控制工程基础第三章参考答案

第三章 习题及答案

传递函数描述其特性，现在用温度计测量盛在容器内的水温。发现需要时间才能指示出实际水温的98%的数值，试问该温度计指示出实际水温从10%变化到90%所需的时间是多少?

解： 41min, =0.25min T T = 1111()=1-e

0.1, =ln 0.9t h t t T -=-T

21T

22()=0.9=1-e ln 0.1t h t t T -=-，

210.9

ln

2.20.55min 0.1

r t t t T T =-===

2.已知某系统的微分方程为)(3)(2)(3)(t f t f t y t y +'=+'+''，初始条件2)0( , 1)0(='=--y y ，试求：

⑴系统的零输入响应y x (t )；

⑵激励f (t ) (t )时，系统的零状态响应y f (t )和全响应y (t )；

⑶激励f (t ) e 3t

(t )时，系统的零状态响应y f (t )和全响应y (t )。

解：(1) 算子方程为：)()3()()2)(1(t f p t y p p +=++

)

()e 2

5e 223()()()( )

()e 2

1e 223()()()( )()e e 2()(2

112233)( )2(;

0 ,e 3e 4)( 34

221e e )( 2x 2222x 212

121221x t t y t y t y t t t h t y t t h p p p p p p H t t y A A A A A A A A t y t t t t t t f f t t t

t

εεεε------------+=+=+-==-=⇒+-+=

+++=

-=⇒⎩⎨

⎧-==⇒⎩⎨⎧--=+=⇒+=∴* )

()e

4e 5()()()( )()e e ()(e )()( )3(2x 23t t y t y t y t t t h t y t

t

t t t f f εεε------=+=-==*

3.已知某系统的微分方程为)(3)(')(2)(' 3)(" t f t f t y t y t y +=++，当激励)(t f =)(e

4t t

ε-时，系统

的全响应)()e 6

1e 27e

3

14()(42t t y t t t

ε-----=。试求零输入响应y x (t )与零状态响应y f (t )、自由响应与强迫响应、暂态响应与稳态响应。 解：

.

, )();

()e 2

7e 314(: );(e 61:)( )()e 3e 4()()()()( )()e 3

221e 61( )

()]e 1(e 2

1)e 1(e 32[)(]e 2e 2[e )(),()e e 2()( ,2

112233

)(242x 24223 0 )(2)(422

}{不含稳态响应全为暂态自由响应强迫响应零状态响应零状态响应t y t t t t y t y t y t e t t d t y t t h p p p p p p H t t t t t t t t t t t t t

t t t t f f εεεεεετετττ----------------------=-=∴+--=---=-=-=+-+=+++=

⎰

4. 设系统特征方程为：0310126234

=++++s s s s 。试用劳斯-赫尔维茨稳定判据判别该系统的

稳定性。

解：用劳斯-赫尔维茨稳定判据判别，a 4=1，a 3=6，a 2=12，a 1=10，a 0=3均大于零，且有

3

1210

010600

3

121001064=

∆

061>=∆

0621011262>=⨯-⨯=∆

051210110366101263>=⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=∆ 015365123334>=⨯=∆=∆

所以，此系统是稳定的。

5. 试确定下图所示系统的稳定性.

解：210

110(1)

(1)(). ()210(21)1(1)

s s s s a G s s s s s s s +++=⋅=⨯+++

232()= (21)10(1)21101D s s s s s s s +++=+++

3 21

0. 1 10 21 1

2101

>0

21

1

Routh s s s s -

系统稳定。

210

10(2)

(). ()10(101)102101(2)s s b s s s s s s φ+==++++

+

2()= 10210D s s s ++

满足必要条件，故系统稳定。

6.已知单位反馈系统的开环传递函数为)

12.001.0()(2

++=s s s K

s G ξ，试求系统稳定时，参数K 和ξ的取值关系。

解：2

()(0.010.21)0D s s s s k ξ=+++=

32()201001000D s s s s k ξ=+++=

321

0: 1 100

200 1002000100 0

20 1000

Routh s s k

k s s k ξξξ>->>

由Routh 表第一列系数大于0得0

020k k ξξ

>⎧⎪

>⎨⎪<⎩

，即)0,0(20>>

-1，求K 值应取的范围。

解：系统特征方程为

0)1.01)(2.0.1(=++K s s s

要使系统特征根实部小于1-，可以把原虚轴向左平移一个单位，令1+=s w ，即 1-=w s ，代入原特征方程并整理得

072.046.024.002.02

3

=-+++K w w w 运用劳斯判据，最后得

24.672.0<

8. 设系统的闭环传递函数为 222

()2n

c n n

G s s s ωξωω=++，试求最大超调量σ％=9.6%、峰值时间

tp=0.2秒时的闭环传递函数的参数ξ和ωn 的值。

解：∵%100%2

1⨯=--ξξπ

σe

=9.6%

∴ξ=0.6 ∵t p =

πωξ

n 12

-＝0.2

∴ωn =

πξ

t p 131402106

2

2

-=

-=...19.6rad/s

9.设单位负反馈系统的开环传递函数为 )

6(25

)(+=

s s s G k

求（1）系统的阻尼比ζ和无阻尼自然频率ωn ；