人教数学 锐角三角函数的专项 培优易错试卷练习题及答案
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一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题)
1.在△ABC中,AB=BC,点O是AC的中点,点P是AC上的一个动点(点P不与点A,O,C重合).过点A,点C作直线BP的垂线,垂足分别为点E和点F,连接OE,OF.(1)如图1,请直接写出线段OE与OF的数量关系;
(2)如图2,当∠ABC=90°时,请判断线段OE与OF之间的数量关系和位置关系,并说明理由
(3)若|CF﹣AE|=2,EF=23,当△POF为等腰三角形时,请直接写出线段OP的长.
【答案】(1)OF =OE;(2)OF⊥EK,OF=OE,理由见解析;(3)OP的长为62
或
23
.
【解析】
【分析】(1)如图1中,延长EO交CF于K,证明△AOE≌△COK,从而可得OE=OK,再根据直角三角形斜边中线等于斜边一半即可得OF=OE;
(2)如图2中,延长EO交CF于K,由已知证明△ABE≌△BCF,△AOE≌△COK,继而可证得△EFK是等腰直角三角形,由等腰直角三角形的性质即可得OF⊥EK,OF=OE;
(3)分点P在AO上与CO上两种情况分别画图进行解答即可得.
【详解】(1)如图1中,延长EO交CF于K,
∵AE⊥BE,CF⊥BE,∴AE∥CK,∴∠EAO=∠KCO,
∵OA=OC,∠AOE=∠COK,∴△AOE≌△COK,∴OE=OK,
∵△EFK是直角三角形,∴OF=1
2
EK=OE;
(2)如图2中,延长EO交CF于K,
∵∠ABC=∠AEB=∠CFB=90°,
∴∠ABE+∠BAE=90°,∠ABE+∠CBF=90°,∴∠BAE=∠CBF,
∵AB=BC,∴△ABE≌△BCF,∴BE=CF,AE=BF,
∵△AOE≌△COK,∴AE=CK,OE=OK,∴FK=EF,
∴△EFK是等腰直角三角形,∴OF⊥EK,OF=OE;
(3)如图3中,点P在线段AO上,延长EO交CF于K,作PH⊥OF于H,
∵|CF﹣AE|=2,3AE=CK,∴FK=2,
在Rt△EFK中,tan∠3
∴∠FEK=30°,∠EKF=60°,
∴EK=2FK=4,OF=1
2
EK=2,
∵△OPF是等腰三角形,观察图形可知,只有OF=FP=2,
在Rt△PHF中,PH=1
2
PF=1,3OH=23
∴()2
2
12362
+-=
如图4中,点P 在线段OC 上,当PO=PF 时,∠POF=∠PFO=30°,
∴∠BOP=90°,
∴OP=33OE=233
, 综上所述:OP 的长为62-或
233. 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线等于斜边一半、等腰直角三角形的判定与性质、解直角三角形等,综合性较强,正确添加辅助线是解题的关键.
2.如图,在△ABC 中,∠ABC =90°,以AB 的中点O 为圆心,OA 为半径的圆交AC 于点D ,E 是BC 的中点,连接DE ,OE .
(1)判断DE 与⊙O 的位置关系,并说明理由;
(2)求证:BC 2=2CD•OE ;
(3)若314cos ,53
BAD BE ∠==,求OE 的长.
【答案】(1)DE 为⊙O 的切线,理由见解析;(2)证明见解析;(3)OE =
356
. 【解析】 试题分析:(1)连接OD ,BD ,由直径所对的圆周角是直角得到∠ADB 为直角,可得出△BCD 为直角三角形,E 为斜边BC 的中点,由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,得到CE=DE ,从而得∠C=∠CDE ,再由OA=OD ,得∠A=∠ADO ,由Rt △ABC 中两锐角互余,从而可得∠ADO 与∠CDE 互余,可得出∠ODE 为直角,即DE 垂直于半径OD ,可得出DE 为⊙O 的切线;
(2)由已知可得OE 是△ABC 的中位线,从而有AC=2OE ,再由∠C=∠C ,∠ABC=∠BDC ,可得△ABC ∽△BDC ,根据相似三角形的对应边的比相等,即可证得;
(3)在直角△ABC 中,利用勾股定理求得AC 的长,根据三角形中位线定理OE 的长即可
求得.
试题解析:(1)DE为⊙O的切线,理由如下:连接OD,BD,
∵AB为⊙O的直径,
∴∠ADB=90°,
在Rt△BDC中,E为斜边BC的中点,
∴CE=DE=BE=BC,
∴∠C=∠CDE,
∵OA=OD,
∴∠A=∠ADO,
∵∠ABC=90°,
∴∠C+∠A=90°,
∴∠ADO+∠CDE=90°,
∴∠ODE=90°,
∴DE⊥OD,又OD为圆的半径,
∴DE为⊙O的切线;
(2)∵E是BC的中点,O点是AB的中点,∴OE是△ABC的中位线,
∴AC=2OE,
∵∠C=∠C,∠ABC=∠BDC,
∴△ABC∽△BDC,
∴,即BC2=A C•CD.
∴BC2=2CD•OE;
(3)解:∵cos∠BAD=,
∴sin∠BAC=,
又∵BE=,E是BC的中点,即BC=,
∴AC=.
又∵AC=2OE,
∴OE=AC=.
考点:1、切线的判定;2、相似三角形的判定与性质;3、三角函数
3.问题背景:
如图(a),点A、B在直线l的同侧,要在直线l上找一点C,使AC与BC的距离之和最小,我们可以作出点B关于l的对称点B′,连接A B′与直线l交于点C,则点C即为所求.
(1)实践运用:
如图(b),已知,⊙O的直径CD为4,点A 在⊙O 上,∠ACD=30°,B 为弧AD 的中点,P为直径CD上一动点,则BP+AP的最小值为.
(2)知识拓展:
如图(c),在Rt△ABC中,AB=10,∠BAC=45°,∠BAC的平分线交BC于点D,E、F分别是线段AD和AB上的动点,求BE+EF的最小值,并写出解答过程.
【答案】解:(1)22.
(2)如图,在斜边AC上截取AB′=AB,连接BB′.
∵AD平分∠BAC,∴点B与点B′关于直线AD对称.
过点B′作B′F⊥AB,垂足为F,交AD于E,连接BE.
则线段B′F的长即为所求 (点到直线的距离最短) .
在Rt△AFB/中,∵∠BAC=450, AB/="AB=" 10,
∴.
∴BE+EF的最小值为
【解析】
试题分析:(1)找点A或点B关于CD的对称点,再连接其中一点的对称点和另一点,和