解析几何版吕林根课后习题答案
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面
§ 4.1柱面
1、已知柱面的准线为：
⎩
⎨
⎧=+-+=-+++-0225
)2()3()1(222z y x z y x 且（1）母线平行于轴；（2）母线平行于直线，试求这些柱面的方程。 x c z y x ==,解：（1）从方程
⎩⎨
⎧=+-+=-+++-0
225
)2()3()1(222z y x z y x 中消去，得到： x 25)2()3()3(2
2
2
=-+++--z y y z 即： 02
3
5622=----+z y yz z y 此即为要求的柱面方程。
（2）取准线上一点，过且平行于直线的直线方程为：
),,(0000z y x M 0M ⎩
⎨⎧==c z y
x ⎪⎩⎪
⎨⎧=-=-=⇒
⎪⎩
⎪
⎨⎧=+=+=z z t y y t
x x z
z t y y t
x x 0
00000而在准线上，所以
0M ⎩⎨
⎧=+--+=-++-+--0
2225
)2()3()1(222t z y x z t y t x 上式中消去后得到： t 026888232
2
2
=--+--++z y x xy z y x 此即为要求的柱面方程。
2、设柱面的准线为，母线垂直于准线所在的平面，求这柱面的方程。
⎩⎨⎧=+=z
x z y x 22
2解：由题意知：母线平行于矢量 {
}2,0,1-任取准线上一点，过的母线方程为：
),,(0000z y x M 0M
⎪⎩⎪
⎨⎧+==-=⇒
⎪⎩
⎪
⎨⎧-==+=t z z y
y t
x x t
z z y y t x x 220
0000
0而在准线上，所以：
0M ⎩
⎨
⎧+=-++=-)2(2)2(2
2t z t x t z y t x 消去，得到： t 010*******
2
2
=--+++z x xz z y x 此即为所求的方程。
3、求过三条平行直线的圆柱面方程。 211,11,-=+=--==+==z y x z y x z y x 与解：过原点且垂直于已知三直线的平面为：它与已知直线的交点为
0=++z y x ，这三点所定的在平面上的圆的圆心为
())3
4,31,3
1(),1,0,1(,0,0,0--0=++z y x ，圆的方程为： 15
13
,1511,152(0--
M ⎪⎩⎪
⎨⎧=++=-++++0
75981513(1511(152(222z y x z y x 此即为欲求的圆柱面的准线。
又过准线上一点，且方向为的直线方程为： ),,(1111z y x M {
}1,1,1 ⎪⎩⎪
⎨⎧-=-=-=⇒
⎪⎩
⎪
⎨⎧+=+=+=t z z t y y t
x x t
z z t y y t x x 1
11111将此式代入准线方程，并消去得到：
t
013112)(5222=-++---++z y x zx yz xy z y x 此即为所求的圆柱面的方程。
4、已知柱面的准线为，母线的方向平行于矢量，{})(),(),()(u z u y u x u =γ{}Z Y X S ,,=试证明柱面的矢量式参数方程与坐标式参数方程分别为：
S v u Y x +=)(与
⎪⎩
⎪
⎨⎧+=+=+=Zv u z z Yv u y y Xv u x x )()()(式中的为参数。
v u ,证明：对柱面上任一点，过的母线与准线交于点，则，
),,(z y x M M ))(),(),((u z u y u x M '
S v M M ='即
S v M O OM ='-亦即， S v u Y Y =-)(S v u Y Y +=)(此即为柱面的矢量式参数方程。 又若将上述方程用分量表达，即：
{}{}{}Z Y X v u z u y u x z y x ,,)(),(),(,,+= ⎪⎩
⎪
⎨⎧+=+=+=∴Zv u z z Yv u y y Xv u x x )()()(此即为柱面的坐标式参数方程。
§ 4.2锥面
1、求顶点在原点，准线为的锥面方程。 01,0122
=+-=+-z y z x 解：设为锥面上任一点，过与的直线为：
),,(z y x M M O z
Z y Y x X ==设其与准线交于，即存在，使，将它们代入准线),,(000Z Y X t zt Z yt Y xt X ===000,,方程，并消去参数，得：
t
0)()(222=-+--y z y z z x 即： 02
2
2
=-+z y x 此为所要求的锥面方程。
2、已知锥面的顶点为，准线为，试求它的方程。 )2,1,3(--0,12
2
2
=+-=-+z y x z y x 解：设为要求的锥面上任一点，它与顶点的连线为：
),,(z y x M