各元件的微分方程进 行拉氏变换。 3) 整理拉氏变换式中，左边输入，右边输出， 作出各元件的框图。 4) 按照系统中信号传递的顺序，依次将具有 相同信号元件的框图连接起来，得到系统的框 图。
G1 ( s)G2 ( s) Y ( s) E1 ( s) 1 G2 ( s) H 2 ( s)
步骤三、整个系统闭环传递函数为：
G1 ( s )G2 ( s ) 1 G2 ( s) H 2 ( s) G1 ( s)G2 ( s) Y (s) X ( s ) 1 H ( s) G1 ( s )G2 ( s ) 1 G 2( s ) H 2( s ) G 1( s )G 2( s ) H 1( s ) 1 1 G2 ( s) H 2 ( s)